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文檔簡介

天津市靜海區(qū)2024-2025學年高三線上練習測試:三角函數注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列函數中,在區(qū)間上單調遞減的是()A. B. C. D.2.已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的焦距為8,一條漸近線方程為,則C為()A. B.C. D.3.給定下列四個命題:①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行,則這兩個平面相互平行;②若一個平面經過另一個平面的垂線,則這兩個平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個平面垂直,那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中,為真命題的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④4.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.5.《九章算術》是我國古代數學名著,書中有如下問題:“今有勾六步,股八步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步,問其內切圓的直徑為多少步?”現從該三角形內隨機取一點,則此點取自內切圓的概率是()A. B. C. D.6.已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點,則的最小值為()A. B. C. D.7.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的值為()A.0 B.1 C. D.9.已知復數滿足,其中是虛數單位,則復數在復平面中對應的點到原點的距離為()A. B. C. D.10.已知等比數列滿足,,等差數列中,為數列的前項和,則()A.36 B.72 C. D.11.已知為圓:上任意一點,,若線段的垂直平分線交直線于點,則點的軌跡方程為()A. B.C.() D.()12.已知函數,則不等式的解集為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數有且只有一個零點,則實數的取值范圍為__________.14.在等比數列中,,則________.15.若,則________.16.設函數,則滿足的的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,內角的對邊分別是,已知.(1)求的值;(2)若,求的面積.18.(12分)在中,角,,的對邊分別為,其中,.(1)求角的值;(2)若,,為邊上的任意一點,求的最小值.19.(12分)在極坐標系中,直線的極坐標方程為,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系,曲線的參數方程為(為參數),求直線與曲線的交點的直角坐標.20.(12分)已知橢圓的中心在坐標原點,其短半軸長為,一個焦點坐標為,點在橢圓上,點在直線上的點,且.證明:直線與圓相切;求面積的最小值.21.(12分)已知拋物線的焦點為,直線交于兩點(異于坐標原點O).(1)若直線過點,,求的方程;(2)當時,判斷直線是否過定點,若過定點,求出定點坐標;若不過定點,說明理由.22.(10分)已知函數.(1)解不等式:;(2)求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

由每個函數的單調區(qū)間,即可得到本題答案.【詳解】因為函數和在遞增,而在遞減.故選:C本題主要考查常見簡單函數的單調區(qū)間,屬基礎題.2.A【解析】

由題意求得c與的值,結合隱含條件列式求得a2,b2,則答案可求.【詳解】由題意,2c=8,則c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴雙曲線C的方程為.故選:A.本題考查雙曲線的簡單性質,屬于基礎題.3.D【解析】

利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質和判定定理對四個命題分別分析進行選擇.【詳解】當兩個平面相交時,一個平面內的兩條直線也可以平行于另一個平面,故①錯誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯誤;若兩個平面垂直,只有在一個平面內與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選:D本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查空間想象能力,是中檔題.4.B【解析】

三視圖對應的幾何體為如圖所示的幾何體,利用割補法可求其體積.【詳解】根據三視圖可得原幾何體如圖所示,它是一個圓柱截去上面一塊幾何體,把該幾何體補成如下圖所示的圓柱,其體積為,故原幾何體的體積為.故選:B.本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積,復原幾何體時注意三視圖中的點線關系與幾何體中的點、線、面的對應關系,另外,不規(guī)則幾何體的體積可用割補法來求其體積,本題屬于基礎題.5.C【解析】

利用直角三角形三邊與內切圓半徑的關系求出半徑,再分別求出三角形和內切圓的面積,根據幾何概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長為,利用等面積法,可得其內切圓的半徑為,所以向次三角形內投擲豆子,則落在其內切圓內的概率為.故選:C.本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題,其中解答中熟練應用直角三角形的性質,求得其內切圓的半徑是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.6.A【解析】

設直線為,用表示出,,求出,令,利用導數求出單調區(qū)間和極小值、最小值,即可求出的最小值.【詳解】解:設直線為,則,,而滿足,那么設,則,函數在上單調遞減,在上單調遞增,所以故選:.本題考查導數知識的運用:求單調區(qū)間和極值、最值,考查化簡整理的運算能力,正確求導確定函數的最小值是關鍵,屬于中檔題.7.B【解析】設折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設可得,所以四棱錐的體積,應選答案B.8.A【解析】

根據輸入的值大小關系,代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入,,因為,所以由程序框圖知,輸出的值為.故選:A本題考查了對數式大小比較,條件程序框圖的簡單應用,屬于基礎題.9.B【解析】

利用復數的除法運算化簡z,復數在復平面中對應的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復數在復平面中對應的點到原點的距離為故選:B本題考查了復數的除法運算,模長公式和幾何意義,考查了學生概念理解,數學運算,數形結合的能力,屬于基礎題.10.A【解析】

根據是與的等比中項,可求得,再利用等差數列求和公式即可得到.【詳解】等比數列滿足,,所以,又,所以,由等差數列的性質可得.故選:A本題主要考查的是等比數列的性質,考查等差數列的求和公式,考查學生的計算能力,是中檔題.11.B【解析】

如圖所示:連接,根據垂直平分線知,,故軌跡為雙曲線,計算得到答案.【詳解】如圖所示:連接,根據垂直平分線知,故,故軌跡為雙曲線,,,,故,故軌跡方程為.故選:.本題考查了軌跡方程,確定軌跡方程為雙曲線是解題的關鍵.12.D【解析】

先判斷函數的奇偶性和單調性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數的定義域為.因為,所以為上的偶函數,因為函數都是在上單調遞減.所以函數在上單調遞減.因為,所以,且,解得.故選:D本題主要考查函數的奇偶性和單調性的判斷,考查函數的奇偶性和單調性的應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

當時,轉化條件得有唯一實數根,令,通過求導得到的單調性后數形結合即可得解.【詳解】當時,,故不是函數的零點;當時,即,令,,,當時,;當時,,的單調減區(qū)間為,增區(qū)間為,又,可作出的草圖,如圖:則要使有唯一實數根,則.故答案為:.本題考查了導數的應用,考查了轉化化歸思想和數形結合思想,屬于難題.14.1【解析】

設等比數列的公比為,再根據題意用基本量法求解公比,進而利用等比數列項之間的關系得即可.【詳解】設等比數列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為:1本題主要考查了等比數列基本量的求解方法,屬于基礎題.15.13【解析】

由導函數的應用得:設,,所以,,又,所以,即,由二項式定理:令得:,再由,求出,從而得到的值;【詳解】解:設,,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案為:13本題考查了導函數的應用、二項式定理,屬于中檔題16.【解析】

當時,函數單調遞增,當時,函數為常數,故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當時,函數單調遞增,當時,函數為常數,需滿足,且,解得.故答案為:.本題考查了根據函數單調性解不等式,意在考查學生對于函數性質的靈活運用.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】

(1)由,利用余弦定理可得,結合可得結果;(2)由正弦定理,,利用三角形內角和定理可得,由三角形面積公式可得結果.【詳解】(1)由題意,得.∵.∴,∵,∴.(2)∵,由正弦定理,可得.∵a>b,∴,∴.∴.本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數,屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數有關的問題時,還需要記住等特殊角的三角函數值,以便在解題中直接應用.18.(1);(2).【解析】

(1)利用余弦定理和二倍角的正弦公式,化簡即可得出結果;(2)在中,由余弦定理得,在中結合正弦定理求出,從而得出,即可得出的解析式,最后結合斜率的幾何意義,即可求出的最小值.【詳解】(1),,由題知,,則,則,,;(2)在中,由余弦定理得,,設,其中.在中,,,,,所以,,所以的幾何意義為兩點連線斜率的相反數,數形結合可得,故的最小值為.本題考查正弦定理和余弦定理的實際應用,還涉及二倍角正弦公式和誘導公式,考查計算能力.19.【解析】

將直線的極坐標方程和曲線的參數方程分別化為直角坐標方程,聯立直角坐標方程求出交點坐標,結合的取值范圍進行取舍即可.【詳解】因為直線的極坐標方程為,所以直線的普通方程為,又因為曲線的參數方程為(為參數),所以曲線的直角坐標方程為,聯立方程,解得或,因為,所以舍去,故點的直角坐標為.本題考查極坐標方程、參數方程與直角坐標方程的互化;考查運算求解能力;熟練掌握極坐標方程、參數方程與直角坐標方程的互化公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.20.證明見解析;1.【解析】

由題意可得橢圓的方程為,由點在直線上,且知的斜率必定存在,分類討論當的斜率為時和斜率不為時的情況列出相應式子,即可得出直線與圓相切;由知,的面積為【詳解】解:由題意,橢圓的焦點在軸上,且,所以.所以橢圓的方程為.由點在直線上,且知的斜率必定存在,當的斜率為時,,,于是,到的距離為,直線與圓相切.當的斜率不為時,設的方程為,與聯立得,所以,,從而.而,故的方程為,而在上,故,從而,于是.此時,到的距離為,直線與圓相切.綜上,直線與圓相切.由知,的面積為,上式中,當且僅當等號成立,所以面積的最小值為1.本題主要考查直線與橢圓的位置關系、直線與圓的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查化歸與轉化思想,屬于難題.21.(1)(2)直線過定點【解析】

設.(1)由題意知,.設直線的方程為,由得,則,由根與系數的關系可得,所

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