高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 2.8 函數(shù)與方程題組訓(xùn)練 理 蘇教版

第8講函數(shù)與方程基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．(·無錫調(diào)研)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是________．解析由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝e－1－3＜0，f(1)＝e＋3＞0，所以f(x)的零點個數(shù)是1.答案12．在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為________．①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).解析∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4＞0.∴f(x)在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)．∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝e－4＜0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2＜0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝e－2＜0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eeq\f(1,2)－1＞0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，故選③.答案③3．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數(shù)a的取值為________．解析當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，則－1是函數(shù)的零點，即函數(shù)僅有一個零點；當(dāng)a≠0時，函數(shù)f(x)＝ax2－x－1為二次函數(shù)，并且僅有一個零點，則一元二次方程ax2－x－1＝0有兩個相等實根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq\f(1,4).綜上，當(dāng)a＝0或a＝－eq\f(1,4)時，函數(shù)僅有一個零點．答案0或－eq\f(1,4)4．(·朝陽區(qū)期末)函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析因為函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＜0，,f2＞0，))，所以0＜a＜3.答案(0,3)5．已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－eq\r(x)－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是________．解析依據(jù)零點的意義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝x分別和y＝－2x，y＝－lnx，y＝eq\r(x)＋1的交點的橫坐標大小問題，作出草圖，易得x1＜0＜x2＜1＜x3.答案x1＜x2＜x36．若函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)有一個零點是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是________．解析由已知條件2a＋b＝0，即b＝－2g(x)＝－2ax2－ax＝－2axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，則g(x)的零點是x＝0，x＝－eq\f(1,2).答案0，－eq\f(1,2)7．函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________.解析求函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點，可以大致估算兩個相鄰自然數(shù)的函數(shù)值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2＜lne＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3＞1，所以f(3)＞0，所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n＝2.答案28．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析畫出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0))的圖象，如圖．由函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，結(jié)合圖象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．答案(0,1)二、解答題9．函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2.(1)求f(x)的零點；(2)求分別滿足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范圍．解f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．(1)令f(x)＝0，函數(shù)f(x)的零點為x＝1或x＝－2.(2)令f(x)＜0，得x＜－2；所以滿足f(x)＜0的x的取值范圍是(－∞，－2)；滿足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，滿足f(x)＞0的x的取值范圍是(－2,1)∪(1，＋∞)．10．若關(guān)于x的方程3x2－5x＋a＝0的一個根在(－2,0)內(nèi)，另一個根在(1,3)內(nèi)，求a的取值范圍．解設(shè)f(x)＝3x2－5x＋a，則f(x)為開口向上的拋物線(如圖所示)．∵f(x)＝0的兩根分別在區(qū)間(－2，0)，(1,3)內(nèi)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＞0，,f0＜0，,f1＜0，,f3＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×－22－5×－2＋a＞0，,a＜0，,3－5＋a＜0，,3×9－5×3＋a＞0，))解得－12＜a＜0.∴所求a的取值范圍是(－12,0)．能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1．(·煙臺模擬)如圖是函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖象，則函數(shù)g(x)＝lnx＋f′(x)的零點所在區(qū)間是________．①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))；②(1,2)③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))；④(2,3)．解析由f(x)的圖象知0＜b＜1，f(1)＝0，從而－2＜a＜－1，g(x)＝lnx＋2x＋a，g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝lneq\f(1,2)＋1＋a＜0，g(1)＝2＋a＞0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·g(1)＜0.答案③2．(·連云港檢測)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＝|x|，函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx，x＞0，,－\f(1,x)，x＜0，))則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]上的零點的個數(shù)為________．解析函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為2，作出x∈[－1,1]時，f(x)＝|x|的圖象，并利用周期性作出函數(shù)f(x)在[－5,5]上的圖象，在同一坐標系內(nèi)再作出g(x)在[－5,5]上的圖象，由圖象可知，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有9個交點，所以函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]上的零點的個數(shù)為9.答案93．(·天津卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若實數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則g(a)，0，f(b)的大小關(guān)系為________．解析由f′(x)＝ex＋1＞0知f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(0)＝1－2＜0，f(1)＝e－1＞0，所以f(a)＝0時，a∈(0,1)．又g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(1)＝－2＜0，所以g(a)＜0，由g(2)＝ln2＋1＞0，g(b)＝0，得b∈(1,2)．又f(1)＝e－1＞0，∴f(b)＞0.故g(a)＜0＜f(b)．答案g(a)＜0＜f(b)二、解答題4．(·深圳調(diào)研)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,x)－4lnx的零點個數(shù)．解(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.(2)∵g(x)＝eq\f(x2－2x－3,x)－4lnx＝x－eq\f(3,x)－4lnx－2(x>