3.3.2-簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題2

2012年09月6日3.3.2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題(2)1設(shè)z=2x+y,求滿足時(shí),求z的最大值和最小值.線性目標(biāo)函數(shù)線性約束條件線性規(guī)劃問(wèn)題任何一個(gè)滿足不等式組的（x,y）可行解可行域所有的最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義——在y軸上的截距或其相反數(shù)。23解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟：

2.畫(huà)：畫(huà)出線性約束條件所表示的可行域；

3.移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；

4.求：通過(guò)解方程組求出最優(yōu)解；

5.答：作出答案。

1.找:找出線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)；

3可行域?yàn)閳D中陰影部分,由圖可知s=x+y在點(diǎn)(4，5)處取得最大值，最大值為s=4+5=9.(2009·北京卷)若實(shí)數(shù)x,y滿足x+y-2≥0x≤4y≤5,則s=x+y的最大值為

.294

x≥1

x-y+1≤02x-y-2≤0，則x2+y2的最小值是

.3.已知實(shí)數(shù)x、y滿足5

x-y+1=0

x=1，得最優(yōu)解為A(1,2)，所以x2+y2的最小值為5.作出可行域，由一、求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值5678

x-y-2≤0

x+2y-4≥02y-3≤0,則的最大值是.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分.五、比值問(wèn)題9設(shè)=t，則y=tx,求的最大值，即求y=tx的斜率的最大值.顯然y=tx過(guò)A點(diǎn)時(shí)，t最大.x+2y-4=02y-3=0代入y=tx,得t=.所以的最大值為.由，解得A(1,).10考點(diǎn)常見(jiàn)的幾何問(wèn)題的線性規(guī)劃.方法點(diǎn)撥:目標(biāo)函數(shù)建立后,要聯(lián)系相關(guān)幾何意義.如斜率、截距、距離等.自學(xué)范例2設(shè)x、y滿足11分析:先畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解.解析:如圖直線x-y+2=0，x+y-4=0，2x-y-5=0的交點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).(1)設(shè)z=x+2y-4，則作斜率為的平行直線l.當(dāng)l過(guò)C(7，9)時(shí)，截距最大，這時(shí)z也最大.即z的最大值是7+2×9-4=21.12(2)x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2是表示區(qū)域上的點(diǎn)(x，y)與(0，5)的距離的平方.∵(0，5)到直線x-y+2=0的距離是d=∴x2+y2-10y+25的最小值是13歸納小結(jié)1.在線性約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，是一種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，它將目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線在y軸上的截距的最值問(wèn)題來(lái)解決.2.對(duì)于直線l：z＝Ax＋By，若B＞0，則當(dāng)直線l在y軸上的截距最大(小)時(shí)，z取最大(小)值；若B＜0，則當(dāng)直線l在y軸上的截距最大(小)時(shí)，z取最小(大)值.14方法點(diǎn)撥：目標(biāo)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)或是整點(diǎn)最值問(wèn)題.以實(shí)際意義來(lái)看，一類是資源分配能使完成任務(wù)量最大；另一類是統(tǒng)籌安排任務(wù)，使耗費(fèi)的人力、物力資源最少.考點(diǎn)線性規(guī)劃解決應(yīng)用問(wèn)題3自學(xué)范例3某公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元.甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元，問(wèn)該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？15分析:假設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，則可列出x，y所滿足的不等式組及目標(biāo)函數(shù).解析:設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如上圖.???íì33￡+￡++=???íì33￡+￡+0，0，90025，300.20003000.0，0，90000200500，300yxyxyxyxzyxyxyx于二元一次不等式組等價(jià)目標(biāo)函數(shù)為16

作直線l:3000x+2000y=0.即3x+2y=0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過(guò)M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.聯(lián)立解得x=100，y=200.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100，200).∴zmax=3000x+2000y=700000(元).答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告.公司的收益最大，最大值為70萬(wàn)元.【點(diǎn)評(píng)】畫(huà)出可行域后，再把目標(biāo)函數(shù)平行移動(dòng)，比較截距的大小，要注意目標(biāo)函數(shù)的意義.注意單位的換算！17練習(xí)制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的利潤(rùn)，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損，某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元，問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？18設(shè)投資人分別用x萬(wàn)元、y萬(wàn)元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，則目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y.

x+y≤100.3x+0.1y≤1.8

x≥0,y≥0,19作可行域,當(dāng)直線l:x+0.5y=z過(guò)點(diǎn)M時(shí),z取最大值.

x+y=10x=43x+y=18，y=6，所以點(diǎn)M(4,6).故當(dāng)x=4，y=6時(shí)，zmax=7.答：投資甲項(xiàng)目4萬(wàn)元，投資乙項(xiàng)目6萬(wàn)元時(shí)，可能的盈利最大.由得20這是在高考中第一次以解答題的形式考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題.本題是一道應(yīng)用題，以投資決策為背景，以線性規(guī)劃為素材，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和能力，不落俗套，令人耳目一新.2119.（本小題滿分12分2010年廣東高考）某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？解：設(shè)該兒童分別預(yù)訂x,y個(gè)單位的午餐和晚餐，共花費(fèi)z元即

22作出可行域如圖所示：

經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，花費(fèi)最少，為（元）答：應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)定4個(gè)單位的午餐和4個(gè)單位晚餐23考點(diǎn)綜合新題4自學(xué)范例4

(1)設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取取值范圍是(

)

A.[1，3]

B.[2,

]

C.[2，9]

D.[，9]24分析:結(jié)合圖形求解.解析:(1)過(guò)點(diǎn)(1,9)(3,8)求得2≤a≤925【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形.26設(shè)集合A={(x,y