自動控制原理習題

自動控制原理習題

第二章

例2-1彈簧，阻尼器串并聯(lián)系統(tǒng)如圖2-1示，系統(tǒng)為無質(zhì)量模

型，試建立系統(tǒng)的運動方程。

解：(1)設(shè)輸入為力，輸出為必。彈簧與阻尼器并聯(lián)平行移動。

(2)列寫原始方程式，由于無質(zhì)量按受力平衡方程，各處任何時

亥U，均滿足工廠=。，則對于4點有

Ff+F4-FK2=0

其中，號為阻尼摩擦力，F(xiàn)”反2為彈性恢復(fù)力。

(3)寫中間變量關(guān)系式

FKl=Kl(Yr-Y0)

FKZK2yo

(4)消中間變量得

ff+K、y「-&為=K2yo

dtat

(5)化標準形

嚕+%=哼+取

atat

其中為時間常數(shù)，單位［秒］。

K=/一為傳遞函數(shù)，無量綱。

K］+K?

例2-2已知單擺系統(tǒng)的運動如圖2-2示。

(1)寫出運動方程式

(2)求取線性化方程

解：（1）設(shè)輸入外作用力為零，輸出為擺角。，擺球質(zhì)量為小

（2）由牛頓定律寫原始方程。

m（J———）=-mgsin6一。

d廠

其中，/為擺長，e為運動弧長，//為

空氣阻力。

（3）寫中間變量關(guān)系式

〃=。（/學）

dt

式中，。為空氣阻力系數(shù)/也為運動線

dt圖2-2單擺運動

速度。

（4）消中間變量得運動方程式

ml———+al--Fmgsin夕=0（2-1）

dt-dt

此方程為二階非線性齊次方程。

（5）線性化

由前可知，在6=0的附近，非線性函數(shù)sin。弋9,故代入式（2-1）

可得線性化方程為

,d2e,de八八

ml———+a--Fmvt）=（J

dt1dt8

例2-3已知機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖2-3所示，試列出系統(tǒng)運動方程。

<3-14

圖2-3機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)

解：(1)設(shè)輸入量作用力矩％，輸出為旋轉(zhuǎn)角速度。O

(2)列寫運動方程式

J=一％+M,

式中，加為阻尼力矩，其大小與轉(zhuǎn)速成正比。

(3)整理成標準形為

dco/.

Jr—^―+fco=Mz,

此為一階線性微分方程，若輸出變量改為夕則由于

de

co=——

dt

代入方程得二階線性微分方程式

J粵+潭=M

dt2dt

例2-4設(shè)有一個倒立擺安裝在馬達傳動車上。如圖2-4所示。

y

圖2-4倒立擺系統(tǒng)

倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒有適當?shù)目刂屏ψ饔迷谒厦妫?/p>

將隨時可能向任何方向傾倒，這里只考慮二維問題，即認為倒立擺

只在圖2-65所示平面內(nèi)運動?？刂屏Α弊饔糜谛≤嚿稀＜僭O(shè)擺桿的

重心位于其幾何中心試求該系統(tǒng)的運動方程式。

解：（1）設(shè)輸入為作用力〃，輸出為擺角6o

(2)寫原始方程式，設(shè)擺桿重心力的坐標為(旗,為)于是

XA=X+hmd

Xv=Icosd

畫出系統(tǒng)隔離體受力圖如圖2—5所示。

圖2-5隔離體受力圖

擺桿圍繞重心/點轉(zhuǎn)動方程為:

J——=VIsin0-Hlcos0

dt2

(2-2)

式中，?/為擺桿圍繞重心/的轉(zhuǎn)動慣量。

擺桿重心/沿X軸方向運動方程為:

d2

m——.=H

dt2

>2

即m--(x+lsin0)=H

dr

(2-3)

擺桿重心4沿y軸方向運動方程為:

版馬“mg

dt

即m(/cos0)=V-mg

小車沿x軸方向運動方程為:

一d?x

M———-u-HTr

力2

方程(2—2),方程(2-3)為車載倒立擺系統(tǒng)運動方程組。因為含

有sin<9和cos。項，所以為非線性微分方程組。中間變量不易相消。

(3)當6很小時，可對方程組線性化，由sin。同理可得

到cos心1則方程式(2—2)式(2-3)可用線性化方程表示為:

y2n

dt2

d2x,d20?

dt1dt2

0=K-mg

-d?x

M——=u-HTr

,dr

用S2=￡的算子符號將以上方程組寫成代數(shù)形式,消掉中間變量V.

dt2

H、X得

+，nJ)s20+(M+m)g0=u

ml

將微分算子還原后得

mlIdrdt

此為二階線性化偏量微分方程。

例2-5EC無源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖2—6所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法

畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)QG)/aG)。

圖2-6RC無源網(wǎng)絡(luò)

解：在線性電路的計算中，引入了復(fù)阻抗的概念，則電壓、電流、

復(fù)阻抗之間的關(guān)系，滿足廣義的歐姆定律。即:

如果二端元件是電阻及、電容?；螂姼?則復(fù)阻抗Z(s)分別是及、

l/Cs^Ls

(1)用復(fù)阻抗寫電路方程式:

/l(S)=[t/r(S)-t/cl(S)]-4-

Ri

%(S)=-2(S)]=~

C|5

/2(5)=[t/cl(S)-t7c2(5)]^-

K2

%(S)=/2(S)?表

(2)將以上四式用方框圖表示，并相互連接即得AC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖,

見圖2—6(。)。

(3)用結(jié)構(gòu)圖化簡法求傳遞函數(shù)的過程見圖2—6(°)、(4、(e)。

(d)

圖2-6火C無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

（4）用梅遜公式直接由圖2—6（份寫出傳遞函數(shù)a（s）/a⑶o

「￡GK\K

O=------------

A

獨立回路有三個：

L=11=T

"RC[S&GS

L,,-----1------1---------1----

7?2C2sR2c2s

11-1

LT-i=----------------=------------

3CXSR2R2cls

回路相互不接觸的情況只有。和匕兩個回路。則

LL2

"~'-~RiClR2C2S

由上式可寫出特征式為：

1111

A=1—(JL|+L?+L3)—=1+---------1-----------1-----------1-----------------------

RiGSR2C2SR2GsRgR2c2s

通向前路只有一條

1___1___1_1

Gl=—

K\CXSR2C2S~&R2GC2s2

由于G1與所有回路。，L2,￡3都有公共支路，屬于相互有接觸,

則余子式為

A1=1

代入梅遜公式得傳遞函數(shù)

1

「G[A]/?]C]R-）C2^

G=-----=---------------------二二-------------------------------------

A.1111

1++-----+-------F-不

R[C{SR2c2sR2clsR]C】R2c2s2

__________________1________________

R]R2cle2s2+（R]G+R2c2+R1C2）s+1

例2-6有源網(wǎng)絡(luò)如圖2—7所示，試用復(fù)阻抗法求網(wǎng)絡(luò)傳遞函

數(shù)，并根據(jù)求得的結(jié)果，直接

用于圖2—8所示PI調(diào)節(jié)器，

寫出傳遞函數(shù)。

圖2-8PI調(diào)節(jié)器

解：圖2-7中Z和4表示運算放大器外

圖有源網(wǎng)絡(luò)

2-7部電路中輸入支路和反饋支路復(fù)阻抗,假設(shè)/

點為虛地，即U產(chǎn)0,運算放大器輸入阻抗很大，可略去輸入電流,

于是：/]=

q（s）=/|（s）Zj（s）

則有：

Uc（s）=_/2（s）Zf（s）

故傳遞函數(shù)為

—

（2-4）

對于由運算放大器構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，式(2-4)可看作計算傳遞函數(shù)

的一般公式，對于圖2-8所示PI調(diào)節(jié)器，有

Z；(s)=Ri

ZfG)=R?+{

故

c、Zf(s)&+左R，cs+1

G(s)=----=-------=二----------

Z,(s)R1R】CS

例2?7求下列微分方程的時域解X(Z)o已知x(0)=0/(0)=3。

學+3處+6x=0

dt2dt

解：對方程兩端取拉氏變換為：

S2X(s)-Sc(0)-x(0)+3S￥(s)-3x(0)+6X(s)=0

代入初始條件得到

(S?+3S+6)X(s)=3

解出X(s)為:

g

32后

X(s)=2

S2+3S+6一石(s+l.?+(嫗產(chǎn)

反變換得時域解為:

/)

例2-8已知系統(tǒng)

圖2-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

結(jié)構(gòu)圖如圖2-9所示，

圖2-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化

試用化簡法求傳遞函數(shù)

C(s)砥s)。

解：(1)首先將含有G2的前向通路上的分支點前移，移到下面

的回環(huán)之外。如圖2-10(。)所示。

(2)將反饋環(huán)和并連部分用代數(shù)方法化簡，得圖2-10(b)。

(3)最后將兩個方框串聯(lián)相乘得圖2-10(c)。

例2-9已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-11所示，試用化簡法求傳遞函數(shù)

C(s)/R(s)°

解:

（1）將兩條前饋通路分圖2-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

開，改畫成圖2-12（。）的形

式。

（2）將小前饋并聯(lián)支路相加，得圖2-12（6）。

（3）先用串聯(lián)公式,

再用并聯(lián)公式

圖2-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

將支路化簡為圖2-12（c）。

例2-10已知機械系統(tǒng)如圖2-13（。）所示，電氣系統(tǒng)如圖2-13

1）所示，試畫出兩系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相

似系統(tǒng)。

圖2-13系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解：（1）若圖2-13（。）所示機械系統(tǒng)的運動方程，遵循以下

原則并聯(lián)元件的合力等于兩元件上的力相加，平行移動，位移相同,

串聯(lián)元件各元件受力相同，總位移等于各元件相對位移之和。

微分方程組為:

'F=FI+F2=/1(X;-X0)+^,(X,-X0)

〈尸=/2(尤0-夕)

F=K2y

取拉氏變換，并整理成因果關(guān)系有:

尸(s)=(力S+&)[g(s)-Xo(S)]

y(s)=；F(s)

Xo(s)=」-b(s)+V(s)

畫結(jié)構(gòu)圖如圖2—14：

圖2-14機械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

求傳遞函數(shù)為:

+//)(廠+^^)

X0(s)

X,(s)1+(%+仆)(;+1-)

《2九S

(2)寫圖2-13(b)所示電氣系統(tǒng)的運動方程，按電路理論，

遵循的定律與機械系統(tǒng)相似，即并聯(lián)元件總電流等于兩元件電流之

和，電壓相等。串聯(lián)元件電流相等，總電壓等于各元件分電壓之和,

可見，電壓與位移互為相似量電流與力互為相似量。

運動方程可直接用復(fù)阻抗寫出：

/(S)=IXS+八(S)=:四⑸一瓦(s)]+Gs[(紇(S)-局⑸]

R\

./(.v)=-^[E0(.v)-Ef2(.v)]

人2

/(5)=C2S+EC2(5)

整理成因果關(guān)系:

/（s）=（；+Gs）[（g（s）-E0（s）]

火1

岫⑸二為/⑸

Cz2J

&）（S）=〃?2+%2（S）

畫結(jié)構(gòu)圖如圖2-15所

示：

圖2-15電氣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

求傳遞函數(shù)為:

(：+Gs)(&+工)

￡°(s)jtVj2D(居GS+i)(R2c2S+1)

E"G)(凡GS+1)(722c2s+1)+R|C2s

1+(---1----)(凡-----)

&GS。2s

對上述兩個系統(tǒng)傳遞函數(shù),結(jié)構(gòu)圖進行比較后可以看出。兩個

系統(tǒng)是相似的。機一電系統(tǒng)之間相似量的對應(yīng)關(guān)系見表2-1。

表2-1相似量

機械系

/1

XiXoyFFiF2K、1/&

統(tǒng)

電氣系

6eoe‘2iii1/RRGc2

統(tǒng)

例2-11RC網(wǎng)絡(luò)如圖2-16所示，其中均為網(wǎng)絡(luò)輸入量，也為

網(wǎng)絡(luò)輸出量。

(1)畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖;

(2)求傳遞函數(shù)5(s)/Ui(s)。

解：(1)用復(fù)阻抗寫出原始方程

組。

輸入回路必=/?/+■+%)；

C2s

圖2-16RC網(wǎng)絡(luò)

輸出回路。2=n212+(/[

C2s

中間回路/內(nèi)=(&2+2)

(3)整理成因果關(guān)系式。

5-但+/2)小

內(nèi)

3/R2cls+1

g=R—展

即可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖2-17所示。

圖2-17網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

(4)用梅遜公式求出：

U2G1Aj+G2A2+G3A3

6^-A-

CS

—--------+'R2

_R]C2S&GS+1C2sH2GS+I

=；

i1H-------1------~--------

R}C2SR2C}S+1C2s

R]R2c[C2s2+(A]+7?2)GS+1

&R2cle2s2+(/?]。2+R2Ci+R1G)s+1

例2-12已知系統(tǒng)的信號流圖如圖2-18所示，試求傳遞函數(shù)C(s)/

R(s).

圖2-18信號流圖

解：單獨回路4個，即

>,乙“=-Gi-G2-G3-G|G2

兩個互不接觸的回路有4組，即

^LbLc=G,G2+GQ3+G2G3+G]G2G3

三個互不接觸的回路有1組，即

也=-G|G2G3

于是，得特征式為

=1+G]+G[+G3+2G|G2+GQ3+G2G3+2G]G2G3

從源點R到阱節(jié)點C的前向通路共有4條，其前向通路總增益

以及余因子式分別為

尸]=G[G2G3KA]=1

—G2G3KA2=1+G]

P3—G1G3KA3=1+G2

/=-G|G2G3K△4=1

因此，傳遞函數(shù)為

C(s)_-A++P企3+?八4

~^―A-

G2G3K(1+G)+GGKQ+G2)

1+G]+G?+G3+2G]G2+GQ3+G2G3+2GQ2G3

第三章

例3-1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-1所示。

已知傳遞函數(shù)G（5）=10/（0.25+1）o今欲采用加負反饋的辦法，

將過渡過程時間4減小為原來的01倍，并保證總放大系數(shù)不變。

試確定參數(shù)Kh和Ko的數(shù)值。

解首先求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（s）,并整理為標準式，然后與

指標、參數(shù)的條件對照。

一階系統(tǒng)的過渡過程時間。與其時間常數(shù)成正比。根據(jù)要求，總傳

遞函數(shù)應(yīng)為

C(s)K°G(s)

l+K“G(s)0.2s+l+10K”

比較系數(shù)得

7+10K”

1+10K”=10

解之得

K,,=0.9、=10

解畢。

例3-10某系統(tǒng)在輸入信號尸（。=（1+/）1（。作用下，測得輸出響應(yīng)

為:

c(0=a+0.9)-0.9e-1<),(?0)

已知初始條件為零，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G）。

解因為

c/、11s4-1

火(s)=一+「「一

sss

10.90.910(5+1)

C(s)=〃，(/)]=

7+T~7+10S2(s+io)

故系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

C(s)1

。（5）=

R(s)O.b+l

解畢。

例3.3設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-2所示。

試分析參數(shù)b的取值對系統(tǒng)階躍響應(yīng)動態(tài)性能的影響。

解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)為

K

0G)=

(T+bK)s+l

系統(tǒng)是一階的。動態(tài)性能指標為

以=0.69(7+6K)

tr=2.2(T+bK)

ts=3(T+bK)

因此，b的取值大將會使階躍響應(yīng)的延遲時間、上升時間

和調(diào)節(jié)時間都加長。解畢。

例3-12設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-34所示。

試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

圖3-34二階控制系統(tǒng)的單位階躍

I.**

解首先明顯看出，在單位階躍作用下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為3,故此

系統(tǒng)的增益不是1,而是3。系統(tǒng)模型為

=--至——r

s'+2^a）ns+a>~

然后由響應(yīng)的%,％、/。及相應(yīng)公式，即可換算出八嗎。

K

。c（。）-4-3

Pc（8）3

%=0邠（s）

由公式得

Mp%=e-礴樂=33%

換算求解得：*0.33、0）?=33.2

解畢。

例3-13設(shè)系統(tǒng)如圖3-35所示。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于

15%,峰值時間等于0.8s,試確定增益KT和速度反饋系數(shù)K,o同

時，確定在此&和K,數(shù)值下系統(tǒng)的延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時

間。

1+以

圖3-35

解由圖示得閉環(huán)特征方程為

2

s+(l+KiKl)s+K]=0

即

K一代―1+K0

2%

由已知條件

Mp%=e-砥屈=0.15

解得

=0.517,?！?4.588$1

于是

%=21.05=0.178

(

1+0.6.+()M

td0.297s

叫

^-^=￡-arccos￡=()5385

卬心一101yli7；

3.5

4=7=1.476s

解畢。

例3-14設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-36所示。試設(shè)計反饋通道傳遞函數(shù)

s-+紇紛+癡

〃G),使系統(tǒng)阻尼比提高到希望的非情，但保持增益K及自然頻率

.圖3-36例3-14控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

以不變。

解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)

郴)二----------胃----:——

s"+2^cons+冠+K%H(s)

在題意要求下，應(yīng)取H(s)=K,s

此時，閉環(huán)特征方程為：

2

s+(2^+KK,a>n)a)ns+a>^t=0

令：2J+KKM,=2。,解出,K,=2&-&)1K%

故反饋通道傳遞函數(shù)為：

Yds

解畢。

例3-15系統(tǒng)特征方程為

3

56+30s5+20s4+105+5s2+20=0

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解特征式各項系數(shù)均大于零，是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。

上述方程中S一次項的系數(shù)為零，故系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。解畢。

例3?16已知系統(tǒng)特征方程式為

/+8$3+18/+16s+5=o

試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。

解勞斯表為

/118

5

$3816

0

28x18-1x168x5-lx0c

s-g—之6---=5

?16x16-8x5=]3.5。

16

13.5x5-16x0<

S0----------------------=3

13.5

由于特征方程式中所有系數(shù)均為正值，且勞斯行列表左端第一

列的所有項均具有正號，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系

統(tǒng)是穩(wěn)定的。解畢。

例3-17已知系統(tǒng)特征方程為

55+/+2、1+21+3s+5=0

試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解本例是應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種特殊情況。如

果在勞斯行列表中某一行的第一列項等于零，但其余各項不等于零

或沒有，這時可用一個很小的正數(shù)￡來代替為零的一項，從而可使

勞斯行列表繼續(xù)算下去。

勞斯行列式為

s5123

s4125

53

￡之0-2

2e+2

s25

￡

一4￡-4-5￡2

s1

2&+2

s°5

由勞斯行列表可見，第三行第一列系數(shù)為零，可用一個很小的

正數(shù)￡來代替；第四行第一列系數(shù)為（2￡+2/￡,當￡趨于零時為正數(shù);

第五行第一列系數(shù)為（一4￡—4—5￥）/（2￡+2）,當￡趨于零時為-2。

由于第一列變號兩次，故有兩個根在右半S平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)

定的。

解畢。

例3-18已知系統(tǒng)特征方程為

56+2s5+8s4+12s3+20s2+165+16=0

試求：（1）在S右半平面的根的個數(shù)；（2）虛根。

解如果勞斯行列表中某一行所有系數(shù)都等于零，則表明在根

平面內(nèi)存在對原點對稱的實根，共輾虛根或（和）共輾復(fù)數(shù)根。此

時，可利用上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式，并對輔助多項式求導(dǎo)，

將導(dǎo)數(shù)的系數(shù)構(gòu)成新行，以代替全部為零的一行，繼續(xù)計算勞斯行

列表。對原點對稱的根可由輔助方程（令輔助多項式等于零）求得。

勞斯行列表為

56182016

21216

s421216

$300

由于$3行中各項系數(shù)全為零，于是可利用行中的系數(shù)構(gòu)成輔

助多項式，即

P（5）=254+1252+16

求輔助多項式對s的導(dǎo)數(shù)，得

原勞斯行列表中一行各項，用上述方程式的系數(shù)，即8和24

代替。此時，勞斯行列表變?yōu)?/p>

s61820

S521216

421216

新勞斯行列表中第一列沒有變號，所以沒有根在右半平面。

對原點對稱的根可解輔助方程求得。令

2s4+121+16

=+jV2和s=±/2

解畢。

例3-19單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

s(as+1)(加2+cs+1)

試求：(1)位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù);

(2)當參考輸入為LX1(/),“X1(f)和n2*1⑴時系統(tǒng)的

穩(wěn)態(tài)誤差。

解根據(jù)誤差系數(shù)公式，有

位置誤差系數(shù)為

K-limG(s)

。s{as+1)(加~+cs+1)

速度誤差系數(shù)為

加速度誤差系數(shù)為

K=lims^GG)=liml,

as(as+12+cs+1)

對應(yīng)于不同的參考輸入信號，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有所不同。

參考輸入為"1(/),即階躍函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

1+K.-1+Q0

參考輸入為〃xl⑺，即斜坡函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

K

參考輸入為r/xl(/),即拋物線函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

2尸_2r

解畢。

例3-20單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

~、10

G(s)=

$(1+7>)(1+7>)

輸入信號為r(t)=A+cot,A為常量，G=0.5弧度/秒。試求系

統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解實際系統(tǒng)的輸入信號，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物

線函數(shù)等典型信號的組合。此時，輸入信號的一般形式可表示為

r(/)=%+r]t+—r2t

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可應(yīng)用疊加原理求出，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是

各部分輸入所引起的誤差的總和。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按下式

計算：

對于本例，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

1+K〃Kv

本題給定的開環(huán)傳遞函數(shù)中只含一個積分環(huán)節(jié)，即系統(tǒng)為

1型系統(tǒng)，所以

Kv=limsG(s)=lims?

s(l+T]S)(l+4s)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

AcoAcoco0.5

+—=—=—=0.05

1+KKvl+oo101010

解畢。

例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-37所示。假設(shè)輸入信號為

rQ）=af（a為任意常數(shù)）。

證明：通過適當?shù)卣{(diào)節(jié)長的值，該系統(tǒng)對斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)

態(tài)誤差能達到零。

圖3-37例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

C(5)_K(K,s+l)

R(s)s(仆+1)+K

即

m、K(K,s+l、

C(s)=——-?R(s)

Ts2+s+K

因此

Ts、s-KKjS

R(s)—C(s)?R(s)

Ts1+s+K

當輸入信號為r(t)=at時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

Ts1+s-KK,sa「2+1—KKJ

e”=lims—hm------；-------------

ssSTOTs2+s+K-07V+S+K

67\+(l—KKJ]aQ—KK)

lim

s->0TS2+S+KK

要使系統(tǒng)對斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，即es5=O,必

須滿足

1_=0

所以

K,=1/K

解畢。

K

例3-22設(shè)單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K〃j。如

Ts+1

果要求系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差心=0，單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量

監(jiān)％=4.3%,試問(、Kg、T,各參數(shù)之間應(yīng)保持什么關(guān)系？

解開環(huán)傳遞函數(shù)

2_KpK

解得:

由于要求

M%="〃百xlOO%<4.3%

故應(yīng)有^0.707o于是，各參數(shù)之間應(yīng)有如下關(guān)系

K’KgTW0.5

本例為I型系統(tǒng)，位置穩(wěn)態(tài)誤差6后0的要求自然滿足。解

例3-23設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)如圖3-38所示。其中

&=2K?=1,T2=0.25s,K2K3

試求尸⑺=(1+/+/2/2)1(/)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖3-38復(fù)合控制系統(tǒng)

解閉環(huán)傳遞函數(shù)

姓)=/2];華+0.5)

22

[a)T2s+S+K1K2S+45+2

等效單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)

G(s)=a=絲乎

l-0(s)S'

表明系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，且

K“=K=2

當r(/)=(l+/+//2)l(/)時，穩(wěn)態(tài)誤差為

ess=l/Ka=Q.5

解畢。

例3-24已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=K/s(A+l)。

試選擇參數(shù)K及T的值以滿足下列指標：

(1)當中)=/時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差essW0.02；

(2)當4)=1⑺時，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標/%W30%,

，sW0.3sg=5%)

解1=：<0.02

開環(huán)增益應(yīng)取KN50o現(xiàn)取K=60o因

?、KITco；

G(s)=------------=---------------

s(s+l/T)s(s+2窕〃)

故有

7=1/2弧，①：=KIT

于是以=2*取%％=0.2%,計算得

JC

a+(lnA/0%)2

=54.72

此時

4=3.5/^^,,=0.14<0.3(5)

滿足指標要求。最后得所選參數(shù)為：

K=601=0.02(s)

解畢。

例3-25—復(fù)合控制系統(tǒng)如圖3-39所示。

圖3-39復(fù)合控制

圖中：。⑶"G2(S)=^^)=聾

&、K?、7］、八均為已知正值。當輸入量廠⑺=*/2時，要求系

統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，試確定參數(shù)。和b。

解系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

C(s)G&G?(G+G,)

R(s)1+G]G?、G)J1+G1G2

故

G2(G|+G,)

1+G6

誤差為

E(s)=R(s)-C(5-)=|I要抽)

J+/

代入R(S)=1/S3及G、G2.G,.,得

2

c(5)_K2[as+(b+KJ2)s+Ki]

32

~R(s)~T^s+(^+72^+(\+K]K2T2)s+KlK2

閉環(huán)特征方程為

T^T-fS'+(1+7^)5"+(l+K]K,7^)s+K、K、-0

易知，在題設(shè)條件下，不等式

(Ti+T2)(L+KlK2T2)>KiK2TiT2

成立。由勞斯穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且與待求參數(shù)八b無關(guān)。

此時、討論穩(wěn)態(tài)誤差是有意義的。而

+.一犬2。力2+(1—長2①$1

-32

5TJ2S+(T1+T2)S+(1+K[K2T2)S+K,K2V

若

M+A-K2a=01—K2b=0

則有

TT

EG)=“2

2

T\T2s3+(T]+T2)S+(1+K]K2T2)5+K1K2

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

%=理sE⑸=°

因此可求出待定參數(shù)為

解畢。

例3-26控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-40所示。誤差E⑸在輸入端定義。

Ms)

R(s)E(s)KKC(s)

OW5#W1控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖s+5

2.5

擾動輸入是幅值為2的階躍函數(shù)。

(1)試求K=40時;系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。

(2)若K=20,其結(jié)果如何?

(3)在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s,對結(jié)

果有何影響？在擾動作用點之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/5,結(jié)

果又如何?

解在圖中，令

G,————,G,=---，H—2.5

0.05s+12s+5

則

C(s)=G2N(s)+GlG2E(s)

代入E(s)=火(s)—〃C(s),得

C(s)=-------N(s)+―G&-R(S)

1+G]G2H1+GG2H

令R(s)=O,得擾動作用下的輸出表達式

1+5。2〃

此時，誤差表達式為

紇(s)=R(s)-HCn(s)=-丁然后N(s)

1+

即

-limsE”(s)