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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.把函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個命題①的值域為②的一個對稱軸是③的一個對稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.42.已知函數(shù)若對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知函數(shù),,則的極大值點為()A. B. C. D.4.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出的結(jié)果為()A. B.6 C. D.5.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)是偶函數(shù),則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.6.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關(guān),且,則實數(shù)()A. B. C. D.7.設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.執(zhí)行程序框圖,則輸出的數(shù)值為()A. B. C. D.9.點在曲線上,過作軸垂線,設(shè)與曲線交于點,,且點的縱坐標始終為0,則稱點為曲線上的“水平黃金點”,則曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.310.點是單位圓上不同的三點,線段與線段交于圓內(nèi)一點M,若,則的最小值為()A. B. C. D.11.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個零點,則()A. B.C. D.12.已知數(shù)列中,,且當為奇數(shù)時,;當為偶數(shù)時,.則此數(shù)列的前項的和為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,若,且,則實數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是________.14.在平面直角坐標系中,點在單位圓上,設(shè),且.若,則的值為________________.15.如圖,已知扇形的半徑為1,面積為,則_____.16.(5分)有一道描述有關(guān)等差與等比數(shù)列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列,已知前三個和尚的身高依次成等差數(shù)列,后三個和尚的身高依次成等比數(shù)列,且前三個和尚的身高之和為cm,中間兩個和尚的身高之和為cm,則最高的和尚的身高是____________cm.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:的離心率為,左、右頂點分別為、,過左焦點的直線交橢圓于、兩點(異于、兩點),當直線垂直于軸時,四邊形的面積為1.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線、的交點為;試問的橫坐標是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.18.(12分)已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,.(1)求數(shù)列{an}的通項an;(2)設(shè)bn=an?3n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.19.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(-,0)、F2(,0).點M(1,0)與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.(1)求橢圓C的方程;(2)已知點N的坐標為(3,2),點P的坐標為(m,n)(m≠3).過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點,設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,試求m,n滿足的關(guān)系式.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的定義域和值域.21.(12分)已知集合,,,將的所有子集任意排列,得到一個有序集合組,其中.記集合中元素的個數(shù)為,,,規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時,求的值;利用數(shù)學(xué)歸納法證明:不論為何值,總存在有序集合組,滿足任意,,都有.22.(10分)已知曲線的極坐標方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的直角坐標方程與直線的普通方程;(2)已知點,直線與曲線交于、兩點,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗法判斷②③;對求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個單位可得,,的值域為,①錯誤;當時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,②正確;當時,,所以的一個對稱中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個.故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗法判斷余弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.2.C【解析】分析:先求導(dǎo),再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,得到關(guān)于a的不等式組,再解不等式組得到實數(shù)a的取值范圍.詳解:由題得.當a<1時,,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,所以故a≥1,與a<1矛盾,故a<1矛盾.當1≤a<e時,函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增,在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,所以即令,所以所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以,所以當1≤a<e時,滿足題意.當a時,函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,故1+1,所以故綜上所述,a∈.故選C.點睛:本題的難點在于“對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問題,所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等)來分析解答問題.本題就是把這個條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來,完成了數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)化,找到了問題的突破口.3.A【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點即可.【詳解】因為,故可得,令,因為,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點為.故選:A.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點,屬基礎(chǔ)題.4.D【解析】
用列舉法,通過循環(huán)過程直接得出與的值,得到時退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖,可得,,滿足條件,,,滿足條件,,,滿足條件,,,由題意,此時應(yīng)該不滿足條件,退出循環(huán),輸出S的值為.故選D.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.5.A【解析】
先求出的解析式,再求出的解析式,根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可求實數(shù)滿足的等式,從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為,故.令,,解得,.因為為偶函數(shù),故直線為其圖象的對稱軸,令,,故,,因為,故,當時,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì),注意平移變換是對自變量做加減,比如把的圖象向右平移1個單位后,得到的圖象對應(yīng)的解析式為,另外,如果為正弦型函數(shù)圖象的對稱軸,則有,本題屬于中檔題.6.B【解析】
求出,把坐標代入方程可求得.【詳解】據(jù)題意,得,所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點可計算參數(shù)值.7.C【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運算進行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.8.C【解析】
由題知:該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值,計算程序框圖的運行結(jié)果即可得到答案.【詳解】,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,不滿足條件,輸出.故選:C【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),屬于簡單題.9.C【解析】
設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點的個數(shù),即為所求.【詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當時,,則單調(diào)遞減;當時,,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為2.故選:C【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應(yīng)用.10.D【解析】
由題意得,再利用基本不等式即可求解.【詳解】將平方得,(當且僅當時等號成立),,的最小值為,故選:D.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.11.C【解析】
當時,最多一個零點;當時,,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當時,,得;最多一個零點;當時,,,當,即時,,在,上遞增,最多一個零點.不合題意;當,即時,令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個零點;根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點,在,上有2個零點,如圖:且,解得,,.故選.【點睛】遇到此類問題,不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類討論,這一過程中有可能分類不全面、不徹底.12.A【解析】
根據(jù)分組求和法,利用等差數(shù)列的前項和公式求出前項的奇數(shù)項的和,利用等比數(shù)列的前項和公式求出前項的偶數(shù)項的和,進而可求解.【詳解】當為奇數(shù)時,,則數(shù)列奇數(shù)項是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,當為偶數(shù)時,,則數(shù)列中每個偶數(shù)項加是以為首項,以為公比的等比數(shù)列.所以.故選:A【點睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項和公式、等比數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13..【解析】
化簡集合,由,以及,即可求出結(jié)論.【詳解】集合,若,則的可能取值為,0,2,3,又因為,所以實數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是.故答案為:.【點睛】本題考查集合與元素的關(guān)系,理解題意是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
根據(jù)三角函數(shù)定義表示出,由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合求得,而,展開后即可由余弦差角公式求得的值.【詳解】點在單位圓上,設(shè),由三角函數(shù)定義可知,因為,則,所以由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得,所以故答案為:.【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,余弦差角公式的應(yīng)用,屬于中檔題.15.【解析】
根據(jù)題意,利用扇形面積公式求出圓心角,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出,利用向量的數(shù)量積公式求出.【詳解】設(shè)角,則,,所以在等腰三角形中,,則.故答案為:.【點睛】本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
依題意設(shè)前三個和尚的身高依次為,第四個(最高)和尚的身高為,則,解得,又,解得,又因為成等比數(shù)列,則公比,故.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)是為定值,的橫坐標為定值【解析】
(1)根據(jù)“直線垂直于軸時,四邊形的面積為1”列方程,由此求得,結(jié)合橢圓離心率以及,求得,由此求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線的方程,并求得兩直線交點的橫坐標,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進行化簡,求得的橫坐標為定值.【詳解】(1)依題意可知,解得,即;而,即,結(jié)合解得,,因此橢圓方程為(2)由題意得,左焦點,設(shè)直線的方程為:,,.由消去并整理得,∴,.直線的方程為:,直線的方程為:.聯(lián)系方程,解得,又因為.所以.所以的橫坐標為定值.【點睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查直線和直線交點坐標的求法,考查運算求解能力,屬于中檔題.18.(1).(2)【解析】
(1)先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程,解出d的值,即可得到數(shù)列{an}的通項an;(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計算出數(shù)列{bn}的通項公式,然后運用錯位相減法計算前n項和Tn.【詳解】(1)由題意,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),則a4a5=(1+3d)(1+4d)=11,整理,得12d2+7d﹣10=0,解得d(舍去),或d,∴an=1(n﹣1),n∈N*.(2)由(1)知,bn=an?3n?3n=(2n+1)?3n﹣1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=3×1+5×31+7×32+…+(2n+1)?3n﹣1,∴3Tn=3×31+5×32+…+(2n﹣1)?3n﹣1+(2n+1)?3n,兩式相減,可得:﹣2Tn=3×1+2×31+2×32+…+2?3n﹣1﹣(2n+1)?3n=3+2×(31+32+…+3n﹣1)﹣(2n+1)?3n=3+2(2n+1)?3n=﹣2n?3n,∴Tn=n?3n.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計算,以及運用錯位相減法計算前n項和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想,方程思想,錯位相減法的運用,以及邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力.屬于中檔題.19.(1);(2)m-n-1=0【解析】試題分析:(1)利用M與短軸端點構(gòu)成等腰直角三角形,可求得b的值,進而得到橢圓方程;(2)設(shè)出過M的直線l的方程,將l與橢圓C聯(lián)立,得到兩交點坐標關(guān)系,然后將k1+k3表示為直線l斜率的關(guān)系式,化簡后得k1+k3=2,于是可得m,n的關(guān)系式.試題解析:(1)由題意,c=,b=1,所以a=故橢圓C的方程為(2)①當直線l的斜率不存在時,方程為x=1,代入橢圓得,y=±不妨設(shè)A(1,),B(1,-)因為k1+k3==2又k1+k3=2k2,所以k2=1所以m,n的關(guān)系式為=1,即m-n-1=0②當直線l的斜率存在時,設(shè)l的方程為y=k(x-1)將y=k(x-1)代入,整理得:(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)所以k1+k3======2所以2k2=2,所以k2==1所以m,n的關(guān)系式為m-n-1=0綜上所述,m,n的關(guān)系式為m-n-1=0.考點:橢圓標準方程,直線與橢圓位置關(guān)系,20.(Ⅰ)(Ⅱ)函數(shù)的定義域為,值域為【解析】
(1)由為第二象限角及的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值,再代入中即可得到結(jié)果.(2)函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數(shù),根據(jù)的范圍,即可得到
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