人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊學案5：5 3 2 第1課時 函數(shù)的極值

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊PAGEPAGE15.3.2第1課時函數(shù)的極值〖目標導航〗課程標準課標解讀1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導數(shù)的關系.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件．4.能根據(jù)極值點與極值的情況求參數(shù)范圍.5.會利用極值解決方程的根與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題．通過本節(jié)課的學習要求會求函數(shù)的極值、極值點；能解決與極值點相關的參數(shù)問題；并能利用極值解決方程的根與函數(shù)的交點問題.〖知識精講〗知識點1.函數(shù)的極值點和極值(1)極小值點與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝，而且在點x＝a附近的左側，右側，就把叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)極大值點與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝，而且在點x＝b附近的左側，右側，就把叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為；極大值、極小值統(tǒng)稱為．2.函數(shù)極值的求法與步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時，①如果在x0附近的左側函數(shù)單調遞增，即f′(x)>0，在x0的右側函數(shù)單調遞減，即f′(x)<0，那么f(x0)是；②如果在x0附近的左側函數(shù)單調遞減，即f′(x)<0，在x0的右側函數(shù)單調遞增，即f′(x)>0，那么f(x0)是．(2)求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟①確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x)；②求方程的根；③列表；④利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側單調性的變化情況求極值．〖即學即練1〗關于函數(shù)的極值，下列說法正確的是（）A．導數(shù)為零的點一定是函數(shù)的極值點B．函數(shù)的極小值一定小于它的極大值C．一個函數(shù)在它的定義域內最多只有一個極大值和一個極小值D．若一個函數(shù)在某個區(qū)間內有極值，則這個函數(shù)在該區(qū)間內不是單調函數(shù)〖即學即練2〗設函數(shù)，則（）A．f（x）的極大值為 B．f（x）的極小值為C．f（x）的極大值為 D．f（x）的極小值為〖即學即練3〗函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為()A．1，－3 B．1,3C．－1,3 D．－1，－3〖即學即練4〗若函數(shù)在上無極值，則實數(shù)的取值范圍（）A． B．C． D．〖即學即練5〗如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．是函數(shù)的極小值點B．當或時，函數(shù)的值為0C．函數(shù)關于點對稱D．函數(shù)在上是增函數(shù)〖即學即練6〗設函數(shù)，則的（）A．極小值點為，極大值點為 B．極小值點為，極大值點為C．極小值點為，極大值點為 D．極小值點為，極大值點為〖即學即練7〗（多選題）函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．為函數(shù)的單調遞增區(qū)間 B．為函數(shù)的單調遞減區(qū)間C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極大值〖即學即練8〗（多選題）已知函數(shù)，則（）A．的極大值為 B．的極大值為C．曲線在處的切線方程為 D．曲線在處的切線方程為〖即學即練9〗函數(shù)的極小值為______．〖即學即練10〗函數(shù)的極值點是___________.〖即學即練11〗若函數(shù)在處有極小值，則實數(shù)___________．〖即學即練12〗若f(x)＝ex－kx的極小值為0，則k＝________．〖能力拓展〗考法01求函數(shù)的極值點和極值〖典例1〗求下列函數(shù)的極值．（1）；（2）；（3）．〖典例2〗已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，當實數(shù)a≠eq\f(2,3)時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值．〖即學即練13〗函數(shù)的極值點為______．〖即學即練14〗已知函數(shù)，則其極大值與極小值的和為__________．〖即學即練15〗已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則()A．在上為減函數(shù) B．在處取極小值C．在上為減函數(shù) D．在處取極大值考法02利用函數(shù)的極值求參數(shù)：已知函數(shù)的極值求參數(shù)時應注意兩點(1)待定系數(shù)法：常根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值兩個條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解．(2)驗證：因為導數(shù)值為0不一定此點就是極值點，故利用上述方程組解出的解必須驗證．〖典例3〗已知函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a處取到極大值，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)C．(0,1) D．(－1,0)〖典例4〗若函數(shù)有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是______．〖即學即練16〗已知函數(shù)（）在上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍為______．〖即學即練17〗若函數(shù)在x=1處有極值，則f(x)的極大值為（）A． B． C．5 D．〖即學即練18〗若函數(shù)在區(qū)間內不存在極值點，則實數(shù)的取值范圍是__________.考法03利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點問題〖典例5〗函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4的圖象與直線y＝a恰有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是________．〖即學即練19〗若函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．〖即學即練20〗已知函數(shù)在區(qū)間上有3個不同的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是__________.

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁〖知識精講〗知識點1.函數(shù)的極值點和極值(1)0 f′(x)<0 f′(x)>0 點a f(a)(2)0 f′(x)>0 f′(x)<0 點b f(b)(3)極值點 極值2.函數(shù)極值的求法與步驟(1)①極大值②極小值(2)②f′(x)＝0〖即學即練1〗〖答案〗D〖解析〗對于A選項，取，則，，當時，，故不是函數(shù)的極值點，故A不正確；極值是函數(shù)的局部性質，極大值與極小值之間一般來說沒有大小關系，故B不正確；一個函數(shù)在它的定義域內可能有多個極大值和極小值，故C不正確；若一個函數(shù)在某個區(qū)間內有極值，則這個函數(shù)在該區(qū)間內不是單調函數(shù)，D正確.故選：D.〖即學即練2〗〖答案〗D〖解析〗的定義域為，.令，解得x=2，列表得：x2－0+單減極小值單增所以f（x）在x=2處取得極小值，，無極大值.故選：D.〖即學即練3〗 〖答案〗A〖解析〗∵f′(x)＝3ax2＋b，由題意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋b＝0，,a＋b＝－2，))∴a＝1，b＝－3.〖即學即練4〗〖答案〗D〖解析〗由可得，恒成立，為開口向上的拋物線，若函數(shù)在上無極值，則恒成立，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：D.〖即學即練5〗〖答案〗D〖解析〗A.因為兩邊的導數(shù)都是負數(shù)，所以不是函數(shù)的極值點，所以該選項錯誤；B.當或時，的值為0，但是函數(shù)的值不一定為0，所以該選項錯誤；C.沒有理由推出函數(shù)關于點對稱，所以該選項錯誤；D.結合導數(shù)與函數(shù)單調性的關系可知，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，故該選項正確.故選：D．〖即學即練6〗〖答案〗A〖解析〗，則，函數(shù)的定義域為，由可得，由可得或.所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.因此，函數(shù)的極小值點為，極大值點為.故選：A.〖即學即練7〗〖答案〗ABC〖解析〗由題意，函數(shù)的導函數(shù)的圖象可知：當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增；所以函數(shù)f(x)單調遞減區(qū)間為：，，遞增區(qū)間為，，且函數(shù)在和取得極小值，在取得極大值.故選：ABC．〖即學即練8〗〖答案〗BD〖解析〗因為，所以，所以當或時，當時，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，故的極大值為，故A錯誤，B正確；因為，所以曲線在處的切線方程為，即，故C錯誤，D正確；故選：BD.〖即學即練9〗〖答案〗－3〖解析〗因為，故，令得到，故函數(shù)在上單調遞減；令得到或，故函數(shù)在和上單調遞增.故極小值為.故〖答案〗為：.〖即學即練10〗〖答案〗〖解析〗由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，即在單調遞增；令，即，解得，即在單調遞減，所以當時，函數(shù)取得極小值，所以是函數(shù)的極小值點.故〖答案〗為：.〖即學即練11〗〖答案〗9〖解析〗因為，所以，由，得；當時，，所以函數(shù)在單調遞增，在單調遞減.函數(shù)在處有極小值，滿足題意.故〖答案〗為：9.〖即學即練12〗〖答案〗e〖解析〗因為f(x)＝ex－kx的定義域為R，所以f′(x)＝ex－k，當k≤0時，f′(x)>0，f(x)在R上單調遞增，所以f(x)無極值．當k>0時，由f′(x)＝0，得x＝lnk；令f′(x)>0，得x>lnk，此時函數(shù)單調遞增；令f′(x)<0，得x<lnk，此時函數(shù)單調遞減，所以f(x)的極小值為：f(lnk)＝elnk－klnk＝k(1－lnk)＝0，所以1－lnk＝0，即k＝e.故〖答案〗為：e.〖能力拓展〗考法01求函數(shù)的極值點和極值〖典例1〗〖解〗（1）∵，令，即，解得，．當x變化時，，的變化情況如下表所示：x3＋00＋極大值極小值∴由上表可知，函數(shù)的極大值為；函數(shù)的極小值為．（2），令，即，解得，，，當x變化時，與的變化情況如下表所示：x035＋0＋00＋無極值極大值極小值由上表可知的極大值為；的極小值為．（3）由題意，，，令，得或(舍去)，當時，；當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，從而函數(shù)有極小值，無極大值．〖典例2〗〖解〗f′(x)＝〖x2＋(a＋2)x－2a2＋4a〗ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠eq\f(2,3)知－2a≠a－2.分以下兩種情況討論：①若a>eq\f(2,3)，則－2a<a－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2a，a－2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.②若a<eq\f(2,3)，則－2a>a－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函數(shù)，在(a－2，－2a)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.〖即學即練13〗〖答案〗0〖解析〗由已知，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，函數(shù)在處取到極大值.故〖答案〗為：0.〖即學即練14〗〖答案〗〖解析〗，，，或，∴在上單調遞減，上單調遞增，上單調遞減，，．則其極大值與極小值的和為.故〖答案〗為：.〖即學即練15〗〖答案〗C〖解析〗由導函數(shù)的圖象可知：當時，或；當時，或，所以的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為和，故在處取得極大值，在處取得極小值，在處取得極大值.故選：C.考法02利用函數(shù)的極值求參數(shù)：〖典例3〗〖答案〗D〖解析〗若a<－1，因為f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，所以f(x)在(－∞，a)上單調遞減，在(a，－1)上單調遞增，所以f(x)在x＝a處取得極小值，與題意不符；若－1<a<0，則f(x)在(－1，a)上單調遞增，在(a，＋∞)上單調遞減，從而在x＝a處取得極大值．若a>0，則f(x)在(－1，a)上單調遞減，在(a，＋∞)上單調遞增，與題意不符，故選D.〖典例4〗〖答案〗〖解析〗由題意得在上有解．當時，可得，故實數(shù)a的取值范圍是．故〖答案〗為：.〖即學即練16〗〖答案〗〖解析〗由題意，得．令，則（）．令，則，所以函數(shù)在上單調遞減，所以當時，，故要使函數(shù)在上有極值點，只需，即實數(shù)a的取值范圍是．故〖答案〗為：.〖即學即練17〗〖答案〗C〖解析〗由已知，所以，，即，或時，，時，，即在和上遞增，在上遞減，極大值為．故選：C．〖即學即練18〗〖答案〗或.〖解析〗因為在區(qū)間內不存在極值點，所以在區(qū)間內無變號零點，令，當時，，，，故只需滿足或即可，解得或.故〖答案〗為：或.考法03利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點問題〖典例5〗〖答案〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(28,3)))〖解析〗∵f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值∴當x＝－2時，函數(shù)取得極大值f(－2)＝eq\f