2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：第02講 數(shù)列的證明和通項(xiàng)公式的四種求法（解析）

第02講數(shù)列的證明和通項(xiàng)公式的四種求法考法呈現(xiàn)考法一：等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算例題分析【例1】已知an為正項(xiàng)等差數(shù)列，bn為正項(xiàng)等比數(shù)列，其中a2=3,b1=求an【答案】(1)an=2n?1【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a因?yàn)閍2=3，且所以a1+d=3,a1+2d+1所以an因?yàn)閎1=a1=1,b1所以bn滿分秘籍在等差數(shù)列五個基本量在等差數(shù)列五個基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三個量，可以根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計(jì)算時須注意等差數(shù)列性質(zhì)、整體代換及方程思想的應(yīng)用.等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解．變式訓(xùn)練【變式1-1】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n和為Sn，a3+a9=12(1)求數(shù)列an，b【答案】(1)an=n【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量相關(guān)運(yùn)算直接得到an的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知等式令n≥2得到第二個等式，兩式相減并驗(yàn)證n=1的情況得到b【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d因?yàn)閍3+a所以a1+2d+解得a1=1a1當(dāng)n≥2時，a1b1①?②可得，anbn=n?當(dāng)n=1時，a1b1所以b【變式1-2】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且a1(1)求數(shù)列an，b【答案】(1)an=2n?1【分析】（1）由數(shù)列an是等差數(shù)列，b【詳解】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為由題意可得，a1+d=b所以q2因?yàn)閝>0，所以d=q=2，所以an=1+2n?1【變式1-3】已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S3=74，a1(1)求數(shù)列an，b【答案】(1)an=【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算求解；【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，等差數(shù)列bn的公差為由S3=74，即a11+q+q即10q2+3q?4=0，解得q=?從而可得a1=1，所以又因?yàn)閎7+b所以2b1+17d=12+所以bn【變式1-4】已知等差數(shù)列an滿足a2=4，2a4?a(1)求an與b【分析】（1）設(shè)an的公差為d，由題意可得24+2d?4+3d=7，求得d=3，a1=1，進(jìn)而可求an=3n?2；設(shè)bn的公比為q，由題意可得【詳解】（1）設(shè)an的公差為d，因?yàn)閍2=4所以24+2d?4+3d=7，解得所以an設(shè)bn的公比為q，因?yàn)閎4b1≠0，q31+q=8當(dāng)q=2時，因?yàn)閎3=4，所以b1當(dāng)q=?1時，因?yàn)閎3=4，所以b1【變式1-5】已知等差數(shù)列an滿足(n+1)an(1)求an和b【答案】(1)an=n?9【分析】（1）方法一：由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求bn，由數(shù)列an的通項(xiàng)公式求其前三項(xiàng)，由條件列方程求k，由此可得方法二：由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求bn，設(shè)數(shù)列an的公差為d，由條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡條件可求a1【詳解】（1）解法一：因?yàn)閿?shù)列bn所以bn因?yàn)?n+1)a所以a1=k?72，因?yàn)閿?shù)列an所以2a2=解得k=?9.所以(n+1)a所以an解法二：因?yàn)閿?shù)列bn所以bn因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a所以(n+1)a所以d=1a所以an【變式1-6】已知an是等差數(shù)列，a1=1，d≠0，且a1，求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程，求出d，即可求出通項(xiàng)；【詳解】（1）因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，a1=1，d≠0，且a所以a1a4=a22所以an考法二：等差、等比數(shù)列的證明例題分析【例2】已知等比數(shù)列an的公比q<1，a4=1，且a1，(1)求an(2)設(shè)bn=log【答案】(1)a(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可得公比和首項(xiàng)，即可求解，（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可由等差數(shù)列的定義證明.【詳解】（1）由a1，a3的等差中項(xiàng)等于54所以52a1解得q=12或由a4=a所以an（2）因?yàn)閎n所以b1=3，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為3，公差為?1滿分秘籍證明等差數(shù)列的常用方法：(1)定義法：證明對任意正整數(shù)證明等差數(shù)列的常用方法：(1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2；(3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常數(shù))；(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù)).等比數(shù)列的四種常用判定方法（1）定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列；（2）中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列；（3）通項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列；（4）前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列。變式訓(xùn)練【變式2-1】已知正項(xiàng)等比數(shù)列an和數(shù)列bn，滿足log2an是b(1)證明：數(shù)列bn【答案】(1)證明見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義法判斷即可.【詳解】（1）由題知，an設(shè)其公比為q,q>0，由b1可得：當(dāng)n≥2時，b1兩式相減得，bn故數(shù)列bn【變式2-2】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an與?4n(1)證明：數(shù)列an【答案】(1)證明見解析【分析】(1)利用an與Sn關(guān)系，得到an與∴2S當(dāng)n=1時，a當(dāng)n≥2時，2∴2S2an=3an∵a∴所以，數(shù)列an【變式2-3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，(1)設(shè)bn=a【答案】(1)證明見解析【分析】(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的應(yīng)用可得Sn+1=3+4an，利用【詳解】（1）由題設(shè)得Sn+1=3+4an①在①中令n=1得，S2由②-①，得an+2又bn≠0，所以∴數(shù)列bn【變式2-4】已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1，a2=2，且對任意的正整數(shù)n，1+(1)證明：an+12?【答案】(1)證明見解析；an【分析】（1）證明an+12?an（1）證明：由題知an+22+an2=2(1+an+12)，得(an+22?an+12)?(an+12?【變式2-5】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)證明：an(2)求數(shù)列an+1an【答案】(1)證明見解析(2)n+2【分析】（1）根據(jù)Sn與an的關(guān)系化簡，可得（2）由（1）求出an【詳解】（1）由12Sn所以12即12an+1上式兩邊同時除以2n，得a又12Sn=a所以an（2）由（1）知，an所以an所以a2【變式2-6】已知an數(shù)列滿足a1=3(1)證明：數(shù)列an【答案】(1)證明見解析【分析】（1）等式兩邊同時除以3n+2，得到a【詳解】（1）依題，在3an+1?9得an+13n+1故數(shù)列an考法三：累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題分析【例3】數(shù)列{?an}滿足an+2【答案】a【分析】構(gòu)造法求證{a【詳解】因?yàn)閍n+2?4a又a1=8?,?a由等比數(shù)列定義知，數(shù)列an+1?a所以an+1累加法可得：an所以an=11?3故an滿分秘籍當(dāng)出現(xiàn)當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，一般用累加法求通項(xiàng)．

變式訓(xùn)練【變式3-1】已知數(shù)列{an}滿足a【答案】a【分析】先將條件變形為an+13n+1【詳解】an+1=3aan+13n+1a==2=2則數(shù)列{an}【變式3-2】已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1，a(1)若數(shù)列an+1?an為等差數(shù)列，求數(shù)列an(2)若數(shù)列an+1?2an為等比數(shù)列，且數(shù)列【答案】(1)S(2)a【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義結(jié)合條件數(shù)列an+1?an為等差數(shù)列，證明an+2（2）設(shè)數(shù)列an+1?2an的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列定義結(jié)合條件求a2,q，化簡可得【詳解】（1）因?yàn)閍n+2+a兩式相減，可得a又∵an+1?an則a2又∵an+1>an，∴a所以an+2+an=2所以Sn（2）設(shè)an+1?2a因?yàn)閍n+2+所以q?12an+1?2因?yàn)閍n不是等比數(shù)列，所以anan+1不是常數(shù)，所以又a2?2a1=由累加法可知，an2n=a經(jīng)檢驗(yàn)，a121所以an【變式3-3】數(shù)列an中，an+1=2n+1【答案】a【分析】將an+1=2n+1?an2n+1【詳解】由題意得1an+1=2n+1設(shè)bn=1an，∴bn+1=bbn?1?bn?2=12n?1∴bn而b1=1a∴an=2故an的通項(xiàng)為a考法四：累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題分析【例4】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1(1)求an(2)求Sn【答案】(1)a(2)S【分析】（1）推導(dǎo)出Sn=n2n?1×an（2）分奇數(shù)偶數(shù)兩種情況討論，利用并項(xiàng)求和能求出Sn【詳解】（1）由題意可知nanSn則Sn+1由②?①可得an+1整理可得an+1因?yàn)閍1=1，所以由累乘法可得因?yàn)?102×0+1=

滿分秘籍當(dāng)出現(xiàn)當(dāng)出現(xiàn)eq\f(an,an－1)＝f(n)時，一般用累乘法求通項(xiàng)．變式訓(xùn)練【變式4-1】已知數(shù)列an，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足a(1)求an【答案】(1)a【分析】（1）當(dāng)n≥2時，由3Sn=n+2an可得出【詳解】（1）解：對任意的3S當(dāng)n≥2時，3Sn?1=整理得an當(dāng)n≥2時，ana1=1也滿足an【變式4-2】在數(shù)列an中，a1=1,【答案】a【分析】根據(jù)給定條件，利用累乘法列式求解即可.【詳解】在數(shù)列an中，a則當(dāng)n≥2時，a=1×=32n+12n?1所以an【變式4-3】已知數(shù)列an中，a(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）由an+1=a【詳解】（1）因?yàn)閍1=1，所以an+1所以an=當(dāng)n=1時，a1所以an考法五：已知Sn求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題分析【例5】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an【答案】(1)an【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合“n≥2,a【詳解】（1）在數(shù)列an中，Sn=2an?2，當(dāng)即an=2an?1，而所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，a所以an的通項(xiàng)公式是a滿分秘籍通過S通過Sn求an.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn.

則當(dāng)n=1時a1=S1

n≥2時an=Sn-S(n-1)變式訓(xùn)練【變式5-1】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)求數(shù)列an【答案】(1)an【分析】（1）利用給定條件，結(jié)合“an【詳解】（1）在數(shù)列an中，Sn=2an?1，當(dāng)當(dāng)n≥2時，an=S因此數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則a所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a【變式5-2】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）根據(jù)an=S【詳解】（1）當(dāng)n=1時，a12+2當(dāng)n≥2時，an?1則an化簡得an又an>0，所以an所以數(shù)列an所以an【變式5-3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(1)求數(shù)列{a(2)證明：對任意n>1，都有m∈N?，使得【答案】(1)a(2)證明見解析【分析】（1）由Sn與an的關(guān)系求得（2）對任意n>1，根據(jù)a1,a【詳解】（1）∵S∴當(dāng)n≥2時a又n=1時，a∴an（2）要使得a1,an,對任意n>1，m?n=3n2∴對任意n>1，都有m∈N?，使得【變式5-4】已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）利用an與S【詳解】（1）當(dāng)n=1時，a1∴a2當(dāng)n≥2時，an∴an+1∴a2,a∴an考法六：構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題分析【例6】已知：a1=1，n≥2時，an【答案】a【分析】構(gòu)造等比數(shù)列an【詳解】設(shè)an+An+B=1∴?12A=2,又a1?4+6=3，∴an∴an?4n+6=312n?1滿分秘籍構(gòu)造法的常見類型一般有：①構(gòu)造法的常見類型一般有：①an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)，②an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)；③an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)．構(gòu)造法的構(gòu)造方法：①形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的遞推式可用構(gòu)造法求通項(xiàng)，構(gòu)造法的基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差數(shù)列或等比數(shù)列．②遞推公式an＋1＝αan＋β的推廣式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，兩邊同時除以γn＋1后得到eq\f(an＋1,γn＋1)＝eq\f(α,γ)·eq\f(an,γn)＋eq\f(β,γ)，轉(zhuǎn)化為bn＋1＝kbn＋eq\f(β,γ)(k≠0,1)的形式，通過構(gòu)造公比是k的等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn－\f(β,γ(1－k))))求解．變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練6-1】已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=c?1【答案】b【分析】記f(x)=5x?22x，令f(x)=x，求出不動點(diǎn)x1=12,【詳解】依題an+1記f(x)=5x?22x，令f(x)=x，求出不動點(diǎn)由定理2知：an+1an+1兩式相除得到an+1∴an?2an?∴an從而bn【變式訓(xùn)練6-2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)若λ=3，求an【答案】(1)a【分析】（1）根據(jù)遞推公式，利用構(gòu)造法可得an【詳解】（1）當(dāng)λ=3時，an+1=3又a1+2=3≠0，所以所以an+2=3?3【變式訓(xùn)練6-3】已知數(shù)列an滿足a1=3，a2【答案】an=14．3n+1+3【分析】法1：構(gòu)造an+1+an為等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)，再分奇偶討論，利用累加法求解即可；法2：利用二階特征根方程求解得到an=α?3n+β?【詳解】法1：已知an+2=2a則an+1+a故an+1+a②?①得，a當(dāng)n為奇數(shù)時，an?an?2=2×3n?1，a累加可得，an所以an當(dāng)n為偶數(shù)時，an綜上，an法2：由特征根方程x2=2x+3得，x1所以an=α?3n+β??1nan真題專練1記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知Sn(1)求證an【答案】(1)證明見解析【分析】（1）利用等差中項(xiàng)性質(zhì)化簡，再利用an與Sn的關(guān)系求出【詳解】（1）因?yàn)镾n,2n的等差中項(xiàng)為an因?yàn)閚=1時，S1=a1，則由Sn+2n=2a又an+1=Sn+1?所以有an+1+2=2a所以an+2是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為2．記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求數(shù)列{an【答案】(1)a【分析】（1）由Sn?Sn?1=【詳解】（1）由a1由Sn=a則n≥2時Sn?1兩式相減可得Sn化為nan?所以an?a所以an3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足2Sn=an+1(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）由an與Sn的關(guān)系式即可證得數(shù)列an【詳解】（1）∵2Sn=當(dāng)n=1時，S1=a當(dāng)n≥2時，an即an∵an+an?1∴數(shù)列an∴an4．已知數(shù)列an和bn，a1=2，(1)求證數(shù)列1a【答案】(1)證明見解析【分析】（1）通過題中關(guān)系，可得1an+1?1=121a【詳解】（1）由a1=2，1bn?整理得1an+1?1=所以數(shù)列1an?1是以?5．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，且數(shù)列(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）由題意求出2Sn=3?13n?1an【詳解】（1）因?yàn)镾1所以由題意可得數(shù)列3?2Sn所以3?2Sn所以2S兩式作差得：2S化簡得：1?3?na所以an+1所以數(shù)列an是以a故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a6．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an【答案】(1)a【分析】（1）由an與S【詳解】（1）由已知2Sn當(dāng)n=1時，2S1=3a1當(dāng)n≥2時，2Sn?1①?②得2an=3所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，3所以an7．已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得an+an?1a【詳解】（1）an當(dāng)n≥2時，an?1an又an+a可得數(shù)列an當(dāng)n=1時，a1所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a8．在等比數(shù)列an中，a7=8(1)求an【答案】(1)a【分析】（1）設(shè)an的公比為q，由題意解出a【詳解】（1）設(shè)an的公比為q，由a7=8a4∵12a得24a1∴a9．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求證：數(shù)列an【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）利用an與Sn的關(guān)系變形給定的遞推公式，構(gòu)造常數(shù)列求出數(shù)列【詳解】（1）數(shù)列an中，3Sn=(n+2)a兩式相減得3an=(n+2)an于是an(n+1)n=an?1從而an=n(n+1)所以數(shù)列ann是以1為首項(xiàng)，10．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn(1)分別求出數(shù)列an【答案】(1)an=【分析】（1）當(dāng)n≥2時，根據(jù)Sn?Sn?1=an【詳解】（1）當(dāng)n=1時，S1=2a當(dāng)n≥2時，Sn?1=2a所以an=2an?2所以anan?1=2，所以{a所以an因?yàn)閿?shù)列bn所以bnn=1+(n?1)?2=2n?111．在等差數(shù)列{an}中，a2=4，其前n(1)求實(shí)數(shù)λ的值，并求數(shù)列{a【答案】(1)λ=1，a【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意的λ=1【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}因?yàn)閍2所以3+λ=4，所以λ=1.

…所以a1=S所以an12．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求an和S【答案】(1)an=2n?1【分析】（1）根據(jù)條件設(shè)出等差數(shù)列an【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d>0)因?yàn)閍2=3，所以a32=得d2解得d=2或d=?1（舍），所以a1所以anSn13．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）由an與S【詳解】（1）當(dāng)n=1時，a1=3當(dāng)n≥2時，Sn?S所以數(shù)列an所以an14．已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an【答案】(1)a【分析】（1）根據(jù)條件，利用Sn與a【詳解】（1）∵S兩式相減得：an+1由于an+1+a當(dāng)n=1時，S1+Sa2?a所以an是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，故a15．已知數(shù)列an的前