高中上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

高中上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)請將答案填在答卷相應(yīng)的橫線上。

1、函數(shù)y=sin2x的最小正周期T=。

2、復(fù)數(shù)z=(l+i)i的實部是；

3、寫出命題：“mxeR,使/+2%+。20”的否定為；

4、拋物線，=8y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；

5、若將一枚硬幣連續(xù)拋擲三次，則出現(xiàn)“至少一次正面向上”的概率為；

6、函數(shù)/(犬)=/+sinx的導(dǎo)函數(shù)是；

7、已知向量5和了的夾角為120°,日|=3,向=4,則［?否=；

8、關(guān)于不重合的直線加，〃及平面見萬，下列命題為真命題的是(填寫所有真命題

的序號)

①若〃尸,a〃尸，則相〃〃；②若m"〃,mua,n工0,則a_L6；

③若=〃7,加〃“，則〃〃a；④若&n夕=，",〃?，〃，則〃

9、在等比數(shù)列｛%｝中，q>O,24+2%%+。4a6=25，則43+4=；

10>已知a,b,c均為實數(shù)，〃-4ac<0是av?+6x+c>0的________________條件

(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一個)。

11、如圖，函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線是/,缽:

則/(2)+八2)=.,\

12、根據(jù)下面一組等式：—』—

24\x

月■⑹\

S1=1,

s2=2+3=5,

$3=4+5+6=15,

邑=11+12+13+14+15=65,

1=16+17+18+19+20+21=111,

可得S]+S3+$5+???+$2“_|=

22

13、已知雙曲線曰■一強(qiáng)■=1(4>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E，K，P是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，

且P^_LP%，PFtPF2=4ah,則雙曲線的離心率是.

14、已知函數(shù)/（x）=〃ir2+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)，〃的取值范圍―；

二'解答題（本大題6小題，共90分。解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（本題滿分14分）

己知數(shù)列｛4｝是一個等差數(shù)列，且4=1，%=一5。

（1）求｛%｝的通項a,；（2）求｛4｝前n項和S“的最大值。

16、（本題滿分14分）

如圖，四棱錐尸一ABC。中，四邊形A8CQ為矩形，平面力。，平面ABCQ,且E、。

分別為PC、8。的中點(diǎn).

求證：（1）EO〃平面PAD-,

（2）平面P￡>C_L平面PAD.

17、(本題滿分15分)

已矢口向量n?=(V5sin2x+2,cosx),“=(1,2cosx),設(shè)函翔(x)-mn.

（1）求/（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間。

（2）在AABC中，a、b、c、分別是角A、B、C的對邊，若/（A）=4,b=I,△ABC的面

積為^求。的值。

2

18、（本題滿分15分）

建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅固

性及石塊用料等因素，設(shè)計其斷面面積為6石平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用

料最省，則斷面的外周長（梯形的上底線段3c與兩腰長的和）要最小.

（1）求外周長的最小值，此時防洪堤高/?為多少米？.

（2）如防洪堤的高限制在［3,26］的范圍內(nèi)，外周長最小為多少米？

19、（本題滿分16分）

己知：如圖，圓O：/+/=2交x軸于A,B兩點(diǎn),

/itFO

曲線C是以AB為長軸，離心率為巫的橢圓，其左焦點(diǎn)為F,若P是圓0上一點(diǎn)，連結(jié)

2

PF,過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓的左準(zhǔn)線/于點(diǎn)Q。

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),

①求線段PQ的長；

②求證：直線PQ與圓0相切；

20、(本題滿分16分)

已知函數(shù)f(x)=\nx—ax(aeR).

(1)當(dāng)a=2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)。＞0時,求函數(shù)f(x)在口⑵上最小值.

參考答案

一'填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）請將答案填在答卷相應(yīng)的橫線上。

7

1、〃2、一13、VxwR,使Y+2%+Qv04、（0,2）5、一6、，（x）=3/+cosx

8

9r-1

7>-68、②9、510>既不充分也不必要11、：12、/?13、J314>[-,+oo）

62

二、解答題（本大題6小題，共90分。解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15、解：（I）設(shè)｛%｝的公差為。，由已知條件，（4+"=1,

1a[+4d=-5

解出q=3,d=—2…4分

所以?！?4+（〃-l）d=-2n+5.............................7分

（II）S,="q+^^d=_〃2+4"=4_（〃_2）2.............................12分

2

所以”=2時，S,,取到最大值4.........................14分

16、（1）證法一：連接AC.

因為四邊形4BC。為矩形，所以AC過點(diǎn)O,且。為4C的中點(diǎn).

又因為點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，所以EO〃必...................................4分

因為鞏u平面陰D,EOct平面以。，所以E?！鍱W.................7分

證法二：取0c中點(diǎn)凡連接EROF.

因為點(diǎn)E、。分別為PC和8。的中點(diǎn)，所以EF//PD,OF//BC.

在矩形A8CQ中，AD//BC,所以0F//AD

因為。氏t平面ACu平面力。，所以。尸〃平面以O(shè).

同理，EF//平面加Z）.

因為OFnEF=F,OF、EFu平面EO尸，

所以平面EOF//平面PAD............................................4分

因為EOu平面OE尸，所以EO〃平面以。.............................7分

證法三：分別取尸/入AD中點(diǎn)M、N,連接EM、ON、MN.

因為點(diǎn)E、。分別為PC和BQ的中點(diǎn)，所以EM錯誤!錯誤!C￡>,ON錯誤!錯誤!AB.

在矩形ABCC中，48錯誤!8,所以錯誤!ON.

所以四邊形EMNO是平行四邊形.所以EO//MN...........................4分

因為MNu平面PAD,EO?平面PAD,所以EO〃面PAD..................7分

（2）證法一：因為四邊形ABCD為矩形，所以CDLAD............................9

分

因為平面《4￡>_L平面ABCD,平面B4OC平面ABCD=AD,CDu平面ABCD,

所以CQ_L平面PAD.......................................................12

分

又因為CDu平面PDC,

所以平面PDCL平面以D.............................................14分

證法二：在平面外￡>內(nèi)作尸F(xiàn)_L4￡）,垂足為F.

因為平面玄。_L平面ABCD,所以PF_L平面ABCD.

因為CDu平面ABCD,所以PFLCD......................................9

分

因為四邊形A8CD為矩形，所以CD1AD.11

分

因為PFQAD=Ff所以C0_L平面PAD......................................12

分

又因為CQu平面PQC,

所以平面尸DC_L平面布D...............................................14分

17、解：(I)v/?:=(V3sin2x4-2,cosx),n=(l,2cosx),

/.f(x)=m-n

=V3sin2x+2+2cos2x

=V3sin2x+cos2x+3

TF

=2sin(2x+—)+3........4分

■rrJ-T-s-rr

令——<2x-\——<H----(kGZ)

262

JI2

kji4——<x<k7VH——7t{keZ)

63

.,./(x)的單調(diào)減區(qū)間為br+生次乃+2萬J(%￡Z)........7分

63

(II)由/(A)=4得

f(A)=2sin(2A+:)+3=4

6

sin(2A+-)=—

62

又-/A為&46C的內(nèi)角

7Tr，7T7/r

...——<2Ad--<---

666

/〃7T57r

2A4------

66

A=—........10分

3

，?SMBC=，b=1

—fecsinA-

22

/.c=2........12分

/.a2=b2+c2-2bccosA=4+l-2x2xlx—=3

2

a=V3........15分

18、解：⑴673=-(A￡>+BC)/z,AD=BC+2xh—?—=BC+^—h,............2

2tan60°3

分

6辰g（2BC+浮h）h,

解得8C=述一無/?..............................................4分

h3

設(shè)外周長為/,MiJI=2AB+BC=~h+^--h=回+處26叵

sin600h3h

6n

當(dāng)相h=~,即〃=后時等號成立.................................8分

h

外周長的最小值為6人米，此時堤高人為布米...............................9分

（2）V3/?+迪=V3（/?+9）,設(shè)3<%<兒<25

hh

則①+9-％-9=（〃，一九）（i一——）>o,/是力的增函數(shù)，..............12

h2%hxh2

分

6n

=返'3+囁=5石（米）.（當(dāng)//=3時取得最小值）.................14分

答：（1）外周長的最小值為6五米，此時防洪堤高/?為布米;

（2）外周長最小為5百米.....................................15分

19、解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+《=1（4>8〉0）

ab

因為圓0:r+/=2交工軸于A、B兩點(diǎn)，所以AB=2j5

即2。=2五,a=行..................................................3分

而橢圓的離心率為一，所以c=l,故b=l..................................5分

2

因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土?+丁=1.....................................6分

2

（2）①由（1）知橢圓的左焦點(diǎn)F（—1,0）,而點(diǎn)P（1,1）

所以直線PF的方程為y=；（x+l）.....................................8分

直線QO的方程為y=—2x.............................................10分

而橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（一2,4）

因此PQ=3后.......................................................12

分

②證明：直線PQ的方程為：y=—(x—1)+1,即x+y—2=0....................14

分

而點(diǎn)0到直線PQ的距離為d=&=r

所以直線PQ與圓0相切.............................................16分

20、解：(I)/,(x)=--2(x>0),..............2分