高中數(shù)學(xué)人教A必修第一冊同步練習(xí)：第四章測評

第四章測評

(時間:120分鐘滿分:150分)

一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分)

1.滿足“對定義域內(nèi)任意實數(shù)x,y,都有於少)=^)4)，)”的函數(shù)可以是()

A次x)=?

Byw=2'

C/(X)=10g2X

口定)=”

解析1/(盯)=log2xy=log2x+log2y"x)+/(>').

H]c

2.某中學(xué)的研究性學(xué)習(xí)小組為考察珠江口某小島的濕地開發(fā)情況,從某碼頭乘汽艇出發(fā)，沿直線方向

勻速開往該島，靠近島時，繞小島環(huán)行兩周后，把汽艇?？堪哆吷习犊疾欤缓笥殖似а卦骄€提速

返回.設(shè)f為出發(fā)后的某一時刻,s為汽艇與碼頭在時刻f時的距離，下列圖象中能大致表示s可⑺的函

數(shù)關(guān)系的為()

Si：

0\0

AB

畫由題中所述，只有C符合題意.

答案|c

3.若函數(shù))Rx)的定義域為(0,2),則函數(shù)y=/(3-3*)的定義域為()

A.(0,l)

B.(0,2)

C.(l,3)

D.(-6,2)

邈|由題意，需0<3-3'<2抑所以0cx<1.

量A

4.國家相繼出臺多項政策控制房地產(chǎn)行業(yè)，現(xiàn)在規(guī)定房地產(chǎn)行業(yè)收入稅如下:年收入在280萬元及以

下的稅率為p%;超過280萬元的部分按S+2)%征稅現(xiàn)有一家公司的實際繳稅比例為S+0.25)%,則該

公司的年收入是()

A.560萬元

B.420萬元

C.350萬元

D.320萬元

麗設(shè)該公司的年收入為“萬元，

則280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,

解得由翳=320.

SSD

5.已知於)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時於尸-e",若川n2)=8,則a=()

A.ln3

B.-ln3

C.3

D.-3

匾明rin2>0,且段)為奇函數(shù)，

.Wn2)=兵In2)=e-ul"2=ealnl=(eln5)a=(1)fl=8..,.a=-3.

奉D

6.(2020北京101中學(xué)高三開學(xué)考試)所謂聲強，是指聲音在傳播途徑上每1平方米面積上的聲能流密

度，用/表示，人類能聽到的聲強范圍很廣,其中能聽見的1000Hz聲音的聲強(約103w/m2)為標(biāo)準(zhǔn)

聲強，記作瓜聲強/與標(biāo)準(zhǔn)聲強4)之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作小,即A=lg；,聲強級L的單

位名稱為貝(爾)，符號為B,取貝你)的十分之一作為響度的常用單位,稱為分貝你).簡稱分貝(dB).《三

國演義》中有張飛喝斷當(dāng)陽橋的故事，設(shè)張飛大喝一聲的響度為140dB.一個士兵大喝一聲的響度為

90dB,如果一群士兵同時大喝一聲相當(dāng)于張飛大喝一聲的響度，那么這群士兵的人數(shù)為()

A.1萬B.2萬

C.5萬D.10萬

廨麗設(shè)張飛的聲強為一個士兵的聲強為心,根據(jù)題意可知：

140=101g-^-,90=101g-^-,

10-1210-12

所以/|=102,/2=10°,所以3=1。5,

所以這群士兵的人數(shù)為10萬.

§1]D

7.(2019浙江卷)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=，j=loga(t+p(4>0人存1)的圖象可能是()

廨稠當(dāng)0<。<1時，函數(shù)尸^的圖象過定點(0,1)且單調(diào)遞減,則函數(shù)產(chǎn)，;的圖象過定點(0,1)且單調(diào)遞

增，函數(shù)y=log〃(x+，的圖象過定點且單調(diào)遞減,D選項符合;當(dāng)a>l時，函數(shù)y="的圖象過定點

(0,1)且單調(diào)遞增,則函數(shù)y=2的圖象過定點(0,1)且單調(diào)遞減，函數(shù)y=logjx+?的圖象過定點0,0)

且單調(diào)遞增，各選項均不符合.故選D.

gg]D

8.(2020北京北師大實臉中學(xué)高三月考)若設(shè)函數(shù)/(x)=/+x-4的零點為皿g(x)=logd+x-4的零點

為”，則5+；的取值范圍是()

A.(如8)

B」l,+8)

C.(4,+oo)

D.(|,+8)

|解析|函數(shù)段)="+九-4的零點是函數(shù)y=ax與函數(shù)y=4-x圖象交點A的橫坐標(biāo)，函數(shù)^(x)=log^x+x-4的

零點是函數(shù)y=k>g〃與函數(shù)y=4-x圖象交點B的橫坐標(biāo)，由于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖

象關(guān)于直線y=x對稱，直線y-^-x與直線y-x垂直,故直線y=4-x與直線y-x的交點(2,2)即是A,B的

中點，由此可知〃任〃=4,則工4--=：(〃?+〃)(工+!)=i(2+—+二)21,

mn4mn4nm

當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=2時等號成立.

故，+1,所求的取值范圍是[l,+oo).

ggB

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

9.(2020山東煙臺高一期末)若〃乂>0,0<c<l,則()

A.log/vlogc，

B.ca>cb

C.d>bc

D.log((a+力)>0

解析A項，因為0<c<l,所以y=loge為單調(diào)遞減函數(shù)，由力>0得logravlogg,

故A正確；

B項，因為0<c〈l,所以y=c"為單調(diào)遞減函數(shù)，由得故B錯誤；

C項，因為>0,0<c<l,所以所以優(yōu)>以故C正確；

D項，取c=2，〃+b=2,貝"logc(〃+b)=logi2=-l<0,故D錯誤.

22

^IAC

10.某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用分為制版費和印刷費兩部分，先收

取固定的制版費，再按印刷數(shù)量收取印刷費，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費，甲廠的總費用為(單位:

千元），乙廠的總費用”（單位:千元）與印制證書數(shù)量M單位:千個）的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲、乙所

示，則（）

A.甲廠的費用乃與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為乃=0.5x+l

B.當(dāng)印制證書數(shù)量不超過2千個時，乙廠的印刷費平均每個為1.5元

C.當(dāng)印制證書數(shù)量超過2千個時，乙廠的總費用），2與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為竺=%+|

D.若該單位需印制證書數(shù)量為8千個，則該單位選擇甲廠更節(jié)省費用

|解析|甲廠的費用與證書數(shù)量x滿足的函數(shù)關(guān)系為yi=0.5x+l,故A正確；

當(dāng)印制證書數(shù)量不超過2千個時，乙廠的印刷費平均每個為3+2=1.5元，故B正確；

易知當(dāng)X>2時,），2與X之間的函數(shù)關(guān)系式為V2=；x+g,故C正確;

1rQ

當(dāng)x=8時j]=0.5x8+l=5,），2=戶8+3=J,因為乃>”,所以當(dāng)印制8千個證書時，選擇乙廠更節(jié)省費

4ZZ

用，故D不正確.

答案|ABC

11.己知實數(shù)“為滿足等式G）a=則下列五個關(guān)系式中可能成立的是（）

A.a>b>0

B.a<h<0

C.0<a<b

D.a=h

解機在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=6y和y=（｛T的圖象,借助圖象分析a,b滿足等式=GY時的

a,b大小關(guān)系，如圖所示：

若4力均為正數(shù)，則若a,b均為負(fù)數(shù)，則4<*0;若a=b=O,則=Q）"=l.

答案ABD

12.（2020福建廈門雙十中學(xué)高一月考）已知函數(shù)y（x）=2'+log2X,且實數(shù)a>6>c>0,滿足共〃求6求。）<0,若

實數(shù)均是函數(shù)y=/（x）的一個零點，那么下列不等式中可能成立的是（）

A.x0<?

B.x（）>a

C.xo<b

D.xo<c

I解機由函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)/（X）=2'+log2X在（0,+00）為增函數(shù)，

由（位/（c）<0,則flfl）式b）爪c）為負(fù)數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)，

對于選項A,B,C,選項可能成立；

對于選項D,當(dāng)x（）<c時，函數(shù)的單調(diào)性可得尬）>0的）>01Ac）>0,

即不滿足火4成/?求。）<0,故D選項不可能成立.

答案|ABC

三、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分）

13.（2020廣東揭陽高一期末）1259+Q）-2-4（3-TT）4+.

H1255+（1）-2-1（3-71）4+

2

=53x3+2（l）x（-2）-|3-7t|+（-3）

=25+4-7t+3-3=29-7t.

答案|29-兀

14.（2020北京朝陽高考模擬）能說明“函數(shù)共用的圖象在區(qū)間［0,2］上是一條連續(xù)不斷的曲線.若

曲）負(fù)2）>0,則於）在。2）內(nèi)無零點”為假命題的一個函數(shù)是.

|解析|考查函數(shù)y=Ol/,繪制函數(shù)圖象如圖所示，

\y

2-

—尸

-10123X

-1-

該函數(shù)段）的圖象在區(qū)間［0,2］上是一條連續(xù)不斷的曲線次0>,?2）>0,但是函數(shù)危）在（0,2）內(nèi)存在

零點x=l,故該函數(shù)使得原命題為假命題.

置期,=（小1尸（開放題，答案不唯一）

15.（2020浙江9+1高中聯(lián)盟高一聯(lián)考）函數(shù)火x）=l+log“（x+2）（a>0,且存1）圖象恒過定點A,則點A的

坐標(biāo)為;若./（-|）,,則實數(shù)a的取值范圍是.

鹿畫：'函數(shù)_/（x）=l+log“（x+2）（a>0,且存1）圖象恒過定點A,

令元+2=1,得x=-l入1）=1,可得圖象經(jīng)過定點（-1,1）.

當(dāng)0<〃<1時，函數(shù)./U）為減函數(shù)，

若則1+1叫（-|+2）<|,

即log；<即VH<得Ov〃v"

當(dāng)a>\時，函數(shù)y（x）為增函數(shù)，

若則1+10&,（-|+2）<|,

即10g“；<即依>；，得又4>1,

?:〃>1.

綜上，實數(shù)。的取值范圍為（o,yu（i,+oo）.

(0,，U(l,+8)

答案（[1）

16.已知函數(shù)y（x）=淇中心o.關(guān)于X的函數(shù)廠用⑼有兩個不同零點，則實數(shù)大的取值范

圍是.

|解析|令人x）=f,則y=〃），

當(dāng)％W[0,1）時，函數(shù)於）的圖象如下圖所示.

由附）=0=/=1,故函數(shù)Hx）與函數(shù)y=f=l有兩個交點，所以kC[0,l）滿足題意.

當(dāng)上w[l,+oo）時，函數(shù)人行的圖象如下圖所示.

由<。=0=1=1,則函數(shù)於）與函數(shù)y=t=l只有一個交點，所以攵W[1,+8）不滿足題意.

即4的取值范圍是[0,1）.

gg[0,l）

四'解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）已知於）=3*-1.

⑴若xG[0,1],求於）的值域;

(2)若yd，求/U）的定義域.

g(l):"WxWl,且於)在［0,1］上單調(diào)遞增,

.：3°W3W3L

.：OW3*-1W2.

即兀0的值域為［0,2］.

(2):?-|WyW2..：-|W3'-lW2,

.［W3XW3,解得-IWxWl.

即Xx)的定義域為［-1,1］.

18.(12分)畫出函數(shù)4x)=|k)g3x|的圖象并求出其值域、單調(diào)區(qū)間以及在區(qū)間優(yōu),6］上的最大值.

網(wǎng)因為加)=|向|=圖：0：)<］,

所以在區(qū)間［1,+8)上?r)的圖象與)，=logM的圖象相同,在區(qū)間(0,1)上的圖象與y=logjx的圖象關(guān)

于x軸對稱，據(jù)此可畫出其圖象，如圖所示.

由圖象可知，函數(shù)J(x)的值域為［0,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).

當(dāng)x嗤,6］時於)在區(qū)間［Q］上是單調(diào)遞減的,在區(qū)間(1,6］上是單調(diào)遞增的.

又尼)=2<6)=log36<2,

故於)在仁,6］上的最大值為2.

墳0分汜知於)$普￡其中4>0,存1.

⑴若於)在(-8,+(?)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a,b的取值范圍；

(2)當(dāng)a=2時，函數(shù);U)在(@,+8)上只有一個零點,求實數(shù)b的取值范圍.

網(wǎng)⑴由題意知段)在區(qū)間(-oo,0)上單調(diào)遞增，

：7(X)在(-8,+00)上是單調(diào)遞增的，

.:當(dāng)X2。時4尤)也單調(diào)遞增，

.">1,且火0)=1+62-1,得62-2.

綜上,a力的取值范圍分別是a>1力》-2.

(2)：x<0B+,/(x)<-l,

.次?在區(qū)間(-co,o)上無零點，

.：x20時次的=2'+》只有一個零點，

:m)在區(qū)間［0,+oo)上單調(diào)遞增，且於)目1+4+8),

.：/(O)=l+bWO,

.：實數(shù)b的取值范圍是bG(a,-l].

20.(12分)已知函數(shù)y(x)=log“(l+x)-log"(l-x)淇中a>0且i#l.

(1)求函數(shù)式x)的定義域；

(2)判斷犬x)的奇偶性,并說明理由；

⑶若底)=2,求使段)>0成立的x的集合.

網(wǎng)⑴要使函數(shù)有意義，則0'解得即函數(shù)於)的定義域為(-1,1).

(2)/(x)是奇函數(shù).理由如下：

?7(-x)=loga(-x+l)-log?(l+x)=-[loga(x+l)-loga(l-x)]=企),.：於)是奇函教.

⑶若41)=2,

.：log”(l+|)-log〃(l-|)=log“4=2,

解得4=2,

.：y(x)=log2(l+x)-log2(l-x).

若犬)X>0,則10g2(X+l)>10g2(l-X),

%4-1>1-x,

x+1>0,

(1-x>0,

解得0<x<l,

故所求x的集合為(0,1).

21.(12分)某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月

底測得風(fēng)眼蓮覆蓋面積為24n?,三月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為36m)鳳眼蓮覆蓋面積y(單位:nd與

月份M單位:月)的關(guān)系有兩個函數(shù)模型)=而">0,4>1)與)="%2+夕。>0)可供選擇.

⑴試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；

⑵求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份.(參考數(shù)據(jù):愴女0.3010,1g3ko.4771)

網(wǎng)(I)兩個函數(shù)y=hr"(攵>0,。>1),)，=〃k2+4(〃>0)在(0,+8)上都是增函數(shù),隨著x的增加，函數(shù)

y=此?攵>0,。>1)的值增加得越來越快，而函數(shù)y=px2+q(p>0)的值增加的越來越慢.

由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，

所以函數(shù)模型y=kci\k>0,a>1)適合要求.

由題意可知/=2時,y=24;x=3時,y=36,

,32

霽黑解得fc=T>

所以

3

a=2,

所以該函數(shù)模型的解析式是），號

EN).

(2)x=0時,y=:：必x色）。=%

323，

所以元旦放入鳳眼蓮