福建省廈門市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期質(zhì)量檢測期末考試試題含解析

PAGE24-福建省廈門市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期質(zhì)量檢測期末考試試題（含解析）滿分為150分，考試時(shí)間120分鐘．留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將白己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題下對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．全部答案答在答題卡上，答在本試卷上無效.一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集定義干脆求解即可.【詳解】集合，，則.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的定義域和偶次根式和分母有意義的條件列不等式組可解得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?所以要使有意義,只需,解得:或,所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的定義域的求法.屬中檔題.3.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與直線重合，且，又是角終邊上一點(diǎn)，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，依據(jù)，求得的值，即可求解得值，得到答案.【詳解】由題意，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與直線重合，且，所以為第三象限角.又是角終邊上一點(diǎn)，所以，再依據(jù)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以，則，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用，其中解答嫻熟應(yīng)用三角函數(shù)的定義，列出方程求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.某工廠前年的總產(chǎn)量與之間的關(guān)系如圖所示．從目前記錄的結(jié)果看，前年的年平均產(chǎn)量最高，值為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】依據(jù)圖中表示工廠前年的總產(chǎn)量與之間的關(guān)系，得出平均產(chǎn)量的幾何意義是原點(diǎn)與該點(diǎn)連線的斜率，從而得出答案．【詳解】解：∵工廠前年的總產(chǎn)量與在圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴前年的年平均產(chǎn)量即為直線的斜率，由圖得，當(dāng)時(shí)，直線的斜率最大，即前5年的年平均產(chǎn)量最高，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的應(yīng)用問題，也考查了統(tǒng)計(jì)中的散點(diǎn)圖的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是正確分析出平均產(chǎn)量的幾何意義是什么．5.的值為（）A-1 B. C.3 D.-5【答案】A【解析】【分析】進(jìn)行對(duì)數(shù)式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的運(yùn)算即可．【詳解】原式＝lg2+lg5﹣2﹣2+2＝lg10﹣2＝1﹣2＝﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式，根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知，都為單位向量，且，夾角的余弦值是，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，結(jié)合數(shù)量積的定義可求得的平方的值，再開方即可．【詳解】依題意，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．向量數(shù)量積的運(yùn)算主要駕馭兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.7.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，則，故選B.8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同實(shí)數(shù)解，，，，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意作函數(shù)與的圖象，從而可得，，，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，從而得解；【詳解】解：結(jié)合與的圖象可知：，，，故，，由對(duì)勾函數(shù)的圖象可知函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以，故，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用．屬于中檔題二、多選題：本大題共2個(gè)小題，每小題5分，共10分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.以表示值域?yàn)榈暮瘮?shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間．例如，當(dāng)，時(shí)，，．則下列命題中正確的是：（）A.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”的充要條件是“，，”B.函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值C.若函數(shù)，的定義域相同，且，，則D.若函數(shù)有最大值，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)中，依據(jù)函數(shù)的定義域、值域的定義，轉(zhuǎn)化成用簡易邏輯語言表示出來；B選項(xiàng)中舉反例保證函數(shù)的值域?yàn)榧系淖蛹涤蚴且粋€(gè)開區(qū)間，從而說明函數(shù)沒有最值；C選項(xiàng)中從并集的角度相識(shí)函數(shù)值域，可以發(fā)覺，從而發(fā)覺命題正確；D選項(xiàng)中從極限的角度證明，均不成立，所以，再求出函數(shù)的值域?yàn)?，從而得到命題D正確.【詳解】對(duì)A，“”即函數(shù)值域?yàn)?，“，，”表示的是函?shù)可以在中隨意取值，故有：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”的充要條件是“，，”，命題A是真命題；對(duì)B，若函數(shù)，即存在一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間．．例如：函數(shù)滿意，則有，此時(shí)，無最大值，無最小值．命題B“若函數(shù)，則有最大值和最小值．”是假命題；對(duì)C，若函數(shù)，的定義域相同，且，，則值域?yàn)?，，并且存在一個(gè)正數(shù)，使得，，則．命題C是真命題．對(duì)D，函數(shù)有最大值，假設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，，則，與題意不符；假設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，，則，與題意不符.，即函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，即．，即，故命題D是真命題．故選ACD.點(diǎn)睛】本題以新定義概念為問題背景，考查函數(shù)值域的概念、基本不等式、充要條件、雙勾函數(shù)等學(xué)問的綜合，還考查了極限思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類探討思想的綜合應(yīng)用，計(jì)算量較大，有肯定的思維難度，屬于難題．10.已知為平面上兩兩不重合的四點(diǎn)，且，則（）．A.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在的外部B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為的重心D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線【答案】CD【解析】【詳解】當(dāng)時(shí)，為的重心，在的內(nèi)部，所以選項(xiàng)A不正確；當(dāng)時(shí)，，，所以時(shí)也有，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C重心的幾何意義不難得出是正確的：可化為，由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線，所以選項(xiàng)D正確.三、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在答題卡上的相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．11.計(jì)算：_____．【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡題目所給表達(dá)式，依據(jù)特別角的三角函數(shù)值求得運(yùn)算的結(jié)果.【詳解】依題意，原式.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用誘導(dǎo)公式化簡求值，考查特別角的三角函數(shù)值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.利用誘導(dǎo)公式化簡，首先將題目所給的角，利用誘導(dǎo)公式變?yōu)檎牵缓筠D(zhuǎn)化為較小的角的形式，再利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，化簡過程中肯定要留意角的三角函數(shù)值的符號(hào).12.已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】若則A?B，依據(jù)集合，集合，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若則A?B，又集合，集合，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是集合的包含關(guān)系的推斷與應(yīng)用，集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.13.在平面直角坐標(biāo)系中，角終邊過點(diǎn)，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】由條件利用隨意角的三角函數(shù)的定義，求得、的值，從而求得的值．【詳解】解：∵平面直角坐標(biāo)系中，角終邊過點(diǎn)，∴，，，∴，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查隨意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．14.在平面內(nèi)，點(diǎn)是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，滿意，，則集合所表示的區(qū)域的面積是________.【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，依據(jù)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算求得點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡后可求得點(diǎn)的軌跡也即表示的區(qū)域，由此計(jì)算出區(qū)域的面積.【詳解】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由于，，即,故設(shè)，即，設(shè)，由得，即，則，故表示的是原點(diǎn)在圓心，半徑為的圓，由于，故點(diǎn)所表示的區(qū)域是圓心在原點(diǎn)，半徑為的兩個(gè)圓之間的扇環(huán)，故面積為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析求解實(shí)力，屬于中檔題.15.某輛汽車以的速度在高速馬路上勻速行駛（考慮到高速馬路行車平安，要求）時(shí)，每小時(shí)的油耗（所須要的汽油量）為，其中為常數(shù).若汽車以的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為，欲使每小時(shí)的油耗不超過，則速度的取值范圍為___．【答案】【解析】【分析】先利用時(shí)的油耗，計(jì)算出的值，然后依據(jù)題意“油耗不超過”列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】由于“汽車以的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為”，所以，解得，故每小時(shí)油耗為，依題意，解得，依題意，故.所以速度的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用待定系數(shù)法求解析式，考查一元二次不等式解法，考查實(shí)際應(yīng)用問題，屬于中檔題.16.偶函數(shù)滿意，在時(shí)，．若存在，，…，滿意，且，則最小值為__________．【答案】1012【解析】【分析】由函數(shù)是最小正周期為6的偶函數(shù)可知函數(shù)的值域?yàn)?，，?duì)隨意，，，2，3，，，都有，要使取得最小值，盡可能多讓，2，3，，取得最高點(diǎn)，然后可得的最小值．【詳解】解：∵偶函數(shù)滿意，∴，∴函數(shù)是最小正周期為6的偶函數(shù)，且在時(shí)，，∴函數(shù)的值域?yàn)椋瑢?duì)隨意，（，），都有，∵時(shí)，單調(diào)遞減，依據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知時(shí)，單調(diào)遞增，∵，，要使取最小值，盡可能多讓取最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，滿意，且，∵，∴，則最小值為1012，故答案為：1012．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的有界性的應(yīng)用，考查了分析問題和解決問題的實(shí)力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于難題.三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若為其次象限角且，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【詳解】試題分析：（1）依據(jù)圖象可得周期，故．再依據(jù)圖象過點(diǎn)可得．最終依據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)可求得，從而可得解析式．（2）由題意可得，進(jìn)而可求得和，再依據(jù)兩角和的正弦公式可求得的值．試題解析：(1)由圖可知，周期，∴又函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴．∴,∵函數(shù)圖象過點(diǎn)，∴，∴，所以.（2）∵為其次象限角且，∴,∴，，∴．點(diǎn)睛：已知圖象求函數(shù)解析式的方法（1）依據(jù)圖象得到函數(shù)的周期，再依據(jù)求得．（2）可依據(jù)代點(diǎn)法求解，代點(diǎn)時(shí)一般將最值點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式；也可用“五點(diǎn)法”求解，用此法時(shí)須要先推斷出“第一點(diǎn)”的位置，再結(jié)合圖象中的點(diǎn)求出的值．（3）在本題中運(yùn)用了代點(diǎn)的方法求得的值，一般狀況下可通過視察圖象得到的值．18.已知函數(shù)．（1）寫出的定義域；（2）推斷的奇偶性；（3）已知在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，若對(duì)隨意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）為奇函數(shù)．（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)成立的條件即可求出的定義域；（2）依據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可推斷的奇偶性；（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．【詳解】解：（1）∵，恒成立，∴，即的定義域?yàn)椋?）∵由（1）得的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴為奇函數(shù)．（3）∵對(duì)隨意的，不等式恒成立，∴，又∵是奇函數(shù)，∴又∵在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)．∴，即對(duì)隨意恒成立，∴得即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的推斷以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)．19.是邊長為的等邊三角形，,,過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，用向量表示；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】（Ⅰ）由題意可知：，且，，故，（Ⅱ）由題意，，，當(dāng)時(shí)，有最大值．、20.如圖，已知是單位圓（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)）上一點(diǎn)，，作軸于，軸于．（1）比較與的大小，并說明理由；（2）的兩邊交矩形的邊于，兩點(diǎn)，且，求的取值范圍．【答案】（1），見解析（2）【解析】【分析】（1）記，可求，，由，可得結(jié)論；（2）設(shè)，，，記，分，兩種狀況進(jìn)行探討，表示出，依據(jù)其單調(diào)性及端點(diǎn)處函數(shù)值可求得范圍；【詳解】解：（1）記，連接，則，依題意，∴；（2）設(shè)，，，記，①當(dāng)時(shí)，，，∴②當(dāng)時(shí)，，，∴綜上，，在增函數(shù)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，∵，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換、平面對(duì)量的綜合應(yīng)用，考查分類探討思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生解決問題的實(shí)力，屬于中檔題．21.如圖，河的兩岸分別有生活小區(qū)和，其中，三點(diǎn)共線，與的延長線交于點(diǎn)，測得，，，，，若以所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系則河岸可看成是曲線（其中是常數(shù)）的一部分，河岸可看成是直線（其中為常數(shù)）的一部分．（1）求的值．（2）現(xiàn)打算建一座橋，其中分別在上，且，的橫坐標(biāo)為．寫出橋的長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并標(biāo)明定義域；當(dāng)為何值時(shí)，取到最小值？最小值是多少？【答案】（1），.（2）；當(dāng)時(shí)取到最小值，為【解析】【分析】（1）計(jì)算，，，，將點(diǎn)代入直線方程計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算，得到，再利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由題意得：，，∴，，，，把，代入得，解得：，把，代入得，解得.（2）由（1）得：點(diǎn)在上，∴，①橋的長為到直線的距離，故；②由①得：，而，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即“=”成立，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.22.設(shè)是定義在上函數(shù)，若存在，使得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間稱為含峰區(qū)間，其含峰區(qū)間的長度為：．（1）推斷下列函數(shù)中，哪些是“上的單峰函數(shù)”？若是，指出峰點(diǎn)；若不是，說出緣由；；（2）若函數(shù)是上的單峰函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)是區(qū)間上的