2.7用坐標方法解決幾何問題課件高二上學期數學選擇性

2.7用坐標方法解決幾何問題第2章平面解析幾何初步湘教版

數學

選擇性必修第一冊課標要求1.理解坐標法的意義,并會用坐標法研究問題;2.掌握用解析法處理平面幾何問題的方法.重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一用坐標方法解決幾何問題【例1】

已知△ABC是直角三角形,斜邊BC的中點為M,建立適當的平面直角坐標系,證明:|AM|=|BC|.分析根據題目所給幾何圖形的特征,建立平面直角坐標系,利用兩點間的距離公式證明.證明以Rt△ABC的直角邊AB,AC所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系.設B,C兩點的坐標分別為(b,0),(0,c).因為點M是BC的中點,變式探究本例中條件不變,試證明:|AB|2+|AC|2=|BC|2.證明如圖所示,以Rt△ABC的直角邊AB,AC所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系.設B,C兩點的坐標分別為(b,0),(0,c),由兩點間距離公式得|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.規(guī)律方法

建立平面直角坐標系的常見技巧(1)要使盡可能多的已知點、直線落在坐標軸上;(2)如果圖形中有互相垂直的兩條直線,那么考慮將其作為坐標軸;(3)考慮圖形的對稱性,可將圖形的對稱中心作為原點,將圖形的對稱軸作為坐標軸.[提醒]對于同一個問題,建立不同的平面直角坐標系雖然相關點的坐標不同,但是最后結果是一樣的.探究點二構造圓的方程解題【例2】

如圖所示,一隧道內設雙行線公路,其截面由一段圓弧和一個長方形構成.已知隧道總寬度AD為

m,行車道總寬度BC為

m,側墻EA,FD高為2m,弧頂高MN為5m.(1)建立平面直角坐標系,求圓弧所在的圓的方程;(2)為保證安全,要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m.請計算車輛通過隧道的限制高度是多少.分析根據題目特征,建立平面直角坐標系,求出圓弧所在的方程,根據方程特征求解.解得b=-3,r2=36.故圓的方程為x2+(y+3)2=36.(2)設限高為h,作CP⊥AD,交圓弧于點P,則|CP|=h+0.5.將P的橫坐標x=代入圓的方程,得()2+(y+3)2=36,解得y=2或y=-8(舍去),所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5

m.規(guī)律方法

解決直線與圓的實際應用題的步驟

變式訓練1如圖為一座圓拱橋的截面圖,當水面在某位置時,拱頂離水面2m,水面寬12m,當水面下降1m后,水面寬為多少?解

以圓拱橋頂為坐標原點,以過圓拱頂點的豎直直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.設圓心為C,圓的方程設為x2+(y+r)2=r2(r>0),水面所在弦的端點為A,B,則A(6,-2).將A(6,-2)代入圓的方程,解得r=10.則圓的方程為x2+(y+10)2=100.當水面下降1

m后,設點A'(x0,-3)(x0>0),將A'(x0,-3)代入圓的方程,解得x0=.探究點三與圓有關的軌跡問題【例3】

設定點M(-3,4),動點N在圓x2+y2=4上運動,以OM,ON為兩邊作平行四邊形MONP,求點P的軌跡方程.分析

設出點P的坐標,利用MONP為平行四邊形,建立點P與點N之間的坐標關系,結合點N的坐標滿足圓的方程,求得點P的軌跡方程.規(guī)律方法

求與圓有關的軌跡問題常用的方法:(1)直接法:根據題目的條件,建立適當的平面直角坐標系,設出動點坐標,并找出動點坐標所滿足的關系式.(2)定義法:當列出的關系式符合圓的定義時,可利用定義寫出動點的軌跡方程.(3)相關點法:若動點P(x,y)隨著圓上的另一動點Q(x1,y1)運動而運動,且x1,y1可用x,y表示,則可將Q點的坐標代入已知圓的方程,即可得動點P的軌跡方程.變式訓練2已知M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是(

)A.x2+y2=4 B.x2-y2=4C.x2+y2=4(x≠±2) D.x2-y2=4(x≠±2)C解析

設P(x,y).由題可得|PM|2+|PN|2=|MN|2,整理得x2+y2=4.因為M,N,P三點構成三角形,則x≠±2.所以直角頂點P的軌跡方程是x2+y2=4(x≠±2).故選C.本節(jié)要點歸納1.方法歸納:建立平面直角坐標系,利用坐標法求解平面幾何問題、實際問題中與圓有關的問題;根據動點滿足的條件,利用定義法、相關點法等求動點的軌跡與軌跡方程.2.注意事項:建立直角坐標系時應在利于解題的原則下建立適當的直角坐標系;求解動點的軌跡問題應明確軌跡與軌跡方程的區(qū)別,以及軌跡中不符合題意的點要舍去.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314A級必備知識基礎練1.一涵洞的橫截面是半徑為5m的半圓,則該半圓的方程是(

)A.x2+y2=25B.x2+y2=25(y≥0)C.(x+5)2+y2=25(y≤0)D.隨建立直角坐標系的變化而變化D解析

由于建立的平面直角坐標系不同,因此該半圓的方程也不同,故選D.12345678910111213142.在平面內,A,B是兩個定點,C是動點,若

=2,則點C的軌跡為(

)A.橢圓

B.射線 C.圓

D.直線C解析

以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,12345678910111213143.已知等腰三角形ABC其中一腰的兩個端點分別是A(4,2),B(-2,0),|AB|=|AC|,則另一腰的一個端點C的軌跡方程是(

)A.x2+y2-8x-4y=0B.x2+y2-8x-4y-20=0(x≠-2,x≠10)C.x2+y2+8x+4y-20=0(x≠-2,x≠10)D.x2+y2-8x-4y+20=0(x≠-2,x≠10)B解析

設C(x,y),由|AB|=|AC|,得(4+2)2+(2-0)2=(x-4)2+(y-2)2,即x2+y2-8x-4y-20=0.又點B與點C不重合且B,C,A不共線,所以x≠-2,x≠10.故選B.12345678910111213144.當點P在圓x2+y2=1上變動時,它與定點Q(3,0)相連,線段PQ的中點M的軌跡方程是(

)A.(x-3)2+y2=1 B.(2x-3)2+4y2=1C.(x+3)2+y2=4 D.(2x+3)2+4y2=4B解析

設線段PQ的中點M(x,y),點P與定點Q(3,0)相連,則P(2x-3,2y).點P在圓x2+y2=1上變動時,線段PQ的中點M的軌跡方程是(2x-3)2+4y2=1.故選B.12345678910111213145.已知兩定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足條件|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于(

)A.π

B.4π

C.8π

D.9πB解析

設P點的坐標為(x,y),因為兩定點A(-2,0),B(1,0),且動點P滿足|PA|=2|PB|,則(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得(x-2)2+y2=4,所以點P的軌跡是以(2,0)為圓心,2為半徑的圓,所以點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π.故選B.12345678910111213146.過點A(8,0)的直線與圓x2+y2=4交于點B,則線段AB中點P的軌跡方程為

.

(x-4)2+y2=1解析

設點P的坐標為(x,y),點B為(x1,y1),由題意,結合中點坐標公式可得x1=2x-8,y1=2y,故(2x-8)2+(2y)2=4,化簡得(x-4)2+y2=1.即線段AB中點P的軌跡方程為(x-4)2+y2=1.12345678910111213147.已知:四邊形ABCD,|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2.求證:AC⊥BD.證明如圖,以AC所在的直線為x軸,過點B垂直于AC的直線為y軸建立直角坐標系.設頂點坐標分別為A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(x,y),∵|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2,∴a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2,化簡得(a-c)x=0.∵a≠c,即a-c≠0,∴x=0,即D在y軸上,∴AC⊥BD.12345678910111213148.在直角三角形ABC中,D是斜邊AB的中點,P為線段CD的中點,則

B級關鍵能力提升練A.2 B.4

C.5

D.10D解析

以直角三角形的直角頂點C為坐標原點建立平面直角坐標系(圖略),12345678910111213149.（多選題）在△ABC中,D為BC邊上任意一點(D與B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,則△ABC為(

)A.等腰三角形

B.等邊三角形C.直角三角形

D.以上都不對AC123456789101112131410.已知圓C:x2+y2-8x-6y+16=0,過點P(4,1)的直線與圓C交于點M,N,線段MN的中點為Q.則點Q的軌跡方程為

.

(x-4)2+(y-2)2=1解析

(1)由圓C:(x-4)2+(y-3)2=9方程可知(4-4)2+(1-3)2=4<9,故點P(4,1)在圓C內.∵弦MN過點P,Q是MN的中點,則CQ⊥MN,∴點Q的軌跡是以CP為直徑的圓,線段CP的中點為(4,2),故其方程為(x-4)2+(y-2)2=1.123456789101112131411.正方形ABCD與點P在同一平面內,已知該正方形的邊長為1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,則|PD|的取值范圍為

.

解析

以A為坐標原點,AB所在直線為

x軸,AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示.則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).設點P(x,y),則由|PA|2+|PB|2=|PC|2,得x2+y2+(x-1)2+y2=(x-1)2+(y-1)2,整理得

123456789101112131412.

如圖,已知點A,B,C共線,△ABD和△BCE是在直線AC同側的兩個等邊三角形,用坐標法證明:|AE|=|CD|.1234567891011121314證明如圖,以點B為坐標原點,直線AC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系.設△ABD和△BCE的邊長分別為a,c,123456789101112131413.(1)已知AD是△ABC邊BC的中線,用坐標法證明:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).(2)已知動點C與兩個定點A(0,0),B(3,0)的距離之比為,若△ABC邊BC的中點為D,求動點D的軌跡方程.解

(1)以BC邊為x軸,線段BC的中垂線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.不妨設A