考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷7（共216題）

考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷7（共9套）（共216題）考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設函數(shù)f(x)在x=a處可導，則()A、3a2fˊ(a)+2f(a)B、C、3a2fˊ(a)－f(a)D、標準答案：D知識點解析：2、設fˊˊ(x)在x=0處連續(xù)，且，則()A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：3、設f(x，y)=．則f(x，y)在點(0，0)處()A、不存在B、連續(xù)C、可微D、不連續(xù)標準答案：C知識點解析：4、以下命題正確的個數(shù)為()①若收斂，則收斂②若收斂，則收斂③若收斂，則收斂④若發(fā)散，則存在非零常數(shù)λ，使A、1個B、2個C、3個D、4個標準答案：B知識點解析：①②為正項級數(shù)時，此命題正確③｜an3｜≤an2④比較判別法為充分，非必要條件故①③正確，②④錯誤．5、設A，B是n階可逆矩陣，滿足AB=A+B，則下面命題中正確的個數(shù)是()①｜A+B｜=｜A｜｜B｜②（AB）－1=B－1A－1③(A－E)x=0只有零解④B－E不可逆A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：A，B可逆，A+B=AB①｜A+B｜=｜AB｜=｜A｜｜B｜；②（AB）－1=B－1A－1；③A+B=ABA=AB－B=(A－E)BA－E可逆(A－E)x=0只有零解；④A+B=ABB=AB－A=A(B－E)B－E可逆．6、設，B是三階非零矩陣，且AB=0，則()A、當k=1時，r(B)=1B、當K=－3時，r(B)=1C、當k=1時，r(B)=2D、當K=－2時，r(B)=2標準答案：B知識點解析：，AB=0r(A)+r(B)≤3；B≠0r(B)＞0，從而r(A)＜3｜A｜=0k=1或k=－3．當k=1時，r(A)=1，r(B)≤2；當k=－3時，r(A)=2，r(B)=1．從而選(B)7、設P(A｜B)=P(B｜A)=，，則()A、事件A，B獨立且P(A+B)=B、事件A，B獨立且P(A+B)=C、事件A，B不獨立且P(A+B)=D、事件A，B不獨立且P(A+B)=標準答案：C知識點解析：考察(C)，P(A)=，P(B｜A)=，P(A｜B)=．從而P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=．8、設連續(xù)型隨機變量X的概率密度F(x)為偶函數(shù)，且F(x)=，則對任意常數(shù)a＞0，P{｜X｜＞a)為()A、2－2F(a)B、1－F(a)C、2F(a)D、2F(a)－1標準答案：A知識點解析：因為概率密度f(x)為偶函數(shù)及對稱性可得P(｜X｜＞a)=P(X＞a或X＜－a)=2P(X＞a)=2[1－P(X≤a)]=2=2F(a)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、由方程sin(xy)－=1所確定的曲線y=y(x)在x=0處的切線方程為________．標準答案：y=e+e(1－e)x．知識點解析：當x=0時，y=e，在方程兩邊對x求導，得cos(xy)(y+xyˊ)－=0，因此yˊ｜x=0=e(1－e)，故切線方程為y=e+e(1－e)x．10、________．標準答案：0知識點解析：11、當x→0時，微分方程(3x2+2)yˊˊ=6xyˊ的某個解與ex－1是等價無窮小，則該解為________．標準答案：y=x3+x．知識點解析：12、設f(r)在[0，1]上連續(xù)，則________．標準答案：0知識點解析：13、設，則（E+A）*=________．標準答案：知識點解析：14、設總體X在[a，b]上服從均勻分布，X1，X2，…，Xn為其樣本，樣本均值，樣本方差S2，則a，b的矩估計________，________．標準答案：知識點解析：由均勻分布的數(shù)字特征結論令E(X)=，D(X)=S2，解得a,b的矩估計為三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)15、設f(x)三階可導，且fˊˊˊ(a)≠0，f(x)=f(a)+fˊ(a)(x－a)+(x－a)2(0＜θ＜1)求．標準答案：知識點解析：暫無解析16、設函數(shù)f(x)連續(xù)，求Fˊ(x)并討論Fˊ(x)的連續(xù)性．標準答案：所以Fˊ(x)在x=0處連續(xù)．當x≠0時，因為f(x)連續(xù)，所以變上限積分也是連續(xù)的，于是Fˊ(x)是連續(xù)的．綜上：Fˊ(x)在(－∞，+∞)上是連續(xù)的．知識點解析：暫無解析17、設二元函數(shù)u=u(x，y)有二階連續(xù)偏導數(shù)，并滿足方程，且u(x，2x)=x，uˊx=(x，2x)=x2，求uˊˊxx(x，2x)，uˊˊxy(x，2x)，uˊˊyy(x，2x)．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設有微分方程yˊ+p(x)y=x2，其中求在(－∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y=f(x)，使其滿足所給的微分方程，且滿足條件y(0)=2．標準答案：當x≤1時，微分方程為yˊ+y=x2，這是一階線性微分方程，該方程的通解為當x＞1時，微分方程為，這是一階線性微分方程，該方程的通解為由于方程的解在點x=1處連續(xù)，所以從而，所以原方程通解為由于y(0)=2，所以c=0，所以滿足條件的函數(shù)為知識點解析：暫無解析19、求二元函數(shù)f(x，y)=e－xy在區(qū)域D={(x，y)｜x2+4y2≤1}上的最大值和最小值．標準答案：首先由于fˊx(x，y)=－ye－xy，fˊy(x，y)=－xe－xy，所以在D的內(nèi)部f(x，y)有唯一的駐點(0，0)，且f(0，0)=1．其次在D的邊界x2+4y2=1上，作Lagrange函數(shù)L(x，y，λ)=e－xy+λ(x2+4y2－1)，比較函數(shù)值可得f(x，y)在D上的最大值為最小值為知識點解析：暫無解析設f(u)具有連續(xù)的一階導數(shù)，且當x＞0，y＞0時，z=滿足．求z的表達式．20、設f(u)具有連續(xù)的一階導數(shù)，且當x＞0，y＞0時，z=滿足．求z的表達式．標準答案：知識點解析：暫無解析21、證明考ξ1，ξ2，…，ξn線性無關；標準答案：設k1ξ1+k2ξ2+…+knξn=0，依次在等式兩邊左乘以A，A2，…，An－2，An－1，分別得k1ξ2+k2ξ3+…+kn－1ξn=0，k1ξ3+k2ξ4+…+kn－2ξn=0，……k1ξn－1+k2ξn=0，k1ξn=0，因為ξn≠0，并依次回代得k2=…=kn－1=kn=0，所以ξ1，ξ2，…，ξn.知識點解析：暫無解析22、求Ax=0的通解；標準答案：由題意知又因為ξ1，ξ2，…，ξn線性無關，故r(A)=n－1，所以Ax=0的基礎解系中只有一個解向量，而Aξn=0，ξn≠0，因此ξn為Ax=0的一個基礎解系，所以Ax=0的通解為kξn，k為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析23、求出A的全部特征值和特征向量，并證明A不可對角化．標準答案：記P=(ξ1，ξ2，…，ξn)，則P可逆，且由此可得A的特征值λ1=λ2=…=λn=0，其特征向量為kξn(k≠0)，從而A的屬于特征值0的線性無關特征向量僅有一個，故A不可對角化．知識點解析：暫無解析24、設I1=，其中a是正常數(shù)，試證明：I1＞I2標準答案：知識點解析：暫無解析(Ⅰ)求方程組(*)的基礎解系和通解；(Ⅱ)問參數(shù)a，b，c滿足什么條件時，方程組(*)和(**)是同解方程組．25、(Ⅰ)求方程組(*)的基礎解系和通解；(Ⅱ)問參數(shù)a，b，c滿足什么條件時，方程組(*)和(**)是同解方程組．標準答案：(Ⅰ)方程組(*)的系數(shù)矩陣已是階梯形．求得基礎解系ξ1=(一1，2，一1，1，0)T，ξ2=(一1，一2，1，0，1)T，方程組通解為k1ξ1+k1ξ1=，其中k1、k1為任意常數(shù)。(Ⅱ)方程組(*)和(**)是同解方程組，將ξ1=代入方程組(**)的第1、2個方程，由顯然ξ1也滿足方程組(**)的第3個方程．將ξ2=代入方程組(**)的第3個方程，由3×(一1)+(一2)+1+c=0，得c=4．顯然，ξ2也滿足方程組(**)的第1、2個方程．故知當a=一1，b=2，c=4時，由解的性質(zhì)知方程組(*)的解全部是方程組(**)的解．反之，當a=一1，b=一2，c=4時，方程組(**)的系數(shù)矩陣方程組(**)的未知量個數(shù)n=5，方程組(**)的基礎解系由兩個線性無關解組成，已驗算方程組(*)的解全部是方程組(**)的解．故方程組(**)的解也全部是方程組(*)的解，方程組(*)、(**)是同解方程組．知識點解析：暫無解析26、(X，Y)的分布函數(shù)；標準答案：本題主要考查二維連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)、邊緣概率密度、條件密度及其概率，是一道有一定難度的綜合題．由F(x，y)=(u，v)dudv，得當x≤0或y≤0時，f(x，y)=0，從而F(x，y)=0．當0＜x≤1，0＜y≤2時，當0＜x≤1，y＞2時，當x＞1，0＜y≤2時，當x＞1，y＞2時，F(xiàn)(x，y)=1綜上所述，(X，Y)的分布函數(shù)為知識點解析：暫無解析27、(X，Y)的兩個邊緣概率密度；標準答案：當0≤x≤1時，從而X的邊緣概率密度為當0≤y≤2時，從而Y的邊緣概率密度為知識點解析：暫無解析28、P(X+Y＞1)及．標準答案：當0≤y≤2時，X關于Y=y的條件密度為當0≤x≤1時，y關于X=x的條件密度為由概率密度的性質(zhì)，得知識點解析：暫無解析29、設總體X的概率密度為其中＞θ0，θ，μ為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為取自X的簡單隨機樣本．試求θ，μ的最大似然估計量．標準答案：本題考查總體概率密度含有兩個未知參數(shù)的最大似然估計量，是一道有難度的綜合題．似然函數(shù)為由(2)知lnL關于μ單調(diào)增加，即L(x1，…，xn；θ，μ)關于μ單調(diào)增加又，所以μ的最大似然估計量為由(1)式，令，得θ的最大似然估計量為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則x=0是的()A、跳躍間斷點。B、可去間斷點。C、無窮間斷點。D、振蕩間斷點。標準答案：A知識點解析：由于所以x=0是的跳躍間斷點。故選A。2、f(x，y)在點(x0，y0)處連續(xù)，則f(x，y)在點(x0，y0)處可偏導是函數(shù)在該點可微的()A、充分必要條件。B、必要但非充分條件。C、充分但非必要條件。D、既非充分又非必要條件。標準答案：B知識點解析：舉例證明選項B是正確的。設函數(shù)容易驗證f(x，y)在點(0，0)處既連續(xù)又存在偏導，由fx’(0，0)=fy’(0，0)=0，因此不存在，所以f(x，y)在點(0，0)處不可微。故選B。3、將二重積分改寫成直角坐標形式為()A、∫02dx∫02xf(x2+y2)dyB、∫02dx∫02f(x2+y2)dyC、D、標準答案：C知識點解析：極坐標系中的2secθ對應直角坐標系中的直線x=2，極坐標系中的2cscθ對應直角坐標系中的直線y=2，因此根據(jù)極坐標系下的表達式可畫出積分區(qū)域如下圖：根據(jù)極坐標系與直角坐標系間的關系x=rcosθ，y=rsinθ，可得二重積分化為直角坐標形式為，故選C。4、下列選項中正確的是()A、若有相同斂散性。B、若正項級數(shù)C、若正項級數(shù)D、正項級數(shù)的斂散性與α，β有關。標準答案：D知識點解析：比較判別法極限形式僅適合正項級數(shù)，故選項A不正確。由反例收斂，但有，故選項B和C均不正確。在選項D中，當β≠1時，收斂性取決于β，β=1時，收斂性取決于α，故選D。5、設A，B為n階對稱矩陣，下列結論不正確的是()A、AB為對稱矩陣。B、設A，B可逆，則A一1+B一1為對稱矩陣。C、A+B為對稱矩陣。D、kA為對稱矩陣。標準答案：A知識點解析：根據(jù)(A+B)T=AT+BT=A+B，可得A+B為對稱矩陣；根據(jù)(A一1+B一1)T=(A一1)T+(B一1)T=A一1+B一1，得A一1+B一1為對稱矩陣；由(kA)T=kAT=kA，得kA為對稱矩陣。故選A。6、已知α1，是矩陣A屬于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩陣A屬于特征值λ=6的特征向量，那么矩陣P不能是()A、(α1，一α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2—2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1一α2，α3)。標準答案：D知識點解析：若P=(α1,α2,α3)，則有AP=PA，即亦即(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1α1，α2α2，α3α3)?？梢姦羒是矩陣A屬于特征值αi的特征向量(i=1，2，3)，又因矩陣P可逆，因此α1，α2，α3線性無關。若α是屬于特征值λ的特征向量，則一α仍是屬于特征值λ的特征向量，故選項A正確。若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則α，β的線性組合仍是屬于特征值λ的特征向量。本題中，α2，α3是屬于λ=6的線性無關的特征向量，故α2+α3，α2一2α3，仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3線性無關，故選項B正確。對于選項C，因為α2，α3均是λ=6的特征向量，所以α2與α3誰在前誰在后均正確即選項C正確。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩陣A的特征向量，故選D。7、設F1(x)，F(xiàn)2(x)分別為隨機變量X1與X2的分布函數(shù)，概率密度分別為f1(x)，f2(x)(兩個函數(shù)均連續(xù))，則必為概率密度的是()A、f1(x)f2(x)。B、2f2(x)F1(x)。C、f1(x)F2(x)。D、f1(x)F1(x)+f2(x)F1(x)。標準答案：D知識點解析：設X1～U(0，1)，X2～U(1，2)，則即可排除選項A，B，C。對于選項D，滿足f2(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0，且因此選項D可作為概率密度。故選D。8、設隨機變量X與Y獨立同分布，方差存在且不為零，記U=X—Y，V=X+Y，則U與V必然()A、不獨立。B、獨立。C、相關系數(shù)不為零。D、相關系數(shù)為零。標準答案：D知識點解析：根據(jù)獨立同分布隨機變量的性質(zhì)，有E(UV)=E(X2—Y2)=E(X2)一E(Y2)=0，E(U)E(V)=[E(X)]2一[E(Y)]2=0。所以由Cov(U，V)=E(UV)一E(U)E(V)=0可得相關系數(shù)ρUV=0。故選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=____________.標準答案：知識點解析：10、f(x)=sinxsin3xsin5x，則f(4)(0)=__________。標準答案：0知識點解析：11、曲線的弧長為_________。標準答案：知識點解析：12、差分方程yx+1一2yx=3x的通解為___________。標準答案：y(x)=C2x+3x，其中C為任意常數(shù)知識點解析：由已知方程知對應的齊次差分方程的特征值λ=2，通解為y(x)=C2x。因為λ=2≠3，所以令特解y*=A.3x，代入原方程得A=1，故原方程的通解為y(x)=C2x+3x，其中C為任意常數(shù)。13、行列式=__________。標準答案：n+1知識點解析：將各列加到第一列14、隨機變量X的概率密度隨機變量Y=aX+b～N(0，1)，則ab=__________。標準答案：1知識點解析：根據(jù)服從正態(tài)分布的隨機變量的概率密度表達式可知三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、計算反常積分標準答案：先對原積分進行變量替換和等價變形所以知識點解析：暫無解析16、設f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且f(A)=f(B)=0。證明：(I)存在一點ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2f(ξ)；(Ⅱ)存在一點η∈(a，b)，使得f’(η)=一3f(η)g’(η)。標準答案：(I)令φ(x)=e-2f(x)，因為f(A)=f(B)=0，所以φ(A)=φ(B)=0，根據(jù)羅爾定理，存在一點ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-2x[f’(x)一2f(x)]且e-2x≠0，所以f’(ξ)=2f(ξ)。(Ⅱ)令h(x)=f9x)e3g(x)，因為f(A)=f(B)=0，所以h(A)=h(B)=0，根據(jù)羅爾定理，存在一點η∈(a，b)，使得h’(η)=0，而h’(x)=e3g(x)[f’(x)+3f(x)g’(x)]且e3g(x)≠0，所以f’(η)=一3f(n)g’(η)。知識點解析：暫無解析17、求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。標準答案：知識點解析：暫無解析18、設函數(shù)f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0。將曲線y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周得旋轉體體積為，求：(I)f(x)的表達式；(Ⅱ)f(x)的極值。標準答案：(I)由已知，根據(jù)旋轉體體積公式可知知識點解析：暫無解析19、某企業(yè)在兩個不同市場上銷售同一產(chǎn)品，市場價格分別為p1=18—2Q1，p2=12一Q2，其中Q1，Q2分別表示產(chǎn)品在兩個市場上的需求量，該企業(yè)的總成本為C=2Q+5，其中Q=Q1+Q2。(I)若企業(yè)實行價格不同戰(zhàn)略，試確定兩個市場上產(chǎn)品的產(chǎn)量及價格，使得企業(yè)利潤最大；(Ⅱ)若企業(yè)在兩個市場上價格相同，求企業(yè)最大利潤，比較兩種戰(zhàn)略優(yōu)劣。標準答案：(I)總收入函數(shù)為r=p1Q1+p2Q2=18Q1一2Q12+12Q2一Q22，則總利潤函數(shù)為L=R—C=一5+16Q1+10Q2—2Q12一Q22，由解得Q1=4，Q2=5，兩市場的價格分別為p1=10，p2=7，此時企業(yè)利潤最大為L=52。(Ⅱ)令p1=p2=p，由18—2Q1=12一Q2，可得2Q1一Q2—6=0。即求函數(shù)L=一5+16Q1+10Q2一2Q12一Q22在條件2Q1一Q2一6=0下的最大值。構造拉格朗日乘數(shù)方程L(Q1，Q2，λ)=一5+16Q1+10Q2一2Q12—Q22+λ(2Q1一Q2—6)，解方程組得Q1=5，Q2=4，價格為p=8，最大利潤為L=49。(I)和(Ⅱ)的結果比較可見，實行價格差別戰(zhàn)略，企業(yè)的利潤比較大。知識點解析：暫無解析20、線性方程組有公共的非零解，求a，b的值和全部公共解。標準答案：因為線性方程組(I)、(Ⅱ)有公共的非零解，所以它們的聯(lián)立方程組(Ⅲ)有非零解，即(Ⅲ)系數(shù)矩陣A的秩小于4。對矩陣A進行初等行變換，得所以a=一2，b=3。且r(A)=3。此時可解方程組得ε=(0，2，一3，1)T，即為(Ⅲ)的一個非零解。又r(A)=3，所以ε構成(Ⅲ)的基礎解系。因此，(I)和(Ⅱ)的全部公共解為k(0，2，一3，1)T(其中k為任意常數(shù))。知識點解析：暫無解析21、設二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+2ax1x24x1x3+8x2x3(其中a為整數(shù))經(jīng)過正交變換化為標準形f=y12+6y22+6y32，求：(I)參數(shù)a，b的值；(Ⅱ)正交變換矩陣Q。標準答案：(I)二次型矩陣為，由二次型的標準形f=y12+6y22+6y32，可知該二次型矩陣的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=b，根據(jù)特征值的和與乘積的性質(zhì)可得方程組知識點解析：暫無解析22、設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為求：(I)a，b，c的值；(Ⅱ)隨機變量Y=eX的數(shù)學期望與方差。標準答案：(I)由概率密度的性質(zhì)，即，可得知識點解析：暫無解析23、已知總體X的概率密度是來自總體X的簡單隨機樣本。求λ的矩估計量和最大似然估計量。標準答案：由已知知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、若≠0，則()．A、k=2，a=一2B、k=一2，a=一2C、k=2，a=2D、k=一2，a=2標準答案：A知識點解析：當x→0時，，cos2x－=(1－)－(1－cos2x)，因為1一=x2，1－cos2x～(2x)2=2x2所以cos2x一=(1－)－(1－cos2x)～－x2，故k=2，a=一2，選(A)．2、y=坐的漸近線的條數(shù)為()．A、2B、3C、4D、5標準答案：C知識點解析：由為兩條水平漸近線；由為鉛直漸近線；由=0得曲線沒有斜漸近線，故曲線共有4條漸近線，選(C)．3、設D為xOy平面上的有界閉區(qū)域，z=f(x，y)在D上連續(xù)，在D內(nèi)可偏導且滿足+=一z，若f(x，y)在D內(nèi)沒有零點，則f(x，y)在D上()．A、最大值和最小值只能在邊界上取到B、最大值和最小值只能在區(qū)域內(nèi)部取到C、有最小值無最大值D、有最大值無最小值標準答案：A知識點解析：因為f(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上一定取到最大值與最小值，不妨設f(x，y)在D上的最大值M在D內(nèi)的點(x0，y0)處取到，即f(x0，y0)=M≠0，此時==0，這與≠0矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D內(nèi)取到，同理f(x，y)在D上的最小值m不可能在D內(nèi)取到，選(A)．4、設常數(shù)a＞0，正項級數(shù)收斂，則().A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、級數(shù)斂散性與a有關標準答案：C知識點解析：因為0≤又因為都收斂，所以收斂，根據(jù)比較審斂法得收斂，即(一1)n絕對收斂，選(C)．5、A=，其中a1，a2，a3，a4兩兩不等，下列命題正確的是()．A、方程組AX=0只有零解B、方程組ATX=0有非零解C、方程組ATAX=0只有零解D、方程組AATX=0只有零解標準答案：D知識點解析：由=(a3一a1)(a3一a2)(a2一a1)≠0，得r(A)=3．由r(A)=3＜4，得方程組Ax=0有非零解，不選(A)；由r(AT)=r(A)=3，得方程組ATX=0只有零解，不選(B)；由r(A)=r(ATA)=3＜4，得方程組ATAX=0有非零解，不選(C)；由R(A)=r(AAT)=3，得方程組AATX=0只有零解，選(D)．6、對三階矩陣A的伴隨矩陣A*先交換第一行與第三行，然后將第二列的一2倍加到第三列得一E，且｜A｜＞0，則A等于()．A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：由一E=E13A*E23(一2)，得A*=一(一2)=一E13E23(2)，因為｜A*｜=｜A｜2=1且｜A｜＞0，所以｜A｜=1，于是A*=A－1故A=(A*)－1=－(2)=－E23(－2)E13=－，選(A)7、設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)嚴格遞增，Y～U(0，1)，則Z=F1(Y)的分布函數(shù)().A、可導B、連續(xù)但不一定可導且與X分布相同C、只有一個間斷點D、有兩個以上的間斷點標準答案：B知識點解析：因為Y～U(0，1)，所以Y的分布函數(shù)為FY(y)=，則Z=F－1(Y)的分布函數(shù)為FZ(Z)=P{Z≤z}=P{F－1(Y)≤z}=P{Y≤F(z)}=FY[F(z)]，因為0≤F(z)≤1，所以Fz(z)=F(z)，即Z與X分布相同，選(B).8、設X1，X2，X3，…，Xn是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機變量，是樣本均值，記=．則___________.A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：令S2=．～N(0，1)，由～χ2(n－1)，且與相互獨立，由t分布的定義，～t(n－1)，選(B).二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、曲線在t=0對應點處的法線方程為__________．標準答案：知識點解析：當t=0時，x=3，y=1，，而=2t一2,eycost+eysint一=0，將t=0。代入得，于是切線的斜率為，于是法線為y一1=(x一3)，即法線方程為y=+1一．10、差分方程yx+1—3yx=2.3x的通解為___________．標準答案：知識點解析：齊次差分方程yx+1一3yx=0的通解為y=A3x，設差分方程yx+1—3yx=2.3x的特解為y0(x)=Cx3x，將y0(x)=Cx3x代入方程yx+1一3y=2.3x得C=，故原差分方程的通解為y(x)=A3x+2x3x－1．11、設z=f(t，et)dt，f有一階連續(xù)的偏導數(shù)，則=____________．標準答案：知識點解析：=2xyf(x2y，)，=2xf+2xf()=2xf+2x3y(f’1+).12、微分方程一3y’+2y=2ex滿足=1的特解為_____________．標準答案：y=－3ex+3e2x－2xex知識點解析：特征方程為λ2一3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，一3y’+2y=0的通解為令原方程的特解為y0(x)=Axex，代入原方程為A=一2，原方程的通解為y=C1ex+C2e2x一2xex由=1得y(0)=0，y’(0)=1，代入通解得C1=一3，C2=3，特解為y=一3ex+3e2x一2xex．13、已知三階方陣A，B滿足關系式E+B=AB，A的三個特征值分別為3，一3，0，則｜B－1+2E｜=___________．標準答案：-8知識點解析：因為A的特征值為3，一3，0，所以A—E的特征值為2，一4，一1，從而A—E可逆，由E+B=AB得(A—E)B=E，即B與A—E互為逆陣，則B的特征值為，一，一1，B－1的特征值為2，一4，一1，從而B－1+2E的特征值為4，－2，1，于是｜B－1+2E｜=一8．14、設X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，其中E(X)=μ,D(X)=σ2，令U=—Xi，V==Xi(i≠j)，則ρuv=___________．標準答案：知識點解析：由U=一Xi=+…+得D(U)=D(V)=Cov(U，V)=Cov(—Xi，一Xi)=Cov()－Cov(Xi，)一Cov(，Xi)+Cov(Xi，Xj)=D()一2Cov(Xi，)=，則．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、令x=cost(02)一xy’+y=0化為y關于，的微分方程，并求滿足=2的解．標準答案：，代入原方程得+y=0，該方程的通解為y=C1cost+C2sint，原方程的通解為y=C1x+C2，將初始條件=2代入得C1=2，C2=1，故特解為y=2x+．知識點解析：暫無解析16、設f(x)二階可導，f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值為一1．證明：存在ξ∈(0，1)．使得(ξ)≥8．標準答案：因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以f(x)在[0，1]上取到最小值和最大值．又因為f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值為一1，所以存在c∈(0，1)，使得f(c)=一1．(c)=0，由泰勒公式得整理得當c∈(0，]時，因為c2≤，所以(ξ1)=≥8，此時取ξ=ξ1；當c∈[，1)時，因為(1一c)2≤，所以(ξ2)=≥8，此時取ξ=ξ2．知識點解析：暫無解析17、計算(a>0)．標準答案：令，(－≤θ≤0，0≤r≤一2asinθ)，則知識點解析：暫無解析18、某企業(yè)生產(chǎn)某種商品的成本函數(shù)為C=a+bQ+cQ2，收入函數(shù)為R=ιQ一sQ2，其中常數(shù)a，b，c，ι，s都是正常數(shù)，Q為產(chǎn)量，求：(Ⅰ)當稅率為t時，該企業(yè)獲得最大利潤時的銷售量；(Ⅱ)當企業(yè)利潤最大時，t為何值時征稅收益最大．標準答案：(Ⅰ)利潤函數(shù)為L=R－C一tQ=ιQ－sQ2一a一bQ一cQ2一tQ，令=ι一2sQ一b—2cQ一t=0得Q=.因為=一2s一2c=一2(c+s)<0，所以Q=為企業(yè)獲得最大利潤時的銷售量．(Ⅱ)稅收函數(shù)T=tQ=，令=0得t=．因為<0，所以稅率t=時，征稅收益最大．知識點解析：暫無解析19、求冪級數(shù)的收斂區(qū)域與和函數(shù)．標準答案：由=1得級數(shù)的收斂半徑為R=1.當x=1時，因為分散，所以當x=1時，級數(shù)發(fā)散；當x=一1時，，因為與都收斂，所以當x=一1時，級數(shù)收斂，故級數(shù)的收斂域為[一1，1)．令S(x)==(5—8x)ln(1一x)+5x(一1≤X<1)．知識點解析：暫無解析20、設A為m×n矩陣，且r(A)=r()=r=(Ab)．(I)證明方程組AX=b有且僅有n一r+1個線性無關解；(Ⅱ)有三個線性無關解，求a，b及方程組的通解．標準答案：(I)令ξ1，ξ2，…，為Ax=0的基礎解系，η0為Ax=b的特解，顯然β0=η0，β1=ξ1+η0，為Ax=b的一組解，令=0，即+(k0+k1+…+)η0=0．上式左乘A得(k0+k1+…+)=0，因為b≠0時，k0+k1+…+=0，于是k1β1+k2ξ2+…+kn－rξn－r，因為ξ1，ξ2，…，ξn－r為Ax=0的基礎解系，所以k1=k2=…=kn－r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn－r線性無關．若γ0，γ1，…，γn－r+1為AX=b的線性無關解，則ξ1=γ1一γ0，…一γ0為AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+=0，則k1γ1+k2γ2+…+kn－r+1γn－r＋1－(k1+k2+…+kn－r+1)γ0=0因為γ0，γ1，…，γn－r+1線性無關，所以k1=k2=…=kn-r+1=0,即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1為AX=0的線性無關解，矛盾，故方程組AX=b恰有n－r+1個線性無關解(Ⅱ)令A=則化為AX=β因為Ax=β有三個非零解，所以AX=0有兩個非零解，故4－r(A)≥2，r(A)≤2，又因為r(A)≥2，所以r(A)=r()=2則a=－3，b=－1由得原撇的通解為其中k1，k2為任意常數(shù))．知識點解析：暫無解析21、設二次型f(x1，x2，x3)=－2x1x2+6x1x3－6x2x3的矩陣合同于．(Ⅰ)求常數(shù)a；(Ⅱ)用正交變換法化二次型f(x1，x2，x3)為標準形.標準答案：(Ⅰ)令A=則f(x1，x2,x3)=XTAX.因為A與合同，所以r(A)=2<3，故｜A｜=0．由｜A｜=(Ⅱ)由｜λE一A｜==λ(λ－4)(λ－9)=0得λ1=0，λ1=0，λ2=4，λ3=9．由(0E—A)X=0得；由(4E－A)X=0得；由(9E—A)X=0得令Q=(γ1，γ2，γ3)=，則f(x1，x2,x3)=XTAXYT(QTAQ)Y=知識點解析：暫無解析22、設隨機變量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互獨立，求Z=X+Y的密度函數(shù)fz(z)．標準答案：X，Y的邊緣密度分別為因為X，Y獨立，所以(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=fx(x)fY(y)=FZ(z)=P{z≤z}=P{X+Y≤z}=f(x，y)dxdy，當z＜0時，F(xiàn)Z(z)=0；當0≤z<1時，F(xiàn)Z(z)=dxe-ydy=(1一ex－z)dx=z－e－z(ez－1)=z+e－z－1；當z≥1時，F(xiàn)Z(z)=[*167]dxe－ydy=(1一ex－z)dx即FZ(z)=故fZ(z)=知識點解析：暫無解析23、設總體x的密度函數(shù)為f(x)=其中θ>一1是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本．(I)求θ的矩估計量；(Ⅱ)求θ的最大似然估計量．標準答案：(I)E(x)=，令，得參數(shù)的矩估計量為．(Ⅱ)記樣本觀察值為x1，x2，…，xn，似然函數(shù)為則lnL=nln(θ+1)+θlnxi(0＜xi＜1)，令，得參數(shù)的最大似然估計值為，則最大似然估計量為．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設正數(shù)列{an}滿足，則極限=A、eB、1C、0D、標準答案：B知識點解析：2、設函數(shù)則x=0是f(x)的A、可去間斷點．B、跳躍間斷點．C、第二類間斷點．D、連續(xù)點．標準答案：B知識點解析：3、設有函數(shù)f1(x)=｜1nx｜，f2(x)=，f3(x)=x3—3x2+x+1，f4(x)=｜x一1+1nx｜，則以(1，0)為曲線拐點的函數(shù)有A、1個．B、2個．C、3個．D、4個．標準答案：D知識點解析：首先fi(1)=0，i=1，2，3，4，說明點(1，0)都在曲線上．由｜lnx｜的圖形容易判斷(1，0)是f1(x)的拐點令f2"(x)=0，x=1(x=一1不在定義域內(nèi))，由于f2"(x)在x=1的左、右異號，故(1，0)是f2(x)的拐點．f3’(x)=3x2—6x+1，f3"(x)=6(x一1)，f3"(1)=0，又f3"(x)在x=1左右異號，故(1，0)是f3(x)的拐點．對f4(x)求導比較麻煩，我們可以由g(x)=x一1+lnx來討論．可知g(x)↑，又，故g(x)的圖形上凸，當x∈(0，1)時g(x)＜0，當x∈(1，+∞)時g(x)＞0，所以f4(x)=｜g(x)｜的圖形以(1，0)為拐點．綜上所述，應選(D)．4、設=x2一xy+y2，則fx’(1，1)=A、1．B、0．C、一1．D、標準答案：D知識點解析：5、設A是m×n矩陣，且方程組Ax=b有解，則A、當Ax=b有唯一解時，必有m=n．B、當Ax=b有唯一解時，必有r(A)=n．C、當Ax=b有無窮多解時，必有m＜n．D、當Ax=b有無窮多解時，必有r(A)＜m標準答案：B知識點解析：6、下列矩陣中不能相似對角化的是A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：7、設事件A，B，C是一個完備事件組，即它們兩兩互不相容且其和為Ω，則下列結論中一定成立的是A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：8、設是取自同一正態(tài)總體N(μ，σ2)的兩個相互獨立且容量相同的簡單隨機樣本的兩個樣本均值，則滿足的最小樣本容量n=__________A、4．B、8．C、12．D、24．標準答案：B知識點解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知級數(shù)與反常積分均收斂，則常數(shù)p的取值范圍是__________·標準答案：0＜p＜2．知識點解析：由于是交錯級數(shù)，只要p＞0就符合萊布尼茲判別法的要求，因而收斂，而當p≤0時，該級數(shù)的通項不趨于零，所以一定發(fā)散．又對于來說，直接計算即可知：p＜2時收斂，p≥2時發(fā)散．兩者結合即得上述答案．10、若由曲線及曲線某點處的切線方程與兩條直線x=1，x=3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線方程為____________．標準答案：知識點解析：11、若一條二次曲線把(一∞，0)內(nèi)的曲線段y=ex和(1，+∞)內(nèi)的曲線段連接成一條一階可導的曲線，則定義在[0，1]上的這條二次曲線為____________．標準答案：y=一x2+x+1．知識點解析：設二次曲線為y=ax2+bx+c由f(x)的連續(xù)性，在點x=0處有e0=c，則c=1；在點x=1處有a+b+c=1，可知a+b=0．由可導性f+’(0)=b，f-’(0)=e0=1，故由f+’(0)=f-’(0)得b=1，a=一1，所以二次曲線為y=一x2+x+1．12、由于折舊等因素，某機器轉售價格P(t)是時間t(周)的減函數(shù)，其中A是機器的最初價格，在任何時間t，機器開動就能產(chǎn)生的利潤，則使轉售出去總利潤最大時機器使用的時間t=__________周．(1n2≈0．693)標準答案：333．知識點解析：假設機器使用了t周后出售，在時間[t，t+dt]內(nèi)機器開動產(chǎn)生的利潤為令f’(t)=0，得t=961n32≈333．當t＜96In32時，f’(t)＞0；當t＞96In32時，f’(t)＜0，故機器使用了333周后轉售出去總利潤最大．13、已知，那么矩陣A=_____________·標準答案：知識點解析：14、設隨機變量X的密度函數(shù)為則Y=-2X+3服從的分布是___________.標準答案：N(5，2)知識點解析：Y=一2X+3仍服從正態(tài)分布，且EY=一2EX+3=5DY=4DX=2，所以Y～N(5，2)．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設F(x)=，求F’(x)(x＞一1，x≠0)并討論F’(x)在(一1，+∞)上的連續(xù)性．標準答案：先將F(x)轉化為變限積分，令s=xt，則知識點解析：暫無解析16、拋物線y=x2上任意點(a，a2)(a＞0)處引切線L1，在另一點處引另一切線L2，L2與L1垂直．(I)求L1與L2交點的橫坐標x1；(Ⅱ)求L1，L2與拋物線y=x2所圍圖形的面積S(a)；(Ⅲ)問a＞0取何值時S(a)取最小值．標準答案：(I)(Ⅱ)(Ⅲ)知識點解析：暫無解析17、設函數(shù)計算二重積分．其中D={(x，y)｜x2+(y一1)2≤1}．標準答案：如圖所示，設在直線y=1下方的部分記為D1，在y=l上方的部分記為D2，且D2在y軸右側的部分記為D2’，于是知識點解析：暫無解析18、作自變量替換，把方程變換成y關于t的微分方程，并求原方程的通解．標準答案：(I)(Ⅱ)求解二階常系數(shù)線性方程④．相應的特征方程λ2+2λ+1=0，有重根λ=一1．非齊次方程可設特解y*=Asint+Bcost，代入④得一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint，即Acost—Bsint=sint，比較系數(shù)得A=0，B=-1．即y*(t)=一cost，因此④的通解為y=(C1+C1t)e-t一cost．(Ⅲ)原方程的通解為知識點解析：暫無解析19、設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，4]上連續(xù)，且，求證：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0．標準答案：用反證法來證明本題．由題設f(x)在[0，4]上連續(xù)即知f(4一x)在[0，4]上連續(xù)，從而其和f(x)+f(4一x)也在[0，4]上連續(xù)．若不存在ξ∈(0，4)使f(ξ)+f(4一ξ)=0，則f(x)+f(4一x)或在(0，4)內(nèi)恒正，或在(0，4)內(nèi)恒負，于是必有知識點解析：暫無解析20、設A是n階反對稱矩陣，(I)證明：A可逆的必要條件是n為偶數(shù)；當n為奇數(shù)時，A*是對稱矩陣；(Ⅱ)舉一個4階不可逆的反對稱矩陣的例子；(Ⅲ)證明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．標準答案：(I)按反對稱矩陣定義：AT=一A，那么｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(一1)n｜A｜，即[1一(一1)n]｜A｜=0．若n=2k+l，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要條件是n為偶數(shù)．因AT=一A，由(A*)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(一A)*．又因(kA)*=kn-1A*，故當n=2k+1時，有(A*)T=(一1)2kA*=A*，即A*是對稱矩陣．(Ⅱ)例如，是4階反對稱矩陣，且不可逆．(Ⅲ)若λ是A的特征值，有｜λE—A｜=0，那么｜-λE-A｜=｜(一λE-A)T｜=｜-λE—AT｜=｜-λE+A｜=｜一(λE-A)｜=(一1)n｜λE-A｜=0，所以一λ是A的特征值．知識點解析：暫無解析21、已知，求A的特征值與特征向量，并指出A可以相似對角化的條件．標準答案：由矩陣A的特征多項式知識點解析：暫無解析22、設離散型二維隨機變量(X，Y)的取值為(xi，yj)(i，j=1，2)，且P{X=x2｜=，P{y=y1｜X=x2}=，p{X=x1｜Y=y1}=，試求：(I)二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率分布；(II)條件概率P{Y=yj｜X=x1}，j=1，2．標準答案：(Ⅰ)因X與Y獨立，所以有(Ⅱ)知識點解析：依題意，隨機變量X與Y的可能取值分別為x1，x2與y1，y2，且又題設于是有P{X=x1｜Y=y1}=P{X=x1}，即事件{X=x1}與事件{Y=y1}相互獨立，因而{X=x1}的對立事件{X=x2}與{Y=y1}獨立，且{X=x1}與{Y=y1}的對立事件{Y=y2}獨立；{X=x2}與{Y=y2}獨立，即X與Y相互獨立．23、設X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，X的概率密度為是未知參數(shù)．(I)求λ的矩估計量；(Ⅱ)求λ的最大似然估計量，并求．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)＝，則f(x)的可去間斷點的個數(shù)為()．A、1B、2C、3D、0標準答案：C知識點解析：先找出f(x)的間斷點，再用可去間斷點的下述定義判別其個數(shù)．若f(x0＋0)＝f(x0－0)即f(x)在x＝x0處極限存在，但其極限值不等于在該點的函數(shù)值，則該點為可去間斷點．顯然，x＝0，1，一1為．f(x)的間斷點．因即f(x)在x＝0，一1，1處的極限均存在，且f(x)在這些點處又無定義，故x＝0，一1，1均為f(x)的可去間斷點．僅(C)入選．2、設f(x)在x＝0處3階可導，且f′(0)＝0，f″(0)＝0，＞0，則()．A、x＝0是f(x)的極小值點B、x＝0是f(x)的極大值點--C、在點(0，f(0))的左、右鄰域曲線y＝f(x)分別為凹與凸D、在點(0，f(0))的左、右鄰域曲線y＝f(x)分別為凸與凹標準答案：D知識點解析：利用泰勒展開式及相關概念的定義判別之．解一由泰勒公式及題設得到f(x)＝f(0)＋f′(0)＋(0)x3＋o(x3)，f(x)－f(0)＝(0)x3z＋o(x3)．故當｜x｜充分小且x＜0時，f(x)一f(0)＜0；當x＞0時，f(x)一f(0)＞0．因而f(0)不是極值，排除(A)、(B)．又將f″(x)按皮亞諾余項展開，有f″(x)＝f″(0)＋(0)x＋o(x)．當｜x｜充分小且x＜0時，f″(x)＜0(因(0)＞0)，故曲線y＝f(x)在點(0，f(0))的左側鄰域為凸．當x＞0時，因(0)＞0，故f″(x)＞0，則曲線y＝f(x)在點(0，f(0))的右側鄰域為凹僅(D)入選．解二利用可得到上述結論．事實上，由x＜0得到在點(0，f(0))的左側鄰域f″(x)＜0，曲線y＝f(x)為凸；當x＞0時，f″(x)＞0，故在點(0，f(0))的右側鄰域為凹．3、函數(shù)f(x)＝｜x3＋x2－2x｜arctanx的不可導點的個數(shù)是()．A、3B、2C、1D、0標準答案：C知識點解析：利用下述判別法判別．設f(x)＝｜x－a｜φ(x)，其中φ(x)在x＝a處連續(xù)．若φ(a)＝0，則f(x)在x＝a處可導且f′(a)＝φ(a)＝0；若φ(a)≠0，則f(x)在x＝a處不可導．為此，常將函數(shù)中含絕對值部分的子函數(shù)分解為一次因式｜x—a｜的乘積．因f(x)可分解成f(x)＝｜x(x2＋x一2)｜arctanx＝｜x(x＋2)(x一1)｜arctanx＝｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx．顯然arctanx在x＝0，一2，1處連續(xù)．因｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x｜φ1(x)，其中φ1(x)｜x＝0＝｜x＋2｜｜x－1｜arctanx｜x＝0＝0，故f(x)在x＝0處可導．又｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x－1｜(｜x｜｜x＋2｜arctanx)＝｜x－1｜φ2(x)，而當x＝1時，φ2(x)｜x＝1＝｜x｜｜x＋2｜arctanx｜x＝1≠0，故f(x)在x＝1處不可導．又｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x＋2｜(｜x｜｜x－1｜arctanx)＝｜x＋2｜φ3(x)，φ3(x)｜x＝－2＝｜x｜｜x－1｜arctanx｜x＝－2≠0，故f(x)在x＝一2處不可導．僅(C)入選．4、設I＝xydxdy，其中D由曲線y＝，y＝－x和y＝所圍成，則I的值為()．A、1／6B、1／12C、1／24D、1／48標準答案：D知識點解析：D的示意圖如下圖所示，需分段求出I．將區(qū)域D分為兩部分，在第一象限的部分記為D1，在第二象限的部分記為D2(見上圖)．求出y＝一x與y＝的交點為()．xydxdy僅(D)入選．5、設α為四維列向量，αT為α的轉置，若則αTα＝()．A、3B、6C、9D、4標準答案：D知識點解析：由所給的矩陣等式觀察出α的元素，從而易求出αT．因則α＝[1，一1，1，1]T，αT＝[1，一1，1，1]，故αTα＝[1，一1，1，1][1，一1，1，1]T＝1.1＋(－1)(－1)＋1.1＋1.1＝4．僅(D)入選．6、設向量組α1，α2，α3，β1線性相關，向量組α1，α2，α3，β2線性無關，則對于任意常數(shù)k，必有()．A、α1，α2，α3，kβ1＋β2線性無關B、α1，α2，α3，kβ1＋β2線性相關C、α1，α2，α3，β1＋kβ2線性無關D、α1，α2，α3，β1＋kβ2線性相關標準答案：A知識點解析：可用線性無關的定義證明．由于k為任意常數(shù)，令k取某些特殊值也可用排錯法判別．解一對于任意常數(shù)k，證明(A)成立．設l1α1＋l2α2＋l3α3＋l4(kβ1＋β2)＝0下證l4＝0．若l4≠0，則kβ1＋β2可由α1，α2，α3線性表示，由題設知β1能由α1，α2，α3線性表示，因而β2能由α1，α2，α3線性表示．這與α1，α2，α3，β2線性無關相矛盾，所以l4＝0，則上述等式可化為l1α1＋l2α2＋l3α3＝0．而α1，α2，α3線性無關，故l1＝0，l2＝0，l3＝0，所以α1，α2，α3，kβ1＋β2線性無關．故(A)正確．解二當k＝0時，顯然(B)、(C)不成立．當k＝1時，(D)不成立．事實上，由題設α1，α2，α3，β2線性無關，如果α1，α2，α3，β1＋β2線性相關，而α1，α2，α3線性無關，β1，α1，α2，α3線性相關，則β1能由α1，α2，α3線性表示，而β2不能，于是β1＋β2不能由α1，α2，α3線性表示，所以(D)不成立．僅(A)入選．7、設隨機變量X1和X2相互獨立同分布(方差大于零)，令X＝X1＋aX2，Y＝X1＋bX1(a，b均不為零)．如果X與Y不相關，則()．A、a與b可以是任意實數(shù)B、a和b一定相等C、a和b互為負倒數(shù)D、a和b互為倒數(shù)標準答案：C知識點解析：利用X和Y不相關的充要條件判別之．X與Y不相關的充分必要條件是pXY＝0，即cov(X，Y)＝0．cov(X，Y)＝cov(X1＋aX2，X1＋bX2)＝D(X1)＋(a＋b)cov(X1，X2)＋abD(X2)．由于X1與X2獨立同分布，有cov(X1，X2)＝0，且D(X1)＝D(X2)．于是cov(X，Y)＝0(1＋ab)D(X1)＝01＋ab＝0ab＝一1，因而a與b互為負倒數(shù)．僅(C)入選．8、設隨機變量xi～(i＝1,2)，且p(X1X2＝0)＝1，,則P(X1＝X2)等于()．A、0B、1／4C、1／2D、1標準答案：A知識點解析：利用邊緣分布與聯(lián)合分布的關系及題設P(X1X2＝0)＝1求之．由題設有P(X1X2≠0)＝1一P(X1X2＝0)＝1—1＝0．設X1的取值為x1，x2，x3，X2的取值為y1，y2，y3，則由X1的邊緣分布得到p11＋p12＋p13＝0＋p12＋0＝p(X1＝－1)＝p31＋p32＋p33＝0＋p32＋0＝p(X1＝1)＝又由X2的邊緣分布得到p11＋p21＋p31＝0＋p21＋0＝p(X2＝－1)＝p13＋p23＋p33＝0＋p23＋0＝p(X2＝1)＝由X2的邊緣分布得到p12＋p22＋p32＝1／4＋p22＋1／4＝p(X2＝0)＝1／2，則p22＝0故所以P(x1＝y(tǒng)1)＝0，P(x2＝y(tǒng)2)＝0，P(x3＝y(tǒng)3)＝0，即P(X1＝X2)＝0．僅(A)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、若f(x)＝φ(x)＝則f[φ(x)]＝__________．標準答案：知識點解析：兩分段函數(shù)的分段點相同，且僅有一個分段點．常用分段代入法求其復合函數(shù)，且常將內(nèi)層函數(shù)的表達式代入，然后將外層函數(shù)的表達式代入，常簡稱“先內(nèi)后外法”．當0＜x＜1時，1＜φ(x)＝2x＜2，故f[φ(x)]＝f(2x)＝ln2x＝xln2．當x＝1時，φ(x)＝1，f[φ(x)]＝1．當1＜x＜2時，0＜φ(x)＝x一1＜1，則f[φ(x)]＝f(x－1)＝1－(x－1)＝2－x．綜上，可得10、設a，b是某兩個常數(shù)，且e－t2dt＋a]＝b，則a，b分別等于__________．標準答案：，0知識點解析：由所給極限與ex＝＋∞，得到e－t2dt＋a]＝0．事實上，如e－t2dt＋a的極限不等于0，那么所給極限必不等于常數(shù)，與題設e－t2dt＋a]＝b(b為常數(shù))矛盾．由即可求得a的值，再用洛比達法則還可求得b．利用二重積分可算出此結果：下同解一．11、設＝___________．標準答案：10ln3知識點解析：由所給極限及(3x一1)＝0得到從而ln(1＋(x→0)．故12、求極限＝___________．標準答案：知識點解析：利用定積分定義求之，為此先將其化為積和式．解一解二13、已知二次型f(x1，x2，x3)＝＋2ax1x2＋2bx2x3＋2x1x3經(jīng)正交變換化為標準形f(x1，x2，x3)＝，則a，b取值為__________．標準答案：0知識點解析：由標準形即知二次型矩陣A的特征值，將其代入特征多項式可得a，b滿足的兩個方程，解之即得a，b．對應二次型矩陣A＝，其特征值為0，1，2，將λ＝0，1代入特征方程｜λE－A｜＝0，得｜0.E－A｜＝一(a－b)2＝0，及｜E－A｜＝一2ab＝0，解得a＝b＝0．14、設A，B，C是三個隨機事件，，P(A∪B)＝0．72，P(AC∪BC)＝0．32，則P(C)＝__________．標準答案：0．6知識點解析：利用和事件概率的計算公式求之．因未給出P(AC)與P(BC)，僅給出P(AC∪BC)，需將三事件之和A∪B∪C看成兩事件A∪B與C之和，利用兩事件之和的概率公式計算．因為，所以A∪B∪C＝Ω，P(A∪B∪C)＝1．又P(A∪B∪C)＝P[(A∪B)∪C]＝P(A∪B)＋P(C)一P((A∪B)C)，故P(C)＝P(A∪B∪C)一P(A∪B)＋P(AC∪BC)＝1—0．72＋0．32＝0．6．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、討論函數(shù)y＝的漸近線、升降區(qū)間、極值、凹凸性，并畫出它的大致圖形．標準答案：(1)因y＝∞，故直線x＝1是函數(shù)的鉛直漸近線．又故直線y＝x＋1是斜漸近線．(2)由得其駐點為x1＝3，x2＝一1．雖然在x＝1處附近一階、二階導數(shù)存在，且二階導數(shù)變號，但f(x)在x＝1處沒有定義，因而不連續(xù)，故y沒有拐點．以y的不連續(xù)點x＝1，駐點x＝一1及x＝3將其定義區(qū)間分為部分區(qū)間，函數(shù)在這些部分區(qū)間的變化列成下表：當x＝一1時，y＝x＋1＝0，而y＝＝一2，且x＝0時，y＝x＋1＝1，y＝＝一3．因此在((－∞，1)內(nèi)函數(shù)圖形在漸近線y＝x＋1的下面．又當x＝3時，y＝x＋1＝4，而因而在(1，＋∞)內(nèi)漸近線在函數(shù)圖形的下面．因此描繪函數(shù)y的大致圖形如下圖所示．知識點解析：確定函數(shù)的定義域、曲線的漸近線，然后利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值、凹向與拐點，由曲線的方程求出曲線與坐標軸交點的坐標，最后畫出函數(shù)的圖形．16、如圖由y＝0，x＝8，y＝x2圍成一曲邊三角形OAB，在曲邊上求一點，使得過此點所作y＝x2的切線與OA、AB所圍成的三角形面積為最大．標準答案：設切點為(x，y)．過曲線上點(x，y)的切線方程為Y－y＝y(tǒng)′(X－x)．將y＝x2，y′＝2x代入得Y＝y(tǒng)—x2＝2x(X—x)．此切線與X＝8及Y＝0的交點的縱坐標與橫坐標分別為Y＝2x(8一x)＋x2，X＝，則切線與OA，AB所圍成的三角形面積為S(x)＝[2x(8一x)＋x2]．令S′(x)＝及x＝16(舍去)．易驗證，當x＝＜0，因而S(x)取最大值，則所求的點為()．知識點解析：設切點(x，y)，求出切線方程Y—x2＝y(tǒng)′(X—x)，求出切線與直線X＝8及與Y＝0(橫軸)的交點．寫出用x，y表示的面積表達式，最后求出x，y為何值時此面積最大．17、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，其中0＜a＜b，試證至少存在一點ξ∈(a，b)，使得alnb－blna＝(ab2－ba2)．標準答案：等式可改寫成作輔助函數(shù)f(x)＝，則f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，b)，使得亦即alnb－blna＝(ab2一ba2)．知識點解析：待證的中值等式中含有af(b)一bf(a)這樣的項，為找出輔助函數(shù)，常先用ab去除等式兩端，從而找出兩函數(shù)值的差．該函數(shù)就是要找的輔助函數(shù)．本例用ab去除等式兩端即得于是輔助函數(shù)F(x)＝就出現(xiàn)了．18、試求心形線x＝acos3θ，y＝asin3θ(0≤θ≤)與兩坐標軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積．標準答案：解一解二選x為積分變量．dV＝y(tǒng).2πxdx＝2πyxdx，知識點解析：求坐標軸上的曲邊梯形繞坐標軸旋轉生成的旋轉體體積，一般有兩種計算方法，計算公式為Vy＝πx2dy，或Vy＝2πxydx．19、設f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)＝ex2＋y2＋xyf(x，y)dxdy，①其中D＝｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)．求標準答案：設f(x，y)dxdy＝A(常數(shù))．在等式①兩端乘以xy，然后在區(qū)域D上二重積分得到于是A＝(e一1)2，從而f(x，y)＝ex2＋y2＋(e一1)2xy，因此＝2xex2＋y2＋(e一1)2y，＝4xyex2＋y2＋(e一1)2．知識點解析：因D為一固定區(qū)域，故xyf(x，y)dxdy為一常數(shù)，利用這一點可先求出f(x，y)的表示式，再求偏導．20、設A是n階方陣，且E＋A可逆，證明：(1)E－A和(E＋A)－1相乘可交換；(2)若A為反對稱矩陣，則(E－A)(E－A)－1是正交矩陣．標準答案：(1)因(E－A)(E＋A)＝E－A2＝(E＋A)(E－A)，兩邊分別左乘、右乘(E＋A)－1得到(E＋A)－1(E－A)(E＋A)(E＋A)－1＝(E＋A)－1(E＋A)(E－A)(E＋A)－1，故(E＋A)－1(E—A)＝(E－A)(E＋A)－1，即E－A與(E＋A)－1相乘可交換．(2)為證(E－A)(E＋A)－1為正交矩陣，只需證[(E—A)(E＋A)－1]T＝[(E—A)(E＋A)－1]－1．事實上，由(1)的結果得到[(E－A)(E＋A)－1]T＝[(E＋A)－1(E－A)]T＝(E－A)T[(E＋A)－1]T＝(E—AT)[(E＋A)T]－1＝(E－AT)(E＋AT)－1＝(E＋A)(E—A)－1(A為反對稱矩陣，AT＝－A)，而[(E—A)(E＋A)－1]－1＝[(E＋A)－1]－1(E—A)－1＝(E＋A)(E－A)－1，故[(E－A)(E＋A)－1]T＝[(E－A)(E＋A)－1]－1，所以(E—A)(E＋A)－1為正交矩陣．知識點解析：(1)利用(E－A)(E＋A)＝(E＋A)(E－A)及矩陣乘法運算證之；(2)利用正交矩陣的定義(AAT＝E，即A－1＝AT)證之．21、已知α＝[1，1，1]T是二次型＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3矩陣的特征向量．判斷二次型是否正定，并求下列齊次方程組的通解：標準答案：二次型矩陣是設α是屬于特征值λ0的特征向量，即A1α＝λ0α，或由此可得易解出λ0＝3，b＝0，a＝2．對于，由于｜A1｜＝0，所以f不是正定二次型．將a＝2，b＝0代入方程組，對系數(shù)矩陣作初等行變換化為行階梯形矩陣：當c＝6時，對B進一步用初等行變換化為含最高階單位矩陣的矩陣，得到則A2X＝0的一個基礎解系含2個解向量：α1＝[一9，19，一7，1，0]T，α2＝[2，一7，2，0，1]T，其通解為X＝k1α1＋k2α2，k1，k2為任意常數(shù)．當c≠6即c－6≠0時，矩陣B用初等行變換進一步可化為含最高階單位矩陣的矩陣：這時方程組A2X＝0的基礎解系只含一個解向量：[一(3c一10)／14，一(23－2c)／7，0，一(c一8)／7，7]T．為方便計，取α3＝[一(3c一10)／2，一(23—2c)，0，一(c一8)，49]T＝[5—3c／2，2c一23，0，(8一c)，49]T．故當c≠6時，方程組A2X＝0的通解為k3α3，其中k3為任意常數(shù)．知識點解析：寫出二次型矩陣A，由題設條件列出方程易求得a、b和α的特征值λ0．然后再將所給齊次方程組的系數(shù)矩陣用初等行變換化為含最高階單位矩陣的矩陣，用基礎解系的簡便求法即可寫出其基礎解系及通解．22、證明P[A∩∩B)]＝P(A)＋P(B)一2P(A∩B)，并說明此結果的概率含義．標準答案：由上邊的維尼圖易看出，下面事件的關系成立：(A∩∩B)＝A∪B—A∩B．又因A∩BBA∪B，由減法公式得到P(A∪B—A∩B)＝P(A∪B)一P(A∩B)，故P[(A∩∩B)]＝p[(A∪B)一(A∩B)]＝P(A∪B)一P(A∩B)＝P(A)＋P(B)一P(A∩B)一P(A∩B)＝P(A)＋P(B)一2P(A∩B)．上式結果的概率含義是：事件A，B中僅有一個發(fā)生的概率等于它們每個的概率之和減去它們相交的概率的兩倍．知識點解析：利用事件和、差、積的運算法則證之．23、假設總體X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量Yn＝n[1一max｛X1，X2，…，Xn｝]的分布函數(shù)為Fn(x)．求證Fn(x)＝F(x)(一∞＜x＜＋∞)，其中F(x)是參數(shù)為2的指數(shù)分布函數(shù)．標準答案：由題設知，總體X的分布函數(shù)為所以Yn的分布函數(shù)Fn(x)＝P(Yn≤x)＝P(n[1－max｛X1，X2，…，Xn｝]≤x)故即Yn的分布函數(shù)Fn(x)的極限分布是以參數(shù)為2的指數(shù)分布函數(shù)．知識點解析：首先要明確簡單隨機樣本是一組相互獨立且與總體同分布的隨機變量，其次要會求max｛X1，X2，…，Xn｝的分布函數(shù)，最后還要熟悉極限公式：＝[e－x－(－0)]2＝e－2x．考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下述命題：①設f(x)在任意的閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)；②設f(x)在任意的閉區(qū)間[a，b]上有界，則f(x)在(一∞，+∞)上有界；③設f(x)在(一∞，+∞)上為正值的連續(xù)函數(shù)，則在(一∞，+∞)上也是正值的連續(xù)函數(shù)；④設f(x)在(一∞，+∞)上為正值的有界函數(shù)，則在(一∞，+∞)上也是正值的有界函數(shù)，其中正確的個數(shù)為()A、1．B、2．C、3．D、4．標準答案：B知識點解析：①與③是正確的，②與④是不正確的，正確的個數(shù)為2．①是正確的．理由如下：設x0∈(一∞，+∞)，則它必含于某區(qū)間[a，b]中．由題設f(x)在任意閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，故在x0處連續(xù)，所以在(一∞，+∞)上連續(xù)．論證的關鍵是：函數(shù)f(x)的連續(xù)性是按點來討論的．在區(qū)間上每一點連續(xù)，就說它在該區(qū)間上連續(xù)．②是不正確的．函數(shù)f(x)在[a，b]上有界的“界”是與區(qū)間有關的．例如f(x)=x在區(qū)間[a，b]上，｜f(x)｜≤max{｜a｜，｜b｜}M，這個“界”與區(qū)間[a，b]有關．容易看出，在區(qū)間(一∞，+∞)上，f(x)=x就無界了．③是正確的．理由如下：設x0∈(一∞，+∞)，f(x0)＞0且f(x)在x0處連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的四則運算法則知，在(一∞，+∞)上連續(xù)．④是不正確的．例如函數(shù)f(x)=，在區(qū)間(一∞，+∞)上，0＜f(x)≤1．所以在(一∞，+∞)上f(x)有界。而=+∞．2、設f(x)在區(qū)間(一∞，+∞)上連續(xù)且嚴格單調(diào)增，又設則φ(x)在區(qū)間(一∞，+∞)上()A、嚴格單調(diào)減少．B、嚴格單調(diào)增加．C、存在極大值點．D、存在極小值點．標準答案：B知識點解析：令上式分子為(x)=(x一a)f(x)一If(t)dt=(x—a)f(x)一(x一a)f(ξ)=(x一a)[f(x)一f(ξ)]，其中，當a＜x時，a＜ξ＜x，從而f(ξ)＜f(x)；當a＞x時，a＞ξ＞x，從而f(ξ)＞f(x)．所以不論a＜x還是a＞x，總有(x)＞0．因此當x≠a時，φ’(x)＞0．故可知在區(qū)間(一∞，a)與(a，+∞)上φ(x)均嚴格單調(diào)增加．以下證明在區(qū)間(一∞，+∞)上φ(x)也是嚴格單調(diào)增加．事實上，設x∈(a，+∞)，則φ(x2)一φ(a)=一f(a)=f(ξ2)一f(a)＞0，其中a＜ξ2＜x2＜+∞，此ξ2可取在開區(qū)間(a，x2)內(nèi)．同理，設x1∈(一∞，a)，則有φ(a)一φ(x1)=f(a)一f(ξ2)＞0，其中一∞＜x1＜ξ1＜a．合并以上兩個不等式，有φ(x2)一φ(x1)＞0．3、下列反常積分發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：兩個積分中只要有一個發(fā)散，就說該積分發(fā)散．故應選(A)．4、設f(x，y)=，則在點0(0，0)處()A、偏導數(shù)存在，但函數(shù)不連續(xù)．B、偏導數(shù)不存在，但函數(shù)連續(xù)．C、偏導數(shù)存在，函數(shù)也連續(xù)．D、偏導數(shù)不存在，函數(shù)也不連續(xù)．標準答案：A知識點解析：由偏導數(shù)定義，得即兩個偏導數(shù)都存在．考慮連續(xù)性，取y=kx2讓點(x，y)→(0，0)．則更談不上連續(xù)性．故應選(A)．5、設齊次線性方程組Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2=k1(1，2，0，一2)T+k2(4，一1，一1，一1)T，其中k1，k2是任意常數(shù)，則下列向量中不是Ax=0的解向量的是()A、α1=(1，2，0，一2)T．B、α2=(6，1，一2，一2)T．C、α3=(一5，8，2，一4)T．D、α4=(5，1，一1，一3)T．標準答案：B知識點解析：若αi可由ξ1，ξ2線性表示，則是Ax=0的解，不能由ξ1，ξ2線性表示，則不是Ax=0的解．將ξ1，ξ2，α1，α2，α3，α4合并成矩陣，并一起作初等行變換．故知，α2不能由ξ1，ξ2線性表示，不是Ax=0的解向量(α1，α3，α4是解向量)，故應選(B)．6、設A，B，C均是3階方陣，滿足AB=C，其中則必有()A、a=一1時，r(A)=1．B、a=一1時，r(A)=2．C、a≠一1時，r(A)一1．D、a≠一1時，r(A)=2．標準答案：C知識點解析：顯然r(C)=1，又當a≠一1時，有r(B)=3，B可逆，因AB=C，故r(A)=r(AB)=r(C)=1．故應選(C)．因(C)成立，顯然(D)不能成立．故(A)、(B)均不成立．7、將一枚均勻硬幣連續(xù)拋n次，以A表示“正面最多出現(xiàn)一次”，以B表示“正面和反面各至少出現(xiàn)一次”，則()A、n=2時，A與B相互獨立．B、n=2時，AB．C、n=2時，A與B互不相容．D、n=3時，A與B相互獨立．標準答案：D知識點解析：當n=2時，由P(AB)≠P(A)P(B)知A與B不獨立．又P(A)＞P(B)，故AB，則P(A)≤P(B)，矛盾)．當n=3時，由上知P(AB)=P(A)P(B)，因此A與B相互獨立．故應選(D)．8、設隨機變量X1，…，Xn(n＞1)獨立同分布，其方差σ2＞0，記(1≤s，t≤n)的值等于()A、．B、．C、σ2．max{s，t)．D、σ2．min{s，t)．標準答案：A知識點解析：因為3=max{2，3)，所以應選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、直角坐標中的累次積分I=化為極坐標先r后θ次序的累次積分I=_________．標準答案：知識點解析：按題目上、下限，積分區(qū)域D如圖陰影所示，對y的上限方程為y=，化為極坐標為r=2acosθ對y的下限方程為y=2a一，化為極坐標為r=4asinθOA的傾角記為θ0，tanθ0=．于是，由極坐標，直線段OA將D分成兩塊，在極坐標系中，積分如答案所示．10、設f(x)連續(xù)且f(x)≠0，又設f(x)滿足f(x)=∫0xf(x—t)dt+∫01f2(t)dt，則f(x)=_________．標準答案：知識點解析：f(x)=∫0xf(x一t)dt+∫01f2(t)dt=一∫x0f(u)du+∫0xf(t)dt=∫0xd(u)du+∫01f(t)dt．令∫01f2(t)dt=a，于是f(x)=∫0xf(u)du+a，f’(x)=f(x)，f(0)=a，解得f(x)=cex．由f(0)=a，得f(x)=aex，代入∫01f2(t)dt=a中，得11、設常數(shù)a＞0，雙紐線(x2+y2)2=a2(x2—y2)圍成的平面區(qū)域記為D，則二重積分(x2+y2)dσ=_________．標準答案：a4