新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)01 排列與組合（易錯(cuò)點(diǎn)+十大題型）（解析版）

秘籍01排列與組合目錄【高考預(yù)測】概率預(yù)測+題型預(yù)測+考向預(yù)測【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)（押題型）【題型二】人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空【題型三】人坐座位模型2：染色（平面、空間）【題型四】分配問題：球不同，盒不同【題型五】分配問題：球同，盒不同【題型六】書架插書模型【題型七】代替元法：最短路徑【題型八】代替元法：空車位停車等【題型九】環(huán)排問題：直排策略【題型十】數(shù)列思想：上樓梯等概率預(yù)測☆☆☆☆☆題型預(yù)測選擇題、填空題☆☆☆☆☆考向預(yù)測排列組合題型考察排列組合和二項(xiàng)式定理是高考熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，有了多選題型后常和概率結(jié)合起來考察，所以需要考生對(duì)于排列組合的基礎(chǔ)題型有所了解，以及一些特殊的方法，這塊有很多固定的題型，當(dāng)然在掌握題型的基礎(chǔ)上還需要明白其原理，能夠冷靜分析，合理運(yùn)用好排列組合的解題思維。根據(jù)高考回歸課本的趨勢(shì)，排列數(shù)與組合數(shù)的運(yùn)算以及術(shù)與式的歸納理解要求要相繼變高，而這塊內(nèi)容也是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的固定題型容易被學(xué)生忽略的知識(shí)點(diǎn)，需要重視起來。易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂兩個(gè)計(jì)數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計(jì)數(shù)原理有兩類不同方案?，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法N＝m＋n種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)原理需要兩個(gè)步驟?，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法N＝m×n種不同的方法(1)每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事.(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的.(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了才能完成這件事.(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏.易錯(cuò)提醒：1.完成一件事可以有n類不同方案，各類方案相互獨(dú)立，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.2.完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.例設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2，3，3，4條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則下列結(jié)論正確的是（

）A．從東面上山有20種走法 B．從西面上山有27種走法C．從南面上山有30種走法 D．從北面上山有32種走法破解：若從東面上山，則上山走法有2種，下山走法有10種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有20種走法；若從西面上山，則上山走法有3種，下山走法有9種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有27種走法；若從南面上山，則上山走法有3種，下山走法有9種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有27種走法；若從北面上山，則上山走法有4種，下山走法有8種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有32種走法；故選：ABD變式1：近年來，重慶以獨(dú)特的地形地貌、城市景觀和豐富的美食吸引著各地游客，成為“網(wǎng)紅城市”．遠(yuǎn)道而來的小明計(jì)劃用2天的時(shí)間游覽以下五個(gè)景點(diǎn)：解放碑、洪崖洞、重慶大劇院、“輕軌穿樓”打卡點(diǎn)、磁器口，另外還要安排一次自由購物，因此共計(jì)6項(xiàng)內(nèi)容．現(xiàn)將每天分成上午、下午、晚上3個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)段完成1項(xiàng)內(nèi)容，其中大劇院與洪崖洞的時(shí)段必須安排在同一天且相鄰，洪崖洞必須安排在晚上，“輕軌穿樓”必須安排在白天，其余項(xiàng)目沒有限制，那么共有種方案.破解：將第1天的上午、下午、晚上3個(gè)時(shí)間段分別編號(hào)為1，2，3，第2天的上午、下午、晚上3個(gè)時(shí)間段分別編號(hào)為4，5，6，由于大劇院與洪崖洞的時(shí)段必須安排在同一天且相鄰，洪崖洞必須安排在晚上，則僅有2、3或5、6兩種排法，若大劇院與洪崖洞的時(shí)段為2、3，則“輕軌穿樓”在1，4，5中選一個(gè)，有SKIPIF1<0種選法，其余3個(gè)項(xiàng)目在剩下的3個(gè)時(shí)段全排列，共有SKIPIF1<0種排法，故共有SKIPIF1<0種排法；同理若大劇院與洪崖洞的時(shí)段為5、6，也有18種排法，故共有SKIPIF1<0（種）方案，故答案為：36變式2：從SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)字中取出SKIPIF1<0個(gè)數(shù)字，試問：(1)有多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的排列SKIPIF1<0(2)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)SKIPIF1<0破解：（1）問題等價(jià)于從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中選出SKIPIF1<0個(gè)元素的排列問題，故有SKIPIF1<0（種）無重復(fù)數(shù)字的排列．（2）分兩類：第一類：若選到數(shù)字SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不排在首位，則SKIPIF1<0有SKIPIF1<0種排法，其他SKIPIF1<0個(gè)位置由其余SKIPIF1<0個(gè)數(shù)字選出SKIPIF1<0個(gè)排列即可，有SKIPIF1<0種排法，故有SKIPIF1<0（個(gè)）四位數(shù)．第二類：若選不到數(shù)字SKIPIF1<0，從SKIPIF1<0個(gè)數(shù)字中選SKIPIF1<0個(gè)進(jìn)行排列即可，故有SKIPIF1<0（個(gè)）．綜上知，有SKIPIF1<0（個(gè)）無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)（押題型）1.排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合的定義合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)公式SKIPIF1<0＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0性質(zhì)SKIPIF1<0＝n！，0?。?SKIPIF1<0＝1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正確理解組合數(shù)的性質(zhì)(1)SKIPIF1<0：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的方法數(shù)等于取出剩余n－m個(gè)元素的方法數(shù).(2)SKIPIF1<0：從n＋1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素A有SKIPIF1<0種方法；②含特殊元素A有SKIPIF1<0種方法.【例1】組合數(shù)SKIPIF1<0恒等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由SKIPIF1<0.【例2】規(guī)定SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，m是正整數(shù)，且SKIPIF1<0，這是組合數(shù)SKIPIF1<0（n，m是正整數(shù)，且SKIPIF1<0）的一種推廣．(1)求SKIPIF1<0的值．(2)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0是否都能推廣到SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由；(3)已知組合數(shù)SKIPIF1<0是正整數(shù)，證明：當(dāng)SKIPIF1<0，m是正整數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)性質(zhì)①不能推廣，理由見解析；性質(zhì)②能推廣，證明見解析.(3)證明見解析.【詳解】（1）SKIPIF1<0（2）性質(zhì)①不能推廣，例如當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0有定義，但SKIPIF1<0無意義；性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，m是正整數(shù)證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，組合數(shù)SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因?yàn)榻M合數(shù)SKIPIF1<0是正整數(shù)，所以SKIPIF1<0證畢.【例3】（1）求SKIPIF1<0的值；（2）設(shè)m，nSKIPIF1<0N*，n≥m，求證：（m+1）SKIPIF1<0+（m+2）SKIPIF1<0+（m+3）SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+nSKIPIF1<0+（n+1）SKIPIF1<0=（m+1）SKIPIF1<0.【答案】（1）0（2）詳見解析【詳解】解：（1）SKIPIF1<0（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，結(jié)論顯然成立，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0因此【變式1】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）（多選）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正整數(shù)且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【詳解】對(duì)A：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)C：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正確.故選：BD.【變式2】（2024·山東濟(jì)南·一模）（多選）下列等式中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)镾KIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確.對(duì)于D，SKIPIF1<0，對(duì)于SKIPIF1<0，其含有SKIPIF1<0的項(xiàng)的系數(shù)為SKIPIF1<0，對(duì)于SKIPIF1<0，要得到含有SKIPIF1<0的項(xiàng)的系數(shù)，須從第一個(gè)式子取出SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0，再從第二個(gè)式子取出SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0，它們對(duì)應(yīng)的系數(shù)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：BCD.【變式3】（2024·安徽合肥·一模）“SKIPIF1<0數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)SKIPIF1<0是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意SKIPIF1<0，定義“SKIPIF1<0數(shù)”SKIPIF1<0利用“SKIPIF1<0數(shù)”可定義“SKIPIF1<0階乘”SKIPIF1<0和“SKIPIF1<0組合數(shù)”，即對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)計(jì)算：SKIPIF1<0；(2)證明：對(duì)于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(3)證明：對(duì)于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】(1)155(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由定義可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0（3）由定義得：對(duì)任意SKIPIF1<0.結(jié)合（2）可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……SKIPIF1<0.上述SKIPIF1<0個(gè)等式兩邊分別相加得：SKIPIF1<0.【題型二】人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來坐，來的是誰；5、必要時(shí)，座位拆遷，剩余座位隨人排列。主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。出現(xiàn)兩個(gè)實(shí)踐重疊，必要時(shí)候，可以使用容斥原理來等價(jià)處理：容斥原理SKIPIF1<0SKIPIF1<0【例1】高二年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為：（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是10位同學(xué)參賽演講的順序共有：SKIPIF1<0；滿足條件的事件要得到“一班有3位同學(xué)恰好被排在一起而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的演講的順序”可通過如下步驟：①將一班的3位同學(xué)“捆綁”在一起，有SKIPIF1<0種方法；②將一班的“一梱”看作一個(gè)對(duì)象與其它班的5位同學(xué)共6個(gè)對(duì)象排成一列，有SKIPIF1<0種方法；③在以上6個(gè)對(duì)象所排成一列的7個(gè)間隙（包括兩端的位置）中選2個(gè)位置，將二班的2位同學(xué)插入，有SKIPIF1<0種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理），共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0種方法．∴一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為：P=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故選B．【例2】某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有A．504種 B．960種 C．1008種 D．1108種【答案】C【詳解】試題分析：若丙排SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日，共有SKIPIF1<0，若丁排SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日，共有SKIPIF1<0，若丙排SKIPIF1<0日且丁排SKIPIF1<0日共有SKIPIF1<0，若不考慮丙，丁的條件限制，共有SKIPIF1<0，∴共有SKIPIF1<0(種）．【例3】在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場順序的排法種數(shù)為A．30 B．36 C．60 D．72【答案】C【分析】記事件SKIPIF1<0SKIPIF1<0位男生連著出場，事件SKIPIF1<0女生甲排在第一個(gè)，利用容斥原理可知所求出場順序的排法種數(shù)為SKIPIF1<0，再利用排列組合可求出答案．【詳解】記事件SKIPIF1<0SKIPIF1<0位男生連著出場，即將SKIPIF1<0位男生捆綁，與其他SKIPIF1<0位女生形成SKIPIF1<0個(gè)元素，所以，事件SKIPIF1<0的排法種數(shù)為SKIPIF1<0，記事件SKIPIF1<0女生甲排在第一個(gè)，即將甲排在第一個(gè)，其他四個(gè)任意排列，所以，事件SKIPIF1<0的排法種數(shù)為SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0女生甲排在第一位，且SKIPIF1<0位男生連著，那么只需考慮其他四個(gè)人，將SKIPIF1<0位男生與其他SKIPIF1<0個(gè)女生形成三個(gè)元素，所以，事件SKIPIF1<0的排法種數(shù)為SKIPIF1<0種，因此，出場順序的排法種數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0種，故選C．【變式1】（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，小李以前6項(xiàng)數(shù)字的某種排列作為他的銀行卡密碼，如果數(shù)字1與2不相鄰，則小李可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為（

）A．144 B．120 C．108 D．96【答案】A【詳解】命題意圖

本題考查排列與組合的應(yīng)用．解析

先排數(shù)字2，3，5，8，有SKIPIF1<0種排法，4個(gè)數(shù)字形成5個(gè)空當(dāng)．第一類：若兩個(gè)1相鄰，則從可選擇的3個(gè)空當(dāng)中選出一個(gè)放入兩個(gè)1，有3種排法；第二類：若兩個(gè)1也不相鄰，則從可選擇的3個(gè)空當(dāng)中選出兩個(gè)分別放入數(shù)字1，有3種排法．所以密碼個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0．故選：A【變式2】現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號(hào)為SKIPIF1<0）排成一排拍照，若其中SKIPIF1<0三人互不相鄰，SKIPIF1<0兩人也不相鄰，而SKIPIF1<0兩人必須相鄰，則不同的排法總數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】240【詳解】解：因SKIPIF1<0兩人必須相鄰，所以把SKIPIF1<0看作一個(gè)整體有SKIPIF1<0種排法.又SKIPIF1<0三人互不相鄰，SKIPIF1<0兩人也不相鄰，所以把SKIPIF1<0排列，有SKIPIF1<0種排法，產(chǎn)生了4個(gè)空位，再用插空法.（1）當(dāng)SKIPIF1<0分別插入到SKIPIF1<0中間的兩個(gè)空位時(shí)，有SKIPIF1<0種排法，再把SKIPIF1<0整體插入到此時(shí)產(chǎn)生的6個(gè)空位中，有6種排法.（2）當(dāng)SKIPIF1<0分別插入到SKIPIF1<0中間的兩個(gè)空位其中一個(gè)和兩端空位其中一個(gè)時(shí)，有SKIPIF1<0種排法，此時(shí)SKIPIF1<0必須排在SKIPIF1<0中間的兩個(gè)空位的另一個(gè)空位，有1種排法.所以共有SKIPIF1<0.【變式3】“迎冬奧，跨新年，向未來”，水球中學(xué)將開展自由式滑雪接力賽．自由式滑雪接力賽設(shè)有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目，參賽選手每人展示其中一個(gè)項(xiàng)目．現(xiàn)安排兩名男生和兩名女生組隊(duì)參賽，若要求相鄰出場選手展示不同項(xiàng)目，女生中至少一人展示雪上芭蕾項(xiàng)目，且三個(gè)項(xiàng)目均有所展示，則共有種出場順序與項(xiàng)目展示方案．（用數(shù)字作答）【答案】264【詳解】設(shè)空中技巧、雪上技巧、雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目依次為A、B、C，①雪上芭蕾只展示一次時(shí)，按展示先后順序有下列12情況：BABC，ABAC，CBAB，CABA，ABCA，ABCB，BACB，BACA，ACBA，ACAB，BCBA，BCAB.再給項(xiàng)目排上表演者：從兩名女生中選1人去展示雪上芭蕾C有2種排法，剩下的三人去展示剩下的項(xiàng)目有3！＝6種排法，∴共2×6＝12種排法.∴此時(shí)共12×12＝144種出場順序與項(xiàng)目展示方案.②雪上芭蕾展示兩次時(shí)，按展示先后順序有下列6情況：CABC，CBAC，BCAC，ACBC，CBCA，CACB.再給項(xiàng)目排上表演者：四個(gè)選手隨意選一個(gè)項(xiàng)目展示共4！＝24種排法，但需排除雪上芭蕾均為男生展示的情況共2！×2?。?種，∴此時(shí)給項(xiàng)目排上選手共24－4＝20種排法.∴此時(shí)共6×20＝120種出場順序與項(xiàng)目展示方案.綜上所述，共有144＋120＝264種出場順序與項(xiàng)目展示方案.故答案為：264.【題型三】人坐座位模型2：染色（平面、空間）染色問題：1.用了幾種顏色2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始?？臻g幾何體，可以“拍扁”，轉(zhuǎn)化為平面圖形【例1】如圖，圖案共分9個(gè)區(qū)域，有6中不同顏色的涂料可供涂色，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則涂色方法有A．360種 B．720種 C．780種 D．840種【答案】B【詳解】試題分析：由圖可知，區(qū)域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各區(qū)域的顏色均不相同，所以涂色方法有種，故應(yīng)選.【例2】某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個(gè)面涂色，每個(gè)面涂一種顏色，且相鄰兩個(gè)面所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．1080種 B．720種 C．660種 D．600種【答案】A【詳解】若使用五種顏色，即每個(gè)面一種顏色，則有SKIPIF1<0種方案；若使用四種顏色，即面AED與面FBC同色，則有SKIPIF1<0種方案.故不同涂色方案有720+360=1080種.故選：A【例3】如圖，用5種不同的顏色給圖中的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<06個(gè)不同的點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂1種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有種.【答案】1920【詳解】依題意，完成涂色問題，至少用3種顏色，則計(jì)算不同的涂色方法種數(shù)可以有3類辦法：用5種顏色涂，有一組2點(diǎn)同色，在點(diǎn)SKIPIF1<0中任取1點(diǎn)，與其同色的點(diǎn)有2種情況，不同涂色方法種數(shù)為SKIPIF1<0，用4種顏色涂，有兩組2點(diǎn)同色，在點(diǎn)SKIPIF1<0中任取2點(diǎn)，與其同色的點(diǎn)有3種情況，不同涂色方法種數(shù)為SKIPIF1<0，用3種顏色涂，有三組2點(diǎn)同色，點(diǎn)SKIPIF1<0全部取出，與其同色的點(diǎn)有2種情況，不同涂色方法種數(shù)為SKIPIF1<0，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方法種數(shù)共有：SKIPIF1<0.故答案為：1920【變式1】如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法用A．288種 B．264種 C．240種 D．168種【答案】B【詳解】先分步再排列先涂點(diǎn)E，有4種涂法，再涂點(diǎn)B，有兩種可能：(1)B與E相同時(shí)，依次涂點(diǎn)F，C，D，A，涂法分別有3，2，2，2種；(2)B與E不相同時(shí)有3種涂法，再依次涂F、C、D、A點(diǎn)，涂F有2種涂法，涂C點(diǎn)時(shí)又有兩種可能：（2.1）C與E相同，有1種涂法，再涂點(diǎn)D，有兩種可能：①D與B相同，有1種涂法，最后涂A有2種涂法；②D與B不相同，有2種涂法，最后涂A有1種涂法．（2.2）C與E不相同，有1種涂法，再涂點(diǎn)D，有兩種可能：①D與B相同，有1種涂法，最后涂A有2種涂法；②D與B不相同，有2種涂法，最后涂A有1種涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．【變式2】如圖，一圓形信號(hào)燈分成SKIPIF1<0四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號(hào)總數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．42【答案】A【詳解】若用3種不同的顏色燈帶，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么SKIPIF1<0，要么SKIPIF1<0相同，有2種方案，則不同的信號(hào)數(shù)為SKIPIF1<0；若只用2種不同的顏色燈帶，則SKIPIF1<0顏色相同，SKIPIF1<0顏色相同，只有1種方案，則不同的信號(hào)數(shù)為SKIPIF1<0；則不同的信號(hào)總數(shù)為SKIPIF1<0.故選：A．【變式3】如圖，圓被其內(nèi)接三角形分為4塊，現(xiàn)有5種顏色準(zhǔn)備用來涂這4塊，要求每塊涂一種顏色，且相鄰兩塊的顏色不同，則不同的涂色方法有

A．360種 B．320種 C．108種 D．96種【答案】B【詳解】分類：兩色：SKIPIF1<0，三色：SKIPIF1<0，四色：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選B．【題型四】分配問題：球不同，盒不同球不同，盒不同（主要的）方法技巧：盒子可空，指數(shù)冪形式，盒的球次冪，盒子不可空“先分組再排列”分類討論注意平均分組時(shí)需要除以組數(shù)的全排列?！纠?】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）8張不同的郵票，按下列要求各有多少種不同的分法？（用式子表示）(1)平均分成四份；(2)平均分給甲、乙、丙、丁四人；(3)分成三份，一份4張，一份2張，一份2張；(4)分給甲、乙、丙三人，甲4張，乙2張，丙2張；(5)分給三人，一人4張，一人2張，一人2張；(6)分成三份，一份1張，一份2張，一份5張；(7)分給甲、乙、丙三人，甲得1張，乙得2張，丙得5張；(8)分給甲、乙、丙三人，一人1張，一人2張，一人5張．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0(5)SKIPIF1<0(6)SKIPIF1<0(7)SKIPIF1<0(8)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意，根據(jù)平均分組問題分法，有SKIPIF1<0種不同分法．（2）由題意可分四步完成：①甲從8張郵票中取2張有SKIPIF1<0種取法；②乙從余下的6張中取2張有SKIPIF1<0種取法；③丙從余下的4張中取2張有SKIPIF1<0種取法；④丁從余下的2張中取2張有SKIPIF1<0種取法．所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知不同分法有SKIPIF1<0種．（3）由題意，根據(jù)部分平均分組問題，有SKIPIF1<0種不同分法．（4）由題意，根據(jù)部分平均定向分配問題，先分組，再分配，與順序有關(guān)，有SKIPIF1<0（種）不同分法．（5）由題意，根據(jù)部分平均不定向分配問題，先分組，再分配，與順序有關(guān)，有SKIPIF1<0種不同分法．（6）由題意，根據(jù)非平均分組問題，僅僅分組，與順序無關(guān)，是組合問題，共有SKIPIF1<0種不同的分法．（7）由題意，根據(jù)非平均定向分配問題，先分組，再分配，但是定向分配不涉及排序，所以共有SKIPIF1<0種不同的分法．（8）由題意，根據(jù)非平均不定向分配問題，先分組，再分配，與順序有關(guān)，需排列，共有SKIPIF1<0種不同的分法．【例2】如圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器.接收器與信號(hào)源在同一個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)，就能接收到信號(hào)，否則就不能接收到信號(hào).若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組，將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接，則這五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題意，設(shè)右端連線方式如圖，對(duì)于左端的六個(gè)連線點(diǎn)，將其隨機(jī)地平均分成三組，共有SKIPIF1<0種結(jié)果，五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)必須全部在同一個(gè)串聯(lián)線路中，則1必須與3,4,5,6中的其中一個(gè)相接，接好后，2只有2種情況可選，剩下的接線點(diǎn)只有1種接法，所以共有SKIPIF1<0種結(jié)果.同理，右端連線方式變化時(shí)，左端的接線方法也有15種，其中有8種可以接收到信號(hào).故這五個(gè)接受器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是SKIPIF1<0.故選：D.【例3】（23-24高三上·云南昆明·開學(xué)考試）現(xiàn)將6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知書籍SKIPIF1<0分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】180【詳解】6本書分給甲乙丙3人，每人至少1本.則3人書籍本數(shù)分為1，1，4；1，2，3；2，2，2三大類情況.第一類1，1，4情況：若甲分1本，已分得書籍SKIPIF1<0，則另兩人一人1本，1人4本，共有SKIPIF1<0種，若甲分4本，即再取3本，則剩余2本書分給乙丙，一人一本，則共有SKIPIF1<0種，故第一類情況共有SKIPIF1<0種；第二類1，2，3情況：若甲分1本，已分得書籍SKIPIF1<0，另兩人一人2本，1人3本，共有SKIPIF1<0種，若甲分2本，另兩人一人1本，1人3本，共有SKIPIF1<0種，若甲分3本，另兩人一人1本，1人2本，共有SKIPIF1<0種，故第二類情況共有SKIPIF1<0種；第三類2，2，2情況：每人都兩本，故甲再取1本，乙丙平均分剩下4本，則共有SKIPIF1<0種；所以不同的分發(fā)方式種數(shù)共SKIPIF1<0.故答案為：180.【變式1】（2023·山東煙臺(tái)·三模）教育部為發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國部分大學(xué)培養(yǎng)教育專業(yè)公費(fèi)師范生，畢業(yè)后分配到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，則（

）A．甲學(xué)校沒有女大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0B．甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0C．每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0D．乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0【答案】C【詳解】將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，共有SKIPIF1<0中分法；對(duì)于A，甲學(xué)校沒有女大學(xué)生，從5名男大學(xué)生選3人分到甲學(xué)校，再將剩余的6人平均分到乙、丙學(xué)校，共有SKIPIF1<0種分法，故甲學(xué)校沒有女大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的情況包括恰有兩女大學(xué)生和恰有三女大學(xué)生，共有SKIPIF1<0種分法，故甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，每所學(xué)校都有男大學(xué)生，則男生的分配情況為將男生分為3組：人數(shù)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)男生人數(shù)為SKIPIF1<0時(shí)，將4名女生平均分為2組，分到男生人數(shù)為1人的兩組，再分到3所學(xué)校，此時(shí)共有SKIPIF1<0種分法；當(dāng)男生人數(shù)為SKIPIF1<0時(shí)，將4名女生按人數(shù)SKIPIF1<0分為3組，人數(shù)SKIPIF1<0的2組分到男生人數(shù)為SKIPIF1<0的兩組，2名女生的一組分到男生1人的那一組，再分到3所學(xué)校，此時(shí)共有SKIPIF1<0種分法；故每所學(xué)校都有男大學(xué)生的分法有SKIPIF1<0種，則每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0，C正確；對(duì)于D，乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生共有SKIPIF1<0種分法，乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校沒有女大學(xué)生的分法有SKIPIF1<0種，故乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0，D錯(cuò)誤，故選：C【變式2】某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【詳解】將5名大學(xué)生分為1-2-2三組，即第一組1個(gè)人，第二組2個(gè)人，第三組2個(gè)人，共有SKIPIF1<0種方法；由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，所以由SKIPIF1<0種方法；按照分步乘法原理，共有SKIPIF1<0種方法；故選：C.【變式3】已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0或SKIPIF1<0所以5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中（1）5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中，因?yàn)槊總€(gè)盒子中至少放一個(gè)小球，所以在三個(gè)盒子中有兩種方法：各放1個(gè)，2個(gè)，2個(gè)的方法有SKIPIF1<0種.各放3個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有SKIPIF1<0種.（2）5個(gè)球放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，則各放2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有SKIPIF1<0種.綜上，總的放球方法數(shù)為SKIPIF1<0種.故選：C【題型五】分配問題：球同，盒不同球相同，盒子不同方法技巧：盒子不可空用擋板法，盒子可空用接球法?！纠?】1.10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，5天吃完，有種方法；若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，直到吃完為止又有種方法．（用數(shù)字作答）【答案】126512【詳解】解：由題知，關(guān)于空1：若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，5天吃完，將10塊巧克力排成一排，共有9個(gè)空格，分成5份，只需4個(gè)隔板，所以共有SKIPIF1<0種方法；關(guān)于空2：若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，直到吃完為止，至多吃10天，至少吃1天，當(dāng)1天吃完時(shí)，共SKIPIF1<0種方法，當(dāng)2天吃完時(shí)，將10塊巧克力排成一排，共有9個(gè)空格，分成2份，只需1個(gè)隔板，所以有SKIPIF1<0種方法，當(dāng)3天吃完時(shí)，需要分成3份，只需2個(gè)隔板，所以有SKIPIF1<0種方法，當(dāng)4天吃完時(shí)，需要分成4份，只需3個(gè)隔板，所以有SKIPIF1<0種方法，……，當(dāng)10天吃完時(shí)，需要分成10份，只需9個(gè)隔板，所以有SKIPIF1<0種方法，綜上：共有SKIPIF1<0種方法。故答案為：126；512【例2】（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）某校將8個(gè)足球賽志愿者名額分配到高一年級(jí)的四個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)名額，則不同的分配方法共有種（用數(shù)字作答）.【答案】SKIPIF1<0【詳解】依題意，將8個(gè)名額排成一列，有7個(gè)間隔，在這7個(gè)間隔中插入3個(gè)隔板，可將8個(gè)名額分成4組，依次對(duì)應(yīng)4個(gè)班級(jí)，所以有SKIPIF1<0種分配方法.故答案為：SKIPIF1<0【例3】按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（1）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子；（2）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；（3）5個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；（4）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)空盒．【答案】（1）243種（2）150種（3）6種（4）90種【詳解】（1）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)小球都有3種可能，利用乘法原理可得不同的方法有SKIPIF1<0；（2）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，先把5個(gè)小球分組，有兩種分法：2、2、1；3、1、1；再放入3個(gè)不同的盒子，故不同的方法共有SKIPIF1<0；（3）5個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，類似于在5個(gè)小球間的空隙中，放入2個(gè)隔板，把小球分為3組，故不同的方法共有SKIPIF1<0；（4）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，恰有一個(gè)空盒，先把5個(gè)小球分2組，有兩種分法：3、2、0；4、1、0；再放入3個(gè)不同的盒子，故不同的方法共有SKIPIF1<0．【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【詳解】將SKIPIF1<0個(gè)紅球分成SKIPIF1<0組，每組球的數(shù)量最多SKIPIF1<0個(gè)最少SKIPIF1<0個(gè)，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩種組合形式，當(dāng)紅球分組形式為SKIPIF1<0時(shí)，將紅球放入三個(gè)不同的袋中有SKIPIF1<0放法，此時(shí)三個(gè)不同的袋中依次補(bǔ)充上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)即可.當(dāng)紅球分組形式為SKIPIF1<0時(shí)，將紅球放入三個(gè)不同的袋中有SKIPIF1<0種放法，此時(shí)三個(gè)不同的袋中依次補(bǔ)充上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)即可.綜上所述：將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，不同的裝法種數(shù)為SKIPIF1<0種.故選：A.【變式2】（23-24高二上·遼寧沈陽·期末）將20個(gè)無任何區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子內(nèi)的小球個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法有（

）A．90種 B．120種 C．160種 D．190種【答案】B【詳解】先在編號(hào)為2，3的盒子內(nèi)分別放入1個(gè)，2個(gè)球，還剩17個(gè)小球，則三個(gè)盒子內(nèi)每個(gè)至少再放入1個(gè)球，將17個(gè)球排成一排，有16個(gè)空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個(gè)盒子中，不同的放法共有SKIPIF1<0（種）.故選：B.【變式3】（2023高三上·全國·專題練習(xí)）（要求每個(gè)盒子可空）將8個(gè)相同的小球分別放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子可空，有多少種不同的放法？【答案】165【詳解】設(shè)想在每個(gè)盒子中放入SKIPIF1<0個(gè)小球，共用去SKIPIF1<0個(gè)小球，再將剩余的SKIPIF1<0個(gè)小球利用隔板法分到4個(gè)盒子中，則能滿足題目要求，所以放法種數(shù)為SKIPIF1<0．【題型六】書架插書模型書架上原有書的順序不變；（2）新書要一本一本插；定序問題可使用倍縮法?！纠?】有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（

）A．168 B．260 C．840 D．560【答案】C【詳解】解：從后排8人中抽2人有SKIPIF1<0種方法；將抽出的2人調(diào)整到前排，前排4人的相對(duì)順序不變用倍縮法有SKIPIF1<0種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：共有SKIPIF1<0種，故選：C.【例2】書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來5本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【答案】C【詳解】將新買的3本書逐一插進(jìn)去：第1本書插入5本書形成的6個(gè)空隙中的1個(gè)，有6種插法；第2本書插入6本書形成的7個(gè)空隙中的1個(gè)，有7種插法；最后1本書插入7本書形成的8個(gè)空隙中的1個(gè)，有8種插法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的插法種數(shù)為6×7×8=336.故選：C【例3】（21-22高二下·重慶渝中·階段練習(xí)）一張節(jié)目單上原有8個(gè)節(jié)目，現(xiàn)臨時(shí)再插入A，B，C三個(gè)新節(jié)目，如果保持原來8個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個(gè)新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有種不同的插入方法．（用數(shù)字作答）【答案】330【詳解】法1：第一步，從11個(gè)位置中選3個(gè)位置，共有SKIPIF1<0種方法；第二步，三個(gè)位置中節(jié)目B位置確定，節(jié)目A，C的順序?yàn)镾KIPIF1<0，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有SKIPIF1<0種方法.法2：先插入節(jié)目A，再插入節(jié)目B，最后插入節(jié)目C，共有：SKIPIF1<0種，其中節(jié)目B與兩個(gè)新節(jié)目的位置關(guān)系有3種，由消序法可得總數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：330【變式1】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）2022年10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)勝利閉幕.某班舉行了以“禮贊二十大?奮進(jìn)新征程”為主題的聯(lián)歡晩會(huì)，原定的SKIPIF1<0個(gè)學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又臨時(shí)增加了兩個(gè)教師節(jié)目，如果將這兩個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為（

）A．42 B．30 C．20 D．12【答案】A【詳解】若兩個(gè)教師節(jié)目相鄰，則有SKIPIF1<0種插法；若兩個(gè)教師節(jié)目不相鄰，則有SKIPIF1<0種插法；綜上可得一共有SKIPIF1<0種插法.故選：A【變式2】某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．15 D．30【答案】D【詳解】因?yàn)樵黾恿藘蓚€(gè)新節(jié)目．將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，所以原來5個(gè)節(jié)目形成6個(gè)空，新增的2個(gè)節(jié)目插入到6個(gè)空中，共有SKIPIF1<0種插法.故選：D.【變式3】（2023春·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）書架上已有《詩經(jīng)》、《西游記》、《菜根譚》、《吶喊》、《文化苦旅》五本書，現(xiàn)欲將《圍城》、《駱駝祥子》、《四世同堂》三本書放回到書架上，要求不打亂原有五本書的順序，且《駱駝祥子》和《四世同堂》必須相鄰，則不同的放法共有（

）A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種 C．SKIPIF1<0種 D．SKIPIF1<0種【答案】D【詳解】分以下兩種情況討論：（1）《圍城》與《駱駝祥子》、《四世同堂》這兩本書不相鄰，將《駱駝祥子》和《四世同堂》捆綁，形成一個(gè)“大元素”，然后將“大元素”與《圍城》插入由《詩經(jīng)》、《西游記》、《菜根譚》、《吶喊》、《文化苦旅》五本書所形成的SKIPIF1<0個(gè)空位中的SKIPIF1<0個(gè)，由捆綁法結(jié)合插空法可知，不同的放法種數(shù)為SKIPIF1<0種；（2）《圍城》與《駱駝祥子》相鄰且《四世同堂》與《圍城》或《駱駝祥子》相鄰，將《駱駝祥子》和《四世同堂》捆綁，然后《四世同堂》放在《駱駝祥子》或《四世同堂》旁邊（相鄰），然后將這三本書形成的“大元素”插入五本書所形成的SKIPIF1<0個(gè)空位中的SKIPIF1<0個(gè)，此時(shí)，不同的放法種數(shù)為SKIPIF1<0.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為SKIPIF1<0種.故選：D.【題型七】代替元法：最短路徑左右上下移動(dòng)的最短距離，可以把移動(dòng)方向看做字母，比如，向右是字母A，向上是字母B，則移動(dòng)幾步就是幾個(gè)A，與B相同元素排列代替元法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”【例1】格點(diǎn)是指平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn).一格點(diǎn)沿坐標(biāo)線到原點(diǎn)的最短路程為該點(diǎn)到原點(diǎn)的“格點(diǎn)距離”（如：SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到原點(diǎn)的格點(diǎn)距離為SKIPIF1<0）.格點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的軌跡稱為“格點(diǎn)圓”，該定值稱為格點(diǎn)圓的半徑，而每一條最短路程稱為一條半徑.當(dāng)格點(diǎn)半徑為6時(shí)，格點(diǎn)圓的半徑有條（用數(shù)字作答）.【答案】252【詳解】設(shè)格點(diǎn)為SKIPIF1<0，格點(diǎn)半徑為6，則SKIPIF1<0，∴對(duì)應(yīng)格點(diǎn)圓圖象如下，每條邊上有(不含端點(diǎn))5個(gè)格點(diǎn)，

以第一象限為例，格點(diǎn)有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的半徑有6條，SKIPIF1<0的半徑有15條，SKIPIF1<0的半徑有20條，SKIPIF1<0的半徑有15條，SKIPIF1<0的半徑有6條，∴共有62條，即對(duì)于任意格點(diǎn)，其半徑條數(shù)有SKIPIF1<0條，∴由上，四個(gè)象限共有SKIPIF1<0條半徑，另外數(shù)軸上有SKIPIF1<0四個(gè)點(diǎn)，半徑共有SKIPIF1<0條，綜上，格點(diǎn)半徑為6時(shí)，格點(diǎn)圓的半徑有SKIPIF1<0條.故答案為：SKIPIF1<0.（多選）【例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動(dòng)．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的是（

）A．小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條B．小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條C．小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為SKIPIF1<0D．小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F；事件B：從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則SKIPIF1<0【答案】BC【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動(dòng)，而不能向下、向左移動(dòng)，A：小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數(shù)為SKIPIF1<0條，錯(cuò)誤；B：小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為SKIPIF1<0條，正確；C：小明到SKIPIF1<0的最短路徑走法有SKIPIF1<0條，再從F處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老年公寓共有SKIPIF1<0條，所以到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為SKIPIF1<0，正確；D：由題意知：事件SKIPIF1<0的走法有18條即SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，錯(cuò)誤.故選：BC【例3】如圖所示是某個(gè)區(qū)域的街道示意圖（每個(gè)小矩形的邊表示街道），那么從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短線路有（

）條A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如下圖所示，分兩種情況討論：（1）SKIPIF1<0，先從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，一共至少走SKIPIF1<0步，其中SKIPIF1<0步為水平步，再從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，一共至少走SKIPIF1<0步，其中SKIPIF1<0步為水平步，此時(shí)有SKIPIF1<0種走法；（2）SKIPIF1<0，先從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，一共至少走SKIPIF1<0步，其中SKIPIF1<0步為水平步，再從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，一共至少走SKIPIF1<0步，其中SKIPIF1<0步為水平步，此時(shí)有SKIPIF1<0種走法.綜上所述，所有的最短路線的走法種數(shù)為SKIPIF1<0.故選：C.【變式1】有一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點(diǎn)出發(fā)不經(jīng)過C、D點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的最短路徑有___________種.【答案】24【詳解】如圖，由已知可得，應(yīng)從SKIPIF1<0點(diǎn)，先到SKIPIF1<0點(diǎn)，再到SKIPIF1<0點(diǎn)，最后經(jīng)點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0點(diǎn)即可.第一步：由SKIPIF1<0點(diǎn)到SKIPIF1<0點(diǎn)，最短路徑為4步，最短路徑方法種類為SKIPIF1<0；第二步：由SKIPIF1<0點(diǎn)到SKIPIF1<0點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為SKIPIF1<0；第三步：由SKIPIF1<0點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為SKIPIF1<0.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，最短路徑有SKIPIF1<0種.故答案為：24.【變式2】某城市縱向有6條道路，橫向有5條道路，構(gòu)成如圖所示的矩形道路網(wǎng)（圖中黑線表示道路），則從西南角A地到東北角B地的最短路線共有條．【答案】126【詳解】要使路線最短，只能向右或向上走，途中不能向左走或向下走.因此，從A地到B地歸結(jié)為走完5條橫線段和4條縱線段.設(shè)每走一段橫線段或縱線段為一個(gè)行走時(shí)段，從9個(gè)行走時(shí)段中任取4個(gè)時(shí)段走縱線段，其余5個(gè)時(shí)段走橫線段，共有SKIPIF1<0種走法，故從A地到B地的最短路線共有126條【變式3】由于用具簡單，趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng)．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動(dòng)，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（

）A．SKIPIF1<0條 B．SKIPIF1<0條 C．SKIPIF1<0條 D．SKIPIF1<0條【答案】C【詳解】由題意可知：“兵”吃掉“馬”的最短路線，需橫走三步，豎走兩步；其中能順帶吃掉“炮”的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有SKIPIF1<0種走法；第二步，橫走一步，豎走一步，有SKIPIF1<0種走法．SKIPIF1<0能順帶吃掉“炮”的可能路線共有SKIPIF1<0（條）．故選：C.【題型八】代替元法：空車位停車等這類題大多可以用字母元來代替轉(zhuǎn)化為簡單的問題從而解決問題?！纠?】某單位有8個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位中恰好有3個(gè)連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（

）A．240 B．360 C．480 D．720【答案】C【詳解】給8個(gè)車位編號(hào)：1，2，3，4，5，6，7，8，當(dāng)1，2，3號(hào)為空時(shí)，有SKIPIF1<0種停放方法；當(dāng)2，3，4號(hào)為空時(shí)，有SKIPIF1<0種停放方法；當(dāng)3，4，5號(hào)為空時(shí)，有SKIPIF1<0種停放方法；當(dāng)4，5，6號(hào)為空時(shí)，有SKIPIF1<0種停放方法；當(dāng)5，6，7號(hào)為空時(shí)，有SKIPIF1<0種停放方法；當(dāng)6，7，8號(hào)為空時(shí)，有SKIPIF1<0種停放方法；所以不同的停放方法的種數(shù)為SKIPIF1<0種.故選：C.方法二代替元法：四輛車標(biāo)記為ABCD,四個(gè)空車位，三個(gè)組合一起，標(biāo)記為3，剩余一個(gè)標(biāo)記為1，則變成數(shù)字1，3與四個(gè)字母排列，且數(shù)字不相鄰，插空法即可SKIPIF1<0【例2】馬路上有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有種【詳解】直接代替元法，標(biāo)記為123456與AAA排列，只選不排。為SKIPIF1<0【例3】現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有_________種.【答案】40【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個(gè)空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三種分組方法，則不同的分組方法共有SKIPIF1<0種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的停放方式共有SKIPIF1<0種.【變式1】（2020·浙江·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.【答案】40【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個(gè)空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三種分組方法，則不同的分組方法共有SKIPIF1<0種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的停放方式共有SKIPIF1<0種.【變式2】（2023·江西新余·二模）據(jù)中國汽車工業(yè)協(xié)會(huì)統(tǒng)計(jì)顯示，2022年我國新能源汽車持續(xù)爆發(fā)式增長，購買電動(dòng)汽車的家庭越來越多.某學(xué)校為方便駕駛電動(dòng)汽車的教職工提供充電便利，在停車場開展充電樁安裝試點(diǎn).如下圖，試點(diǎn)區(qū)域共有十個(gè)車位，安裝了三個(gè)充電樁，每個(gè)充電樁只能給其南北兩側(cè)車位中的一輛電動(dòng)汽車充電.現(xiàn)有3輛燃油車和2輛電動(dòng)汽車同時(shí)隨機(jī)停入試點(diǎn)區(qū)域（停車前所有車位都空置），請(qǐng)問