第二章 數(shù)列教學(xué)課件

第二章數(shù)列

-數(shù)列的概念及簡單表示

1、數(shù)列的概念：

數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.

注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的。⑵同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).

數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項.

2、數(shù)列的一般形式：6,外,%,…,％，…，或簡記為｛%｝，其中%是數(shù)列的第n項。

3、數(shù)列的分類：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.

無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.

4、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：

數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）為定義域的函數(shù)%=/（〃），當自

變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。

5、數(shù)列的單調(diào)性；

遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列.

遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列.

常數(shù)列：各項相等的數(shù)列.

擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列.

6、數(shù)列的表示方法：

（1）表格法：,或簡記為｛?！埃?其中a“是數(shù)列的第n項。

（2）圖像法：函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.

具體方法是：以項數(shù)〃為橫坐標，相應(yīng)的項即為縱坐標，即以（冬％）為坐標在平面直角坐標系

中做出點。因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在丁軸的右側(cè)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的

點，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù).

（3）解析法：

①數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列｛a,,｝的第"項與序號〃之間的關(guān)系的公式.

如：項1_L1

2345

11111

序號12345

這個數(shù)的第一項與這一項的序號可用一個公式：4=L來表示。

n

②數(shù)列的遞推公式：表示任一項與它的前一項a.」（或前幾項）間的關(guān)系的公式.

如：下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3,5,8,13,21,34,55,89

遞推公式為:=3,a2=5,an=an_x+??_2(3<n<8)

數(shù)列的概念及表示練習(xí)題

1、下列說法中，正確的是（)

A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}

B.數(shù)列1,0,-1,一2與數(shù)列—2,-1,0,1是相同的數(shù)列

〃+1的第項為+工

C.數(shù)列41

nk

D.數(shù)列0,2,4,6,8,…可記為｛2｝

2、己知數(shù)歹,那么（)

A.0是數(shù)列中的一項B.21是數(shù)列中的一項

C.702是數(shù)列中的一項D.以上答案都不對

3、數(shù)列11,13,15,…，2〃+1的項數(shù)是(）

A.nB.n—3C.〃一4D.n—5

n

4、右4=-則與的大小關(guān)系是（)

川十2

不能確定

A-a?>an+iB?an<an+iC-D.

。,用=」G一對所有的正整數(shù)〃都成立，且為=1,，則為

5、在數(shù)列｛4｝中,)

n+l2+a“72

A.0B.1C.-1D.2

6、一個數(shù)列｛。”｝,其中q=3,4=6,4+2=那么這個數(shù)列的第5項是（）

A.6B.-3C.-12D.-6

7、

上述關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個數(shù)列，該數(shù)列的一個通項公式是（）

n(n-l)

A.a=n2-n+1B?

tl2

〃(及+1)〃("+2)

C.aD.a

n2n2

8、下面對數(shù)列的理解有四種:

①數(shù)列可以看成一個定義在N*上的函數(shù)；②數(shù)列的項數(shù)是無限的;

③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點；④數(shù)列的通項公式是唯一的.

其中說法正確的序號是（）

A.①②③B.②③④C.①③D.①②③④

9、數(shù)列｛q｝中，4=〃2-7〃+6,那么150是其第項.

10、已知q=1,an=1+—!—則％=.

Un-\

（、!（〃為正奇數(shù)）

11、已知數(shù)列｛4｝的通項公式為=（〃'）,它的前8項依次為_________

為正偶數(shù)）

12、根據(jù)下面數(shù)列的前兒項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式:

246810

(1)3,5,7,9,11,⑵針石‘或后

⑶0,1,0,1,0,1,(4)2,-6,12,-20,30,-42,

2n1+(-1)"

解：(1)%=2n+l；(2)an=----------------；(3)an-

"(2〃一1)(2〃+1)2

(4)將數(shù)列變形為1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,

1.a?=(-l)rt+1n(n+l)

13、數(shù)列｛〃“｝中，已知=（一1）"〃+。（（2為常數(shù)），且4+4=3。2，求4oo.

14、已知數(shù)列｛4｝的通項公式g=5+3〃，求：⑴%等于多少；（2）81是否為數(shù)列｛%｝中的項，若是，是

第幾項；若不是，說明理由.

-等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

1>定義：an+i-an-d（d為常數(shù)），a“=q+（〃-l）d

等差中項：x,A,y成等差數(shù)列02A=x+y

一（a,+a,,｝nn（n-\\

前〃項和：S“=L一'^-=na.+-^——

n212

2、等差數(shù)列的證明與判斷：

證明方法：①遞推關(guān)系（定義）：??+,-an=d”為常數(shù)，〃eN.）

②等差中項法：2a”=an_x+an+i（〃>i）

判斷方法：③通項公式=%+（“一Dd=+q（其中p,q為常數(shù)）

c〃（區(qū)+[“）n（n-V）2

④前n項和S“=-=an+--—d為常數(shù)）

1—x=An+Bn（A,B

3、性質(zhì)：｛4｝是等差數(shù)列

（1）任兩項關(guān)系：?,；=am+（n-ni）d（其中機。鹿）

（2）單調(diào)性：d>0,數(shù)列｛a"是遞增數(shù)列；（1<0,數(shù)列忸11｝是遞減數(shù)列；

d=0,數(shù)列｛a#是常數(shù)列。

（3）最值：｛可｝為等差數(shù)列=S,,=a〃2+0〃（。，人為常數(shù)，是關(guān)于〃的常數(shù)項為0的二次函數(shù)）。

S,,的最值可求二次函數(shù)S“=a〃2+b〃的最值或者求出｛4｝中的正、負分界項。

即：當q>0,d<0,解不等式組1〃可得S〃達到最大值時的〃值。

13。

an<0

當4<0,d>0,由"可得"達到最小值時的〃值。

（4）若機+”=p+鄉(xiāng)=2左，則am+an=ap+aq=2ak

岡數(shù)列｛%,1｝,｛。2"｝，｛。2”+1｝仍為等差數(shù)列，“S2n-S?,S3n-S2l,……仍為等差數(shù)列，公差為〃2]；

（6）若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為a—d,a,a+d.

(7)若可,a是等差數(shù)列，且前〃項和分別為S,,T?,則胃=20

(8)數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的關(guān)系：

①項數(shù)為偶數(shù)2〃的等差數(shù)列｛%｝有S偶一5奇=,上=&.

'S偶?,|+|

s2n=n[a｛+a2n)=n(a2+a2n_1)=■■■=n(an+a“+iXa”a“+i為中間兩項)。

②項數(shù)為奇數(shù)2/一1的等差數(shù)列｛4｝有S2“T=(2〃-1)凡3“為中間項)。

等差數(shù)列練習(xí)題

一、選擇題

1、在等差數(shù)列40,37,34,…中，第一個負數(shù)項是()

A第13項B第14項C第15項D第16項

2、一個凸五邊形的內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最小角是46°,則最大角是()

A108°B139°C144°D170°

3、給出下列等式：(l)an+,-an=p(p為常數(shù),nwN*)；(2)2a?+1=an+an+2(neN*)；

(3)%=如+仇&,6為常數(shù),〃eN*),則無窮數(shù)列｛”“｝為等差數(shù)列的充要條件是()

A(1)B(1)(3)C(1)(2)D(1)(2)(3)

4、等差數(shù)列｛4｝的首項為70,公差為一9,則這個數(shù)列中絕對值最小的一項是()

A%Ba9Cal0D

5、一個等差數(shù)列的第5項%=10,且0+42+%=3,則有()

A<2(=-2,d=3B=2,d=—3C=-3,d=2Da]=3,d=—2

6、等差數(shù)列｛4｝的前n項和為S〃，且S3=6,q=4,則公差d等于()

5

A.1B-C.-2D3

3

7、在等差數(shù)列｛風｝中，若4+4+%+4+%=450,則生+/的值等于()

A.45B.75C.180D.300

8、已知為等差數(shù)列，4+%+%=105,4+/+4=99,貝/20等于()

A.-1B.1C.3D.7

9、在等差數(shù)列｛4｝中，已知4+%=12,那么它的前8項和§8=()

A12B24C36D48

10、已知｛〃“｝是等差數(shù)列，4+%=4,%+4=28,則該數(shù)列前10項和品）等于（)

A.64B.100C.110D.120

H1

11、記等差數(shù)列｛?！ǎ那啊椇蜑镾“，右6=5,54=20,則臬=<)

A.16B.24C.36D.48

12、設(shè)等差數(shù)列｛?！ǎ那啊椇蜑?若§3=9,56=36,則a7+6+%=()

A.63B.45C.36D.27

13、在項數(shù)為2n+l的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項和是165,所有偶數(shù)項和是150,則n=()

A9B10C11D12

14、等整數(shù)列｛。〃｝前加項和為3,前2m項和為10,則它的前3根項和為（）

A.13B.17C.21D.26

二、填空題

I.在等差數(shù)列中已知ai=12,a6=27,貝ijd=

2.（。+刀2與他一與2的等差中項是-

3.已知數(shù)列｛?！埃秊榈炔顢?shù)列，且牝=4，?14—36.則。20=-

4.在等差數(shù)列｛%｝中，若小+。4+%0+=201。，則為+%+?=-

5.在等差數(shù)列｛%｝中，若$3=0,$6=-18,貝|J$9=.

6.若m—1,m,m2+1成等差數(shù)列，則m=.

7.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若，2=21,則4+4+4+?！?.

8,設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S,,,若%=5%則“■=

三、解答題

1、在等差數(shù)列｛。“｝中：⑴已知4=a,%。=120,求Si2o；⑵已知4=12,S”=187,求a”.

2、在等差數(shù)列｛%｝中，出=一15,公差d=3,求數(shù)列｛4｝的前〃項和S,,的最小值。

3、一等差數(shù)列前4項的和是24,前5項的和與前2項的和的差是27,求這個等差數(shù)列的通項公式。

4、己知｛%｝為等差數(shù)列，4=2,4=3,若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個

新的等差數(shù)列，求：

(1)原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第幾項？

(2)新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第幾項？

5、己知一個共有〃項的等差數(shù)列前4項和為26,末4項和為110,且所有項之和為187,求〃的值.

6、一個等差數(shù)列的前12項和為354,前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32:27,求公差

7、一個等差數(shù)列的前10項和為100,前100項和為10,求它的前110項和。

8、兩個等差數(shù)列，它們的前〃項和之比為止口，求這兩個數(shù)列的第九項的比。

2n-\

9、已知等差數(shù)列｛%｝中，=-16,儀4+。6=°，求｛*｝前n項和

2

10、在數(shù)列｛許｝中，an=n+kn,對于任意的正整數(shù)〃，都有。，用＞明恒成立，求實數(shù)％的取值范圍.

三等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

1、定義：^-=q（4為常數(shù)，4中0）,an=atq"~'

/

等比中項：x、G、y成等比數(shù)列nG?=孫，或G=±而

叫（g=l）

前n項和：S-<（1-q"）

-4——^（#i）

i-q

2、等比數(shù)列的證明：①遞推關(guān)系（定義）：all+i/an=q（q為常數(shù),〃GN*）

2

②等比中項法：an=?_]凡+]（〃>1,。,尸0）

注：（1）等比數(shù)列中a“70,g#0,且相間項符號相同；

（2）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列一定是非零常數(shù)列；前n項和S“=〃4。

3、性質(zhì)：｛q｝是等比數(shù)列

nm

（1）任兩項關(guān)系：an=am?q~（其中加?！ǎ?/p>

2

（2）若機+〃=〃+鄉(xiāng)=24,則=ap.ciq=ak

（3）Sn,S2?-Sn,Sin-S2?……仍為等比數(shù)列，公比為

等比數(shù)列測試題

一、選擇題：

1、ac=b”是a、/?、c,成等比數(shù)列的（）

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

917

2、在等比數(shù)列中，4=二,%=上應(yīng)=—,則項數(shù)n為（）

1833

A、3B、4C、5D、6

3、己知一等比數(shù)列的前三項依次為x,2x+2,3x+3,那么一13,是此數(shù)列的第（）項

2

A、2B、4C、6D、8

4、在等比數(shù)歹|J｛4｝中，4]=1,。[0=3，則4a5。6%。8。9=（）

A、81B、27^27C、V3D、243

5、在公比為整數(shù)的等比數(shù)列｛2｝中，如果囚+4=18.+%=12,那么該數(shù)列的前8項之和為（)

A、513B>512C>510D、---

8

6、已知等差數(shù)列｛斯｝的公差為2,若0,〃3,成等比數(shù)列，則。2等于（）

AN—4-6C、-8D^—10

7、設(shè)4,出，生，％成等比數(shù)列，其公比為2,則2%-+%一的值為（）

2%+。4

111

A、一B、一C、一D、1

428

8、等比數(shù)列｛。〃｝中，3+。3=6,。2。3=8,則9=（）

A^2B、一C、2或一D^一2或---

222

9、在等比數(shù)列｛??｝中，§4=1,§8=3,則。17+。18+〃19+。20的值是（）

A、14B、16C、18D、20

10>等比數(shù)列｛《7｝的各項均為正數(shù)，且。5。6+。4。7=18,則log3。］+log3〃2+.??+10g3〃10=（）

A、12B、10C、1+log35D>2+log35

二、填空題：

11、在等比數(shù)列｛%｝中，若%,%o是方程3，—2x—6=0的兩根，則4?%=。

12、已知在等比數(shù)列｛/｝中，各項均為正數(shù)，且4=1,/+%+。3=7,則數(shù)列｛%｝的通項公式是

an=-----------。

13、在正項等比數(shù)列｛%｝中，。回5+2。3。5+。3。7=25,則。3+。5=。

14、在等比數(shù)列｛?！ǎ?，已知％+生+。3=1，。4+。5+。6=-2,則該數(shù)列的前15項的和

S15=0

三、解答題：

15、已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列.

（1）若。5=4,%=6，求。［2；⑵若。4—4=24,。>+。3=6,=125,求〃。

16>在等比數(shù)列｛%｝的前n項和中，%最小，且為+%=66,〃2%一1=128，前n項和S〃=126,求n

和公比q。

17、等比數(shù)列｛凡｝的首項為q=2002,公比4=—；.

(1)設(shè)/(n)表示該數(shù)列的前“項的積，求/(〃)的表達式。

18、已知等比數(shù)列｛4｝中，。2=2,%=128.若勿=1。824,數(shù)列｛4｝前〃項的和為S..

(I)若S,=35,求〃的值；(II)求不等式S“<2〃的解集.

四求數(shù)列通項公式的常用方法

1、公式法(定義法)：根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項。

如果已知數(shù)列為等差(或等比)數(shù)列，可直接根據(jù)等差(或等比)數(shù)列的通項公式，求得q,d(或

q),從而直接寫出通項公式。

例1、等差數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，且。2々3?4=48，a2+a3+a4=U,求數(shù)列的通項公式。

3+d)?&?(&+d)=48

解析：設(shè)等差數(shù)列的公差位d,由已知3，3'3,

3%=12

解得］，又｛七｝是遞減數(shù)列，d=-2,4=8,

:.dn=8+(〃—1)(—2)=-2"+10,故選(D)。

2、累加法適用于：。〃+|=%+/(〃)

例1、若在數(shù)列｛。"｝中，q=3,?！?|=?！?〃，求通項明。

解析：由a“+I=an+n得all+1-an=n,所以

aa

n-?-\=n-\,an_x-an_2=n-2,…，a2-at=l,

將以上各式相加得：an—(i\=(?-1)+(/?-2)H---bl,又q=3

所以〃吐l)+3

2

例2、已知數(shù)列｛4｝滿足41M=4+2x3"+24=3,求數(shù)列｛%｝的通項公式。

解：由。用=%+2x3"+1得一/=2x3"+1則

%=(<2?-an_x)+(%_]-a?_2)H--F(%-。2)+(4-4)+4

=(2x3"-1+l)+(2x3n-2+l)+---+(2x32+l)+(2x3'+1)+3

=2(3，1+3"-2+...+32+3i)+(〃-1)+3

=2型也)+(-1)+3

1-3

=3"-3+〃-1+3

=3"+〃一1

所以a”=3"+〃—1.

3、累乘法適用于：?！?|=/(")%

r\

例1、已知數(shù)列｛〃/滿足卬=—，。〃+]=----4，求明。

3H+1

a?7

解：由條件知*L=，—，分別令〃=1,2,3,……代入上式得(”—1)個等式累乘之，即

a”?+1

a,a.aa123〃一1a1

4?...?—n—=—x—X—X....x----=>—n=—

qa2/afl_1234naxn

4、待定系數(shù)法：適用于。用=,4+75)

例1已知數(shù)列&｝中，G=1q=1,4=2a,1+1(〃>2),求數(shù)列｛%｝的通項公式。

解法一：an=2%+1(">2),

可設(shè)?！?Z=2(a〃_]+k)?！?女=2an_]+2k

??.an=2?！╛1+左，則&=1/.。〃+1=+1)

又％=1即｛%+1｝是以%+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列

n

:.an+l=2,即4=2"-1

解法二：；a“=2az+1(〃N2),：.4“+]=2q,+1

兩式相減得an+l-an=2&—a,-)(〃N2),故數(shù)列｛c.—%｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,

再用累加法的...

例2、設(shè)數(shù)列｛?！埃?=4,a“=3%_]+2〃-1,("22),求a“.

解：設(shè)a=a?+An+B,則%=2-A〃-8,將an,代入遞推式，得

b?-An-B=3瓦_]一A(n-l)-fi]+2n-l=3〃-一(3A-2)n-(38-3A+1)

A=3A-2(A-\

n-

6=38-3A+1〔3=1

二取2=可+〃+1…(1)則a=3〃T，又4=6,故a=6x3"i=2x3"代入(1)

得a“=2x3”-n-\

5、構(gòu)造法：

有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當?shù)淖冃?，?gòu)造出一個新的數(shù)列為等差或等比數(shù)

歹！I,從而利用這個數(shù)列求其通項公式。

例1、在數(shù)列｛。"｝中，,=1,w=2,an+2=-an+i+-an,求%。

211

解析：在4+2=§4川+§%兩邊減去%+i，得勺+2用=一§(4+1一凡)

/.｛an+]-an｝是以%—4=1為首項，以一;為公比的等比數(shù)列，

n

a?+l-a?=(-^)-',由累加法得

aaaa

n=(n~n-\)+—n-2)-----F(%一。］)+〃|

1-(_，嚴

=T產(chǎn)+(-\+..")+1+1=^^=/7尸］+1=汨7嚴

1H—

3

例2、已知數(shù)列｛見｝滿足。.=一一,%=1,求數(shù)列｛4｝的通項公式。

氏+2

.1。+211.111

解:由己知Z得H:=-----=—I，?----------=一

4+i2。〃2cina“+i冊2

_L1為等差數(shù)列，_L=i,公差為_L,.?.1-=1+(〃-1)」=，(〃+1),

anI42an22

2

?,冊=—―

72+1

6、公式法：遞推公式中既有S〃，又有％

分析：把已知關(guān)系通過4=｛1轉(zhuǎn)化為數(shù)列｛4｝或S,,的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求

￡-5“_”22

解。

例1、已知數(shù)列伍,｝的各項均為正數(shù)，且前n項和S“滿足S,,=工(%+1)(q+2),且％,%,%成等比

6

數(shù)列，求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式。

解：..?對任意〃eV有S“=2(a“+l)(%+2)(1)

6

/.當n=1時，S]=q='(q+1)(q+2),解得a}=1或4=2

6

當n22時，S?_1=^(?n-1+l)(<z?-1+2)(2)

O

(1).(2)整理得：(%+〃,-)(q-3)=0

???｛6｝各項均為正數(shù)，，4—%=3

當q=1時，?！?3〃—2,此時=a2ag成立

當4=2時，an-3n-\,此時〃：=a2a9不成立，故。1=2舍去

所以?！?3〃-2

7、對無窮遞推數(shù)列求差（商）法

11

例、數(shù)列｛風｝=2幾+5,求a

1，/+鏟++鏟no

1c，U

解：〃=1時，—6^1=2x1+5,/.4=14①

111

.N2時,/+鏟++2〃-1=2n-l+5②

14(n=l)

①一②得：-~_La-2,..a“=2"—.a〃=<

nn2"+,(n>2)

例2、已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足4=1,a=4+2%+3q-例之2),求a

n'nO

解：因為a“=q+2%+3%?1-----2)①

a

所以n+\=4+24+34+…+(〃-+nan②

用②式一①式得用一

則a,=(〃+1)%(〃22)。故-=〃+l(〃N2)

%

所以...--a-,=[n(n-l).......4x3]a,--a.,.③

a,i??,2?22

由=4+2〃2+3/+???+(〃-22),取〃=2得%=4+2%,則％=4，又知q

則生=1，代入③得4=L345…n=G。

所以，｛4｝的通項公式為a“=5.

[練習(xí)]數(shù)列｛4,｝滿足S,+S,T=g/H4=4,求

q

注意到%T=S“M-S”，代入得年=4又0=4,...｛SJ是等比數(shù)列，S“=4"

Sn.

〃》2時，an=Sn-S“_|=.......=3?4"一1

求數(shù)列通項公式練習(xí)題

1、在數(shù)列｛an｝中，a1=1,?！?]+2n-1,求。幾的表達式。

2、在數(shù)列｛〃〃｝中，a｝=1,(n+l)?an+i=n?an,求。〃的表達式。

2

3、已知數(shù)｛凡｝的遞推公式為。用+4,且6=1求通項

4、已知數(shù)列｛4｝中％=1且可+1=—%—(〃eN)求數(shù)列的通項公式。

氏+1

5、已知數(shù)列｛凡｝的前n項和S“=(”+1)2，其中｛4｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.

求數(shù)列｛%｝的通項公式.

6、若數(shù)列｛?｝滿足%=2,〃〃向一(〃+1)q=2,求數(shù)列｛%｝的通項公式。

7、數(shù)列｛4｝的前八項和為S”，4=1,6用=2S“(〃eN*).求數(shù)列｛《,｝的通項％。

8、設(shè)數(shù)列｛4｝滿足4+34+32%+?“+3”一%二§,〃eN*.求數(shù)列｛叫的通項公式。

9、已知數(shù)列｛a“｝的前n項和S.=3+2",求數(shù)列｛a,,｝的通項公式.

10、設(shè)數(shù)列｛?。那绊椀暮蚐,=g（斯-1）（〃wN*）.

（1）求小；④；（H）求證數(shù)列｛m｝為等比數(shù)列.

11、已知數(shù)列｛aj滿足a。？=2an+3?2\a,-2,求數(shù)列｛an｝的通項公式。

2

12、己知在正整數(shù)數(shù)列僅“｝中，前〃項和S“，滿足：Sn=-（??+2）,

8

（1）求證：｛〃〃｝是等差數(shù)列；

（2）若2=；%-30,求數(shù)列｛2｝的前〃項和的最小值.

五求數(shù)列前n項和的常用方法

1、公式法：

如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比

數(shù)列的前〃項和的公式來求.

①等差數(shù)列求和公式：Sn==naA+〃（”Dd

22

叫（4=1）

②等比數(shù)列求和公式:

紇%什1)

常見的數(shù)列的前n項和：1+2+3+....+n=Z；(-+1),

1+3+5+....+（2n-l）=〃2

F+22+32+……+M=〃（〃+l）（2〃+D,『+23+33+……+/=^1112

62

例1求—F+22—32+42—5?+62-----992+1002.

解：原式=(22-12)+(42-32)+6—52)+…+(10()2-992)=3+7+11+…+199.

由等差數(shù)列求和公式，得原式=50*(3+199)=5050.

2

2、倒序相加法：

類似于等差數(shù)列的前〃項和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個數(shù)列｛q｝,與首末兩項等距的兩項之和等于

首末兩項之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€和式相加，就得到一個常數(shù)列的和。這一種求和的

方法稱為倒序相加法.

例1設(shè)等差數(shù)列｛aj,公差為d,求證：｛aj的前n項和Sn=n(ai+an)/2

解：Sn—ai+82+33+...+an①

倒序得:Sn=an+an-i+an-2+.-.+ai②

①+②得：2Sn=(ai+an)+(a2+a?i)+(a3+an-2)+…+(an+ai)

又*/ai+an=a2+an.i=a3+an.2=...=an+ai

2Sn=n(a2+an)Sn=n(ai+an)/2

點撥：由推導(dǎo)過程可看出，倒序相加法得以應(yīng)用的原因是借助ai+an=a2+a?i=a3+an-2，..=an+ai即與首末

項等距的兩項之和等于首末兩項之和的這一等差數(shù)列的重要性質(zhì)來實現(xiàn)的。

I22232102

例2求？，++…+：’的和.

12+10222+9232+82102+12

I22232102

解：設(shè)5=―-——+——+——+...+—-1—

12+10222+9232+82102+12

1029282I2

則S=-------1-------1-------1---1-------.

102+1222+9232+82102+12

兩式相加，得25=1+升…++l.QS=.

小結(jié)：解題時，認真分析對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運用倒序相加法求和.

3、分組求和法：

有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)

列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

例4.求數(shù)列2工,4工61-,…,2〃+」，…的前〃項和S”.

48162,,+,"

解：S“=（2+4+6+…+2〃）+（*+[+攝+…+擊）=〃（〃+1）+；一擊

例5.求和：S“=（2—3x5-，+（4—3x5」）+（6—3x5-3）+…+（2〃—3x5-'）

解:S?=（2-3x5-1）+（4-3x5-2）+（6-3x5-3）+-..+（2n-3x5-n）

=（2+4+6+…+2〃）-3（5-|+5-2+5-3+...+5-"）

/?（??+l）-3x

小結(jié)：這是求和的常用方法，按照一定規(guī)律將數(shù)列分成等差(比)數(shù)列或常見的數(shù)列，使問題得到

順利求解.

針對訓(xùn)練、求和：5?=(a-l)+(?2-2)+(?3-3)+---+(an-n)

4、裂項相消法：

把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵

消，于是前〃項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用于類似〈二一

4%,

(其中｛q｝是各項不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列、部分無理數(shù)列等。用裂項相消法求和，需

要掌握一些常見的裂項方法：

(1)=-f---—\特別地當&=1時，.1,--1

〃(〃+左)k\nn+kJnyn+\)n〃+1

（2）/----j=——（）,特別地當k=1時/---7=—J〃+1—y/n

1

例3、數(shù)列｛q｝的通項公式為例求它的前〃項和

n+\n+1

小結(jié)：裂項相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數(shù)列的相鄰兩項,

即這兩項的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項時前后所剩的項數(shù)相同.

]]1]

針對訓(xùn)練、(1)求數(shù)列…的前〃項和S?

1+收/+36+2品++1

(2)求數(shù)列二一,1I1

…的前n項和S“.

1x32^43^5n(n+2)

5、錯位相減法：

類似于等比數(shù)列的前"項和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項

相乘得到，即數(shù)列是一個“差?比”數(shù)列，則采用錯位相減法.

若a“=b“?c”,其中｛"｝是等差數(shù)列,｛%｝是公比為q等比數(shù)列,令

s“=4q+卜性…+力斥牛/

則qs*=3++…+%%+b?cn+1

兩式相減并整理即得。

例2、已知a?=〃?2"T,求數(shù)列｛%｝的前〃項和例

解：S?=102°+2E21+...+(?-l)E2n-2+①

25?=+2必+...+(〃—1)『+〃攵"②

②一①得

5“=心"一1攵。一21-…2"T=心"-2"+1

小結(jié)：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列｛%｝的公比分

②將兩個等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項和的公式求和.

針對訓(xùn)練、求和：S,=%+2%2+3。*+…+(Xw0,%w1)

數(shù)列求和練習(xí)題

1、等差數(shù)列｛q｝中，2=10且％,4,即1成等比數(shù)列，求數(shù)列｛%｝前20項的和52°.

2.數(shù)列｛%｝的通項是%=4〃-1,2=q+/+…求數(shù)列協(xié),｝的的前〃項和。

n

3.已知數(shù)列伍“｝的前〃項和為S“=〃2-4〃+1,求|%|+|。21+1。31+…+1%0I的值。

4、求和：

(1)(47-1)+(?2-2)d---

,\11

(2)----1----h???H-------------

1x33x5(2n-1)(2n+l)

(3)1+2x+3%2+…+nxn1(xw1)

5、數(shù)列｛4｝中，％=3"+2〃-1,則前n項和5,,為()

6、若｛4｝的通項為an=-j=■_=，貝ij前100項和S100=。

7、數(shù)列｛%｝中，4=(2〃—1)2〃，求它的前n項和

8>已知。W0,求S〃=a+3a~+5。？+7a4+?.?+(2〃—1)〃”.

9、求5抽21。+§抽22。+5皿23。+???+5》288。+$方289。的值。

10、在等差數(shù)列｛%｝中，4=1，前〃項和S“滿足條件=邛3，〃=1，2,…，

(I)求數(shù)列｛q｝的通項公式；