初中數(shù)學(xué)試題大全（七十四）圖形的對稱中檔題

74初中數(shù)學(xué)組卷：圖形的對稱中檔題

一.選擇題（共10小題）

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點P（-3,2）關(guān)于直線y=x對稱點的坐標(biāo)是（）

A.（-3,-2）B.（3,2）C.（2,-3）D.（3,-2）

2.如圖RtAABC中，AB=BC=4,D為BC的中點，在AC邊上存在一點E,連接

ED,EB,則aBDE周長的最小值為（）

A.2屈.2”麻.2赤+2D.2歷2

3.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分線.若

P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）

4.若NAOB=45。，P是NAOB內(nèi)一點，分別作點P關(guān)于直線OA、OB的對稱點

Pi，P2，連接OPi,OP2，則下列結(jié)論正確的是（）

C.OP1WOP2D.OP1J_OP2且OP1=OP2

5.平面直角坐標(biāo)系中，點P（-2,3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（)

A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(-3,-2)D.(3,-2)

6.如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5.若點M、N分別是線段AC,AB上的

兩個動點，則BM+MN的最小值為（）

A.10B.8C.5?D.6

7.如圖，點P是NAOB外的一點，點M,N分別是NAOB兩邊上的點，點P關(guān)

于0A的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于0B的對稱點R落在MN的延

長線上.若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,則線段QR的長為（）

8.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點A（-1,2）與點B（-1,-2）關(guān)于（）

A.y軸對稱B.x軸對稱C.原點對稱D.直線y=x對稱

9.如圖，RtZXABC中,ZACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC沿CE翻折，使點A

落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點夕

處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F,則線段WF的長為（）

A.3B.Ac.2D.返

5532

10.下面四個手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對稱圖形的是（）

A.B.C.QD.

二.填空題(共10小題)

11.如圖，RtZiABC中，ZACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使點A落在邊CB上

A，處，折痕為CD,則NADB為.

12.若點A(m+2,3)與點B(-4,n+5)關(guān)于y軸對稱，則m+n=.

13.已知點P(3,a)關(guān)于y軸的對稱點為Q(b,2),則ab=.

14.點A(-3,2)關(guān)于x軸的對稱點A的坐標(biāo)為.

15.如圖，正方形ABCD的邊長為4,NDAC的平分線交DC于點E,若點P、Q

分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(2,-3),作點A關(guān)于x軸的對稱點，

得到點N,再作點A，關(guān)于y軸的對稱點，得到點A",則點A”的坐標(biāo)是

(,).

17.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點F在邊AC上，并且CF=2,

點E為邊BC上的動點，將4CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，貝!］點P到邊

AB距離的最小值是.

A

18.如圖，RtaABC紙片中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點D在邊BC上，以AD為

折痕AABD折疊得到△AB，D,AB，與邊BC交于點E.若aDEB，為直角三角形，則

BD的長是.

19.如圖，矩形ABCD中，AD=4,NCAB=30。，點P是線段AC上的動點，點Q

是線段CD上的動點，則AQ+QP的最小值是.

20.如圖，有一個英語單詞，四個字母都關(guān)于直線I對稱，請在試卷上補全字母,

在答題卡上寫出這個單詞所指的物品

n__c_

~DIV

三.解答題(共10小題)

21.在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，每個小方格都是邊長為1的正方形，^ABC的

頂點均在格點上，點A的坐標(biāo)是(-3,-1).

(1)將AABC沿y軸正方向平移3個單位得到△AiBiCi，畫出△AiBiCi,并寫出

點Bi坐標(biāo)；

(2)畫出△AiBiJ關(guān)于y軸對稱的4A2B2c2，并寫出點C2的坐標(biāo).

22.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處,

DF交BC于點E.

(1)求證：△DCE^^BFE；

AEB,將4AFG沿AF折疊得到△AFD,延長BE和DF相交于點C.

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點M、N,將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB

與AD重合，得到△ADH,試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

(3)若EG=4,GF=6,BM=3&,求AG、MN的長.

24.(1)如圖1,直線同側(cè)有兩點A、B,在直線上求一點C,使它到A、B之和

最小.(保留作圖痕跡不寫作法)

(2)知識拓展：如圖2,點P在NAOB內(nèi)部，試在OA、0B上分別找出兩點E、

F,使4PEF周長最短(保留作圖痕跡不寫作法)

(3)解決問題：①如圖3,在五邊形ABCDE中，在BC,DE上分別找一點M,N,

使得AAMN周長最小(保留作圖痕跡不寫作法)

②若NBAE=125°,NB=NE=90°,AB=BC,AE=DE,ZAMN+ZANM的度數(shù)為.

AE

圖1圖2圖3

25.如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將aADE沿AE對

折至AAFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG.

(1)求證：4ABG^4AFG；

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Z^ABC的頂點A(0,1),B(3,2),C(1,4)

均在正方形網(wǎng)格的格點上.

(1)畫出aABC關(guān)于x軸的對稱圖形△AiBiCi；

(2)將△AiBiCi沿x軸方向向左平移3個單位后得到4A2B2c2，寫出頂點A”

B2，C2的坐標(biāo).

27.已知：如圖所示，

(1)作出^ABC關(guān)于y軸對稱的△ABU,并寫出△ABC三個頂點的坐標(biāo).

(2)在x軸上畫出點P,使PA+PC最小.

y.

7C

A/

1B

-101

-1

28.如圖，如下圖均為2義2的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1.請分

別在四個圖中各畫出一個與^ABC成軸對稱、頂點在格點上，且位置不同的三角

形.

29.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網(wǎng)格中，給出了4ABC(頂點是網(wǎng)

格線的交點).

(1)請畫出4ABC關(guān)于直線I對稱的△AiBiCi；

(2)將線段AC向左平移3個單位，再向下平移5個單位，畫出平移得到的線

段A2c2，并以它為一邊作一個格點4A2B2c2，使A2B2=C2B2.

30.如圖1,將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點A落在DC上的點A處，然后將矩

形展平，沿EF折疊，使頂點A落在折痕DE上的點G處.再將矩形ABCD沿CE

折疊，此時頂點B恰好落在DE上的點H處.如圖

(1)求證：EG=CH；

(2)已知AF=近，求AD和AB的長.

74初中數(shù)學(xué)組卷：圖形的對稱中檔題

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2015?涼山州）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（-3,2）關(guān)于直線y=x對稱點

的坐標(biāo)是（）

A.（-3,-2）B.（3,2）C.（2,-3）D.（3,-2）

【分析】根據(jù)直線y=x是第一、三象限的角平分線，和點P的坐標(biāo)結(jié)合圖形得到

答案.

【解答】解：點P關(guān)于直線y=x對稱點為點Q,

作AP〃x軸交y=x于A,

?.”=*是第一、三象限的角平分線，

，點A的坐標(biāo)為（2,2）,

VAP=AQ,

.?.點Q的坐標(biāo)為（2,-3）

【點評】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的變換，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注

意角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用.

2.（2016?濟(jì)南三模）如圖RtaABC中，AB=BC=4,D為BC的中點，在AC邊上

存在一點E,連接ED,EB,則4BDE周長的最小值為（）

A

BDC

A.2代B.2A/3C.2^5+2D.2心2

【分析】要求aBDE周長的最小值，就要求DE+BE的最小值.根據(jù)勾股定理即可

得.

【解答】解：過點B作BOLAC于。，延長B0到1，使OB，=OB,連接DB，，交

AC于E,

此時DB'=DE+EB'=DE+BE的值最小.

連接CB',易證CBUBC,

根據(jù)勾股定理可得DB』后一訪右：2代,

則ABDE周長的最小值為275+2.

【點評】此題考查了線路最短的問題，確定動點E何位置時，使DE+BE的值最

小是關(guān)鍵.

3.（2014?貴港）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD是NBAC

的平分線.若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）

【分析】過點C作CM_LAB交AB于點M,交AD于點P,過點P作PQ_LAC于點

Q,由AD是NBAC的平分線.得出PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長

度，運用勾股定理求出AB,再運用SMBC=L\B?CM=L\C?BC,得出CM的值，即

22

PC+PQ的最小值.

【解答】解：如圖，過點C作CM±AB交AB于點M,交AD于點P,過點P作

PQ1AC于點Q,

VAD是NBAC的平分線.

；.PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，

VAC=6,BC=8,NACB=90°,

*#,AB=7AC2+BC62+8^10'

SAABC=X^B?CM=1AC*BC,

22

ACM=A^BC=6X8=24,

AB105

即PC+PQ的最小值為處.

5

故選：C.

【點評】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值

時點P和Q的位置.

4.（2015?陽谷縣一模）若NAOB=45。，P是NAOB內(nèi)一點，分別作點P關(guān)于直線

OA、OB的對稱點Pi，P2，連接。Pi，OP2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.OP1IOP2B.OPi=OP2

C.OPi^OP2D.0PiJ_0P2且0Pi=0P2

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出。Pi、OP2的數(shù)量與夾角即可得解.

【解答】解：如圖，..?點P關(guān)于直線OA、0B的對稱點Pi、P2，

.*.OPi=OP2=OP,

ZAOP=ZAOPi,ZBOP=ZBOP2>

.,.ZPIOP2=ZAOP+ZAOPI+ZBOP+ZBOP2，

=2(ZAOP+ZBOP),

=2/AOB,

VZAOB=45°,

.?.OPi，OP2成立.

故選D.

【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，利

用圖形更形象直觀.

5.(2016?成都)平面直角坐標(biāo)系中，點P(-2,3)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)

為()

A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(-3,-2)D.(3,-2)

【分析】直接利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)

而得出答案.

【解答】解：點P(-2,3)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(-2,-3).

故選：A.

【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解

題關(guān)鍵.

6.(2015?綏化)如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5.若點M、N分別是線段

AC,AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為()

A.10B.8C.5V3D.6

【分析】過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直

AB交AB于F點，EF就是所求的線段.

【解答】解：過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF

垂直AB交AB于F點，

AC=5收，

AC邊上的高為=絲巴2代，所以BE=4代.

AC

VAABC^AEFB,

?AB_AC10_5^5

、EF475

EF=8.

【點評】本題考查最短路徑問題，關(guān)鍵確定何時路徑最短，然后運用勾股定理和

相似三角形的性質(zhì)求得解.

7.（2014?聊城）如圖，點P是NAOB外的一點，點M,N分別是NAOB兩邊上

的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R

落在MN的延長線上.若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,則線段QR的長為（）

A.4.5cmB.5.5cmC.6.5cmD.7cm

【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出PM=MQ,PN=NR,進(jìn)而利用MN=4cm,得

出NQ的長，即可得出QR的長.

【解答】解：???點P關(guān)于0A的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于0B的

對稱點R落在MN的延長線上，

；.PM=MQ,PN=NR,

VPM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,

，RN=3cm,MQ=2.5cm,

即NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5(cm),

則線段QR的長為：RN+NQ=3+1.5=4.5(cm).

故選：A.

【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，得出PM=MQ,PN=NR是解題關(guān)鍵.

8.(2016?赤峰)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點A(-1,2)與點B(-1,-2)關(guān)于

()

A.y軸對稱B.x軸對稱C.原點對稱D.直線y=x對稱

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，橫坐標(biāo)不變可得

答案.

【解答】解：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點A(-1,2)與點B(-1,-2)關(guān)于x軸

對稱.

故選:B.

【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)

律.

9.（2015?無錫）如圖，RtAABC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC沿CE

翻折，使點A落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延

長線上的點B，處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F,則線段BT的長為（）

A.3B.Ac.2D.返

5532

【分析】首先根據(jù)折疊可得CD=AC=3,B,C=BC=4,ZACE=ZDCE,ZBCF=ZB,CF,

CE1AB,然后求得AECF是等腰直角三角形，進(jìn)而求得NB，F(xiàn)D=90。，CE=EF=絲，

5

ED=AE且，從而求得B，D=1,DF=3,在RtZ^B'DF中，由勾股定理即可求得B，F(xiàn)的

55

長.

【解答】解:根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CD=AC=3,B'C=BC=4,ZACE=ZDCE,ZBCF=

ZBZCF,CE1AB,

，B，D=4-3=1,NDCE+NB'CF=NACE+NBCF,

VZACB=90°,

/.ZECF=45O,

AAECF是等腰直角三角形，

，EF=CE,ZEFC=45°,

.'.ZBFC=ZB,FC=135%

.,.ZBTD=90°,

SAABC=1AC?BC=XAB*CE,

22

，AC?BC=AB?CE,

根據(jù)勾股定理求得AB=5,

/.CE=R

5

；.EF=卷，ED=AE=^AC2_CE2=|.,

，DF=EF-ED=2,

5

*e,B，F(xiàn)=VB/D2-DF2=4'

故選:B.

【點評】此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用

等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是本題的關(guān)鍵.

10.（2016?邵陽）下面四個手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對稱圖形的是（）

【分析】分別根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的性質(zhì)對各選項進(jìn)行逐一分析即

可.

【解答】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D、是軸對稱圖形，故本選項正確.

故選D.

【點評】本題考查的是軸對稱圖形，熟知軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是

一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重

合是解答此題的關(guān)鍵.

二.填空題（共10小題）

11.（2017?麗水模擬）如圖,RMABC中,ZACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使

點A落在邊CB上A處，折痕為CD,則NA，DB為10。.

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知NCA，D=NA=50。，然后根據(jù)外角定理可得出/

A'DB.

【解答】解：由題意得：ZCAzD=ZA=50°,NB=40。，

由外角定理可得：NCAD=NB+NA，DB,

,可得：ZA,DB=10°.

故答案為：10°.

【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，注意外角定理的運用是解決本題

的關(guān)鍵.

12.(2014?張家界)若點A(m+2,3)與點B(-4,n+5)關(guān)于y軸對稱，則

m+n=0.

【分析】根據(jù)"關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)"列出方程求

解即可.

【解答】解：..?點A(m+2,3)與點B(-4,n+5)關(guān)于y軸對稱，

m+2=4,3=n+5,

解得：m=2,n=-2,

/.m+n=0,

故答案為：0.

【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好

對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：

(1)關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

(2)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；

(3)關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

13.(2015?銅仁市)已知點P(3,a)關(guān)于y軸的對稱點為Q(b,2),則ab=

-6.

【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得

a=2,b=-3,進(jìn)而可得答案.

【解答】解：?.?點P(3,a)關(guān)于y軸的對稱點為Q(b,2),

a=2,b=-3,

??ab-—6,

故答案為：-6.

【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變

化規(guī)律.

14.（2015?綏化）點A（-3,2）關(guān)于x軸的對稱點A，的坐標(biāo)為（-3,-2）.

【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答.

【解答】解：點A（-3,2）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（-3,-2）.

故答案為：（-3,-2）.

【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好

對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：

（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；

（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

15.（2017?天橋區(qū)三模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,NDAC的平分線交DC

于點E,若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是二返

【分析】過D作AE的垂線交AE于F,交AC于再過＞作AP，，AD,由角平

分線的性質(zhì)可得出D，是D關(guān)于AE的對稱點，進(jìn)而可知DP即為DQ+PQ的最小值.

【解答】解：作D關(guān)于AE的對稱點D\再過D，作DPLAD于，，

VDDZ±AE,

/.ZAFD=ZAFD,,

VAF=AF,NDAE=NCAE,

.?.△DAF4ZXD'AF,

是D關(guān)于AE的對稱點，AD，=AD=4,

二DP即為DQ+PQ的最小值，

?.,四邊形ABCD是正方形，

,NDAD'=45°,

...AP'=P'D',

.,.在《△APT），中，

P'D'2+AP'2=AD'2,AD'2=16,

"：/\P'=P'D',

2P'D'2=AD'2,即2P'D'2=16,

/.PD=2&,

即DQ+PQ的最小值為2頁,

故答案為：2、亞.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性

質(zhì)和軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

16.（2015?南京）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（2,-3）,作點A關(guān)于

x軸的對稱點，得到點A,再作點A關(guān)于y軸的對稱點，得到點A",則點A"的

坐標(biāo)是（-2,3）.

【分析】分別利用x軸、y軸對稱點的性質(zhì)，得出A，，A"的坐標(biāo)進(jìn)而得出答案.

【解答】解：???點A的坐標(biāo)是（2,-3）,作點A關(guān)于x軸的對稱點，得到點A,

.?.A的坐標(biāo)為：（2,3）,

???點A關(guān)于y軸的對稱點，得到點A",

.?.點A"的坐標(biāo)是：（-2,3）.

故答案為：-2；3.

【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸、y軸對稱點的性質(zhì).

（1）關(guān)于X軸對稱點的坐標(biāo)特點：

橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

即點P（X,y）關(guān)于x軸的對稱點，的坐標(biāo)是（x,-y）.

（2）關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)特點：

橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變.

即點P（x,y）關(guān)于y軸的對稱點P'的坐標(biāo)是（-x,y）.

17.（2016?淮安）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點F在邊AC

上，并且CF=2,點E為邊BC上的動點，將4CEF沿直線EF翻折，點C落在點P

處，則點P到邊AB距離的最小值是1.2.

【分析】如圖，延長FP交AB于M,當(dāng)FPLAB時，點P到AB的距離最小，利

用△AFMs^ABC,得到空=里求出FM即可解決問題.

ABBC

【解答】解：如圖，延長FP交AB于M,當(dāng)FP1AB時，點P至UAB的距離最小.（點

P在以F為圓心CF為半徑的圓上，當(dāng)FPLAB時，點P到AB的距離最小）

VZA=ZA,ZAMF=ZC=90°,

/.△AFM^AABC,

?-A?F_F一M,

ABBC

VCF=2,AC=6,BC=8,

.'.AF=4,AB=^/AC2+BC2=10)

???4'.-FM,

108

，F(xiàn)M=3.2,

VPF=CF=2,

.*.PM=1.2

.?.點P到邊AB距離的最小值是1.2.

故答案為1.2.

【點評】本題考查翻折變換、最短問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.垂

線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確找到點P位置，屬于中考?？碱}型.

18.（2016?金華）如圖，RtAABC紙片中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點D在邊BC

上，以AD為折痕4ABD折疊得到△AB，D,AB，與邊BC交于點E.若aDEB，為直

角三角形，則BD的長是2或5.

【分析】先依據(jù)勾股定理求得AB的長，然后由翻折的性質(zhì)可知：ABz=10,DB=DB\

接下來分為NB，DE=90。和NB，ED=90。，兩種情況畫出圖形，設(shè)DB=DB，=x,然后依

據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程求解即可.

【解答】解:'.?RtZXABC紙片中,ZC=90°,AC=6,BC=8,

.*.AB=10,

以AD為折痕4ABD折疊得到△AB，D,

.,.BD=DBZ,AB=AB=10.

如圖1所示：當(dāng)NB，DE=90。時，過點E作B，F(xiàn)_LAF,垂足為F.

在RSAFB'中，由勾股定理得:AB'2=AF2+FB'2,即（6+x）2+（8-X）2=102.

解得：xi=2,X2=0（舍去）.

，BD=2.

如圖2所示：當(dāng)NB，ED=90。時，C與點E重合.

B'E=4.

設(shè)BD=DB=x,則CD=8-x.

在RtGBDE中，DB，2=DE2+BZE2,x2=（8-x）2+42.

解得：x=5.

.".BD=5.

綜上所述，BD的長為2或5.

故答案為：2或5.

【點評】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出關(guān)

于x的方程是解題的關(guān)鍵.

19.（2016?深圳模擬）如圖，矩形ABCD中，AD=4,NCAB=30。，點P是線段AC

上的動點，點Q是線段CD上的動點，則AQ+QP的最小值是_4返

【分析】以CD為軸，將4ACD往上翻轉(zhuǎn)180。，由已知的邊角關(guān)系可知AACA為

等邊三角形，求出At邊上的高線，由"直線外一點到這條直線中，垂線段最短”

即可得出結(jié)論.

【解答】解：以CD為軸,將ZVKCD往上翻轉(zhuǎn)180。,如圖,

過點A作AE_LAC于E點，AE交CD于F點,

當(dāng)Q與F點重合，，與E點重合時，AQ+QP=AF+EF=AE最短（直線外一點到這條

直線中，垂線段最短），

'矩形ABCD中，AD=4,ZCAB=30°,

,NA'CD=NACD=NCAB=30°,

Z.NA'CA=60°,

XVAC=A,C,

...△AtA為等邊三角形，且AA=2AD=8,

AE=AA?sinZAZCA=8X零M料.

故答案為：473.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)以及點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是以

CD為軸，將^ACD往上翻轉(zhuǎn)180。，找出At邊上的高線.

20.（2015?六盤水）如圖，有一個英語單詞，四個字母都關(guān)于直線I對稱，請在

試卷上補全字母，在答題卡上寫出這個單詞所指的物品書.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，組成圖形，即可解答.

【解答】解：如圖，

BOOK，

這個單詞所指的物品是書.

故答案為：書.

【點評】本題考查了軸對稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，作出圖

形.

三.解答題（共10小題）

21.（2015?聊城）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，每個小方格都是邊長為1的正方

形，AABC的頂點均在格點上，點A的坐標(biāo)是（-3,-1）.

（1）將aABC沿y軸正方向平移3個單位得到△AiBiCi，畫出△AiBiJ,并寫出

點Bi坐標(biāo)；

（2）畫出△AiBiCi關(guān)于y軸對稱的4A2B2c2，并寫出點C2的坐標(biāo).

【分析】（1）直接利用平移的性質(zhì)得出平移后對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案；

（2）利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案.

【解答】解：（1）如圖所示：△AiBiCi，即為所求；點Bi坐標(biāo)為：（-2,-1）；

（2）如圖所示：4A2B2c2,即為所求，點C2的坐標(biāo)為：（1,1）.

【點評】此題主要考查了軸對稱變換以及平移變換，根據(jù)圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點

位置是解題關(guān)鍵.

22.(2015?樂山)如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面

上的F點處，DF交BC于點E.

(1)求證：△DCE^^BFE；

以NDBC=NBDF,得BE=DE,即可用AAS證aDCE之Z\BFE；

(2)在RtABCD中，CD=2,ZADB=ZDBC=30°,知BC=2料，在RtABCD中，

CD=2,ZEDC=30°,知CE=^Z1,所以BE=BC-EC=^Z1.

33

【解答】解：(1)VAD/7BC,

/.ZADB=ZDBC,

根據(jù)折疊的性質(zhì)NADB=NBDF,ZF=ZA=ZC=90°,

/.ZDBC=ZBDF,

.?.BE=DE,

在aDCE和aBFE中,

，ZBEF=ZDEC

<ZF=ZC，

BE=DE

/.△DCE^ABFE；

(2)在RtABCD中，

VCD=2,ZADB=ZDBC=30°,

/.BC=2次，

在RtAECD中，

VCD=2,ZEDC=30°,

，DE=2EC,

(2EC)2-EC2=CD2,

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等角對等邊、平行

線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，熟練的運用折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

23.(2016?邯鄲校級自主招生)如圖，4AEF中，NEAF=45。，AGJLEF于點G,

現(xiàn)將4AEG沿AE折疊得到aAEB,將4AFG沿AF折疊得到aAED,延長BE和

DF相交于點C.

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點M、N,將^ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB

與AD重合，得到aADH,試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

(3)若EG=4,GF=6,BM=3&,求AG、MN的長.

H

C

【分析】(1)l±l圖形翻折變換的性質(zhì)可知ZABE=ZAGE=ZBAD=ZADC=90°,AB=AD

即可得出結(jié)論；

(2)連接NH,由△ABM絲"DH,得AM=AH,BM=DH,ZADH=ZABD=45°,

故NNDH=90。，再證aAMN之△AHN,得MN=NH,由勾股定理即可得出結(jié)論；

(3)設(shè)AG=x,則EC=x-4,CF=x-6,在RtAECF中，利用勾股定理即可得出

AG的值，同理可得出BD的長，設(shè)NH=y,在Rt^NHD,利用勾股定理即可得出

MN的值.

【解答】(1)證明：［△AEB由4AED翻折而成,

，NABE=NAGE=90。，ZBAE=ZEAG,AB=AG,

VAAFD由4AFG翻折而成，

/.ZADF=ZAGF=90°,ZDAF=ZFAG,AD=AG,

VZEAG+ZFAG=ZEAF=45°,

二NABE=NAGE=NBAD=NADC=90°,

...四邊形ABCD是矩形，

VAB=AD,

，四邊形ABCD是正方形；

(2)MN2=ND2+DH2,

理由：連接NH,

VAADH由△ABM旋轉(zhuǎn)而成，

.,.△ABM^AADH,

，AM=AH,BM=DH,

?.?由(1)NBAD=90°,AB=AD,

/.ZADH=ZABD=45°,

/.ZNDH=90°,

，AM=AH

工NEAF=/NAH，

AN=AN

/.△AMN^AAHN,

；.MN=NH,

/.MN2=ND2+DH2；

(3)設(shè)AG=BC=x,則EC=x-4,CF=x-6,

在RtAECF中,

2222

VCE+CF=EF,即(x-4)+(x-6)2=100,Xi=12,x2=-2(舍去)

.*.AG=12,

VAG=AB=AD=12,ZBAD=90°,

=2

BD7AB+AD122+12

MD=BD-BM=12&-3后9衣，

設(shè)NH=y,

在RtANHD中，

VNH2=ND2+DH2,即y2=(9&-y)2+(3&)2,解得y=5&,即MN=5&.

【點評】本題考查的是翻折變換及勾股定理，解答此類題目時常常設(shè)要求的線段

長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選

擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案.

24.（2015?樂陵市模擬）（1）如圖1,直線同側(cè)有兩點A、B,在直線上求一點C,

使它到A、B之和最小.（保留作圖痕跡不寫作法）

（2）知識拓展：如圖2,點P在NAOB內(nèi)部，試在OA、OB上分別找出兩點E、

F,使4PEF周長最短（保留作圖痕跡不寫作法）

（3）解決問題：①如圖3,在五邊形ABCDE中，在BC,DE上分別找一點M,N,

使得AAMN周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡不寫作法）

②若NBAE=125°,NB=NE=90°,AB=BC,AE=DE,ZAMN+ZANM的度數(shù)為

110°.

圖1圖2圖3

【分析】（1）根據(jù)兩點之間線段最短，作A關(guān)于直線MN的對稱點E,連接BE

交直線MN于C,即可得出答案；

（2）作P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D,連接CD角。A、OB于E、F.此時4PEF

周長有最小值；

（3）①取點A關(guān)于BC的對稱點P,關(guān)于DE的對稱點Q,連接PQ與BC相交于

點M,與DE相交于點N,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AM=PM,AN=QN,然后求出

△AMN周長=PQ,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，PQ的長度即為AAMN的周長

最小值；

②根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。求出NP+NQ,再根據(jù)三角形的一個外角等于與

它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出NAMN=2NP,NANM=2NQ,然后求解即可得出

答案.

【解答】解：（1）作A關(guān)于直線MN的對稱點E,連接BE交直線MN于C,連

接AC,BC,

則此時C點符合要求.

B

A

：/C

占‘

ZP+ZQ=180°-125°=55°,

,/NAMN=NP+NPAM=2NP,NANM=NQ+NQAN=2NQ,

；.NAMN+NANM=2(NP+NQ)=2X55°=110°.

【點評】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂

直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)己知得出對稱點的位置是解題關(guān)鍵.

25.(2015?廣東)如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將

△ADE沿AE對折至aAFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG.

(1)求證：4ABG之AAFG；

(2)求BG的長.

【分析】(1)利用翻折變換對應(yīng)邊關(guān)系得出AB=AF,ZB=ZAFG=90°,利用HL

定理得出△ABGgz^AFG即可；

(2)利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2,進(jìn)而求出BG即可；

【解答】解：(1)在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD,ZD=ZB=ZBCD=90°,

V^AADE沿AE對折至aAFE,

，AD=AF,DE=EF,ZD=ZAFE=90°,

，AB=AF,ZB=ZAFG=90°,

XVAG=AG,

在RtAABG和RtAAFG中,

(AG=AG,

IAB=AF'

.".△ABG^AAFG(HL)；

(2)VAABG^AAFG,

...BG=FG,

設(shè)BG=FG=x,則GC=6-x,

?.?E為CD的中點，

，CE=EF=DE=3,

/.EG=3+x,

.,.在RtZkCEG中,32+(6-x)2=(3+x)2,解得x=2,

BG=2.

【點評】此題主要考查了勾股定理的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)翻折變

換的性質(zhì)得出對應(yīng)線段相等是解題關(guān)鍵.

26.（2016?臨夏州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,aABC的頂點A（0,1）,B（3,

2）,C（1,4）均在正方形網(wǎng)格的格點上.

（1）畫出aABC關(guān)于x軸的對稱圖形△AiBiCi；

（2）將△AiBiCi沿x軸方向向左平移3個單位后得到4A2B2c2，寫出頂點Az，

B2,C2的坐標(biāo).

■?

X

【分析】（1）直接利用關(guān)于X軸對稱點的性質(zhì)得出各對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案;

（2）直接利用平移的性質(zhì)得出各對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案.

【解答】解：（1）如圖所示：△AiBiCi，即為所求；

（2）如圖所示：4A2B2c2,即為所求，

點A2（-3,-1）,B2（01-2）,C2（~2）-4）.

X

【點評】此題主要考查了軸對稱變換和平移變換，根據(jù)題意得出對應(yīng)點位