遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律是數(shù)學(xué)教學(xué)不變的原則-基于“圓周角”課例的評(píng)析與思考

遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律是數(shù)學(xué)教學(xué)不變的原則——基于“圓周角”課例的評(píng)析與思考南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)院(210046)過(guò)燕晶寧連華

認(rèn)知規(guī)律是指?jìng)€(gè)體在通過(guò)感覺(jué)、知覺(jué)、表象、想象、記憶、思維等形式，把握客觀事物的性質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中客觀存在的規(guī)律．認(rèn)知規(guī)律體現(xiàn)在教學(xué)上是由對(duì)教師教的研究轉(zhuǎn)向?qū)W(xué)生學(xué)的研究，以學(xué)生為主體，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，學(xué)生是教學(xué)活動(dòng)的積極能動(dòng)參與者，是進(jìn)行學(xué)習(xí)知識(shí)和學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)的主體，教師的“教”要在研究學(xué)生的“學(xué)”基礎(chǔ)上進(jìn)行．波利亞說(shuō)：“教師在課堂上講什么當(dāng)然重要，然而學(xué)生想的是什么卻更千百倍的重要，”要學(xué)生學(xué)有成效，教師必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，提高學(xué)生智力參與程度，下面筆者結(jié)合“圓周角”一課的教學(xué)實(shí)例，就教師必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律談幾點(diǎn)思考與認(rèn)識(shí)。

1亮點(diǎn)與特色

1.1循序漸進(jìn)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

本節(jié)課是在圓的基本概念、性質(zhì)以及圓心角概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對(duì)圓周角性質(zhì)的探索，教學(xué)重點(diǎn)是理解圓周角的概念和性質(zhì)，難點(diǎn)是證明同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角相等以及圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半，

“復(fù)習(xí)舊知，引入課題一抽象概括，形成概念-觀察操作，猜想探索一歸納說(shuō)理，形成新知一思維訓(xùn)練，提升能力—，反思回顧，盤點(diǎn)收獲”的教學(xué)設(shè)計(jì)很好地遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生在課堂中體驗(yàn)數(shù)學(xué)、感知數(shù)學(xué)、建立數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)并應(yīng)用數(shù)學(xué)。

引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧圓心角的定義、意義及度量方法，即“頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角”，這一環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知水平與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的合理鋪墊，有了前面這一鋪墊，教師追問(wèn)：“圓心角是頂點(diǎn)在圓心的角，如果頂點(diǎn)的位置發(fā)生變化，又該怎樣描述角的頂點(diǎn)的位置？”學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，教師PPT展示，歸納總結(jié)角的頂點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種——在圓內(nèi)、圓上和圓的外部．在此基礎(chǔ)上，提出：“研究任何一個(gè)圖形，首先要明確這個(gè)圖形的概念，”頂點(diǎn)在圓上的一類角比較特殊，由此引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形共同歸納這類特殊角的共同特征——頂點(diǎn)在圓上且兩邊都與圓相交，進(jìn)而自然引入課題，給出圓周角概念，接下來(lái)是對(duì)其性質(zhì)探索，自然流暢，水到渠成。

1.2抓“明”主線，以“問(wèn)”促恩

本節(jié)課要達(dá)成的目標(biāo)十分明確，即理解圓周角的概念，掌握?qǐng)A周角性質(zhì)及其推論．因此，按照什么思路展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)，決定了本節(jié)課教學(xué)進(jìn)程的走向和風(fēng)格，設(shè)置和勾畫(huà)什么思路反映教師對(duì)教材的解讀，對(duì)學(xué)情的分析，對(duì)教學(xué)資源的了解，

在教學(xué)過(guò)程中，課例注重課堂教學(xué)的高立意與低起點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)發(fā)揮學(xué)生的主體性，促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)數(shù)學(xué)，本節(jié)課圍繞著數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行，將課堂教學(xué)組織為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”是課堂教學(xué)的一種新型組織方式，它以問(wèn)題解決為起點(diǎn)，以問(wèn)題及問(wèn)題解決為主干，在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)能力、習(xí)得知識(shí)的教育任務(wù)，課例中教師做到以問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，遞進(jìn)式地分層推進(jìn)，達(dá)成對(duì)本節(jié)課重難點(diǎn)的突破，其中能引領(lǐng)整節(jié)課的問(wèn)題鏈主要有：

問(wèn)題1圓心角是頂點(diǎn)在圓心的角，若圓心角的頂點(diǎn)位置發(fā)生變化，還可以怎樣描述角的頂點(diǎn)的位置？

問(wèn)題2給定圓上的兩點(diǎn)P，Q，任意畫(huà)出劣弧PQ所對(duì)的圓周角，你能發(fā)現(xiàn)什么？

問(wèn)題3圓周角的大小與什么有關(guān)？

問(wèn)題4根據(jù)圓心在圓周角的一邊這一特殊情況猜想出，圓周角等于圓心角的一半，此結(jié)論對(duì)于更一般的情況是否成立？

問(wèn)題5我們對(duì)圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角的內(nèi)部這兩種情況進(jìn)行了探究，結(jié)論都是圓周角等于圓心角的一半，那么，這兩種情況能不能代表所有的？還有沒(méi)有其它情況？

問(wèn)題6對(duì)圓周角性質(zhì)的探究為什么只分成三種情況？

問(wèn)題1讓學(xué)生回顧圓心角的概念，抽象出圓周角的概念，并研究圓周角的特點(diǎn)，有了概念之后，接下來(lái)是探究如何闡明同弧所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)多個(gè)（問(wèn)題2），然后再探究圓心角與圓周角的大小關(guān)系，從特殊到一般，先探究圓心在圓周角的一邊的情況，接著研究其他情況（問(wèn)題3、問(wèn)題4、問(wèn)題5），最后探究分成三種情況證明的原因（問(wèn)題6），這種以問(wèn)題引領(lǐng)課堂，由淺入深，層次遞進(jìn)式地揭示圓周角性質(zhì)的教學(xué)方式，讓學(xué)生對(duì)圓周角的概念及其定理的證明有了更加明確的認(rèn)識(shí)和深刻的理解。

1.3交相輝映，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想

在初中數(shù)學(xué)中，非常重要的一個(gè)方面就是數(shù)學(xué)思想．它不僅可以深入的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，而且會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著指導(dǎo)作用，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的廣泛遷移，甚至包括從數(shù)學(xué)領(lǐng)域向非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的遷移，實(shí)現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的飛躍．初中階段主要涉及到分類討論、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法．教師將數(shù)學(xué)思想方法滲透于教學(xué)過(guò)程中，需要將循序漸進(jìn)的原則貫穿下去，分步驟有重點(diǎn)的滲透。

分類討論思想在本節(jié)課得到了充分體現(xiàn)．首先，改變圓心角頂點(diǎn)的位置，可以畫(huà)出無(wú)數(shù)多個(gè)角，而根據(jù)點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系，可以將角與圓的位置關(guān)系分成三類——角的頂點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上和圓外．再如，在對(duì)圓周角性質(zhì)的探究過(guò)程中，也運(yùn)用了分類證明思想，即分別考慮圓心在圓周角邊上、圓心在圓周角內(nèi)部和圓心在圓周角外部。分三種情況證明是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的障礙點(diǎn)，學(xué)生不理解為什么要如此分類．但課例通過(guò)幾何畫(huà)板演示，使學(xué)生直觀感受分類的標(biāo)準(zhǔn)和方法，完成性質(zhì)的探究和證明，符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程。

另外，在探究圓心角與圓周角的大小關(guān)系時(shí)用到了從特殊到一般的化歸思想和抽象概括思想．圓上一條弧所對(duì)的圓周角個(gè)數(shù)有無(wú)限多，要將這一個(gè)個(gè)角分別拿出來(lái)研究，顯然是不可能的。那么，就必須轉(zhuǎn)換思維角度思考這個(gè)問(wèn)題，先從圓心在圓周角的一邊上這一特殊位置著手，通過(guò)探究最特殊情形，猜想結(jié)論的一般性，并通過(guò)演繹推理證明了結(jié)論：同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)圓心角的一半，這一過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀和推理能力。

2白璧有瑕．尚待潤(rùn)色

2.1對(duì)概念引入的認(rèn)識(shí)

同一教學(xué)內(nèi)容，課題導(dǎo)入的方式因教師而異．本節(jié)課立足于圓心角定義復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，引出課題，即典型的復(fù)習(xí)舊知引出新知．但在處理上存在不妥之處，如：

師：頂點(diǎn)在圓心的角稱之為圓心角．如果圓心角頂點(diǎn)的位置發(fā)生變化，還可以怎樣描述角的頂點(diǎn)的位置？

生：頂點(diǎn)移到圓上的時(shí)候就叫它圓周角．

師：這位同學(xué)是說(shuō)頂點(diǎn)移到圓上，除了頂點(diǎn)移到圓上，頂點(diǎn)還可以在哪？

可以看出，學(xué)生的回答出乎教師的意料之外，提前給圓周角下了定義．而在所給定義中該生只注意到了圓周角的頂點(diǎn)必須在圓上，忽視了“角的兩邊都與圓相交”這一非常重要的條件．在學(xué)生說(shuō)出自己對(duì)圓周角概念認(rèn)識(shí)的同時(shí)，也暴露出在學(xué)習(xí)和交流中存在的問(wèn)題，這是一類問(wèn)題，可能其他同學(xué)也存在類似的想法．對(duì)概念的理解雖然還不全面，但能作出如此回答實(shí)屬不易，教師應(yīng)慶幸這樣的課堂生成，抓住這一契機(jī)，順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步建構(gòu)概念，凸顯圓周角概念中“頂點(diǎn)在圓上”“角的兩邊都與圓相交”這兩個(gè)必不可少的條件，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的再認(rèn)識(shí)．鑒于此，可作如下設(shè)計(jì)：

師：方才這位同學(xué)是說(shuō)頂點(diǎn)移到圓上的時(shí)候就叫它圓周角，下面請(qǐng)同學(xué)們看這樣兩個(gè)圖形，它們能否稱為圓周角呢？

圖1中兩個(gè)圖形符合學(xué)生學(xué)生所說(shuō)的條件——頂點(diǎn)在圓上，但左圖形角的一邊在圓內(nèi)另一邊在圓外，右圖形是角的兩邊都在圓外，顯然不滿足圓周角的概念．要說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題的重要性，給學(xué)生正面說(shuō)教強(qiáng)調(diào)灌輸，往往效果不好，反面說(shuō)明可能力度更大，印象更深．這里筆者舉出反面例子對(duì)概念加以辨析，讓學(xué)生從“挫折”中切身體會(huì)概念中需要注意的問(wèn)題，遵從學(xué)生的認(rèn)知水平，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)而設(shè)計(jì)，令學(xué)生印象深刻而難忘。

2.2設(shè)置適當(dāng)?shù)木毩?xí)，加強(qiáng)對(duì)概念的辨析

課堂的容量取決于學(xué)情，課例從新課引入到反思回顧，整堂課的容量還是比較大的。課例容量雖大，卻缺少一定量的課堂鞏固練習(xí)。圓周角的教學(xué)難點(diǎn)首先是引導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)型的學(xué)生把同樣一段弧所對(duì)圓周角個(gè)數(shù)的無(wú)限性，但大小卻是唯一的，過(guò)渡到有限；其次是同弧所對(duì)無(wú)限數(shù)量的圓周角與唯一的圓心角的大小關(guān)系，需要邏輯上的嚴(yán)密說(shuō)理證明，涉及到分類討論、化歸等思想方法，這是學(xué)生的薄弱之處．學(xué)生獲得了關(guān)于圓周角的概念、同弧（或等?。┧鶎?duì)的圓周角相等、圓周角的度數(shù)等于圓心角的度數(shù)的一半等性質(zhì)，好像理解起來(lái)沒(méi)有多大困難．然而，蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》中指出：“懂得還不等于已知，理解還不等于知識(shí)?！睂W(xué)生在概念形成的初期，對(duì)概念的掌握是不完全、不深刻的，一個(gè)概念的建立總是要經(jīng)過(guò)從感性到理性、再?gòu)睦硇缘綄?shí)踐這兩個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程．課例把課堂的大部分時(shí)間都用于處理以上兩個(gè)難點(diǎn)，僅涉及一道例題講解，例題的量偏少，為了牢固掌握，還必須增加一定量的課堂練習(xí)。

例1如圖2，點(diǎn)A、B、C在圓O上，點(diǎn)A與點(diǎn)D在B、G所在直線的同側(cè)，∠BAC=35°。

度數(shù)分別是多少度？

學(xué)生對(duì)剛形成的概念的認(rèn)識(shí)是不全面的，甚至是有偏差的，這就需要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新概念進(jìn)行再認(rèn)知．明確概念的內(nèi)涵與外延．在教師教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)該對(duì)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)，合理運(yùn)用各種變式，使學(xué)生從不同的角度去認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，使學(xué)生對(duì)難點(diǎn)的理解進(jìn)一步深化，結(jié)合教材，可采用以下變式進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練。

如此設(shè)計(jì)可以加深學(xué)生對(duì)概念以及難點(diǎn)深層次的理解，幫助學(xué)習(xí)困難的學(xué)生集中注意教材中的一些“點(diǎn)”，這些點(diǎn)實(shí)質(zhì)上就是因果關(guān)系，即知識(shí)的基礎(chǔ)。

2.3一些結(jié)論直接告知．略顯生硬

如在探討圓心角的頂點(diǎn)在圓周角的外部這一情況時(shí)，需要學(xué)生合理地添加輔助線才能概括總結(jié)出圓心角與圓周角的大小關(guān)系．教師在給予學(xué)生足夠思考時(shí)間的同時(shí)，應(yīng)巡視學(xué)生作圖情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的困難在于不知如何添加輔助線．而考慮到課堂時(shí)間有限，教師選擇將結(jié)論直接告知學(xué)生，再者，明確了概念，接下來(lái)理應(yīng)是探究圓周角的性質(zhì)課例中教師直接拋出問(wèn)題：“要探究圓周角的性質(zhì)，首先請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出圓O上弧PQ所對(duì)的圓周角。”問(wèn)題提的太急，有趕鴨子上架的味道．教師不妨站在學(xué)生的角度換位思考，如果你是學(xué)生，學(xué)習(xí)了圓周角的概念，你還想知道關(guān)于圓周角的什么呢？施教之功，貴在引路+妙在開(kāi)竅．因此，大膽放手，問(wèn)：“有了圓周角的概念，大家想想接下來(lái)應(yīng)該研