2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：第06講 數(shù)列中的恒成立和存在性問題（原卷）

第06講數(shù)列中的恒成立和存在性問題考法呈現(xiàn)考法一：數(shù)列中的恒成立問題滿分秘籍?dāng)?shù)列的“存在性和恒成立問題”的本質(zhì)是不等式的問題，是高考中的熱點(diǎn)問題。在出題上，經(jīng)常巧妙的植入數(shù)列的求和中。因此數(shù)列的恒成立問題可以采用不等式的方法來求解，比如可以進(jìn)行“參變分離”后等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解。例題分析【例1-1】恒成立與分組求和已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)n,S(1)證明：數(shù)列an(2)若bn=?1nan，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T【例1-2】恒成立與裂項(xiàng)相消求和已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足2Sn=an+1(1)求數(shù)列an(2)若對任意n∈N+，且當(dāng)n≥2時，總有14【例1-3】恒成立與錯位相減求和已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=Sn3n，bn的前n項(xiàng)和為T【例1-4】恒成立與數(shù)列的函數(shù)特性在①Sn=2bn?1，②?4bn=bn?1已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1=23，a3=a1a2，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=1，其前變式訓(xùn)練【變式1-1】在①2Sn=3a設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足________，(1)求數(shù)列an(2)若存在正整數(shù)n0，使得bn0≥b【變式1-2】在數(shù)列an中，a1=1,(1)證明數(shù)列bn(2)設(shè)cn=2bn2n+1，數(shù)列c(3)對?n∈N*，使得bn【變式1-3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=3，(1)求S2，S3及(2)設(shè)bn=an+1an?1an+1?1，數(shù)列bn【變式1-4】已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=(1)求an(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若5m?24<T【變式1-5】圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實(shí)數(shù)q,aa(1)設(shè)bn=a(2)設(shè)Sn=a1,1+a2,1考法二：數(shù)列中的存在性問題例題分析【例2】已知：正整數(shù)列an各項(xiàng)均不相同，n∈N*，數(shù)列(1)若T5=3，寫出一個滿足題意的正整數(shù)列(2)若a1=1,a(3)證明若?k∈N?，都有ak≤n，是否存在不同的正整數(shù)i，j，使得Ti滿分秘籍?dāng)?shù)列的“存在性和恒成立問題”的本質(zhì)是不等式的問題，是高考中的熱點(diǎn)問題。在出題上，經(jīng)常巧妙的植入數(shù)列的求和中。因此數(shù)列的恒成立問題可以采用不等式的方法來求解，比如可以進(jìn)行“參變分離”后等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解。變式訓(xùn)練【變式2-1】記Sn為正數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求a1(2)求最小的正整數(shù)m，使得存在數(shù)列an，S【變式2-2】已知數(shù)列an滿足a1=3(1)設(shè)bn=a(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，求使得不等式Sn【變式2-3】已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比數(shù)列；數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn+bn＝1．(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；(2)如果cn＝anbn，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，說明理由．【變式2-4】已知數(shù)列an滿足a1=12，2an（1）數(shù)列an，b（2）若cn=bn+1?bna真題專練1．在公差不為零的等差數(shù)列an中，a1=1，且a1,a3,a(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)cn=bn?an，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和2．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)數(shù)列bn滿足4bn+n?5an=0n∈N?，記b3．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時，(1)證明：數(shù)列1S(2)若a1=12，數(shù)列2nSn的前n4．在數(shù)列an中，a1=?(1)證明：數(shù)列an(2)記數(shù)列nan+2n的前n項(xiàng)和為Tn，若關(guān)于n的不等式5．已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)之和為Tn，若不等式(?1)nλ<2?(3)記bn=16．已知函數(shù)fx=ax+bx+2?2aa>0(1)a,b滿足的關(guān)系式；(2)若fx≥2lnx在(3)證明：k=12n7．已知數(shù)列an中，(1)證明：數(shù)列ann是等差數(shù)列，并求數(shù)列(2)設(shè)bn=2n+1anan+1，數(shù)列bn的前8．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)記bn=an+1an?1?an+1?1，數(shù)列b9．已知數(shù)列an是首項(xiàng)a1=14，公比q=14(1)證明：數(shù)列bn(2)若cn≤14m10．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且2bn=n?2a11．若無窮數(shù)列{an}滿足如下兩個條件，則稱{a①an>0（②對任意的正數(shù)δ，都存在正整數(shù)N，使得n>N，都有an(1)若an=2n+1，bn=2+cos(n)（(2)若an=2n+1，是否存在正整數(shù)k，使得對于一切n≥k，都有a1(3)若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的無界數(shù)列，求證：存在正整數(shù)m，使得a12．已知數(shù)列an和bn滿足a1=1，（1）求數(shù)列an和b（2）設(shè)數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足13．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足：a2+a3+a（1）求數(shù)列an（2）若bn=anlog1214．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，a2=2，公比為2的等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列{an}（Ⅱ）已知cn=an?12n+1Tn15．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S（1）求數(shù)列{a（2）記集合M={n|n(n+1)≥λan，n∈N?}（3）是否存在等差數(shù)列{bn}，使得a1b16．已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=?1，公差d>1．記an的前(1)若S4?2a(2)若對于每個n∈N?，存在實(shí)數(shù)cn，使a17．已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對任意n∈N?，點(diǎn)(1)求數(shù)列an(2)已知數(shù)列cn滿足cn=1an?1n18．在①a8=9，②S5=20，③a2+a9=13(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=1anan+1(3)若存在n∈N?，使得Tn注：如果選擇多組條