人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)學(xué)案：5 1 2 第1課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的概念

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE15．1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想．導(dǎo)語(yǔ)同學(xué)們，經(jīng)過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們把物理中的平均速度和瞬時(shí)速度對(duì)應(yīng)到了幾何中的割線斜率和切線斜率，在解決問題時(shí)，都采用了由“平均變化率”無限逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法，從此也可看出，現(xiàn)實(shí)中的瞬時(shí)速度實(shí)際上是不存在的，比如大家在經(jīng)過紅綠燈路口時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)，測(cè)速探頭會(huì)在極短時(shí)間內(nèi)拍兩次，然后看你發(fā)生的位移，原理也是極限的思想，但在幾何上，曲線的切線斜率卻是存在的，今天我們繼續(xù)研究更一般的問題．一、導(dǎo)數(shù)的概念問題瞬時(shí)變化率的幾何意義是什么？它的數(shù)學(xué)意義又是什么？〖提示〗瞬時(shí)變化率的幾何意義是曲線的切線斜率．實(shí)際上，上節(jié)課我們通過研究拋物線的切線斜率就有了瞬時(shí)變化率在數(shù)學(xué)中的意義．知識(shí)梳理1．平均變化率對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx)．這時(shí)，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我們把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．2．導(dǎo)數(shù)如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個(gè)確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).注意點(diǎn)：(1)曲線切線的斜率即函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)；(2)瞬時(shí)變化率、曲線切線的斜率、函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，三者等價(jià)．例1已知函數(shù)h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)計(jì)算從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為①2；②1；③0.1；④0.01；(2)根據(jù)(1)中的計(jì)算，當(dāng)Δx越來越小時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間〖1,1＋Δx〗上的平均變化率有怎樣的變化趨勢(shì)？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(huán)(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3.①當(dāng)Δx＝2時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②當(dāng)Δx＝1時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③當(dāng)Δx＝0.1時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④當(dāng)Δx＝0.01時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)當(dāng)Δx越來越小時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間〖1,1＋Δx〗上的平均變化率逐漸變大，并接近于－3.3.反思感悟求平均變化率的主要步驟(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再計(jì)算自變量的改變量Δx＝x2－x1.(3)得平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間〖x0，x0＋Δx〗上的平均變化率，并求當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)平均變化率的值．解函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間〖x0，x0＋Δx〗上的平均變化率為eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)，函數(shù)y＝3x2＋2在區(qū)間〖2,2.1〗上的平均變化率為6×2＋3×0.1＝12.3.二、導(dǎo)數(shù)定義的直接應(yīng)用例2求函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.從而y′|x＝1＝2.反思感悟用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)求極限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).跟蹤訓(xùn)練2(1)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為()A．2xB．2C．2＋ΔxD．1〖答案〗B〖解析〗eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1＋2Δx＋Δx2－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2＋Δx)＝2.(2)已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，則m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閑q\f(Δy,Δx)＝eq\f(fm＋Δx－fm,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,mm＋Δx)，所以f′(m)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－2,mm＋Δx)＝－eq\f(2,m2)，所以－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.三、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的意義例3(教材P65例2改編)航天飛機(jī)升空后一段時(shí)間內(nèi)，第ts時(shí)的高度為h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的單位為m，t的單位為s.(1)h(0)，h(1)，h(2)分別表示什么？(2)求第2s內(nèi)的平均速度；(3)求第2s末的瞬時(shí)速度．解(1)h(0)表示航天飛機(jī)發(fā)射前的高度；h(1)表示航天飛機(jī)升空后第1s時(shí)的高度；h(2)表示航天飛機(jī)升空后第2s時(shí)的高度．(2)航天飛機(jī)升空后第2s內(nèi)的平均速度為eq\x\to(v)＝eq\f(h2－h(huán)1,2－1)＝eq\f(5×23＋30×22＋45×2＋4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×13＋30×12＋45×1＋4)),1)＝170(m/s)．(3)第2s末的瞬時(shí)速度為eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δh,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(h2＋Δt－h(huán)2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(52＋Δt3＋302＋Δt2＋452＋Δt＋4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×23＋30×22＋45×2＋4)),Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(5Δt3＋60Δt2＋225Δt,Δt)＝225(m/s)．因此，第2s末的瞬時(shí)速度為225m/s.反思感悟?qū)?shù)的物理意義是：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)即為它的瞬時(shí)變化率．跟蹤訓(xùn)練3一只昆蟲的爬行路程s(單位：米)是關(guān)于時(shí)間t(單位：分)的函數(shù)：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2，0≤t<3,15＋3t－12，t≥3，))求s′(1)與s′(4)，并解釋它們的實(shí)際意義．解當(dāng)0≤t<3時(shí)，s(t)＝3t2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1)),Δt)＝eq\f(31＋Δt2－3,Δt)＝6＋3Δt，∴s′(1)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(6＋3Δt)＝6.當(dāng)t≥3時(shí)，s(t)＝15＋3(t－1)2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4)),Δt)＝eq\f(15＋34＋Δt－12－[15＋3×\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(4－12)),Δt)＝18＋3Δt，∴s′(4)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(18＋3Δt)＝18.s′(1)＝6說明在第1分鐘時(shí)，該昆蟲的爬行速度為6米/分，s′(4)＝18說明在第4分鐘時(shí)，該昆蟲的爬行速度為18米/分．1．知識(shí)清單：(1)導(dǎo)數(shù)的概念．(2)導(dǎo)數(shù)定義的直接應(yīng)用．(3)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的意義．2．方法歸納：定義法．3．常見誤區(qū)：對(duì)函數(shù)的平均變化率、瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)概念理解不到位．1．函數(shù)y＝1在〖2,2＋Δx〗上的平均變化率是()A．0B．1C．2D．Δx〖答案〗A〖解析〗eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－1,Δx)＝0.2．若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1,2Δx)等于()A．－2f′(1) B.eq\f(1,2)f′(1)C．－eq\f(1,2)f′(1) D．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))〖答案〗C〖解析〗eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f[1＋－Δx]－f1,－Δx)＝－eq\f(1,2)f′(1)．3．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(diǎn)(1，－2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，－2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2〖答案〗C〖解析〗eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝