第1章-建立數(shù)學模型市公開課一等獎省賽課獲獎?wù)n件

數(shù)學建模主講教師：劉新海教材第1頁什么是數(shù)學建模

對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目標，依據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要簡化假設(shè)，利用適當數(shù)學工具，得到一個數(shù)學結(jié)構(gòu)，用它來解釋特定現(xiàn)象現(xiàn)實性態(tài)，預測對象未來情況，提供處理對象優(yōu)化決議和控制，設(shè)計滿足某種需要產(chǎn)品等。數(shù)學建模含有包括面廣、復雜多樣、對學生思維要求高等特點，是一個實踐性較強、綜合利用各種數(shù)學思想方法與計算機技術(shù)伎倆解決實際問題數(shù)學實踐活動。

第2頁本課程主要意義

我國著名數(shù)學家、學部委員姜伯駒先生說得好：“高技術(shù)說到底是數(shù)學技術(shù)。從前，人們說數(shù)學是科學語言，是學習科學技術(shù)鑰匙，而在日常工作中難以用到。在今后技術(shù)社會、信息社會里，數(shù)學將成為眾多工作崗位先決條件，就業(yè)機會敲門磚。學數(shù)學不再只是升學需要，也越來越是謀生需要?！钡?頁本課程學習宗旨

“數(shù)學建?！笔菍嵺`數(shù)學課程主要組成部分，是繼高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程基礎(chǔ)上開設(shè)后續(xù)課程，它將數(shù)學方法、實際問題與計算機應用有機地結(jié)合起來，意在提升學生綜合應用能力，提升學生理論應用于實踐能力，尤其是分析、處理問題能力。本課程講課方法

“數(shù)學模型”相對于其它數(shù)學課程來說，包括知識面廣，問題綜合性強，內(nèi)容繁雜，跳躍性比較大，是一門相對“離散”課程，所以該課程講課方式主要采取案例式教學，內(nèi)容連貫性不強。第4頁本課程主要目標在深入了解各類數(shù)學方法基本概念、基本理論基礎(chǔ)上培養(yǎng)利用數(shù)學軟件（Matlab等）進行計算機模擬與數(shù)值計算能力培養(yǎng)學生利用所學理論知識處理實際問題意識和創(chuàng)新思維

激發(fā)學生對數(shù)學學習興趣，了解數(shù)學應用廣泛背景和方向

經(jīng)過競賽培養(yǎng)學生團體協(xié)作精神，提升人際間交流能力

第5頁本課程基本要求掌握數(shù)學建模基本理論和方法

對一些詳細相對簡單實際問題能夠建立其數(shù)學模型，并能夠

利用計算機進行求解計算（相關(guān)數(shù)學軟件如Matlab、Lingo等）第6頁競賽內(nèi)容題目由各類實際問題簡化而成，沒有事先設(shè)定標準答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。競賽形式三名大學生組成一隊，能夠自由地搜集資料、調(diào)查研究，使用計算機、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時間內(nèi)合作完成一篇論文。評獎標準假設(shè)合理性、建模創(chuàng)造性、結(jié)果正確性和文字表述清楚程度。競賽宗旨：

創(chuàng)新意識

團體精神

重在參加

公平競爭本課程相關(guān)競賽

全國大學生數(shù)學建模競賽（CUMCM）和美國大學生數(shù)學建模競賽（MCM/ICM）第7頁全國大學生數(shù)學建模競賽

中國數(shù)學建模網(wǎng)

全國大學生競賽山東組委會

/sddxs/全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站競賽宗旨：

創(chuàng)新意識

團體精神

重在參加

公平競爭第8頁目標：了解和掌握建立數(shù)學模型方法和步驟內(nèi)容：三個實例---椅子平穩(wěn)放置、商人渡河、人口預測重點：建立數(shù)學模型切入點、方法以及模型求解難點：模型解釋和誤差預計第一章建立數(shù)學模型第9頁主要分為機理分析和測試分析兩種。機理分析：依據(jù)對客觀事物特征認識，找出反應內(nèi)部機理數(shù)量規(guī)律，建立模型常有明確物理或現(xiàn)實意義。測試分析：將研究對象看作一個“黑箱”系統(tǒng)，經(jīng)過對系統(tǒng)輸入、輸出數(shù)據(jù)測量和統(tǒng)計分析，按照一定準則找出與數(shù)據(jù)吻合得最好模型。數(shù)學建?；痉椒ò凑諗?shù)學方法主要分為初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、數(shù)學規(guī)劃模型、微分方程模型、差分方程模型、離散模型、概率統(tǒng)計模型、穩(wěn)定性模型等。數(shù)學模型大致分類第10頁日常生活中數(shù)學模型引例青島—廣州，一班船需要航行4晝夜，天天同時在兩地對開兩班船，每班船在航行途中碰到幾艘青島—廣州船？解答：假設(shè)考慮從青島開出一班船途中碰到船只，途中沒有任何意外停船，則其數(shù)學模型可用下列圖來表示

青島青島0-2-1-3-41234034216785AB廣州第11頁實例一椅子能在不平地面放穩(wěn)嗎

實例一

椅子能在不平地面放穩(wěn)嗎三只腳著地→放不穩(wěn)四只腳同時著地→放穩(wěn)了模型分析模型假設(shè)

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形；地面高度是連續(xù)改變，地面可視為數(shù)學上連續(xù)曲面；地面是相對平坦，椅子在任何位置最少有三只腳同時著地。椅子放穩(wěn)定義關(guān)鍵問題

用數(shù)學語言把椅子四只腳同時著地條件和結(jié)論表示出來。該問題包括到兩方面問題：椅子、地面為簡化問題，使模型符合“理想情況”，需對模型作以下幾方面假設(shè)：①椅子方面，只包括四條腿，特殊“瘸腿”、“大腳”等情況不存在；②地面方面，沒有忽高忽低情況發(fā)生，比如階梯（連續(xù)）③地面方面，地面崎嶇程度不大（近似一階連續(xù)）第12頁示例一

椅子能在不平地面放穩(wěn)嗎中心問題

用數(shù)學語言把椅子四只腳同時著地條件和結(jié)論表示出來。模型組成椅子位置對角線AC與x軸夾角θ表示了椅子位置。椅腳著地椅腳與地面豎直距離為零時就是椅腳著地(變量θ函數(shù))。四個距離兩個距離正方形對稱性A、C兩腳與地面距離之和為f(θ)B、D兩腳與地面距離之和為g(θ)(f(θ)，g(θ)≥0)第13頁示例一

椅子能在不平地面放穩(wěn)嗎由地面高度是連續(xù)改變，f和g都是連續(xù)函數(shù)。由假設(shè)3，椅子在任何位置最少有三只腳著地，所以對于任意θ，f(θ)和g(θ)中最少有一個為零。當θ＝0時不妨設(shè)g(θ)=0，f(θ)>0。數(shù)學問題已知f(θ)和和g(θ)是θ連續(xù)函數(shù)，對任意θ，f(θ)·g(θ)

=0，且g(0)=0，f(0)>0。證實：存在θ0，使f(θ0)＝g(θ0)=0。模型組成第14頁已知f(θ)和和g(θ)是θ連續(xù)函數(shù)，對任意θ，f(θ)·g(θ)

=0，且g(0)=0，f(0)>0。證實：存在θ0，使f(θ0)＝g(θ0)=0。

示例一

椅子能在不平地面放穩(wěn)嗎模型求解證實:將椅子旋轉(zhuǎn)90°(π/2)，則對角線AC與BD交換。由g(0)=0和f(0)>0，可知g(π/2)>0和f(π/2)=0。令h(θ)=f(θ)－g(θ),則h(0)>0和h(π/2)<0。由f和g連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。依據(jù)連續(xù)函數(shù)基本性質(zhì)，必存在θ0（0<θ0<π/2）使h(θ0)=0，即f(θ0)=g(θ0)。因為f(θ0)g(θ0)=0所以f(θ0)=g(θ0)=0。第15頁實例二商人們怎樣安全過河

實例二商人們怎樣安全過河

隨從們密約，在河任一岸，一旦隨從人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但怎樣乘船渡河大權(quán)掌握在商人們手中。商人這么才能安全渡河呢？

問題第16頁模型分析安全渡河問題能夠視為一個多步?jīng)Q議過程。決議每一步，即此岸駛到彼岸或彼岸到此岸，確定船上人員。在確保安全前提下（兩岸隨從數(shù)都比不上商人數(shù)多），在有限步內(nèi)使全部人員過河。要求第k次渡河前此岸商人數(shù)為xk，第k次渡河前此岸隨從數(shù)為yk,

模型組成k=1,2,…，xk,yk,=0,1,2,3S=｛（x,y）|x=0,y=0，1，2，3；x=3，y＝0，1，2，3；x=y=1，2｝二維向量sk=(xk,yk)定義為狀態(tài)。允許狀態(tài)集實例二商人們怎樣安全過河

要處理此問題，需要數(shù)學表示以下問題：①為確保安全，必須知道渡河前后此岸和彼岸商人數(shù)和隨從數(shù)（允許狀態(tài)）②為完成渡河，必須知道每次渡河時，船上商人數(shù)和隨從數(shù)（允許決議）③兩岸商人數(shù)和隨從數(shù)與渡河關(guān)系（狀態(tài)轉(zhuǎn)移律）此岸商人數(shù)和隨從數(shù)一旦確定，彼岸時商人數(shù)和隨從數(shù)自然就確定了第17頁模型組成實例二商人們怎樣安全過河

第k次渡河商人數(shù)為uk，第k次渡河隨從數(shù)為vk。二維向量dk=(uk,vk)定義為決議允許決議集合

D｛(u,v)|1≤u+v≤2,u,v=0,1,2｝uk，vk=0，1，2，k＝1，2，…k為奇數(shù)時此岸到彼岸,k為偶數(shù)時彼岸到此岸。狀態(tài)轉(zhuǎn)移律sk+1=sk+(-1)k

dk求決議dk∈D（k＝1,2,…,n），使狀態(tài)sk∈S按照轉(zhuǎn)移律，由初始狀態(tài)s1=(3,3)經(jīng)有限步n抵達狀態(tài)sn+1=（0,0）。多步?jīng)Q議模型若用sk表示某一次渡河前此岸人數(shù),

sk+1表示渡河后此岸人數(shù)。此岸到彼岸時,此岸人數(shù)(sk+1

)降低,降低數(shù)為對應渡河人數(shù)；彼岸到此岸時,此岸人數(shù)(sk+1)增加,增加數(shù)為對應渡河人數(shù)。所以,

sk+1是在sk基礎(chǔ)上加上或減去渡河人數(shù)。當此岸到彼岸(k為奇數(shù))時,此岸降低人數(shù)為負；當彼岸到此岸(k為偶數(shù))時,此岸增加人數(shù)為正。第18頁模型求解實例二商人們怎樣安全過河

窮舉法：計算機程序求解

圖解法方格點表示狀態(tài)s=（x,y）：16個允許狀態(tài)集合S：10個允許決議dk是沿方格線移動1格或2格。k為奇數(shù)時向左、下方移動（此岸到彼岸）k為偶數(shù)時向右、上方移動（彼岸到此岸）評注規(guī)格化方法，能夠用計算機求解，含有推廣意義。

有沒有第二種方案呢？注意：k必須是連續(xù)，即從此岸到彼岸后，必須回到此岸；同理，從彼岸到此岸后，必須回到彼岸第19頁實例三怎樣預報人口增加

認識人口數(shù)量改變規(guī)律，建立人口模型，作出較準確預報，為有效地控制人口增加提供決議基礎(chǔ)。

意義實例三怎樣預報人口增加第20頁實例三怎樣預報人口增加直觀地看，人口增加是呈指數(shù)增加。第21頁實例三怎樣預報人口增加指數(shù)增加模型記今年人口為x0，年增加率為r，k年后人口為xk

=x0(1+r)k基本條件年增加率r保持不變。英國人口學家馬爾薩斯(Malthus，1766—1834)于1798年建立該模型。模型建立記時刻t人口為x(t)（連續(xù)、可微函數(shù)）x(t+△t)－x(t)=rx(t)△t△t→0x(t)=x0

ertx(t)=x0

ert表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增加（其中需要預計未知參數(shù)）。第22頁實例三怎樣預報人口增加指數(shù)增加模型應用及不足人口增加率不是常數(shù)，進入20世紀后增加率顯著下降。不符原因遷往加拿大歐洲移民后代人口也大致符合這個模型用它作短期人口預測能夠得到很好結(jié)果不符合十九世紀以后多數(shù)地域人口增加規(guī)律不能預測較長時期人口演變過程第23頁實例三怎樣預報人口增加阻滯增加模型(Logistic模型)荷蘭生物數(shù)學家Verhulst

19世紀中葉提出：

自然資源、環(huán)境條件等原因?qū)θ丝谠黾悠鹬铚饔茫野殡S人口增加，阻滯作用越來越大。增加率

r常數(shù)不固定(減函數(shù))當x=xm時人口不再增加，即增加率r(xm)=0

設(shè)

r(x)=r-sx(r>0，s>0)

（線性）方程

則s=r/xm

第24頁曲線擬合最小二乘法能夠從表數(shù)據(jù)用數(shù)值微分算出，右端對參數(shù)r，s是線性。比如，利用上圖中1860年至1990年美國人口數(shù)據(jù)，計算得到r=0.2557／10年，xm=392.0886。第25頁實例三怎樣預報人口增加模型檢驗用模型計算年人口，與已知實際數(shù)據(jù)(281.4百萬)比較。x()=x(1990)+△x=x(1990)+rx(1990)[1－x(1990)/xm

]得到x()=274.5百萬，與實際數(shù)據(jù)誤差約2.5％，能夠認為該模型是相當滿意。其它應用在社會經(jīng)濟領(lǐng)域也有廣泛應用，比如耐用消費品銷售量。第26頁數(shù)學建模全過程圖解現(xiàn)實對象信息數(shù)學模型建立現(xiàn)實