8.6空間直線平面的垂直10題型分類（原卷版）

8.6空間直線、平面的垂直10題型分類一、回顧兩直線的位置關(guān)系1.異面直線(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.(2)畫法：2.兩條直線的位置關(guān)系3.兩個(gè)定理(1)平行線的傳遞性①文字語言：平行于同一條直線的兩條直線平行.②符號(hào)語言：直線a，b，c，a∥b，c∥b?a∥c.③作用：證明空間兩條直線平行.(2)等角定理①內(nèi)容：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).②作用：證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4.平面內(nèi)兩直線的夾角(1)定義：平面內(nèi)兩條直線相交成4個(gè)角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角)；規(guī)定兩直線平行時(shí)夾角為0°，垂直時(shí)夾角為90°.(2)范圍：兩條直線夾角α的取值范圍是0°≤α≤90°.二、異面直線所成的角1.定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，則異面直線a與b所成的角(或夾角)就是直線a′與b′所成的銳角(或直角).2.范圍：0°<θ≤90°.特別地，當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b.三、直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直圖示四、直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語言五、直線與平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線與平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A射影過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：一條斜線和它在平面上的射影所成的角，圖中∠PAO規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，0°≤θ≤90°六、直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言七、二面角的概念1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.2.相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的棱；(2)兩個(gè)半平面叫做二面角的面.3.畫法：4.記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.八、平面與平面垂直1.平面與平面垂直的定義(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.(2)畫法：(3)記作：α⊥β.2.平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語言l⊥α，l?β?α⊥β圖形語言九、平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言（一）兩直線的位置關(guān)系熟記兩直線的位置關(guān)系：相交、平行、異面.題型1：兩直線的位置關(guān)系11．（2024高二上·上海長寧·期末）在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是．12．（2024高二上·黑龍江·學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，與平行的是（

）A． B． C． D．13．（2024高二上·重慶銅梁·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，M、N分別為棱、的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與是異面直線；④直線AM與是異面直線．其中正確的結(jié)論為（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④（二）異面直線所成的角求兩異面直線所成角的三個(gè)步驟(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角.(2)證：證明作出的角就是要求的角.(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二證三計(jì)算”來概括.同時(shí)注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.題型2：異面直線所成的角21．（2024·上海青浦·一模）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為，平面．(1)求證：平面；(2)若直線與所成的角大小為，求的長．22．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知長方體的底面是邊長為2的正方形，為其上底面的中心，在此長方體內(nèi)挖去四棱錐后所得的幾何體的體積為.(1)求線段的長；(2)求異面直線與所成的角.（三）直線與直線垂直要證明兩異面直線垂直，應(yīng)先構(gòu)造兩異面直線所成的角.若能證明這個(gè)角是直角，即得到兩直線垂直．題型3：直線與直線垂直31．（2024高一·全國·課前預(yù)習(xí)）空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝，EF＝3.求證：AC⊥BD.32．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）空間四邊形，，，分別是，，的中點(diǎn)，，，.求證：.33．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF=．求證：AD⊥BC．34．（2024高三·全國·專題練習(xí)）四面體ABCD中，對(duì)棱，E，F(xiàn)，G，H是它們所在棱的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是矩形．（四）直線與平面垂直的定義以及判定定理的理解1.直線與平面垂直的定義:如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.2.直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.注：對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事.題型4：直線與平面垂直的定義以及判定定理的理解41．（2024高二上·上海徐匯·期末）已知直線和平面，若，則“”是“”的（

）條件.A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要42．（2024高二下·北京·學(xué)業(yè)考試）已知直線，和平面，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．是平面的斜線43．（2024高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知平面α和α外的一條直線l，下列說法不正確的是（）A．若l垂直于α內(nèi)的兩條平行線，則l⊥αB．若l平行于α內(nèi)的一條直線，則l∥αC．若l垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥αD．若l平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α（五）直線與平面垂直的判定利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟(1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它們和這條直線垂直.(2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線.(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.題型5：直線與平面垂直的判定51．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，E為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.52．（2024高三上·上海閔行·期中）正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求四面體的體積．53．（2024高二上·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，是的中點(diǎn)，且.

(1)求證：平面；(2)若，求證：平面.54．（2024高二上·上海·專題練習(xí)）如圖，為⊙O的直徑，垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，⊥，N為垂足.求證：⊥平面；55．（2024高一下·廣西南寧·期末）如圖1，在矩形ABCD中，，O是AC與BE的交點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到圖2中的位置，得到四棱錐.

(1)證明：平面；(2)當(dāng)平面平面時(shí)，若，求三棱錐的體積.（六）直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的性質(zhì):垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.題型6：直線與平面垂直的性質(zhì)61．（2024高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.62．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點(diǎn)E，滿足，，現(xiàn)將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：63．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，正方體中，與異面直線、都垂直相交．

求證：.64．（2024高一下·山東威?！て谀┤鐖D，四棱錐的底面為正方形，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)若平面，證明：.（七）求直線與平面所成角的步驟(1)尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線.(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角.(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角.題型7：直線與平面所成的角71．（2024高一下·廣西·期末）如圖，已知正方體中，分別是和的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．72．（2024高一下·天津和平·期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為中點(diǎn)，平面，，為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)求直線與平面所成角的余弦值.73．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，，．

(1)求證：平面平面；(2)若，，直線與平面所成的角為，求四棱錐的體積．74．（2024高三下·山東菏澤·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，在底面ABC上的射影為線段BC的中點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，且，.(1)求三棱錐的體積；(2)求MC與平面所成角的正弦值.（八）二面角的求法在二面角棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，即兩射線夾角為所求二面角的平面角.題型8：二面角求解81．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，把和分別沿AE，DE折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P．(1)求證：平面⊥平面；(2)求二面角的大?。?2．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平面與底面所成角為，且．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。?3．（2024高二上·上海普陀·期末）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，E、F分別為棱、的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)若直線與平面所成的角為，直線與平面所成角為，求二面角的大?。?4．（2024高二上·浙江金華·期末）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對(duì)角線交于點(diǎn)平面，平面是過直線的一個(gè)平面，與棱交于點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)若平面交于點(diǎn)，求的值；(3)若二面角的大小為，求的長．（九）平面與平面垂直的判定證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直.題型9：平面與平面垂直的判定91．（2024高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面為棱的中點(diǎn)，連接.求證：(1)平面；(2)平面平面.92．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)．（1）求證：直線AE⊥直線A1D;（2）在線段AA1上求一點(diǎn)G，使得直線AE⊥平面DFG．93．（2024高一下·河南南陽·期末）如圖，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．94．（2024高二上·江蘇南京·期末）正三棱柱的底面邊長與側(cè)棱長都是2，分別是的中點(diǎn)．(1)求三棱柱的全面積；(2)求證：∥平面；(3)求證：平面⊥平面．（十）平面與平面垂直的性質(zhì)定理利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：(1)兩個(gè)平面垂直；(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線.題型10：平面與平面垂直的性質(zhì)定理101．（2024高三上·江西·期中）如圖1，山形圖是兩個(gè)全等的直角梯形和的組合圖，將直角梯形沿底邊翻折，得到圖2所示的幾何體.已知，,點(diǎn)在線段上，且在幾何體中，解決下面問題.(1)證明：平面；(2)若平面平面，證明：.102．（2024高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，和都垂直于平面，且，是的中點(diǎn)

(1)證明：直線//平面；(2)若平面平面，證明：直線平面.103．（2024高一下·安徽六安·期末）在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)若平面平面，證明：.一、單選題1．（2024高三上·江西·期末）如圖是正方體的表面展開圖，在原正方體中，直線AB與CD所成角的大小為（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·北京昌平·期末）如圖，在正方體中，直線與直線所成角的大小為（

）A． B． C． D．3．（2024高二上·上?！て谀┫铝嘘P(guān)于直線與平面垂直的判斷中，正確的是（

）.A．若直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則直線與平面垂直B．若直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直，則直線與平面垂直C．若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直D．若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線與平面垂直4．（2024高一下·云南昆明·期中）已知，為兩條不同直線，，為兩個(gè)不同平面，則下列命題中正確的是（

）A．如果，，，那么B．如果，，，那么C．如果，，.那么D．如果，，，，那么5．（2024高二·廣東·學(xué)業(yè)考試）設(shè)，是兩個(gè)平面，、是兩條直線，下列命題中，可以判斷的是（

）A．，，且， B．，，且C．，且 D．，，且6．（2024高二下·河南信陽·階段練習(xí)）設(shè)兩條直線，，兩個(gè)平面，，則下列條件能推出的是（

）A．，，且 B．，，且C．，，且 D．，，且，7．（2024高二上·上海寶山·階段練習(xí)）在三棱錐中，若頂點(diǎn)到底面三邊距離相等，則頂點(diǎn)在平面上的射影為的（

）A．外心 B．內(nèi)心或旁心 C．垂心 D．重心8．（2024高三下·廣東·階段練習(xí)）在各棱長都為2的正四棱錐中，側(cè)棱在平面上的射影長度為（

）A． B． C． D．29．（2024高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，邊長為2的兩個(gè)等邊三角形，若點(diǎn)到平面的距離為，則二面角的大小為（

）

A． B． C． D．10．（2024高三上·河北滄州·期末）將兩個(gè)相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱為“正雙棱錐”.如圖，在正雙三棱錐中，兩兩互相垂直，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．11．（2024高三·湖北荊門·期末）已知二面角為，點(diǎn)、分別在、內(nèi)且，到的距離為，到的距離為,則兩點(diǎn)之間的距離為（

）A． B． C． D．12．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測(cè)）已知二面角為60°，點(diǎn)，，C為垂足，點(diǎn)，，D為垂足，且，，則線段的長度為（

）A． B． C． D．13．（2024高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長均為1，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線所成的角為，則（

）A．1 B． C．1或2 D．2或14．（2024高二上·重慶·期末）在長方體中，，則異面直線的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．15．（2024高二上·遼寧沈陽·期末）如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．16．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，空間四邊形的對(duì)角線，，，分別為，的中點(diǎn)，并且異面直線與所成的角為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．617．（2024·陜西渭南·一模）在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．18．（2024高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，，則與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．19．（2024高三上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）如圖，垂直于正方形所在平面，則以下關(guān)系錯(cuò)誤的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面二、多選題20．（2024高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，垂直于以為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上異于、的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B．C．平面 D．平面平面21．（2024高三上·江蘇淮安·期中）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C．平面 D．平面22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，若，，是的中點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）．A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面23．（2024高一下·安徽滁州·階段練習(xí)）如圖，在直棱柱中，平面平面，且四邊形與四邊形都是邊長為1的正方形，連接，則下列說法正確的是（

）

A．異面直線與的夾角為B．二面角的平面角為C．與平面所成的角為D．點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離之比為24．（2024高一下·寧夏吳忠·期末）直三棱柱頂點(diǎn)都在球的表面上，，側(cè)面?zhèn)让?，則（

）A．四棱錐的體積為B．三棱錐的體積為C．球的表面積為D．平面截該三棱柱所得截面的面積為25．（2024高一下·黑龍江哈爾濱·期末）對(duì)于兩個(gè)平面，和兩條直線，，下列命題中假命題是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則三、填空題26．（2024高二上·北京東城·期末）如圖，已知M是正方體的棱的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為.27．（2024高二上·重慶沙坪壩·期中）貴州榕江“村超”火爆全網(wǎng)，引起旅游愛好者、社會(huì)名流等的廣泛關(guān)注．足球最早起源于我國古代“蹴鞠”，被列為國家級(jí)非物質(zhì)文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太宗蹴鞠的場(chǎng)景．已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，連接這四點(diǎn)構(gòu)成三棱錐ABCD如圖所示，頂點(diǎn)A在底面的射影落在內(nèi)，它的體積為，其中和都是邊長為2的正三角形，則該“鞠”的表面積為．

28．（2024高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在平面內(nèi)，，PO是平面的斜線，，點(diǎn)Q是PO上一點(diǎn)，且，則線段PQ在平面上的射影長為.

29．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，底面是邊長為的正三角形，二面角的大小為，則該三棱錐的外接球的體積為.30．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，把沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為．

31．（2024高二上·北京海淀·期末）如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是（填“平行”，“異面”，“相交”）．32．（2024高二上·北京海淀·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是.①②③④33．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的正弦值為．34．（2024高二上·上海徐匯·期末）如圖，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，經(jīng)過頂點(diǎn)A和各作一個(gè)平面與平面平行，前者與平面交于，后者與平面交于，則異面直線與所成角的余弦值為.35．（2024高二·全國·課后作業(yè)）（1）已知正方體的棱長為a，則異面直線與AD公垂線是．（2）已知正方體的棱長為a，則異面直線與距離是．（3）已知正方體的棱長為a，則異面直線與公垂線是．（4）已知正方體的棱長為a，則異面直線與距離是．36．（2024高二下·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，當(dāng)AF=時(shí)，CF⊥平面.37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如下圖所示，矩形中，，，沿將折起，使得點(diǎn)C在平面上的射影落在上，則直線與平面所成的角為．

38．（2024高三·全國·課后作業(yè)）如圖，已知矩形ABCD所在的平面，則下列說法中正確的是．（寫出所有滿足要求的說法序號(hào)）①平面PAD⊥平面PAB；

②平面PAD⊥平面PCD；③平面PBC⊥平面PAB；

④平面PBC⊥平面PCD．四、解答題39．（2024高三·全國·課后作業(yè)）如圖，在正三棱柱中，E為棱AC的中點(diǎn)，.求證：.40．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且為線段的中點(diǎn)．證明：.41．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2．，分別為與上的點(diǎn)，且，．求證：；42．（2024高一下·新疆省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，已