新高考數(shù)學一輪復習第5章 第03講 平面向量的數(shù)量積 精講（教師版）

第03講平面向量的數(shù)量積(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量數(shù)量積的定義角度1：平面向量數(shù)量積的定義及辨析角度2：平面向量數(shù)量積的幾何意義高頻考點二：平面向量數(shù)量積的運算角度1：用定義求數(shù)量積角度2：向量模運算角度3：向量的夾角角度4：已知模求數(shù)量積角度5：已知模求參數(shù)高頻考點三：平面向量的綜合應用高頻考點四：極化恒等式第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1、平面向量數(shù)量積有關(guān)概念1.1向量的夾角已知兩個非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如圖所示，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)叫做向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，記作SKIPIF1<0．(2)范圍：夾角SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，兩向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線且同向；當SKIPIF1<0時，兩向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互垂直，記作SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，兩向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線但反向．1.2數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，我們把數(shù)量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中θ是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，記作：SKIPIF1<0．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：SKIPIF1<0.1.3向量的投影①定義：在平面內(nèi)任取一點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0.過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0就是向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量.②投影向量計算公式:當SKIPIF1<0為銳角（如圖（1））時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相同，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為直角（如圖（2））時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為鈍角（如圖（3））時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相反，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0綜上可知，對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角：2.1數(shù)量積SKIPIF1<02.2模：SKIPIF1<02.3夾角：SKIPIF1<02.4非零向量SKIPIF1<0的充要條件：SKIPIF1<02.5三角不等式：SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時等號成立）SKIPIF1<0SKIPIF1<03、平面向量數(shù)量積的運算①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<04、極化恒等式①平行四邊形形式：若在平行四邊形SKIPIF1<0中，則SKIPIF1<0②三角形形式：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<05、常用結(jié)論①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試一、判斷題1．（2022·全國·高一專題練習）判斷（正確的填“正確”，錯誤的填“錯誤”）（1）兩個向量的數(shù)量積仍然是向量.()（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.()（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線?SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=|SKIPIF1<0||SKIPIF1<0|.()（4）若SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，則一定有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.()（5）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加法?減法?數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.()【答案】

錯誤

錯誤

錯誤

錯誤

正確【詳解】對于（1）：兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，故錯誤；對于（2）：若SKIPIF1<0，除了SKIPIF1<0或SKIPIF1<0之外，還有可能SKIPIF1<0，故錯誤；對于（3）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0|SKIPIF1<0||SKIPIF1<0|，故錯誤；對于（4）：數(shù)量積是一個整體，這里面SKIPIF1<0不能直接約去，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0無固定關(guān)系，故錯誤；對于（5）：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加法?減法?數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量，符合向量的運算規(guī)律，故正確.2．（2021·全國·高二課前預習）已知兩個向量SKIPIF1<0的夾角為60°，則∠NMP＝60°.()【答案】錯誤二、單選題3．（2022·河南安陽·高一階段練習）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.4．（2022·全國·模擬預測（文））在邊長為2的正三角形SKIPIF1<0中，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】A解：SKIPIF1<0故選：A5．（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學校高一期中）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0－定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】C由向量的數(shù)量積的運算公式，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角，所以SKIPIF1<0－定是鈍角三角形.故選：C.第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量數(shù)量積的定義角度1：平面向量數(shù)量積的定義及辨析例題1．（2022·河北武強中學高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】CSKIPIF1<0.故選：C.例題2．（2022·山西太原·高一期中）給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B由數(shù)量積的定義知SKIPIF1<0，對于①，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不一定成立，①錯誤對于②，SKIPIF1<0成立，②正確對于③，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，兩向量不一定相等，③錯誤對于④，SKIPIF1<0，④正確故選：B例題3．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高一階段練習）在銳角SKIPIF1<0中，關(guān)于向量夾角的說法，正確的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角 B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是鈍角【答案】C如下圖所示：對于A選項，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，為鈍角，A錯；對于B選項，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，為鈍角，B錯；對于CD選項，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角等于SKIPIF1<0，為銳角，C對D錯；故選：C.例題4．（2022·寧夏·平羅中學模擬預測（理））已知向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為___________.【答案】SKIPIF1<0由題意得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.角度2：平面向量數(shù)量積的幾何意義例題1．（2022·江西撫州·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量為SKIPIF1<0，故選：D例題2．（2022·全國·高三專題練習（理））在圓SKIPIF1<0中弦SKIPIF1<0的長度為8，則SKIPIF1<0=（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】DSKIPIF1<0．故選：D例題3．（2022·甘肅·高臺縣第一中學高一階段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為120°，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為（）A．4 B．－4 C．2 D．－2【答案】D由向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為120°，所以向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為SKIPIF1<0,故選：D.例題4．（2022·吉林一中高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊上SKIPIF1<0的動點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A如圖，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上運動時地，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上運動，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A．例題5．（2022·江西景德鎮(zhèn)·三模（理））窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，它是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．在2022年虎年新春來臨之際，人們設(shè)計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）．已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，中心為SKIPIF1<0，四個半圓的圓心均在正方形SKIPIF1<0各邊的中點（如圖2，若點SKIPIF1<0在四個半圓的圓弧上運動，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DSKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影的積．由圖2知，SKIPIF1<0點在直線SKIPIF1<0上的射影是SKIPIF1<0中點，由于SKIPIF1<0，圓弧直徑是2，半徑為1，所以SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0，因此其取值范圍為SKIPIF1<0，故選：D．題型歸類練1．（2022·黑龍江·佳木斯一中高一期中）已知△ABC的外接圓圓心為O，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B如圖示：因為△ABC的外接圓圓心為O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以△AOC為等邊三角形，所以O(shè)BAC為菱形，所以SKIPIF1<0.所以向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0.故選：B2．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的正射影的數(shù)量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的正射影的數(shù)量SKIPIF1<0.故選：D3．（2022·北京市第十九中學高一期中）如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB=1，AD=3，SKIPIF1<0，設(shè)點P為直角梯形ABCD內(nèi)一點（不包含邊界），則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：依題意過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0為直角梯形SKIPIF1<0內(nèi)一點（不包含邊界），所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：A4．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0方向相同的單位向量為SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以D為BC的中點，且|AD|=|BD|，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等邊三角形，因為SKIPIF1<0方向相同的單位向量為SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0，故選：B5．（2022·河南河南·三模（理））在△SKIPIF1<0中，“SKIPIF1<0”是“△SKIPIF1<0為鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不能推出△SKIPIF1<0為鈍角三角形，充分性不成立；△SKIPIF1<0為鈍角三角形時，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不能推出SKIPIF1<0，必要性不成立.所以“SKIPIF1<0”是“△SKIPIF1<0為鈍角三角形”的既不充分也不必要條件.故選：D6．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學校高一期中）在圓SKIPIF1<0中弦SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.【答案】8過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.7．（2022·四川·樹德中學高一階段練習）如圖，直徑SKIPIF1<0的半圓，D為圓心，點C在半圓弧上，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0上有動點P，則SKIPIF1<0的取值范圍為_________．【答案】SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點時，SKIPIF1<0取最小值4，當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點時，SKIPIF1<0取最大值8故答案為：SKIPIF1<0高頻考點二：平面向量數(shù)量積的運算角度1：用定義求數(shù)量積例題1．（2022·全國·華中師大一附中模擬預測）正六邊形SKIPIF1<0的邊長為2，則SKIPIF1<0=（

）A．-6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】A在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為120°，所以SKIPIF1<0，故選：A．例題2．（2022·廣東·東莞市東方明珠學校高一期中）已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】DSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D例題3．（2022·北京·中關(guān)村中學高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：A例題4．（2022·安徽·高二階段練習）已知平面向量SKIPIF1<0，單位向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為___________.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例題5．（2022·上海奉賢區(qū)致遠高級中學高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______【答案】SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.角度2：向量模運算例題1．（2022·山東濰坊·高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面內(nèi)的兩個向量，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D例題2．（2022·四川綿陽·高一期中）已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A∵SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：A．例題3．（2022·河南安陽·高一階段練習）已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．4【答案】C解:向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）,∴SKIPIF1<0,故選：C例題4．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.例題5．（2022·河南·模擬預測（理））已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】7因為平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0例題6．（2022·河南·模擬預測（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0角度3：向量的夾角例題1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預測（理））若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故選：B例題2．（2022·山東濟南·三模）已知單位向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：A．例題3．（2022·河北邯鄲·二模）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0，故選：D例題4．（2022·河南·扶溝縣第二高中高一階段練習）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是單位向量，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為_____.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0由SKIPIF1<0?SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0例題5．（2022·山東煙臺·高一期中）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角大小為______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．例題6．（2022·安徽·巢湖市第一中學模擬預測（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角時，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角”的必要不充分條件.故選：B.例題7．（2022·遼寧·東北育才學校高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是______．【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0因向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，于是得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，因此，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0例題8．（2022·黑龍江·勃利縣高級中學高一期中）已知向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0所成角為鈍角．則SKIPIF1<0的取值范圍是______．【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0解：因為向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0所成角為鈍角，所以SKIPIF1<0且兩個向量不共線，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.例題9．（2022·河北·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為鈍角，則SKIPIF1<0的取值范圍為______【答案】SKIPIF1<0解：由題意得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0角度4：已知模求數(shù)量積例題1．（2022·吉林長春·模擬預測（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0，SKIPIF1<0故選：A例題2．（2022·全國·模擬預測（文））已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．－2【答案】DSKIPIF1<0.故選：D.例題3．（2022·北京十五中高一期中）若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例題4．（2022·安徽馬鞍山·三模（文））設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0解：因為向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：0.例題5．（2022·貴州貴陽·二模（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0##-1.5∵向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.角度5：已知模求參數(shù)例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-2 D．2【答案】D【詳解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D例題2．（2022·廣東·高一階段練習）已知單位向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：A.例題3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，等式SKIPIF1<0兩邊平方可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向，所以，SKIPIF1<0.故選：A.例題4．（2022·安徽·高二階段練習（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為______．【答案】2∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：2.題型歸類練1．（2022·北京·潞河中學三模）已知菱形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A.2．（2022·河南·方城第一高級中學模擬預測（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由SKIPIF1<0，兩邊平方可得：SKIPIF1<0，因為向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單位向量，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0.故選：C3．（2022·全國·高一單元測試）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選：C．4．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學高一期中（理））如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P為CD上一點，且滿足SKIPIF1<0，若AC＝3，AB＝4，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CSKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0三點共線，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C5．（2022·湖南·長沙市明德中學二模）已知非零向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A因為SKIPIF1<0，所以可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：A.6．（2022·廣東·模擬預測）已知單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為60°.故選：B．7．（2022·安徽師范大學附屬中學模擬預測（文））設(shè)SKIPIF1<0為非零向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為___________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，平方得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.8．（2022·廣東廣州·三模）已知SKIPIF1<0為單位向量，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0