交大附中2013屆高一數(shù)學(xué)2一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

交大附中2013屆高一暑假數(shù)學(xué)作業(yè)《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用．本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述．一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1)當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2)當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：(3)當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．由于可以用的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：(1) (2) (3)解：(1)，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． (2)原方程可化為： ，∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． (3)原方程可化為： ，∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．說(shuō)明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式．已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 (3)方程有實(shí)數(shù)根； (4)方程無(wú)實(shí)數(shù)根．解： (1)； (2)； (3)； (4)．已知實(shí)數(shù)、滿足，試求、的值．解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：．綜上知：二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 一元二次方程的兩個(gè)根為： 所以：， 定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”．若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值：(1)； (2)； (3)；(4)．分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算．這里，可以利用韋達(dá)定理來(lái)解答．解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1)(2)(3)(4)說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，，，等等．韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想．已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值．(1)方程兩實(shí)根的積為5； (2)方程的兩實(shí)根滿足．分析：(1)由韋達(dá)定理即可求之；(2)有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論．解：(1)∵方程兩實(shí)根的積為5 ∴ 所以，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5． (2)由得知： ①當(dāng)時(shí)，，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故； ②當(dāng)時(shí)，，由于 ，故不合題意，舍去． 綜上可得，時(shí)，方程的兩實(shí)根滿足．說(shuō)明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足．已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)您說(shuō)明理由．(2)求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值．解：(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立． ∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ∴， 又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ∴ ∴ ，但． ∴不存在實(shí)數(shù)，使成立． (2)∵ ∴要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到， 要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為．說(shuō)明：(1)存在性問(wèn)題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說(shuō)明存在，否則即不存在． (2)本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會(huì)對(duì)為整數(shù)的分析方法．已知實(shí)數(shù)、、滿足及，求的值。解：以為根的二次方程，其中所以，代入求得則1鞏固練習(xí)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是( )B A． B． C． D．若是方程的兩個(gè)根，則的值為( )A A． B． C． D．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于的方程的根，則等于( )A A． B． C． D．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( )AA． B． C． D．大小關(guān)系不能確定關(guān)于x、y的方程x2+xy+2y2=29的整數(shù)解（x、y）的組數(shù)為（）A、2組B、3組C、4組D、無(wú)窮多組解可將原方程視為關(guān)于x的二次方程，將其變形為x2+yx+（2y2-29）=0由于該方程有整數(shù)根，根據(jù)判別式△≥0，且是完全平方數(shù)由△=y2-4(2y2-29)=-7y2+116≥0解得y2≤EQ\F(116,7)≈16.57y2014916△11610988534顯然只有y2=16時(shí)，△=4是完全平方數(shù)，符合要求當(dāng)y=4時(shí)，原方程為x2+4x+3=0，此時(shí)x1=-1，x2=-3當(dāng)y=-4時(shí)，原方程為x2-4x+3=0，此時(shí)x3=1，x4=3所以，原方程的整數(shù)解為選C若實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為( )A A． B． C． D．如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是______已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是_______．3若方程的兩根之差為1，則的值是_____．9或設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則=_____，=_____．已知,,,若的值為，則.，已知實(shí)數(shù)滿足，則=_____，=_____，=_____．已知為方程的兩實(shí)根，則。7====+63=-56+63=7對(duì)于二次三項(xiàng)式，小明得出如下結(jié)論：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？請(qǐng)您說(shuō)明理由．正確若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的的正實(shí)數(shù)根，求的值．4已知關(guān)于的一元二次方程． (1)求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)若方程的兩根為，且滿足，求的值．已知關(guān)于的方程的兩根是一個(gè)矩形兩邊的長(zhǎng)． (1)取何值時(shí)，方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根？ (2)當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是時(shí)，求的值．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． (1)求的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)您說(shuō)明理由． (2)不存在已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11．求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根． (1)當(dāng)時(shí)，方程為，有實(shí)根；(2)當(dāng)時(shí)，也有實(shí)根．若是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且都大于1． (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)若，求的值．(1) ； (2)．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)正整數(shù)根（m

是整數(shù)）。△ABC的三邊a、b、c滿足，，。求：⑴m的值；⑵△ABC的面積。（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，解方程得，．由題意，得即故．（2）