高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 限時(shí)集訓(xùn)(四十一)數(shù)學(xué)歸納法 理 新人教A版

限時(shí)集訓(xùn)(四十一)數(shù)學(xué)歸納法(限時(shí)：45分鐘滿(mǎn)分：81分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．如果命題P(n)對(duì)n＝k成立，則它對(duì)n＝k＋2也成立，若P(n)對(duì)n＝2也成立，則下列結(jié)論正確的是()A．P(n)對(duì)所有正整數(shù)n都成立B．P(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立C．P(n)對(duì)所有正奇數(shù)n都成立D．P(n)對(duì)所有自然數(shù)n都成立2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(a≠1)”，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a33．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<f(n)(n≥2，n∈N*)的過(guò)程，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，左邊增加了()A．1項(xiàng) B．k項(xiàng)C．2k－1項(xiàng) D．2k項(xiàng)4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假設(shè)n＝2k＋1時(shí)正確，再推n＝2k＋3時(shí)正確(其中k∈N*)B．假設(shè)n＝2k－1時(shí)正確，再推n＝2k＋1時(shí)正確(其中k∈N*)C．假設(shè)n＝k時(shí)正確，再推n＝k＋1時(shí)正確(其中k∈N*)D．假設(shè)n≤k(k≥1)時(shí)正確，再推n＝k＋2時(shí)正確(其中k∈N*)5．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通過(guò)求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()A.eq\f(1,n－1n＋1) B.eq\f(1,2n2n＋1)C.eq\f(1,2n－12n＋1) D.eq\f(1,2n＋12n＋2)6．設(shè)函數(shù)f(n)＝(2n＋9)·3n＋1＋9，當(dāng)n∈N*時(shí)，f(n)能被m(m∈N*)整除，猜想m的最大值為()A．9 B．18C．27 D．36二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取________．8．對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根據(jù)上述分解規(guī)律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19,m3(m∈N*)的分解中最小的數(shù)是21，則m＋n的值為_(kāi)_______．9．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(1,n＋12)，記cn＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，試通過(guò)計(jì)算c1，c2，c3的值，推測(cè)cn＝________.三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．用數(shù)學(xué)歸納法證明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)．11.設(shè)0<a<1，定義a1＝1＋a，an＋1＝eq\f(1,an)＋a，求證：對(duì)任意n∈N*，有1<an<eq\f(1,1－a).12．已知數(shù)列{an}，其中a2＝6且eq\f(an＋1＋an－1,an＋1－an＋1)＝n.(1)求a1，a3，a4；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，其中bn＝eq\f(an,n＋c)且c為不等于零的常數(shù)，若Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn).答案限時(shí)集訓(xùn)(四十一)數(shù)學(xué)歸納法1．B2.C3.D4.B5.C6.D7．58.159.eq\f(n＋2,n＋1)10．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝eq\f(1,3)×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)．則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)＋4k2＋4k＋1＝eq\f(1,3)k[4(k＋1)2－1]－eq\f(1,3)k·4(2k＋1)＋4k2＋4k＋1＝eq\f(1,3)k[4(k＋1)2－1]＋eq\f(1,3)(12k2＋12k＋3－8k2－4k)＝eq\f(1,3)k[4(k＋1)2－1]＋eq\f(1,3)[4(k＋1)2－1]＝eq\f(1,3)(k＋1)[4(k＋1)2－1]．即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．由(1)，(2)可知，對(duì)一切n∈N*，等式都成立．11．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1＋a>1，又a1＝1＋a<eq\f(1,1－a)，顯然命題成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，命題成立，即1<ak<eq\f(1,1－a).即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由遞推公式，知ak＋1＝eq\f(1,ak)＋a，由假設(shè)可得(1－a)＋a<eq\f(1,ak)＋a<1＋a<eq\f(1,1－a).于是當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立，即1<ak＋1<eq\f(1,1－a).由(1)(2)可知，對(duì)任意n∈N*，有1<an<eq\f(1,1－a).12．解：(1)∵a2＝6，eq\f(a2＋a1－1,a2－a1＋1)＝1，eq\f(a3＋a2－1,a3－a2＋1)＝2，eq\f(a4＋a3－1,a4－a3＋1)＝3，解得a1＝1，a3＝15，a4＝28.(2)由上面的a1，a2，a3，a4的值可以猜想an＝n(2n－1)．下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1×(2－1)＝1，結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論正確，即ak＝eq\a\vs4\al(k2k－1，)則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有eq\f(ak＋1＋ak－1,ak＋1－ak＋1)＝k，∴(k－1)ak＋1＝(k＋1)ak－(k＋1)＝(k＋1)·k(2k－1)－(k＋1)＝(k＋1)(2k2－k－1)＝(k＋1)(2k＋1)(k－1)(k－1≠0)．∴ak＋1＝(k＋1)[2(k＋1)－1]．即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．由①②可知，{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\a\vs4\al(n2n－1).(3)∵{bn}是等差數(shù)列，∴2b2＝b1＋b3，即eq\f(2a2,2＋c)＝eq\f(a1,1＋c)＋eq\f(a3,3＋c).∵a1＝1，a2＝6，a3＝15且c≠0，由上式解得c＝－eq\f(1,2)，∴bn＝eq\f(an,n－\f(1,2))＝eq\f(n2n－1,\f(1,2)2n－1)＝2n.故Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n(n＋1)．∴eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\v