人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案4：5 1 1 變化率問題

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE15.1.1變化率問題〖目標導(dǎo)航〗課程標準課標解讀初步了解導(dǎo)數(shù)概念的背景，掌握平均變化率與瞬時變化率的概念及幾何意義.會求函數(shù)的平均變率與瞬時變化率.并能結(jié)合實際問題求曲線在某點處與某點附近點的切線與割線的斜率的極限值.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會求函數(shù)的平均變化率與瞬時變化率.〖知識精講〗1.函數(shù)的平均變化率函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率(1)定義式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)實質(zhì)：的增量與的增量之比．(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間〖x1，x2〗上變化的快慢．(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割線P1P2的．2.瞬時速度(1)物體在的速度稱為瞬時速度．(2)一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當(dāng)Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)的極限是v，這時v就是物體在時刻t＝t0時的瞬時速度，即瞬時速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).〖即學(xué)即練1〗一物體的運動方程是，則t在內(nèi)的平均速度為（）A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．3〖即學(xué)即練2〗設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時，函數(shù)的改變量是（）A． B．C． D．〖即學(xué)即練3〗若函數(shù)f(x)＝－x2＋10的圖象上一點及鄰近一點，則＝()A．3 B．－3C．－3－ D．－－3〖即學(xué)即練4〗已知函數(shù)的圖象上一點及鄰近點，則（）A．2 B． C． D．〖即學(xué)即練5〗如果函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為,則（）A． B． C． D．〖即學(xué)即練6〗物體運動時位移s與時間t的函數(shù)關(guān)系是s＝－4t2＋16t，此物體在某一時刻的速度為零，則相應(yīng)的時刻為()A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4〖即學(xué)即練7〗將物體以速度v0(v0＞0)豎直上拋，ts時的高度為s(t)＝v0t－gt2，求物體在t0時刻的瞬時速度．〖即學(xué)即練8〗一質(zhì)點做直線運動，其位移s與時間t的關(guān)系為s(t)＝t2＋1，該質(zhì)點在2到2＋Δt(Δt>0)之間的平均速度不大于5.求Δt的取值范圍．〖能力拓展〗考法01函數(shù)的平均變化率：1.求函數(shù)的平均變化率；2.平均變化率的幾何意義.〖典例1〗求函數(shù)y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx都為eq\f(1,3)，哪一點附近的平均變化率最大？〖典例2〗過曲線y＝f(x)＝x2－x上的兩點P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲線的割線，已知割線PQ的斜率為2，求Δx的值．考法02求瞬時速度〖典例3〗某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示.（1）求物體在t＝1s時的瞬時速度．（2）試求物體的初速度．（3）試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s.

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁〖知識精講〗1.函數(shù)的平均變化率(2)函數(shù)值 自變量(4)斜率2.瞬時速度(1)某一時刻．〖即學(xué)即練1〗〖答案〗B〖解析〗，故選：B.〖即學(xué)即練2〗〖答案〗D〖解析〗自變量由改變到，當(dāng)時，；當(dāng)時，，.故選：D.〖即學(xué)即練3〗〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.〖即學(xué)即練4〗〖答案〗A〖解析〗由題意得，所以，故選A．〖即學(xué)即練5〗〖答案〗C〖解析〗根據(jù)平均變化率的定義，可知.故選.〖即學(xué)即練6〗〖答案〗B〖解析〗Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4(Δt)2.所以當(dāng)Δt→0時，＝16－8t－4Δt→16－8t.又因為在某時刻的瞬時速度為零，所以16－8t＝0，解得t＝2,選B.〖即學(xué)即練7〗〖解〗因為Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，所以＝v0－gt0－gΔt，當(dāng)Δt趨近于0時，趨近于常數(shù)v0－gt0.故物體在t0時刻的瞬時速度為v0－gt0.〖即學(xué)即練8〗〖解〗質(zhì)點在2到2＋Δt之間的平均速度為又≤5，即4＋Δt≤5，∴Δt≤1.又Δt>0，∴Δt的取值范圍為(0,1〗．〖能力拓展〗考法01函數(shù)的平均變化率：1.求函數(shù)的平均變化率；2.平均變化率的幾何意義.〖典例1〗〖解〗在x＝1附近的平均變化率為k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均變化率為k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均變化率為k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.當(dāng)Δx＝eq\f(1,3)時，k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均變化率最大．〖典例2〗〖解〗割線PQ的斜率即為函數(shù)f(x)從1到1＋Δx的平均變化率eq\f(Δy,Δx).∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割線PQ的斜率k＝eq\f(Δy,Δx)＝1＋Δx.又∵割線PQ的斜率為2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.考法02求瞬時速度〖典例3〗〖解〗（1）∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物體在t＝1處的瞬時變化率為3.即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.（2）求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度．∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物體在t＝0時的瞬時變化率為1，即物體的初速度為1m/s.（3）設(shè)物體在t0時刻的瞬時速度為9m/s.又eq\f