考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷1（共170題）

考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷1（共5套）（共170題）考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的函數(shù)y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3C、C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3D、C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3，其中y1一y3和y2一y3是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，又y3是原方程的一個(gè)特解，所以(D)是原方程的通解．2、設(shè)二階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程y"+by’+y=0的每一個(gè)解y(x)都在區(qū)間(0，+∞)上有界，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A、[0，+∞)B、(一∞，0]C、(-∞，4]D、(一∞，+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)b≠±2時(shí)，y(x)=，所以，當(dāng)b2—4＞0時(shí)，要想使y(x)在區(qū)間(0，+∞)上有界，只需要即b＞2．當(dāng)b2—4＜0時(shí)，要想使y(x)在區(qū)間(0，+∞)上有界，只需要的實(shí)部大于等于零，即0≤b＜2．當(dāng)b=2時(shí)，y(x)=C1e-x+C2xe-x在區(qū)間(0，+∞)上有界．當(dāng)b=一2時(shí)，y(x)=C1ex+C2xex(C12+C22≠0)在區(qū)間(0，+∞)上無(wú)界．綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)b≥0時(shí)，方程y"+by’+y=0的每一個(gè)解y(x)都在區(qū)間(0，+∞)上有界，故選(A)．3、具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程是()A、y"’一y"一y’+y=0B、y"’+y"一y’一y=0C、y"’一6y"+11y’一6y=0D、y"’一2y"一y’+2y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題設(shè)條件，1，一1是特征方程的兩個(gè)根，且一1是重根，所以特征方程為(λ一1)(λ+1)2=λ3+λ2一λ一1=0，故所求微分方程為y"’+y"一y’一y=0，故選(B)．或使用待定系數(shù)法，具體為：設(shè)所求的三階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程是y"’+ay"+by’+cy=0．由于y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是上述方程的解，所以將它們代入方程后得解得a=1，b=一1，c=一1．故所求方程為y"’+y"一y’一y=0，即選項(xiàng)(B)正確．4、函數(shù)(其中C是任意常數(shù))對(duì)微分方程而言，()A、是通解B、是特解C、是解，但既非通解也非特解D、不是解標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(1)因原方程階數(shù)為二，通解中應(yīng)包含兩個(gè)任意常數(shù)(可求出通解為C1+(2)特解中不含有任意常數(shù)滿(mǎn)足原方程，故選項(xiàng)(A)，(B)，(D)都不對(duì)，應(yīng)選(C)．5、微分方程y"一6y’+8y=ex+e2x的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A、aex+be2xB、aex+bxe2xC、axex+be2xD、axex+bxe2x標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由原方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程r2-6r+8=0得特征根r1=2，r2=4．又f1(x)=ex，λ=1非特征根，對(duì)應(yīng)特解為y1*=aex；f2(x)=e2x，λ=2為特征單根，對(duì)應(yīng)特解為y2*=bxe2x．故原方程特解的形式為aex+bxe2x，即選(B)．6、微分方程y"+2y’+2y=e-xsinx的特解形式為()A、e-x(Acosx+Bsinx)B、e-x(Acosx+Bxsinx)C、xe-x(Acosx+Bsinx)D、e-x(Axcosx+Bsinx)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程r2+2r+2=0即(r+1)2=一1，特征根為r1.2=一1±i，而λ±iω=一1±i是特征根，特解y*=xe-x(Acosx+Bsinx)．7、微分方程的通解是()A、2e3x+3ey2=CB、2e3x+=CC、2e3x一=CD、e3x—=C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原方程寫(xiě)成，分離變量有．積分得8、微分方程y"一4y’+4y=x2+8e2x的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(其中a，b，C，d為常數(shù))()A、ax2+bx+ce2xB、ax3+bx+C+dx2e2xC、ax2+bx+cxe2xD、ax2+(bx2+cx)e2x標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)特征方程為r2一4r+4=0，特征根是r1,2=2而f1=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c：又f2=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2*=dx2e2x．y1*與y2*合起來(lái)就是特解，選(B)．二、填空題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)9、設(shè)y1=ex，y2=x2為某二階線(xiàn)性齊次微分方程的兩個(gè)特解，則該微分方程為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于方程形狀已知，故只要將兩個(gè)特解分別代入并求出系數(shù)即可．設(shè)所求的二階線(xiàn)性齊次微分方程為y"+p(x)y’+q(x)y=0分別以y1=ex，y2=x2代入，得10、設(shè)p(x)，q(x)與f(x)均為連續(xù)函數(shù)，f(x)≠0．設(shè)y1(x)，y2(x)與y3(x)是二階線(xiàn)性非齊次方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3個(gè)解，且則式①的通解為_(kāi)______標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1(y1—y2)+C2(y2一y3)+y1，其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：由線(xiàn)性非齊次方程的兩個(gè)解，可構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，再證明這樣所得到的解線(xiàn)性無(wú)關(guān)便可．y1一y2與y2一y3均是式①對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程y"+p(x)y’+q(x)y=0②的兩個(gè)解．今證它們線(xiàn)性無(wú)關(guān)．事實(shí)上，若它們線(xiàn)性相關(guān)，則存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)k1與k2使k1(y1一y2)+k2(y2一y3)=0．③設(shè)k1≠0，又由題設(shè)知y2-y3≠0，于是式③可改寫(xiě)為矛盾．若k1=0，由y2一y3≠0，故由式③推知k2=0矛盾．這些矛盾證得y1一y2與y2-y3線(xiàn)性無(wú)關(guān)．于是Y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)④為式②的通解，其中C1，C2為任意常數(shù)，從而知y=C1(y1一y2)+C2(y2-y3)+y1⑤為式①的通解．11、微分方程滿(mǎn)足初值條件y(0)=0，y’(0)=的特解是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=ey一e-y一知識(shí)點(diǎn)解析：熟悉反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的讀者知道，原方程可化為x關(guān)于y的二階常系數(shù)線(xiàn)性方程．將式①代入原方程，原方程化為解得x關(guān)于y的通解為x=C1ey+C2e-y一②以x=0時(shí)，y=0代入上式，得0=C1+C2．再將式②兩邊對(duì)y求導(dǎo)，有解得C1=1，C2=一1，于是得特解x=ey—e-y一12、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有定義，且對(duì)任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，則f(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：axex知識(shí)點(diǎn)解析：由f’(0)存在，設(shè)法去證對(duì)一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．將y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．令△x→0，得f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex，所以f’(x)存在．解此一階微分方程，得f(x)=ex[∫aex．e-xdx+C]=ex(sx+C)．因f(0)=0，所以C=0，從而得f(x)=axex，如上所填.13、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上可導(dǎo)，且其反函數(shù)存在為g(x)．若∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1，則當(dāng)一∞＜x＜+∞時(shí)．f(x)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：未知函數(shù)含于積分之中的方程稱(chēng)積分方程．現(xiàn)在此積分的上限為變量，求此方程的解的辦法是將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)化成微分方程解之．注意，積分方程的初值條件蘊(yùn)含于所給式子之中，讀者應(yīng)自行設(shè)法挖掘之．將所給方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，有g(shù)(f(x))f’(x)+f(x)=xex．因g(f(x))≡x，所以上式成為xf’(x)+f(x)=xex．以x=0代入上式，由于f’(0)存在，所以由上式得f(0)=0．當(dāng)x≠0時(shí)，上式成為解得由于f(x)在x=0處可導(dǎo)，所以連續(xù)．令x→0，得從而知C=1．于是得14、微分方程y’+ytanx=cosx的通解為y=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+C)cosx，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：屬于一階線(xiàn)性非齊次方程，直接根據(jù)一階線(xiàn)性非齊次方程的方法即可得出答案．15、微分方程y"一4y=e2x的通解為y=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：y"一4y=0的特征根λ=±2，則其通解為y=C1e-2x+C2e2x．設(shè)其特解y*=Axe2x代入y"*4y=e2x，可解得所以y"-4y=e2x的通解為C1e-2x+，其中C1，C2為任意常數(shù)．16、微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：tany=C(ex一1)3，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：方程分離變量得．積分得ln(tany)=3ln(ex一1)+lnC．所以方程有通解為tany=C(ex一1)3，其中C為任意常數(shù)．17、微分方程y’tanx=ylny的通解是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=eCsinx，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程分離變量，有．積分得ln(lny)=ln(sinx)+lnC，通解為lny=Csinx，或y=eCsinx，其中C為任意常數(shù)．18、微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3x2+xy=C，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程兼屬一階線(xiàn)性方程、齊次方程、全微分方程．原方程化為①由一階線(xiàn)性方程的通解公式得，其中C為任意常數(shù)，即3x2+xy=C，其中C為任意常數(shù)．19、微分方程的通解是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e3x+C2e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程是二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程．其特征方程為r2—5r+6=0，即(r一3)(r一2)=0．解出特征根r1=3，r2=2，即得上述通解．20、微分方程的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程為二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程．其通解為y=y齊+y*，其中y齊是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，y*是非齊次方程的一個(gè)特解．因原方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為r2一2r+1=0，即(r一1)2=0，特征根為r1,2=1．故y齊=(C1+C2x)ex，其中C1，C2為任意常數(shù)．又據(jù)觀(guān)察，顯然y*=1與y齊合并即得原方程通解．21、微分方程的通解_________包含了所有的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：不一定知識(shí)點(diǎn)解析：例如方程(y2一1)dx=(x一1)ydy，經(jīng)分離變量有積分得通解y2-1=C(x一1)2，但顯然方程的全部解還應(yīng)包括y=±1和x=1(實(shí)際上在分離變量時(shí)假定了y2一1≠0，x一1≠0)．22、微分方程(y2+1)dx=y(y一2x)dy的通解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：．其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)23、已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx一dy的任意解，并在y=y(x)的定義域內(nèi)取x0，記y0=y(x0)．(1)證明：y(x)＜y0+一arctanx0；標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)將微分方程(x2+y2)dy=dx一dy變形為，則y=y(x)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，只要證明y(x)有界即可．對(duì)兩邊從x0到x積分，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)有界，證明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程的通解為y(x)=e-ax(C+∫0xf(t)eatdt)，設(shè)f(x)在[0，+∞)上的上界為M，即|f(x)|≤M，則當(dāng)x≥0時(shí)，有|y(x)|=|e-ax(C+∫0xf(t)eatdt)|≤|Ce-ax|+e-ax|∫0xf(t)eatdt|≤|C|+Me-ax∫0xeatdt即y(x)在[0，+∞)上有界．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、已知曲線(xiàn)y=y(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，e-1)，且在點(diǎn)(x，y)處的切線(xiàn)方程在y軸上的截距為xy，求該曲線(xiàn)方程的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題以幾何問(wèn)題為載體，讓考生根據(jù)問(wèn)題描述建立微分方程，然后求解，是一道簡(jiǎn)單的綜合題，是考研的重要出題形式．曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x，y)處的切線(xiàn)方程為Y—y=y’(X—x)，令X=0，得到截距為xy=y—xy’，即xy’=y(1一x)．此為一階可分離變量的方程，于是，又y(1)=e-1，故C=1，于是曲線(xiàn)方程為y=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求解ydx+(y—x)dy=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程化為此為齊次方程，故令，代入上述方程得積分得ln(u+eu)=一ln|y|+C1，(u+eu)y=C，，故原方程的通解為，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)ψ(x)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)，且φ’(x)=ψ(x)，φ(0)=0．(1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecosx的通解；(2)方程是否有以2π為周期的解?若有，請(qǐng)寫(xiě)出所需條件，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)該方程為一階線(xiàn)性微分方程，通解為y=e-∫sinxdx(∫ψ(x)ecosxe∫sinxdxdx+C)=ecosx(∫ψ(x)ecosx．e-cosxdx+C)=ecosx(∫ψ(x)dx+C)=ecosx[φ(x)+C](其中C為任意常數(shù))．(2)因?yàn)棣铡?x)=ψ(x)，所以φ(x)=∫0xψ(t)dt+C1，又φ(0)=0，于是，φ(x)=∫0xψ(t)dt而φ(x+2π)=∫0x+2πψ(t)dt=∫0xψ(t)dt+∫xx+2πψ(t)dt=φ(x)+∫02πψ(t)dt，所以，當(dāng)∫02πψ(t)dt=0時(shí)，φ(x+2π)=φ(x)，即φ(x)以2π為周期．因此，當(dāng)∫02πψ(t)dt=0時(shí)，方程有以2π為周期的解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)有方程y’+P(x)y=x2，其中P(x)=試求在(一∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y=y(x)，使之在(一∞，1)和(1，+∞)內(nèi)都滿(mǎn)足方程，且滿(mǎn)足初值條件y(0)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≤1時(shí)，方程及其初值條件為求解得y=e-∫ldx(∫x2e∫1dx+C)=e-x(∫x2exdx+C)=x2-2x+2+Ce-x．由y(0)=2得C=0，故y=x2一2x+2．綜上，得又y(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，有f(1-)=f(1+)=f(1)，即1—2+2=所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)(1)用變限積分表示滿(mǎn)足上述初值條件的特解y(x)；(2)討論是否存在，若存在，給出條件，若不存在，說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：一般認(rèn)為，一階線(xiàn)性微分方程y’+p(x)y=q(x)的計(jì)算公式為y=e-∫p(x)dx(∫e∫p(x)dx.q(x)dx+C)，而本題是要求寫(xiě)成變限積分形式(1)初值問(wèn)題可寫(xiě)成由上述變限積分形式的通解公式，有：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、求微分方程xy’+y=xex滿(mǎn)足y(1)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由通解公式得當(dāng)x=1，y=1時(shí)，得C=1，所以特解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、求(4一x+y)dx一(2一x—y)dy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程化為設(shè)x=X+h，y=Y+k，代入方程，并令解得h=3，k=一1，此時(shí)原方程化為積分得X2-2XY—Y2=C將X=x一3，Y=y+1代入上式，得到所求通解為x2—2xy—y2一8x+4y=C，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、求xy”一y’lny’+y’lnx=0滿(mǎn)足y(1)=2和y’(1)=e2的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)y’=p，則y"=P’，代入原方程中，xp’一plnP+plnx=0，即由原方程知x＞0，y’＞0，從而u＞0，積分后，得lnu一1=C1x，即lnu=C1x+1，代入初值條件y’(1)=e2，解得C1=1，得到方程積分得y=(x一1)ex+1+C2．代入初值條件y(1)=2，解得C2=2，故所求特解為y=(x一1)ex+1+2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、求y’2一yy”=1的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、求(x+2)y"+xy’2=y’的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊同除以p2，化為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：此為齊次方程，只要作代換u=解之即可．方程變形為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：變形和作適當(dāng)代換后變?yōu)榭煞蛛x變量的方程．方程兩邊同除以x，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析37、求微分方程y"一2y’一e2x=0滿(mǎn)足條件y(0)=1，y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：齊次方程y"一2y’=0的特征方程為λ2一2λ=0，由此求得特征根λ1=0，λ2=2．對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為=C1+C2e2x，設(shè)非齊次方程的特解為y*=Axe2x，則(y*)’=(A+2Ax)e2x，(y*)"=4A(1+x)e2x，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析38、求微分方程y"+2y’+y=xex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程r2+2r+1=0的兩個(gè)根為r1=r2=-1．對(duì)應(yīng)齊次方程之通解為Y=(C1+C2x)e-x．設(shè)所求方程的特解為y-=(ax+b)ex，則y*=(ax+a+b)ex，y*"=(ax+2a+b)ex，代入所給方程，有(4ax+4a+4b)ex=xex．解得而最后得所求之通解為y=(C1+C2x)e-x+，C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析39、求微分方程y"+4y’+4y=e-2x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程r2+4r+4=0的根為r1=r2=一2．對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y=(C1+C2x)e-2x．設(shè)原方程的特解y*=Ax2e-2x，代入原方程得．因此，原方程的通解為y=Y+Y*=(C1+C2x)e-2x+知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析40、求微分方程y"+2y’一3y=e-3x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為=C1ex+C2e-3x．原方程的一個(gè)特解為y*=Axe-3x，代入原方程，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析41、求微分方程y"+5y’+6y=2e-x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：所給微分方程的特征方程為r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根為r1=一2，r2=一3．于是，對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解為=C1e-2x+C2e-3x．設(shè)所給非齊次方程的特解為y*=Ae-x將y*代入原方程，可得A=1．由此得所給非齊次方程的特解y*=e-x．從而，所給微分方程的通解為y(x)=C1e-2x+C2e-3x+e-x，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析42、求微分方程(3x2+2xy一y2)dx+(x2一2xy)dy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程化為3x2dx+(2xy—y2)dx+(x2一2xy)dy=0，即d(x3)+d(x2y—xy2)=0，故通解為x3+x2y—xy2=C，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析43、設(shè)y(x)是方程y(4)一y"=0的解，且當(dāng)x→0時(shí)，y(x)是x的3階無(wú)窮小，求y(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式當(dāng)x→0時(shí)，y(x)與x3同階→y(0)=0，y’(0)=0，y"(0)=0，y"’(0)=C，其中C為非零常數(shù)．由這些初值條件，現(xiàn)將方程y(4)一y"=0兩邊積分得∫0xy(4)(t)dt一∫0xy"(t)dt=0，即y"’(x)一C—y’(x)=0，兩邊再積分得y"(x)一y(x)=Cx．易知，它有特解y*=一Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e-x一Cx．由初值y(0)=0，y’(0)=0得C1+C2=0，C1一C2=C因此最后得其中C為任意非零常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、微分方程y"+2y’+y=shx的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A、ashxB、achxC、ax2e一x+bexD、axe一x+bex標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為r2+2r+1=0，r=一1為二重特征根，而f(x)=shx=，故特解為y*=ax2e一x+bex．2、設(shè)f(x)連續(xù)，且滿(mǎn)足f(x)=∫02xf()dt+ln2，則f(x)=()A、exln2B、exln2C、ex+ln2D、e2x+ln2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：原方程求導(dǎo)得f’(x)=2f(x)，即=2，積分得f(x)=Ce2x，又f(0)=ln2，故C=ln2，從而f(x)=e2xln2．3、設(shè)f(x)，f’(x)為已知的連續(xù)函數(shù)，則方程y’+f’(x)y=f(x)f’(x)的通解是()A、y=f(x)+Ce一f(x)B、y=f(x)+1+Ce一f(x)C、y=f(x)一C+Ce一f(x)D、y=f(x)一1+Ce一f(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由一階線(xiàn)性方程的通解公式得y=e一∫f’(x)dx[C+∫f(x)y’(x)e一f’(x)dx]=e一f’x)[C+∫f(x)def(x)]=Ce一f(x)+f(x)一1(其中C為任意常數(shù))．4、方程y(4)一2y"’一3y=e一3x一2e一x+x的特解形式(其中a，b，c，d為常數(shù))是()A、axe一3x+bxe一x+cx3B、ae一3x+bxe一x+cx+dC、ae一3x+bxe一x+cx3+dx2D、axe一3x+be一x+cx3+dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程r2(r2一2r一3)=0，特征根為r1=3，r2=一1，r3=r4=0，對(duì)f1=e一3x，λ1=一3非特征根，y1*=ae一3x；對(duì)f2=一2e一x，λ2=一1是特征根，y2*=bxe一x；對(duì)f3=x，λ3=0是二重特征根，y3*=x2(cx+d)，所以特解y*=y1*+y2*+y3*=ae一3x+bxe一x+cx3+dx2．5、已知y1=xex+e2x和y2=xex+e一x是二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的兩個(gè)解，則此方程為()A、y"一2y’+y=e2xB、y"—y’一2y=xexC、y"一y’一2y=ex一2xexD、y"一y=e2x標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：非齊次線(xiàn)性方程兩解之差必為對(duì)應(yīng)齊次方程之解，由y1一y2=e2x一e一x及解的結(jié)構(gòu)定理知對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=C1e2x+C2e一x，故特征根r1=2，r2=一1．對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程為y"一y’一2y=0．再由特解y*=xex知非齊次項(xiàng)f(x)=y*"一y*’一2y*=ex一2xex，于是所求方程為y"一y’一2y=ex一2xex．6、微分方程y"一y=ex+1的特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A、aex+bB、axex+bC、aex+bxD、axex+bx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)非齊次方程y"一y=ex+1可得出對(duì)應(yīng)的齊次方程y"一y=0，特征根為λ1=一1，λ2=1，非齊次部分分成兩部分f1(x)=ex，f2(x)=1，可知y"一y=ex+1的特解可設(shè)為axex+b．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)7、微分方程y"=的通解為_(kāi)___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=xln(x++C1x+C2，其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：8、微分方程y"一2y’=xx+e2x+1的待定系數(shù)法確定的特解形式(不必求出系數(shù))是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y*=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為r2一2r=0，特征根為r1=0，r2=2．對(duì)f1=x2+1，λ1=0是特征根，所以y1*=x(Ax2+Bx+C)．對(duì)f2=e2x，λ2=2也是特征根，故有y2*=Dxe2x．從而y*如上．9、特征根為r1=0，r2,3=±i的特征方程所對(duì)應(yīng)的三階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程為_(kāi)___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"’一y"+y’=0知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為．其相應(yīng)的微分方程即所答方程10、滿(mǎn)足f’(x)+xf’(一x)=x的函數(shù)f(x)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(1+x2)+x—arctanx+C，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：在原方程中以(一x)代替x得f’(一x)一xf’(x)=一x，與原方程聯(lián)立消去f’(一x)項(xiàng)得f’(x)+x2f’(x)=x+x2，所以f’(x)=，積分得f(x)=ln(1+x2)+x一arctanx+C，其中C為任意常數(shù)．11、已知∫01f(tx)dt=f(x)+1，則f(x)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：Cx+2，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：將所給方程兩邊同乘以x，得用線(xiàn)性方程通解公式計(jì)算即得f(x)=Cx+2，其中C為任意常數(shù)．12、微分方程xdy—ydx=ydy的通解是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：=C，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：13、微分方程=0的通解是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1x5+C2x3+C3x2+C4x+C5，C1，C2，C3，C4，C5為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：令u==Cx，積分四次即得上述通解．14、以y=7e3x+2x為一個(gè)特解的三階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"一3y"=0知識(shí)點(diǎn)解析：由特解y=7e3x+2x知特征根為r1=3，r2=r3=0(二重根)特征方程為r3—3r2=0，相應(yīng)齊次線(xiàn)性方程即y"’一3y"=0．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、求(y3一3xy2一3x2y)dx+(3xy2一3x2y—x3+y2)dy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將原給方程通過(guò)觀(guān)察分項(xiàng)組合．(y3一3xy2一3x2y)dx+(3xy2一3x2y—x3+y2)dy=(y3dx+3xy2dy)一3xy(ydx+xdy)一(3x2ydx+x3dy)+y2dy=0，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求微分方程y"(3y’2—x)=y’滿(mǎn)足初值條件y(1)=y’(1)一1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：化為3p2dp一(xdp+pdx)=0．這是關(guān)于p與x的全微分方程，解之得p3一xp=C1．以初值條件：x=1時(shí)，p=1代入，得1—1=C1，即C1=0．從而得p3一xp=0．分解成p=0及p2=x，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求微分方程=y4的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：綜合(1)，(2)，(3)便得原方程的通解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求微分方程y"+2y’+2y=2e一xcos2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)先用三角公式將自由項(xiàng)寫(xiě)成e一x+e一xcosx，然后再用疊加原理用待定系數(shù)法求特解．對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y=(C1cosx+C2sinx)e一x．為求原方程的一個(gè)特解，將自由項(xiàng)分成兩項(xiàng)：e一x，e一xxcosx，分別考慮y"+2y’+2y=e一x，①與y"+2y’+2y=e一xcosx．②對(duì)于式①，令y1*=Ae一x，代入可求得A=1，從而得y1*=e一x．對(duì)于式②，令y2*=xe一x(Bcosx+Csinx)，代入可求得B=0，C=．由疊加原理，得原方程的通解為y=Y+y1*+y2*=e一x(C1cosx+C2sinx)+e一x+xe一xsinx，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求y"一y=e|x|的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：自由項(xiàng)帶絕對(duì)值，為分段函數(shù)，所以應(yīng)將該方程按區(qū)間(一∞，0)∪[0，+∞)分成兩個(gè)方程，分別求解．由于y"=y+e|x|在x=0處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以求出解之后，在x=0處拼接成二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，便得原方程的通解．當(dāng)x≥0時(shí)，方程為y"一y=ex，求得通解y=C1ex+C2e一x+xex．當(dāng)x＜0時(shí)，方程為y"一y=e一x，求得通解y=C3ex+C4e一x一xe一x．因?yàn)樵匠痰慕鈟(x)在x=0處連續(xù)且y’(x)也連續(xù)，據(jù)此，有其中C1，C1為任意常數(shù)．此y在x=0處連續(xù)且y’連續(xù)．又因y"=y+e|x|，所以在x=0處y"亦連續(xù)，即是通解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)函數(shù)f(u)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，f(2)=1，且函數(shù)z=滿(mǎn)足，x＞0，y＞0，①求z的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：初值條件是u=2時(shí)f=1．微分方程的解應(yīng)該是u的連續(xù)函數(shù)，由于初值條件給在u=2處，所以f的連續(xù)區(qū)間應(yīng)是包含u=2在內(nèi)的一個(gè)開(kāi)區(qū)間．解式③得通解知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)z=z(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z=z(x一2y，x+3y)滿(mǎn)足，①求z=z(u，v)的一般表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：以z=z(u，u)，u=x一2y，v=x+3y代入式①，得到z(u，v)應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程，也許這個(gè)方程能用常微分方程的辦法解之．其中ψ(u)為具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的u的任意函數(shù)，Ф(v)為具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的v的任意函數(shù)，其中u=x一2y，v=x+3y．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、利用變換y=f(ex)求微分方程y"一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=ex，則y=f(t)，y’=f’(t)．ex=tf’(t)，y"=[tf’(t)]’x=exf’(t)+tf"(t)．ex=tf’(t)+t2f"(t)，代入方程得t2f"(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t2f(t)=t3，即f"(t)一2f’(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以y"=(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解為y=(C1+C2ex)+ex+2，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程y"+λy’=2x+1的通解，其中λ為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)應(yīng)齊次方程y"+λy’=0的特征方程r2+λr=0的特征根為r=0或r=一λ．①當(dāng)λ≠0時(shí)，y"+λy’=0的通解為y=C1+C2e一λx．設(shè)原方程的特解形式為y*=x(Ax+B)，代入原方程，比較同次冪項(xiàng)的系數(shù)，解得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、(1)用x=et化簡(jiǎn)微分方程標(biāo)準(zhǔn)答案：(2)①齊次方程y"+2y’+5y=0的特征方程為λ2+2λ+5=0，解得λ1,2=一1±2i，故y齊通(t)=e一t(C1cos2t+C2sin2t)．②令y*(t)=(at+6)et代入①得a=2，b=一1，故y通(t)=e一t(C1cos2t+C2sin2t)+(2t一1)et，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)L是一條平面曲線(xiàn)，其上任意一點(diǎn)P(x，y)(x＞0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處的切線(xiàn)在y軸上的截距，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，0)．(1)試求曲線(xiàn)L的方程；(2)求L位于第一象限部分的一條切線(xiàn)，使該切線(xiàn)與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)曲線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)P(x，y)的切線(xiàn)方程為Y—y=y’(X—x)．令X=0，則得該切線(xiàn)在y軸上的截距為y一xy’．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)且y’(x)＞0，y(0)=1．過(guò)曲線(xiàn)y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x，y)作該曲線(xiàn)的切線(xiàn)及到z軸的垂線(xiàn)，上述兩直線(xiàn)與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1～S2恒為1，求此曲線(xiàn)y=y(x)的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線(xiàn)y=y(x)上點(diǎn)P(x，y)處的切線(xiàn)方程為Y一y=y’(x)(X—x)，它與x軸的交點(diǎn)為N(x一，0)．由于y’(x)＞0，y(0)=1，從而y(x)＞0，于是注意到y(tǒng)(0)=1，并由①式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲線(xiàn)的方程是y=ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、位于上半平面向上凹的曲線(xiàn)y=y(z)在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)斜率為0，在點(diǎn)(2，2)處的切線(xiàn)斜率為1．邑知曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處的曲率半徑與及(1+y’2)的乘積成正比，求該曲線(xiàn)方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知，有y(0)=1，y’(0)=0，y(2)=2，y’(2)=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、微分方程y"’+y’+y=的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程r2+r+1=0，特征根為λ±iω=是特征根，所以特解的形式為2、設(shè)y=f(x)是微分方程y"一2y’+4y=0的一個(gè)解，若f(x0)＞0，且f’(x0)=0，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0()A、取得極大值B、取得極小值C、某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加D、某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由f’(x0)=0知x0為駐點(diǎn)，且f"(x0)+4f(x0)=0，又因f(x0)＞0，故f"(x0)=一4f(x0)＜0，所以在x0處函數(shù)取極大值．3、微分方程y"+2y’+y—=shx的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A、ashxB、achxC、ax2e-x+bexD、axe-x+bex標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為r2+2r+1=0，r=一1為二重特征根，而f(x)=shx=，故特解為y*=ax2e-x+bex．4、設(shè)f(x)連續(xù)，且滿(mǎn)足+ln2，則f(x)=()A、exln2B、e2xln2C、ex+ln2D、e2x+ln2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：原方程求導(dǎo)得f’(x)=2f(x)，積分得f(x)=Ce2x，又f(0)=ln2，故C=ln2，從而f(x)=e2xln2．5、設(shè)f(x)，f’(x)為已知的連續(xù)函數(shù)，則方程y’+f’(x)y=f(x)f’(x)的通解是()A、y=f(x)+Ce-f(x)B、y=f(x)+1+Ce-f(x)C、y=f(x)一C+Ce-f(x)D、y=f(x)一1+Ce-f(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由一階線(xiàn)性方程的通解公式得y=e-∫f’(x)dx[C+∫f(x)f’(x)e∫f’(x)dxdx]=e-f(x)[C+∫f(x)def(x)]=Ce-f(x)+f(x)一1(其中C為任意常數(shù))．6、方程y(4)一2y’"一3y"=e-3x一2e-x+x的特解形式(其中a，b，c，d為常數(shù))是()A、axe-3x+bxe-x+cx3B、ae-3x+bxe-x+cx+dC、ae-3x+bxe-x+cx3+dx2D、axe-3x+be-x+cx3+dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程r2(r2一2r一3)=0，特征根為r1=3，r2=一1，r3=r4=0，對(duì)f1=e-3x，λ1=-3非特征根，y1*=ae-3x；對(duì)f2=一2e-x，λ2=一1是特征根，y2*=bxe-x；對(duì)f3=x，λ3=0是二重特征根，y3*=x2(cx+d)，所以特解y*=y1*+y2*+y3*=ae-3x+bxe-x+cx3+dx2．7、已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的兩個(gè)解，則此方程為()A、y"一2y’+y=e2xB、y"一y’一2y=xexC、y"一y’一2y=ex一2xexD、y"一y=e2x標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：非齊次線(xiàn)性方程兩解之差必為對(duì)應(yīng)齊次方程之解，由y1一y2=e2x-e-x及解的結(jié)構(gòu)定理知對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=C1e2x+C2e-x，故特征根r1=2，r2=一1．對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程為y"一y’一2y=0．再由特解y*=xex知非齊次項(xiàng)f(x)=y*"一y*’一2y*=ex一2xex，于是所求方程為y"一y’—2y=ex一2xex．8、微分方程y"一y=ex+1的特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A、aex+bB、axex+bC、aex+bxD、axex+bx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)非齊次方程y"一y=ex+1可得出對(duì)應(yīng)的齊次方程y"一y=0，特征根為λ1=一1，λ2=1，非齊次部分分成兩部分f1(x)=ex，f2(x)=1，可知y"一y=ex+1的特解可設(shè)為axex+b．二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)9、設(shè)一階非齊次線(xiàn)性微分方程y’+p(x)y=Q(x)有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解y1，y2，若αy1+βy2也是該方程的解，則應(yīng)有α+β=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由y1’+P(x)y1=Q(x)及y2’+P(x)y2=Q(x)得(αy1+βy2)’+P(x)(αy1+βy2)=(α+β)Q(x)．又因αy1+βy2滿(mǎn)足原方程，故應(yīng)有(α+β)Q(x)=Q(x)，即α+β=1．10、微分方程y"一7y’=(x一1)2的待定系數(shù)法確定的特解形式(系數(shù)的值不必求出)是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y*=x(Ax2+Bx+C)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為r2—7r=0，特征根r1=7，r2=0．而f(x)=x2一2x+1，λ=0是特征根，所以特解如上所答．11、以y=cos2x+sin2x為一個(gè)特解的二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"+4y=0知識(shí)點(diǎn)解析：由特解y=cos2x+sin2x知特征根為r1,2=±2i，特征方程是r2+4=0，其對(duì)應(yīng)方程即y"+4y=0．12、微分方程的通解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1+C2x+C3x2+C4e-3x，其中C1，C2，C3，C4為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程r4+3r3=0，即r3(r+3)=0．故通解如上．13、微分方程(1一x2)y—xy’=0滿(mǎn)足初值條件y(1)=1的特解是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、微分方程的通解為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：由y"=積分一次得y’=再積分得15、微分方程y"一2y’=x2+e2x+1的待定系數(shù)法確定的特解形式(不必求出系數(shù))是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y*=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為r2—2r=0特征根r1=0，r2=2．對(duì)f1=x2+1，λ1=0是特征根，所以y1*=x(Ax2+Bx+C)．對(duì)f2=e2x，λ2=2也是特征根，故有y2*=Dxe2x．從而y*如上．16、特征根為r1=0，的特征方程所對(duì)應(yīng)的三階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為其相應(yīng)的微分方程即所答方程．17、滿(mǎn)足f’(x)+xf’(一x)=x的函數(shù)f(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(1+x2)+x—arctanx+C，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：在原方程中以(一x)代替x得f’(-x)一xf’(x)=一x，與原方程聯(lián)立消去f’(一x)項(xiàng)得f’(x)+x2f’(x)=x+x2，所以f’(x)=積分得f(x)=ln(1+x2)+x—arctanx+C，其中C為任意常數(shù)．18、已知∫01f(tx)dt=f(x)+1，則f(x)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：Cx+2，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：將所給方程兩邊同乘以x，得∫01f(tx)d(tx)=xf(x)+x．令u=tx，則上式變?yōu)椤?xf(u)du=+x．兩邊對(duì)x求導(dǎo)得用線(xiàn)性方程通解公式計(jì)算即得f(x)=Cx+2，其中C為任意常數(shù)．19、微分方程xdy—ydx=ydy的通解是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程變形為積分即得通解其中C為任意常數(shù)．20、微分方程的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1x5+C2x3+C3x2+C4x+C5，C1，C2，C3，C4，C5為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：，則方程降階為u的一階方程其通解為u=Cx，從而積分四次即得上述通解．21、以y=7e3x+2x為一個(gè)特解的三階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"’一3y"=0知識(shí)點(diǎn)解析：由特解y=7e3x+2x知特征根為r1=3，r2=r3=0(二重根)特征方程為r3一3r2=0，相應(yīng)齊次線(xiàn)性方程即y"’一3y"=0．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)22、求一個(gè)以y1=tet，y2=sin2t為其兩個(gè)特解的四階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程，并求其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y1=tet可知y3=et亦為其解，由y2=sin2t可得y4=cos2t也是其解，故所求方程對(duì)應(yīng)的特征方程的根λ1=λ3=1，λ2=2i，λ4=一2i．其特征方程為(λ一1)2(λ2+4)=0，即λ4一2λ3+5λ2一8λ+4=0．故所求的微分方程為y(4)一2y"’+5y"一8y’+4y=0，其通解為y=(C1+C2t)et+C3cos2t+C4sin2t，其中C1，C2，C4，C4為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、一鏈條懸掛在一釘子上，啟動(dòng)時(shí)一端離開(kāi)釘子8m，另一端離開(kāi)釘子12m，試分別在以下兩種情況下求鏈條滑離釘子所需要的時(shí)間：(1)不計(jì)釘子對(duì)鏈條的摩擦力；(2)若摩擦力為常力且其大小等于2m長(zhǎng)的鏈條所受到的重力．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)在時(shí)刻t時(shí)，鏈條下滑路程為x(t)(m)，以ρ表示鏈條的長(zhǎng)度密度，由牛頓第二定律F=ma，得=ρg[(12+x)一(8一x)]，整理得微分方程：及初值條件x(0)=0，x’(0)=0，解方程得(2)鏈條下滑路程x(t)滿(mǎn)足方程：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、從一艘破裂的油輪中滲漏出來(lái)的油，在海面上逐漸擴(kuò)散形成油層．設(shè)在擴(kuò)散的過(guò)程中，其形狀一直是一個(gè)厚度均勻的圓柱體，其體積也始終保持不變．已知其厚度h的減少率與h3成正比，試證明：其半徑r的增加率與r3成反比．標(biāo)準(zhǔn)答案：把V=πr3h看作隱式方程，兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)，由于π和V都是常數(shù)，所以有代入上式，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、汽艇以27(km／h)的速度，在靜止的海面上行駛，現(xiàn)在突然關(guān)閉其動(dòng)力系統(tǒng)，它就在靜止的海面上作直線(xiàn)滑行，設(shè)已知水對(duì)汽艇運(yùn)動(dòng)的阻力與汽艇運(yùn)動(dòng)的速度成正比，并已知在關(guān)閉其動(dòng)力后20(s)汽艇的速度降為了10．8(km／h)．試問(wèn)它最多能滑行多遠(yuǎn)?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)汽艇的質(zhì)量為m(kg)，關(guān)閉動(dòng)力后t(s)，汽艇滑行了x(m)，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，有其中．上述方程是二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程，其通解為x=C1+C2e-μt．由x(x)=0，x’(0)=可確定出C1=．從而可得方程的特解，即汽艇的運(yùn)動(dòng)方程為根據(jù)條件，可確定此特解中的另一個(gè)待定常數(shù)對(duì)應(yīng)地有由于其速度從理論上說(shuō)這艘汽艇是永遠(yuǎn)也不會(huì)停下來(lái)的，但是由于，所以，可得最大滑行距離為163．7m．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求解y"=e2y+ey，且y(0)=0，y’(0)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：p2=e2y+2ey+C，即y’2=e2y+2ey+C．又y(0)=0，y’(0)=2，有C=1，所以y’2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，y’=ey+1(y’(0)=2＞0)，y-ln(ey+1)=x+C1．代入y(0)=0，得C1=一ln2，所以，該初值問(wèn)題的解為y—ln(1+ey)=x—ln2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求方程=(1一y2)tanx的通解以及滿(mǎn)足y(0)=2的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是變量可分離方程．當(dāng)y2≠1時(shí)，分離變量得去掉絕對(duì)值記號(hào)，并將±e2C1，記成C，并解出y，得①這就是在條件y2≠1下的通解．此外，易見(jiàn)y=1及y=一1也是原方程的解，但它們并不包含在式①之中．以y(0)=2代入式①中得故C=一3．于是得到滿(mǎn)足y(0)=2的特解知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求微分方程=xdy的通解，并求滿(mǎn)足y(1)=0的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：此為齊次微分方程，按解齊次微分方程的方法解之．令y=ux，原方程化為當(dāng)x＞0時(shí)，上式成為兩邊積分得其中C＞0，將任意常數(shù)記成lnC由上式解得①當(dāng)x＜0，類(lèi)似地仍可得其中C＞0．式①與式②其實(shí)是一樣的，故得通解其中C＞0為任意常數(shù)．將初值條件y(1)=0代入③得C=±1，但由于C＞0，故得相應(yīng)的特解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求方程一y=一x2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是一階線(xiàn)性方程，可以直接套通解公式解之．套公式之前，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)型：由通解公式，得當(dāng)x＞0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，合并之，得通解其中x≠0，C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、求(y3一3xy2一3x2y)如+(3xy2一3x2y—x3+y2)dy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將原給方程通過(guò)觀(guān)察分項(xiàng)組合．(y3一3xy2一3x2y)dx+(3xy2一3x2y一x3+y2)dy=(y3dx+3xy2dy)一3xy(ydx+xdy)一(3x2ydx+x3dy)+y2dy=0，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、求微分方程y"(3y’2一x)=y’滿(mǎn)足初值條件y(1)=y’(1)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是不顯含y型的二階微分方程y"=f(x，y’)，按典型步驟去做即可．令，原方程化為化為3p2dp一(xdp+pdx)=0．這是關(guān)于P與x的全微分方程，解之得p3一xp=C1以初值條件：x=1時(shí)，p=1代入，得1—1=C1，C1=0．從而得p3一xp=0．分解成p=0及p2=x，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是y"=f(y，y’)型的可降階二階方程，按典型步驟去做即可．命y’=P，有原方程化為以下進(jìn)行討論．y≡0顯然是原方程的一個(gè)解．以下設(shè)y≠0，于是式①可改寫(xiě)為(1)當(dāng)C1＞0時(shí)，由式②得(2)當(dāng)C1=0時(shí)，由式②得±x+C2=一y-1；(3)當(dāng)C1＜0時(shí)，由式②得綜合(1)，(2)，(3)便得原方程的通解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、求微分方程y"+2y’+2y=的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)先用三角公式將自由項(xiàng)寫(xiě)成e-x+e-xcosx，然后再用疊加原理用待定系數(shù)法求特解．對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y=(C1cosx+C2sinx)e-x．為求原方程的一個(gè)特解，將自由項(xiàng)分成兩項(xiàng)：e-x，e-xcosx，分別考慮y"+2y’+2y=e-x，①與y"+2y’+2y=e-xcosx．②對(duì)于①，令y1*=Ae-x，代入可求得A=1，從而得y1*=e-x．對(duì)于②，令y2*=xe-x(Bcosx+Csinx)，代入可求得B=0，．由疊加原理，得原方程的通解為y=Y+y1*+y2*=e-x(C1cosx+C2sinx)+e-x+其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、求y"一y=e|x|的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：自由項(xiàng)帶絕對(duì)值，為分段函數(shù)，所以應(yīng)將該方程按區(qū)間(一∞，0)∪[0，+∞)分成兩個(gè)方程，分別求解．由于y"=y+e|x|在x=0處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以求出解之后，在x=0處拼接成二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，便得原方程的通解．當(dāng)x≥0時(shí)，方程為y"—y=ex求得通解y=C1ex+C2e-x+當(dāng)x＜0時(shí)，方程為y"一y=e-x，求得通解y=C3ex+C4e-x-因?yàn)樵匠痰慕鈟(x)在x=0處連續(xù)且y’(x)也連續(xù)，據(jù)此，有其中C1，C2為任意常數(shù)．此y在x=0處連續(xù)且y’連續(xù)．又因y"=y+e|x|，所以在x=0處y"亦連續(xù)，即是通解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、設(shè)函數(shù)f(u)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，f(2)=1，且函數(shù)滿(mǎn)足求z的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：將代入式①，注意到f中的變?cè)獙?shí)際是一元，所以最終有可能化為含有關(guān)于f(u)的常微分方程．代入題中式①，得f’(u)(1一u2)+2f(u)=u一u3，②其中且u＞0．由式②有初值條件是u=2時(shí)f=1．微分方程的解應(yīng)該是u的連續(xù)函數(shù)，由于初值條件給在u=2處，所以f的連續(xù)區(qū)間應(yīng)是包含u=2在內(nèi)的一個(gè)開(kāi)區(qū)間．解式③得通解再以f(2)=1代入，得C=一3，從而得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、設(shè)z=z(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z=z(x一2y，x+3y)滿(mǎn)足求z=z(u，v)的一般表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：以z=z(u，v)，u=x一2y，v=x+3y代入式①，得到z(u，v)應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程，也許這個(gè)方程能用常微分方程的辦法解之．代入式①，化為它可以看成一個(gè)常微分方程(其中視v為常數(shù))，解得其中ψ(v)為具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的v的任意函數(shù)．再由其中φ(u)為具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的u的任意函數(shù)，φ(v)為具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的v的任意函數(shù)，其中u=x一2y，v=x+3y．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析37、利用變換y=f(ex)求微分方程f"一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=ex，y=f(t)得y’=f’(t).ex=tf’(t)，y"=(tf’(t))’x=exf’(t)+tf"(t).ex=tf’(t)+t2f"(t)，代入方程得t2f"(t)+tf’(t)-(2t+1)tf’(t)+t2f(t)=t3，即f"(t)一2f’(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以y"-(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解為y=(C1+C2ex)+ex+2，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析38、求二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程y"+λy’=2x+1的通解，其中λ為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)應(yīng)齊次方程y"+λy’=0的特征方程r2+λr=0的特征根為r=0或r=一λ．(1)當(dāng)λ≠0時(shí)，y"+λy’=0的通解為y=C1+C2e-λx．設(shè)原方程的特解形式為y*=x(Ax+B)，代人原方程，比較同次冪項(xiàng)的系數(shù)，解得，故原方程的通解為y=C1+C2e-λx+其中C1，C2為任意常數(shù)．(2)當(dāng)λ=0時(shí)，y"=2x+1，積分兩次得方程的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析39、(1)用x=et化簡(jiǎn)微分方程標(biāo)準(zhǔn)答案：(2)①齊次方程y"+2y’+5y=0;λ2+2λ+5=0;λ1,2=一1±2iy齊通(t)=e-t(C1cos2t+C2sin2t)，②令y*(t)=(at+b)et代入①得a=2，b=一1，故y通(t)=e-t(C1cos2t+C2sin2t)+(2t一1)et，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析40、設(shè)L是一條平面曲線(xiàn)，其上任意一點(diǎn)P(x，y)(x＞0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處的切線(xiàn)在y軸上的截距，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)試求曲線(xiàn)L的方程；(2)求L位于第一象限部分的一條切線(xiàn)，使該切線(xiàn)與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)曲線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)P(x，y)的切線(xiàn)方程為Y—y=y’(X-x)．令X=0，則得該切線(xiàn)在y軸上的截距為y—xy’．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析41、設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)且y’(x)＞0，y(0)=1．過(guò)曲線(xiàn)y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x，y)作該曲線(xiàn)的切線(xiàn)及到x軸的垂線(xiàn)，上述兩直線(xiàn)與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1一S2恒為1，求此曲線(xiàn)y=y(x)的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線(xiàn)y=y(x)上點(diǎn)P(x，y)處的切線(xiàn)方程為Y—y=y’(x)(X-x)，它與x軸的交點(diǎn)為．由于y’(x)＞0，y(0)=1，從而y(x)＞0，于是注意到y(tǒng)(0)=1，并由①式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲線(xiàn)的方程是y=ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析42、位于上半平面向上凹的曲線(xiàn)y=y(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)斜率為0，在點(diǎn)(2，2)處的切線(xiàn)斜率為1．已知曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處的曲率半徑與的乘積成正比，求該曲線(xiàn)方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知，有y(0)=1，y’(0)=0，y(2)=2，y’(2)=1，代入y(0)=1，y’(0)=0．y(2)=2，y’(2)=1，得k=2，C=0，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（微分方程）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、微分方程xdy=(y一)dx(x＞0)滿(mǎn)足y(1)=0的特解是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：將原方程變形為，2、設(shè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的函數(shù)y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3B、C1y1+C2y一(C1+C2)y3C、C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3D、C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3，其中y1一y3和y2一y3是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，又y3是原方程的一個(gè)特解，所以(D)是原方程的通解．3、設(shè)二階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程y"+by’+y=0的每一個(gè)解y(x)都在區(qū)間(0，+∞)上有界，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A、[0，+∞)B、(一∞，0]C、(一∞，4]D、(一∞，+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)b≠±2時(shí)，y(x)=，所以，當(dāng)b2一4＞0時(shí)，要想使y(x)在區(qū)間(0，+∞)上有界，只需要≥0，即b＞2．當(dāng)b2—4＜0時(shí)，要想使y(x)在區(qū)間(0，+∞)上有界，只需要的實(shí)部大于等于零，即0≤b＜2．當(dāng)b=2時(shí)，y(x)=C1e一x+C2xe一x在區(qū)間(0，+∞)上有界．當(dāng)b=一2時(shí)，y(x)=C1ex+C2xex(C12+C22≠0)在區(qū)間(0，+∞)上無(wú)界．綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)b≥0時(shí)，方程y"+by’+y=0的每一個(gè)解y(x)都在區(qū)間(0，+∞)上有界，故選(A)．4、具有特解y1=e一x，y2=2xe一x，y3=3ex的三階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程是()A、y"’一y"一y’+y=0B、y"’+y"一y’一y=0C、y"’一6y"+11y’一6y=0D、y"’一2y"一y’+2y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題設(shè)條件，1，一1是特征方程的兩個(gè)根，且一1是重根，所以特征方程為(λ一1)(λ+1)2=λ3+λ2一λ一1=0，故所求微分方程為y"’+y"一y’一y=0，故選(B)．或使用待定系數(shù)法，具體為：設(shè)所求的三階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程是y"’+ay"+by’+cy=0。由于y1=e一x，y2=2xe一x，y3=3ex是上述方程的解，所以將它們代入方程后得解得a=1，b=一1，c=一1．故所求方程為y"’+y"一y’一y=0，即選項(xiàng)(B)正確．5、函數(shù)y=Cx+=x而言，()A、是通解B、是特解C、是解，但既非通解也非特解D、不是解標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(1)因原方程階數(shù)為二，通解中應(yīng)包含兩個(gè)任意常數(shù)(可求出通解為C1+C1x+滿(mǎn)足原方程，故選項(xiàng)(A)，(B)，(D)都不對(duì)，應(yīng)選(C)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、設(shè)y1=ex，y2=x2為某二階線(xiàn)性齊次微分方程的兩個(gè)特解，則該微分方程為_(kāi)___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于方程形狀已知，故只要將兩個(gè)特解分別代入并求出系數(shù)即可．設(shè)所求的二階線(xiàn)性齊次微分方程為y"+p(x)y’+q(x)y=0．分別以y1=ex，y2=x2代入，得7、設(shè)p(x)，g(x)與f(x)均為連續(xù)函數(shù)，f(x)≠0．設(shè)y1(x)，y2(x)與y3(x)是二階線(xiàn)性非齊次方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3個(gè)解，且≠常數(shù)，則式①的通解為_(kāi)___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)+y1，其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：由線(xiàn)性非齊次方程的兩個(gè)解，可構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，再證明這樣所得到的解線(xiàn)性無(wú)關(guān)便可．y1一y2與y2一y3均是式①對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程y"+p(x)y’+q(x)y=0②的兩個(gè)解．今證它們線(xiàn)性無(wú)關(guān)．事實(shí)上，若它們線(xiàn)性相關(guān)，則存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)k1與k2使l1(y1一y2)+k2(y2一y3)=0．③設(shè)k1≠0，又由題設(shè)知y2一y3≠0，于是式③可改寫(xiě)為=常數(shù)，矛盾．若k1=0，由y2一y3≠0，故由式③推知k2=0矛盾．這些矛盾證得y1一y2與y2一y3線(xiàn)性無(wú)關(guān)．于是Y=C1(y1一y2)+C2(y1一y3)④為式②的通解，其中C1，C2為任意常數(shù)，從而知y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)+y1⑤為式①的通解．8、微分方程的特解是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=ey一e一y一siny知識(shí)點(diǎn)解析：熟悉反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的讀者知道，①原方程可化為x關(guān)于y的二階常系數(shù)線(xiàn)性方程．將式①代入原方程，原方程化為以x=0時(shí)，y=0代入上式，得0=C1+C2．再將式②兩邊對(duì)y求導(dǎo)，有9、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有定義，且對(duì)任意x∈(～∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，則f(x)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：axex知識(shí)點(diǎn)解析：由f’(0)存在，設(shè)法去證對(duì)一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．將y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．令△x→0，得f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex，所以f’(x)存在．解此一階微分方程，得f(x)=ex(∫aex．e一xdx+C)=ex(ax+C)．因f(0)=0，所以C=0，從而得f(x)=axex．10、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上可導(dǎo)，且其反函數(shù)存在為g(x)．若∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1，則當(dāng)一∞＜x＜+∞時(shí)f(x)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：未知函數(shù)含于積分之中的方程稱(chēng)積分方程．現(xiàn)在此積分的上限為變量，求此方程的解的辦法是將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)化成微分方程解之．注意，積分方程的初值條件蘊(yùn)含于所給式子之中，讀者應(yīng)自行設(shè)法挖掘之．將所給方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，有g(shù)[f(x)]f’(C)+f(x)=xex．因g[f(x)]≡x，所以上式成為xf’(x)+f(x)=xex．以x=0代入上式，由于f’(0)存在，所以由上式得f(0)=0．當(dāng)x≠0時(shí)，上式成為11、微分方程y’+ytanx=cosx的通解為y=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+C)cosx，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、微分方程y"一4y=e2x的通解為y=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：C1e一2x+(C2+)e2x,其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：y"一4y=0的特征根λ=±2，則設(shè)其特解y*=Axe2x代入y"一4y=e2x，可解得A=。所以y"一4y=e2x的通解為C1e一2x+(C+x)e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)．13、微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：tany=C(ex一1)3，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：方程分離變量得，積分得ln(tany)=3ln(ex一1)+lnC．所以方程有通解為tany=C(ex一1)3，其中C為任意常數(shù)．14、微分方程y’tanx=ylny的通解是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=eCsinx，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程分離查量，有，積分得ln(lny)=ln(sinx)+lnC，通解為lny=Csinx，或y=eCsinx，其中C為任意常數(shù)．15、微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3x2+xy=C，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程兼屬一階線(xiàn)性方程、齊次方程、全微分方程．原方程化為=一6．①由一階線(xiàn)性方程的通解公式得y=(C一3x2)，其中C為任意常數(shù)，即3x2+xy=C，其中C為任意常數(shù)．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)16、已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx—dy的任意解，并在y=y(x)的定義域內(nèi)取x0，記y0=y(x0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)將微分方程(x2+y2)dy=dx一dy變形為＞0，則y=y(x)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，只要證明y(x)有界即可．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)有界，證明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程的通解為y(x)=e一ax[C+∫0xf(t)aatdt]，設(shè)f(x)在[0，+∞)上的上界為M，即｜f(x)｜≤M，則當(dāng)x≥0時(shí)，有｜y(x)｜=｜e一ax[C+∫0xf(t)dt]｜≤｜Ce一ax｜+e一ax｜∫0xf(t)eatdt｜≤｜C｜+Me一ax∫0xeatdt即y(x)在[0，+∞)上有界．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知曲線(xiàn)y=y(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，e一1)，且在點(diǎn)(x，y)處的切線(xiàn)方程在y軸上的截距為xy，求該曲線(xiàn)方程的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x，y)處的切線(xiàn)方程為Y—y=y’(X—x)，令X=0，得到截距為xy=y—xy’，即xy’=y(1一x)．此為一階可分離變量的方程，于是，又y(1)=e一1，故C=1，于是曲線(xiàn)方程為y=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求解(1+)ydx+(y一x)dy=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程化為ln(u+eu)=一ln｜y｜+C1，(u+eu)y=C，將u==C，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)φ(x)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)，且Ф’(x)=φ(x)，Ф(0)=0．(1)求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解；(2)方程是否有以2π為周期的解?若有，請(qǐng)寫(xiě)出所需條件，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)該方程為一階線(xiàn)性微分方程，通解為y=e一∫sinxdx[∫φ(x)ecosxse∫sinxdxdx+C]=ecosx[∫φ(x)ecosx．e一cosxdx+C]=ecosx[∫φ(x)dx+C]=ecosx[Ф(x)+C](其中C為任意常數(shù))．(2)因?yàn)椐丁?x)=φ(x)，所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1，又Ф(0)=0，于是Ф(x)=∫0xφ(t)dt而Ф(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫02πφ(t)dt，所以，當(dāng)∫02πφ(t)dt=0時(shí)，Ф(x+2π)=Ф(x)，即Ф(x)以2π為周期．因此，當(dāng)∫02πφ(t)dt=0時(shí)，方程有以2π為周期的解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)有方程y’+P(x)y=x2，其中P(x)=試求在(一∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y=y(x)，使之在(一∞，1)和(1，+∞)內(nèi)都滿(mǎn)足方程，且滿(mǎn)足初值條件y(0)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題雖是基本題，但其特色在于當(dāng)x的取值范圍不同時(shí)，系數(shù)P(x)不同，這樣所求解的方程就不一樣，解的形式自然也會(huì)不一樣，最后要根據(jù)解y=y(x)是連續(xù)函數(shù)，確定任意常數(shù)．22、設(shè)(1)用變限積分表示滿(mǎn)足上述初值條件的特解y(x)；(2)討論是否存在，若存在，給出條件，若不存在，說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：一般認(rèn)為，一階線(xiàn)性微分方程y’+p(x)y=q(x)的計(jì)算公式為y=e一∫p(x)dx[∫e∫p(x)dxq(x)dx+C]，而本題是要求寫(xiě)成變限積分形式y(tǒng)(x)=．由于本題表達(dá)形式比較復(fù)雜，且寫(xiě)出表達(dá)式后還要進(jìn)行極限討論．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求微分方程xy’+y=xex滿(mǎn)足y(1)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求(4一x+y)dx一(2一x一y)dy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分得X2一2XY—Y2=C．將X=x一3,Y=y+1代入上式，得到所求通解為x2—2xy一y2一8x+4y=C，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求xy"一y’lny’+y’lnx=0滿(mǎn)足y(1)=2和y’(1)=e2的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)y’=p，則y"=p’，代入原方程中，xp’一plnp+plnx=0，即積分得y=(x一1)ex+1+C2．代入初值條件y(1)=2，解得C2=2，故所求特解為y=(x一1)ex+1+2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求y’2一yy"=1的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求(x+2)y"+xy’2=y’的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求微分方程=x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求微分方程(x＞0)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：變形和作適當(dāng)代換后變?yōu)榭煞蛛x變量的方程．方程兩邊同除以x，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、求微分方程y"一2y’一e2x=0滿(mǎn)足條件y(0)=1，y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：齊次方程y"一2y’=0的特征方程為λ2一2λ=0，由此求得特征根λ1=0，λ2=2．對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為=C