《通信系統(tǒng)原理》課件第9章

9.1引言

9.2二元假設檢驗和各種判決準則

9.3多次測量

9.4二元確知信號的最佳接收

思考題

習題

第9章數(shù)字信號的最佳接收9.1引言前面幾章在研究抗噪聲干擾的性能時，基本上都是針對各種常用信號所采用的實際接收方法進行的，本章將在此基礎上進一步討論最佳接收問題。具體來說，要研究存在噪聲干擾時的最佳接收機結(jié)構及其抗噪聲干擾性能。所謂最佳接收并不是一個絕對概念，而是在一定條件下，針對某一種信號，按照某一個判決準則得到的最佳接收方式。由于準則和信號的不同，因而將有各種不同結(jié)構和性能的最佳接收機。最佳接收理論主要研究假設檢驗和參數(shù)估值兩方面的問題，前者研究如何從噪聲中判決有用信號是否出現(xiàn)，后者研究從噪聲中測量有用信號的參數(shù)。本章只討論前者，而且僅限于數(shù)字信號的假設檢驗，即數(shù)字信號的最佳接收問題。在數(shù)字通信系統(tǒng)中，發(fā)射機要從幾個可能的波形中每次選出一個傳送給接收機，這些波形在傳輸媒質(zhì)中將不可避免地遭受到某些畸變，而接收機噪聲又進一步加劇了這種畸變，其結(jié)果是，在接收端無法判別發(fā)射的是哪個波形。因此，接收機必須根據(jù)含有噪聲的觀測結(jié)果，用統(tǒng)計的方法判決出接收到的是哪一個波形，并且盡量減少判決的錯誤。由于信道噪聲是隨機過程，同時信號本身也帶有不確定的參量，因此在分析計算數(shù)字信號接收時只能用數(shù)理統(tǒng)計的方法處理。根據(jù)信號和噪聲所提供的統(tǒng)計特性，并且按照某種判決規(guī)則，使接收機獲得正確判決的概率最大，或者錯誤判決的概率最小。本章首先簡要介紹各種判決準則，然后討論數(shù)字信號的最佳接收。9.2二元假設檢驗和各種判決準則假設檢驗是數(shù)理統(tǒng)計中的一個重要工具。在假設檢驗中，必須做出哪一個假設是正確的判決。如果信源有兩種假設，則為二元檢測問題。我們用H0和H1表示兩種可能的假設，H0稱為零假設，H1稱為備擇假設。在更一般的情況下，信源有M種假設，用H0，H1，…，HM-1表示，稱為M元檢測問題?，F(xiàn)在以二元通信系統(tǒng)為例，說明信號檢測的基本原理，如圖9.1所示。

圖9.1二元通信系統(tǒng)假設H1表示信號s1(t)存在，H0表示信號s0(t)存在。信號s1(t)和s0(t)是持續(xù)時間為T的確知基帶信號或者頻帶信號。信號通過信道傳輸時，難免混入噪聲，假定混入的是加性噪聲n(t)，則接收端收到的信號x(t)是信號與噪聲之和，即假設為H1時，接收信號為x(t)=s1(t)+n(t)0≤t≤T假設為H0時，接收信號為x(t)=s0(t)+n(t)0≤t≤T

圖9.1所示的二元通信系統(tǒng)中，在0~T時間內(nèi)對接收信號x(t)進行一次觀測，并讓接收機根據(jù)觀測數(shù)據(jù)和判決準則做出哪一個信號存在的判決。如果判決為D1，則表示假設H1存在；如果判決為D0，則表示假設H0存在。為了便于說明，假定s1(t)=1，s0(t)=-1，并且在t=t0時刻進行一次觀察，則接收信號在

假設為H1時，x(t0)=1+n(t0)

(9.1)假設為H0時，x(t0)=-1+n(t0)

(9.2)設n(t0)是均值為零、方差為

的高斯隨機變量。在假設為H1時，x(t0)是均值為1、方差為

的高斯隨機變量，用條件概率密度函數(shù)表示，可以寫成

(9.3)在假設為H0時，x(t0)是均值為-1、方差為

的高斯隨機變量，用條件概率密度函數(shù)表示，可以寫成

(9.4)

f(x|H1)和f(x|H0)稱為似然函數(shù)。由于n(t0)是高斯隨機變量，因此不管假設是H1還是H0，接收信號的一次觀測值x(t0)分布在(-∞，∞)的實數(shù)軸上。x(t0)的取值范圍稱為觀測空間z，我們的任務是如何將觀測空間z劃分為z0和z1兩部分，使正確判決的概率最大，錯誤判決的概率最小。這當然和信號、噪聲的統(tǒng)計特性及判決準則有關。假定已經(jīng)找到判決點x0，如圖9.2所示，把x≥x0的部分劃為z1判決域，把x<x0的部分劃為z0判決域，根據(jù)兩種假設H1和H0，兩種檢驗結(jié)果D1和D0，必有四種可能情況：第1種：假設為H0，檢驗結(jié)果為D0第2種：假設為H0，檢驗結(jié)果為D1第3種：假設為H1，檢驗結(jié)果為D0第4種：假設為H1，檢驗結(jié)果為D1

圖9.2一次觀測的似然函數(shù)及判決域第1、4兩種表示正確的判決結(jié)果，第2、3兩種表示不正確的判決結(jié)果，分別用P(D0|H0)、P(D1|H0)、P(D0|H1)和P(D1|H1)表示它的條件概率，即

(9.5)由此可見，二元檢測產(chǎn)生兩類錯誤：第1類錯誤是將假設H0錯判成D1，其概率用P(D1|H0)表示；第2類錯誤是將假設H1錯判成D0，其概率用P(D0|H1)表示。在二進制通信系統(tǒng)中，通常將P(D1|H0)稱為虛報概率，而將P(D0|H1)稱為漏報概率。在雷達系統(tǒng)中，通常將P(D1|H0)稱為虛警概率，而將1-P(D0|H1)稱為檢測概率。因為在雙擇一檢測問題中，有

(9.6)

因此檢測概率就是P(D1|H1)。由于兩種假設H1和H0的出現(xiàn)是隨機的，它們的概率(又稱先驗概率)分別用P(H1)和P(H0)表示，因此由上述兩類錯誤帶來的平均錯誤概率為Pe=P(H1)P(D0|H1)+P(H0)P(D1|H0)

(9.7)因為P(H1)=1-P(H0)，所以也可以表示為

Pe=P(H1)P(D0|H1)+［1-P(H1)］P(D1|H0)

(9.8)

當H1和H0

等概出現(xiàn)時，P(H1)=P(H0)=1/2，因此

(9.9)如果在［0，T］時間內(nèi)對接收信號x(t)進行N次抽樣，則稱為多次觀測。設各抽樣點之間相互獨立，接收信號x(t)的N維空間矢量用X表示，則當假設為H1時，接收信號N維空間矢量X的概率密度函數(shù)為f(X|H1)=f(x1x2…xN|H1)=f(x1|H1)f(x2|H1x1)…f(xN|H1x1x2…xN–1)

=f(x1|H1)f(x2|H1)…f(xN|H1)=

(9.10)當假設為H0時，接收信號N維空間矢量X的概率密度函數(shù)為

f(X|H0)=f(x1x2…xN|H0)=

(9.11)通常把N維矢量空間稱做觀測空間。圖9.3是信號統(tǒng)計檢測的模型。由于信道噪聲的影響，使得在假設H1或H0時，觀測空間內(nèi)的X是隨機變動的，接收機需要根據(jù)不同的判決規(guī)則將觀測空間劃分為兩個判決域z0和z1。一旦判決域確定后，由于在觀測空間內(nèi)的節(jié)點是隨機變動的，因此就有可能產(chǎn)生錯誤。例如，假設為H0時，X落到z1的判決域，就要產(chǎn)生第一類錯誤，它的概率為

(9.12)

圖9.3信號檢測模型假設為H1時，X落到z0的判決域內(nèi)，就要產(chǎn)生第二類錯誤，其概率為

(9.13)

知道虛報概率P(D1|H0)和漏報概率P(D0|H1)及先驗概率P(H0)和P(H1)后，代入式(9.7)。就可以得到系統(tǒng)的平均錯誤概率。由此可見，接收機的質(zhì)量最終歸結(jié)為判決區(qū)域是否劃分得正確，它要根據(jù)不同的判決準則來確定。對于不同的信號檢測系統(tǒng)往往采用不同的判決準則，因此有必要先研究一下各種判決準則。一般說來，判決準則的選擇與信號檢測系統(tǒng)的具體要求有關，它決定于信號的先驗概率、不同的代價函數(shù)以及最佳接收機的組成原則等因素。常用的判決準則有最小平均風險準則、安全平均風險準則、最大檢測概率準則、最小錯誤概率準則、最大似然函數(shù)準則、最大后驗概率準則等。在數(shù)字通信系統(tǒng)中主要研究最小錯誤概率準則。但是，最小平均風險準則是各種準則的基礎，因此首先對其加以介紹。9.2.1最小平均風險準則(貝葉斯準則)在雙擇一檢測問題中，如果假設H0和H1的先驗概率為已知，接收機每次做出的判決不管是正確的還是錯誤的假定，都要付出代價，并用Cij表示，其中i表示檢驗結(jié)果，j表示原來的假設，那么，在雙擇一檢測問題中檢驗后的平均風險可寫成

=C00P(D0H0)+C10P(D1H0)+C01P(D0H1)+C11P(D1H1)

(9.14)其中:

P(D0H0)表示假設為H0，判決為D0的聯(lián)合概率；

P(D1H0)表示假設為H0，判決為D1的聯(lián)合概率；

P(D0H1)表示假設為H1，判決為D0的聯(lián)合概率；

P(D1H1)表示假設為H1，判決為D1的聯(lián)合概率；

C00表示假設為H0，判決為D0所付出的代價；

C10表示假設為H0，判決為D1所付出的代價；

C01表示假設為H1，判決為D0所付出的代價；

C11表示假設為H1，判決為D1所付出的代價。應用貝葉斯公式，有

P(DiHj)=P(Hj)P(Di|Hj)

(9.15)=C00P(H0)P(D0|H0)+C10P(H0)P(D1|H0)+C01P(H1)P(D0|H1)+C11P(H1)P(D1|H1)

(9.16)設在一次觀測情況下，已知條件概率密度函數(shù)f(x|H1)和f(x|H0)，如圖9.2所示。我們可先任意選擇判決點x0，求出此時的平均風險，然后對x0求導，并令d/dx0=0，可以得到

=

min的判決點，即x0=xB。下面求xB。任選判決點x0，將式(9.5)代入式(9.16)可以得到

(9.17)當Cij

、P(Hi)及f(x|Hi)已知時，顯然和x0的選擇有關，令d/dx0=0，即解得x0=xB，即為貝葉斯門限，于是(9.18)用xB代替式(9.17)中的積分上(下)限x0，就可以得到最小風險(即貝葉斯風險)：

(9.19)由于式(9.18)左邊是似然函數(shù)的比值，因此λB稱為似然比門限。貝葉斯判決準則可以寫成

(9.20)

由于λ(x)和λB都是正數(shù)，因而也可用對數(shù)表示為(9.21)

將式(9.17)寫成另一種形式也可以找出判決準則，即

(9.22)由于式(9.22)右邊的第1項和第2項是正數(shù)，要想使較小，則希望第3項提供負值。我們把使被積函數(shù)為負值的所有x劃分在z0，而把使被積函數(shù)為正值的所有x劃分在z1域，就可以得到貝葉斯判決準則

(9.23)經(jīng)整理得到(9.24)這和式(9.20)一致。貝葉斯門限xB

可以從λ(xB)=λB得到。貝葉斯風險就是最小平均風險，利用“否定法”可以證明。如果是N次觀測，那么仍將觀測空間劃分為z0和z1兩個判決域，所不同的只是現(xiàn)在的觀測空間是N維的。這時

(9.25)和一維觀測方法相似，將式(9.25)代入式(9.16)，求出并令d/dX=0，即可求得N維觀測時的貝葉斯判決準則

(9.26)或者用對數(shù)表示為(9.27)

貝葉斯準則是應用最廣泛的判決準則之一。9.2.2錯誤概率最小準則(理想觀測者準則)

在通信系統(tǒng)中，經(jīng)常采用貝葉斯準則的一種特例，即假定C00=C11=0和C10=C01=1，這說明，對于通信系統(tǒng)來說，正確的判決結(jié)果不必付出代價，而錯誤的判決結(jié)果應付出相同的代價，亦即它將虛報錯誤和漏報錯誤所造成的后果看做是相等的。因此，將這些特定條件代入式(9.16)式后，可以得到Pe=

=P(H0)P(D1|H0)+P(H1)P(D0|H1)

(9.28)這里將平均風險用錯誤概率Pe來代替，它由虛報和漏報兩類錯誤的平均值所組成。判決門限x0是任意的。如果知道碼元的先驗概率P(H0)和P(H1)，可以用貝葉斯準則找到貝葉斯門限似然比λB=［f(x|H1)］/［f(x|H0)］=P(H0)/P(H1)，從而求出貝葉斯判決門限xB，此時得到的平均風險為最小的平均風險(或誤碼率)。相應地有這就是前面幾章已經(jīng)用過多次的誤碼率計算公式，只是有些符號不同而已。

例1

已知C11=C00=0，C10=C01=1，假設H1為真時，接收信號幅度S1=1，H0為真時，接收信號幅度S0=-1，加性噪聲是均值為0、方差σ2=1的高斯噪聲，P(H0)=0.4，P(H1)=0.6。求誤碼率。

解利用貝葉斯準則，λB=P(H0)/P(H1)=2/3，判決門限為9.3多次測量前面討論了二元判決準則，并且根據(jù)一個觀測樣本計算了它們的檢測性能。從直觀上想象，對于幅度恒定而疊加了白高斯噪聲的信號進行N次觀測，可以得到N個獨立的樣本，根據(jù)N個獨立樣本進行各種準則的檢測，其檢測性能一定比單個樣本的檢測的性能優(yōu)越。設X=(x1，x2，…，xN)是N維向量空間中的一個點，則當H1為真時，f(X|H1)=f(x1，x2,…，xN|H1)；當H0為真時，f(X|H0)=f(x1，x2，…，xN|H0)。它們的似然函數(shù)比為

(9.29)判決準則為(9.30)其中λ0為似然比門限，它由各種判決準則確定。當判決準則為錯誤概率最小準則時，有

(9.31)下面通過一個例子來求多次測量時的誤碼率。

例2

設接收信號的N個觀測樣本為{x1，x2，…，xN}，在每一種假設下，這些觀測樣本都是獨立、同分布的高斯隨機變量，當假設為H1時，隨機變量的均值為S1、方差為

；當假設為H0時，隨機變量的均值為S0、方差為。求最小錯誤概率準則下的接收性能。

解因為

(9.32)

(9.33)所以

(9.34)為了計算簡便，將上式兩邊取對數(shù)，并把與觀測樣本xk有關的放在一邊，則得到(9.35)把作為檢驗統(tǒng)計量，或者將兩邊除以N，得到另一形式的表示式

(9.36)是觀測樣本的均值，它是一個隨機變量；是與似然比門限有關的一個常量。接收機的判決準則為

(9.37)

接收機的結(jié)構如圖9.4所示。圖9.4二元確知信號最佳接收機接收機的檢測性能取作為檢驗統(tǒng)計量。因為假設為H1時，xk=S1+nk；假設為H0時，xk=S0+nk。在觀測期間設S1、S0不變，而nk為高斯隨機變量，因此xk也是高斯隨機變量。N個高斯隨機變量之和仍然是高斯隨機變量，所以y是高斯隨機變量。只要求出y的均值和方差就可以得到y(tǒng)的概率密度函數(shù)。下面求y的條件概率密度函數(shù)，在假設為H1條件下，得到

(9.38)(9.39)同樣，在假設為H0條件下，得到(9.40)于是，y的條件概率密度函數(shù)分別為

(9.41)

(9.42)將式(9.42)代入式(9.5)，得到虛報概率:如果S0=0，S1=1，=1，P(H0)=P(H1)=0.5，則可以算得最小錯誤概率準則下的似然比門限λ0=1，相應的d=0.5，此時接收機的最小錯誤概率

(9.43)

當N=1時，Pe=0.31；N=2時，Pe=0.24；N=10時，Pe=0.057；N=100時，Pe=3×10-7。顯然N越大，Pe越小。9.4二元確知信號的最佳接收我們把二元確知信號的最佳接收作為二元假設檢驗的實際應用。所謂確知信號，就是指信號的全部參量或波形是已知的。例如對于正弦波信號，它的幅度、頻率、相位及到達的時間等都是已知的。這里討論的是根據(jù)假設條件和判決準則給出的最佳接收機的結(jié)構，計算它的誤碼率。9.4.1最佳接收機結(jié)構這里討論二元確知信號在高斯白噪聲中的檢測，當 假設為H0時，x(t)=S0(t)+n(t)0≤t≤T

假設為H1時，x(t)=S1(t)+n(t)0≤t≤T式中S0(t)和S1(t)可以是基帶信號，例如S0(t)=S0=常數(shù)，S1(t)=S1=常數(shù)；也可以是頻帶信號，例如S0(t)和S1(t)是已調(diào)信號。按照抽樣定理對S0(t)和S1(t)進行抽樣，每次抽樣值是不同的，分別記作S0k和S1k。當在0~T時間內(nèi)進行N次抽樣時，得到似然函數(shù)比為(9.44)為了對連續(xù)波形進行檢測，可以假定在T=N(Δt)保持不變的條件下使Δt→0和N→∞，其中Δt是取樣的間隔，T是碼元寬度，同時因為信道帶寬B=1/(2Δt)，所以在Δt→0時相當于B→∞，這是理想信道的情況。此時噪聲功率

=n0B=n0/(2Δt)，其中n0是單邊噪聲功率譜密度。在這些條件下可以得到極限值

(9.45)同理可得(9.46)(9.47)(9.48)將上述4式代入式(9.44)并且取對數(shù)后可以寫成(9.49)現(xiàn)在假定判決門限似然比為λ0，因此根據(jù)判決規(guī)則可以寫成

(9.50)或者

(9.51)其中

(9.52)是判決門限電平。它除了與信號和噪聲的參數(shù)有關外，主要由選用的判決準則來決定，后者確定門限自然比λ0的值。當采用最小錯誤概率判決準則，且1、0碼等概出現(xiàn)時，λ0=1，lnλ0=0。當1、0碼信號的能量相等時(例如2PSK、2FSK信號)，有由此可知，對于等概等能量信號用最小錯誤概率判決準則時，VT=0。由此可以建立二進制通信系統(tǒng)的最佳接收機模型，如圖9.5所示，其中圖9.5(a)為一般形式，圖9.5(b)為等概等能量時的形式。圖9.5二元通信系統(tǒng)的最佳接收機由圖9.5可見，二元通信系統(tǒng)的最佳接收機是由兩路相關器(包括相乘器和積分器)、比較器和判決器等組成的，因此通常稱為相關接收機。在第3章已經(jīng)提到，相關器的一種等效形式是匹配濾波器，因此二元通信系統(tǒng)的最佳接收機又可用圖9.6來替代。圖9.6用匹配濾波器實現(xiàn)的最佳接收機9.4.2最佳接收機的檢測性能現(xiàn)在來計算通信系統(tǒng)最佳接收機的檢測性能，它可用平均錯誤概率Pe來表示，這里不需要考慮代價問題，因此可以確定門限似然比為假定為統(tǒng)計檢驗量，則在假設H0條件下，x(t)=S0(t)+n(t)，因此

(9.53)其中

(9.54)是信號能量，而

(9.55)是互相關系數(shù)。因為n(t)是高斯過程，其他均為確知量，所以這里v也是高斯變量，可以用均值和方差來描述它的概率密度，在假設H0條件下，v的條件概率密度為

(9.56)其中均值為

(9.57)方差為

(9.58)

由于白噪聲的相關函數(shù)是沖激函數(shù)，即(9.59)因此代入式(9.58)后可以得到

(9.60)將式(9.57)和式(9.60)代回式(9.56)后得到

(9.61)由它可以求出虛報概率為

(9.62)式中新的變量為

(9.63)相應的積分下限為

(9.64)將式(9.52)代入后得到

(9.65)采用同樣方法，可以求出在假設H1條件下的條件概率密度為

(9.66)其中均值為，方差

，因此漏報概率為

(9.67)式中新變量為

(9.68)而積分上限為

(9.69)包括虛報和漏報在內(nèi)的平均錯誤概率為

(9.70)在等概的情況下，P(H0)=P(H1)=1/2，則有λ0=1，lnλ0=0，因此此時平均錯誤概率為

(9.71)

將式(9.71)畫成圖9.7所示曲線，同時畫出P(S1)/P(S2)等于10或0.1情況下的曲線，以資比較。圖9.7Pe與的關系曲線(圖中橫坐標為)由圖9.7可見，先驗概率相等屬于最不利的情況，當P(S0)≠P(S1)時，可以稍微降低錯誤概率。通常在不知道先驗概率的情況下，可以用等概率條件來假定，這是因為，如果最不利情況下的接收質(zhì)量能夠滿足要求，那么在比較好的情況下就更沒有問題了。圖9.7說明，隨著信號能量ES的增長，或者噪聲功率譜密度n0的降低，均可以使錯誤概率減小，亦即改善接收質(zhì)量。另外一個因素是相關系數(shù)ρ，當ρ=1時可以使Pe達到最小值，其次是ρ=0?；ハ嚓P系數(shù)ρ的意義是代表信號S1(t)和S0(t)之間的相關程度。在實際應用中，利用圖9.5所示的相關接收機來接收相移鍵控信號(PSK)就屬于ρ=-1的情況，此時S0(t)=Acosω0t和S1(t)=Acos(ω0t+π)=-Acosω0t，因此即,代入式(9.71)后可以得到最小錯誤概率為(9.72)如果用相關接收機來接收頻移鍵控信號(FSK)，此時S0(t)=Acosω0t，S1(t)=Acos(ω1t)，并且選擇頻率ω1-ω0=nπ/T和ω1+ω0=mπ/T，其中T是碼元密度，m和n是整數(shù)，因此，即ρ=0，代入式(9.71)后得到(9.73)它與式(9.72)相比，在ES和n0均相同的情況下要想獲得同樣的錯誤概率，那么FSK信號必須比PSK信號提高一倍的信噪比，或者說，F(xiàn)SK信號的抗干擾性能要比PSK信號差3dB，如圖9.8所示。圖9.8二元通信系統(tǒng)的性能比較最后討論采用相關接收機來接收幅移鍵控(ASK)信號的問題。此時S0(t)=0且S1(t)=Acos(ω1t)，其中0≤t≤T；ρ=0，E0=0，，但是平均能量。顯然參考圖9.5可見，由于S0(t)=0，下面的相關器可以省略，因此只要一個相關器就可以了。最佳接收系統(tǒng)的原理框圖如圖9.9所示，其中VT=E1/2。圖9.9ASK最佳接收機此時的錯誤概率Pe為(9.74)

如果都用平均能量ES與n0的比值來表示Pe，則式(9.74)與式(9.73)具有相同的形式。因此圖9.8中把ASK、FSK(相干)的Pe~ES/n0曲線畫在一根線上。但實際上當ASK和FSK信號的振幅A相同時，ASK信號的平均能量只有FSK的一半，因此當ASK和FSK信號的振幅相等時，ASK信號的抗噪聲性能要比FSK信號差3dB。通常將ρ=-1的PSK信號稱為超正交信號，屬于最佳的(理想的)波形，因而在二元通信系統(tǒng)中得到廣泛的應用。ρ=0的FSK信號也有較好的抗噪聲性能，應用也較普遍，特別是在多元通信系統(tǒng)中，移頻鍵控方式得到了更廣泛的應用。9.4.3實際接收機與最佳接收機的比較把由第6章得到的二進制數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)相干接收誤碼率公式與本節(jié)得到的二進制最佳接收機的誤碼率公式相比較，可以發(fā)現(xiàn)兩者在公式的形式上是一樣的，如表9.1所示。從表9.1可見，實際接收機相干解調(diào)時的r與最佳接收機的E/n0相對應。因此，兩種接收機性能的比較主要看相同條件下r與E/n0的相互關系。在s(t)和n0相同的條件下，對于實際接收機來說，信號要經(jīng)過帶通濾波，然后進行信號檢測，因此實際接收機的信噪功率比r與帶通濾波器的特性有直接關系。在第6章的分析中，我們均認為信號能順利通過帶通濾波，而噪聲僅在帶通濾波器的通帶內(nèi)通過，于是,信噪功率比r就是信號s(t)的平均功率與帶通濾波器輸出噪聲功率之比。假設帶通濾波器的帶寬為B，則信噪比r可以表