初中數(shù)學(xué)幾何模型秘籍

模型一：手拉手模型一全等等膜RTk

等邊三角形

條件：AO/S,AOCD均為等腰直角三角舫

條件：AOAB,AOCD均為等邊三余附結(jié)論：①￡sOAg^OBD:②ZAEB=90°

結(jié)論：①AOAC^AOBD；②ZAEB=60°③OE平分ZAED（易忘）

③OE平分NAED（易忘）

//、導(dǎo)南核心圖杉

AB--------------------

初中力.孚涕口講完二45^15225

任意等腰三角彩模型二：手拉手模理一相似

條件：zVMB,△"￡＞均為等腰三角的

且ZAOB=Z.COD結(jié)論：右圖

結(jié)論：①"AC^OBD；②ZAEB=ZAOBt^OCD^&OABoAOACS^QBD

③OE平分AAED（易忘）且延長AC交BD與點E

模型總結(jié)：核心圖冊如右圖,核心條件如下：必有ZBEC=ZBOA

①3=08,OC=OD非常重要的結(jié)論，必須會熟練證明

②4OB=ZCQD

必單身手燕理疥究三后免支225初中型手涕空淞壇S列“6225

手拉手相似（特殊情況）模型三：對角互補(bǔ)模型

當(dāng)408=90°時,

除IsOCD^lSOABoM)ACS/S0BD之外

條件：

,-BDODOB(DZAOB=ZDCE=90°

建會隱藏一=—=—=tanZ.OCD

ACOCOA②OC平分乙AOB

滿足BD工AC,若連結(jié)AD.8。，則必有結(jié)論：①CD=CE：②OD+OE=8OC

AD2+BC2=AB2+CD1

③SODCT=SWCD+SMXX=/"-

S3D=1.4CxBD（對甬線互相垂直四邊影）

輔助線之一：作垂直，證明XCDM-CEN

初中我學(xué)群翔ii究玄為（HM225;初中比后股I近先三45”,225

條件：（3）ZAOB=ZDCE=90°

②OC平分Z-AOB

結(jié)論：?CD=CE：②OD+OE=0OC

③S00cs=S11txD+SMJCE=g"

輔助線之二：過點c作CE_LOC

j正明SODC^hFEC

切中之手罄逝而究去4列“6225

當(dāng)N￡>C￡一邊交.40延長線上于點0時，如圖

以上三個結(jié)論：（輔助線之二）

①8=CE不變

②OE-OD=y^OC（重點）

③Ss￡-Sg=；OC2（難點）

請獨立完成以上證明,必須非常熟練掌握

初中支導(dǎo)涕翔脛:君!“口;；225

（全等型一120°）輔助線之二：在OB上取一點尸，使6FQ

證明AOCF為等邊三角形（重要）

條件：①2O8=2NDCE=120°

②OC平分ZAOB

結(jié)論：?CD=CE：②OD+OE=OC

姑論：?CD=CE；②OD+OE=OC

③^ODCE~S^JOCD+

請模仿（全等刑一90°）輔助線之一完成證明

必須熟練，自己獨立完成證明

.二初中身宇涕還講完玄花典支225初中三導(dǎo)那更近究叁!初工同經(jīng)弓

當(dāng)N0C￡一邊交,40延長線上于點。時，如圖（全等型一任意角a）

以上三個結(jié)論：（輔助線之二）條件：0ZAOB=2a,ZDCE=18(P-2a

①______________________②CD=CE

②（重點）結(jié)論：①OC平分ZAOB；

③（難點）②OD+OE=2OC-cosa

2

請獨立完成以上證明,必須非常熟練掌握③\xxr=S110cB+S!iOCE=OC?sina?cosor

難度較大,記得經(jīng)常復(fù)習(xí)

初中方手;為為海究去45!）」!號22弓初中以宇耕衛(wèi)說完去45UUi；225

①____________________

②__________________________（重點）

③（難點J

請獨立完成以上證明，必須非常熟練掌握

請思考初拾條件的變化.討模型的彩響

匚初中義亭法力講究去

...結(jié)論①得證

EF=OD'Xana

（OE+EFYeosa=OC

結(jié)論②得證

證明：過點。作交于點產(chǎn)

CF_LOC,08.CT7）2_tan2a

??---------{---------j-i<inex

■:ZDCE=ZOCF=9G°§ACDOC。

ZDCO=ZECF?,S^CEF=Sya.tana

VZAOB+ZDCE=\SO°?SMKE+SACEF=§MXT

:.NCDO+NC￡O=180°

2

且S1100r=^OC?tanor

二NCDO=NCEF

：.SCDO^ACEF...結(jié)論③得證

難度非常大.請仔細(xì)認(rèn)算靠習(xí)

,EFCECF上、

..===tanot（關(guān)鍵步）

DOCDCO--------------

初中雙手券m近究去;列U5225士初中彩宇潺包近丸野引JU6225

對角互補(bǔ)模型總結(jié)：角舍半角模型(90°)

①常見初始條件：四邊彩對角互補(bǔ)

兩點注意：四點共四和直角三角彩斜邊中線

②初始條件：角平分線與兩邊相等的區(qū)別

③常見兩種輔助線的作法

④注意下圖中“OC平分ZAOB”條件：①正方給4BCD：②ZEAF=45°

結(jié)論：?EF=DF+BE

②&CEF周長為正方彩ABCD周長一半

也可以這樣：

條件：①正方彩N68:②EF=DF+BE

ACDE=ZCED=ZCOA=4cOB相等是如結(jié)論：①NE4F=45°

何推導(dǎo)口訣：的含半角要旋轉(zhuǎn)

.'i必單身手拼理疥究三4W工支225初中方.孚薜窗近究玄為

條件：①等腰直用AABC:②NZME=45°

結(jié)論：BD1+CE2=DE2

若ZDAE流轉(zhuǎn)到A.4BC外部時

結(jié)論：B?+CE。=DE°仍然成立

切中力學(xué);〉瘡圻無去均見支225

角含半角模型（90°）更彩倍長中線類模型

條件：①知彩ABCD：②BD=BE

條件：①N￡4F=45°；③DF=EF

結(jié)論：為等腰直角三角附（重點/《點）結(jié)論：AF±CF

證明：連接（方法不唯一）模型提?。?/p>

VZDAC=ZEAF=45°，,ZDAH=ZCAE①有平行線AD//BE

VZADH=ZACE=45°，:.^ADH^^ACE②平行線間線段有中點DF=EF

可以構(gòu)造8字全等A4D/ZMEF

.DAAC

：

'''AH=^E.'AHES^ADC

初中方與涕。疥的臥列初中/導(dǎo)祥翔/元主45口同225

倍長中線類模型

條件：①平行四邊彩：ABCD②BC=2AB：

③=：?CELAD

結(jié)論：ZEMD=3ZMEA②EF=CF

輔助線：有平行.48〃C￡>,有中點NA/=￡>A/結(jié)論：①DF=BF:②DF1BF

延長EM.構(gòu)造^AME^^DMF,連接CM構(gòu)輔助線:延長DF到點G.使FG=DF,連

造等腰AEA/C,AA/CF接CG、BG、BD證明&BDG為等腰直角

通過構(gòu)造8字全等線段效量及位置關(guān)系.甬的大突破點：SABD^ACBG

小轉(zhuǎn)化難點：證明ZBAD=ZBCG

二赤跖溷疥光學(xué)切W225上初中三導(dǎo)禁亙近完句;列35225

相似三府形360度旋轉(zhuǎn)模型（補(bǔ)全法）任意相似直角三角彩360度旋轉(zhuǎn)模型

條件：?^OAB^^ODC

②NO46=NODC=900您BE=CE

條件：①A40E、A48c均為等腰直角結(jié)論：①AE=DE：②ZAED=2ZABO

②EF=CF輔助線：延長BA到點G.使蜀三小，延長

結(jié)論：①DF=BF:②DF工BFCD到點H便DH=8,補(bǔ)全AOGB、

輔助線：構(gòu)造等腰直角&4￡G、MHCOCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型，轉(zhuǎn)化AE與DE到CG

輔助線思路：珞DF與BF轉(zhuǎn)化到CG與EH與BH,難點在轉(zhuǎn)化乙4ED

初中獨字番。斑究玄切中方手潞i近究學(xué)列53

任意相似直向三角用360度旋轉(zhuǎn)模型（倍長法）最短路程模型之一（將軍飲馬美）

條件：①AOAB^&ODC

②Nate=NODC=90°:③鹿魚

結(jié)論：?AE=DE:②ZAED=2ZABO

輔助線：延長至M,使ME=DE,將結(jié)

論的兩個條件轉(zhuǎn)化為證明^AMD^MBO.此

為難點，將A4A/ZAA48C繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明總結(jié)：以上四圖為常見的軸對稱美最短路程問題,

MBM^&AOR使用兩邊成比且夾角等最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點之間，線段西點“解決

此處雉點在證明ZABM=ZAOD特點：①動點在直線上:②起點，終點固定

初中興乎那至近究安：如工支225：;初中殳導(dǎo)潺我圻究叁!列口6”5

最短路程模型之二（點到直線美）最短路程模型之二（點到直線美）

條件：如右圖①OC平分N4O8

②M為08上一定點

③P為OC上動點

問題：點p在何處，BP+LAP最短

④。為OB上動點、2

求：A/P+P0最小時.P.。的位置結(jié)論：以A為頂點作Z/MC=30°,過點P作

輔助線：將作0關(guān)于OC對稱點Q',轉(zhuǎn)化

PQA.AC,轉(zhuǎn)化PQ=\AP，過點8作4C

PQ'=PQ,過點A/作Atf/_LO4

MP+PA=MP+PQ'NMH（垂線段最短）的垂線與4P的交點為所求（垂線段最短）

初印義手涕為近兄勢;列U6225;初中比后股I近先三45”,225

最短路程模型之二（點到直線美）

條件：如圖，點/、B為定點，P為動點

問題：點尸在何處，BP+立AP最短

2

結(jié)論：以A為頂點作ZR4C=45°,過點P作

PQLAC,轉(zhuǎn)化尸0=14P,過點8作4C

的垂線與/P的交點為所求

初中義手潺臣講究去45奧仄2”

最短路程模型之三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）最短路程模型之三（旋轉(zhuǎn)美最值模型）

B—［、、

最大值位置

最小值位置J一一

條件：①線段。4=4,Q9=2（OA>OB}條件：①線段04=4,OB=2

②OB繞點O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn)②以點。為圓心，OB,OC為半徑作圓

問題：.43的最大值，最小值分別為多少？③點P是兩圓所組成1S環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點

結(jié)論：以點。為圓心，。5為半徑作圓,如圖問題：若24的最大值為10,則OC=6

所示，將問題轉(zhuǎn)化為“三角彩兩邊之和大于第三若PA的最小值為1,則OC=3

邊，兩邊之差小于第三邊”若PA的最小值為2,則PC的取值范圍是

最大值：04+08：最小值：OA-OB0<PC<2

初中力宇弗矍濟(jì)無W4WU6225初中以亨涕。疥究去45UU6225

最短路程模型之三（旋轉(zhuǎn)類最值摸型）最短路穆模型之四（動點在網(wǎng)上）

條件：①&/AO8C,NO8C=30°條件：以點。為圓心三個IS,OA.0。固定

②OC=2-,^）OA=\;④點P為BC上動點OP繞點。旋轉(zhuǎn)

（可與端點重合）：⑤SOBC繞點O旋轉(zhuǎn)問題：點0在什么位置時，EP+MB最小

結(jié)論：最大值為04+08=1+2。輔助線：連接00、QC,當(dāng)0、D、C三

點共線時，EP+MB=DQ+QC=*最小

PA最小值為~OB-OA=-^-\

2

如右圖，圜的最小半徑為O到BC垂線段長

初中分亨淘耐去惻U62”仍中5百群國近先密;列山6225

最短路程模型之四（動點在國上）二倍角模型

條件：①正方彩ABCD且邊長為4：條件：A4J5C中，Zfi=2ZC

②0B的半徑為2：③P為05上動點輔助線：以5C的垂直平分線為對稱軸.作點

問題：求尸￡）+（PC/2）最小值A(chǔ)的對稱點.連接44'、BA',CA'

輔助線：過點E作EM//PC,取BE中點N則BA'為乙tec的角平分線，

轉(zhuǎn)化思路：將PC/2轉(zhuǎn)化ME，將ME轉(zhuǎn)化為耶么B.4=44'=CA'（注意這個結(jié)論）

MN,因此MD+MV的彘小值為￡>N長度此種輔助線的作法是二倍角三角形常見的輔助

總結(jié)：PC/2的比值不是其意紿出的,而是圓線作法之一,但并不是唯一作法

的半徑rIBC

?加中劉宇募也盼為聲列口送25:；1初中女宇拜君近究玄45n支225