考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷1（共300題）

考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷1（共9套）（共300題）考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設數(shù)列｛xn｝和｛yn｝滿足=0，則當n→∞時，｛yn｝必為無窮小量的充分條件是()A、｛xn｝是無窮小量B、｛｝是無窮小量C、｛xn｝有界D、｛xn｝單調遞減標準答案：B知識點解析：若是無窮小量，則=0，故(B)正確．若取=0，且｛xn｝在n→∞時是無窮小量、有界量、單調遞減，但｛yn｝不是無窮小量，排除(A)，(C)，(D)．2、以下3個命題：①若數(shù)列｛un｝收斂于A，則其任意子數(shù)列｛uni｝必定收斂于A；②若單調數(shù)列｛xn｝的某一子數(shù)列｛xni｝收斂于A，則該數(shù)列必定收斂于A；③若數(shù)列｛x2n｝與｛x2n+1｝都收斂于A，則數(shù)列｛xn｝必定收斂于A正確的個數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標準答案：D知識點解析：對于命題①，由數(shù)列收斂的定義可知，若數(shù)列｛un｝收斂于A，則對任意給定的ε＞0，存在自然數(shù)N，當n＞N時，恒有｜un－A｜＜ε，則當ni＞N時，恒有因此數(shù)列也收斂于A，可知命題正確．對于命題②，不妨設數(shù)列｛xn｝為單調增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一給定子數(shù)列收斂于A，則對任意給定的ε＞0，存在自然數(shù)N，當ni＞N時，恒有由于數(shù)列｛xn｝為單調增加的數(shù)列，對于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有從而｜xn－A｜＜ε．可知數(shù)列｛xn｝收斂于A因此命題正確．對于命題③，因，由極限的定義可知，對于任意給定的ε＞0，必定存在自然數(shù)N1，N2：當2n＞N1時，恒有｜x2n－A｜＜ε；當2n+1＞N2時，恒有｜x2n+1－A｜＜ε．取N=max｛N1，N2｝，則當n＞N時，總有｜xn－A｜＜ε．因此=A可知命題正確．故答案選擇(D)．3、設f(x)是偶函數(shù)，φ(x)是奇函數(shù)，則下列函數(shù)(假設都有意義)中，是奇函數(shù)的是()A、f[φ(x)]B、f[f(x)]C、φ[f(x)]D、φ[φ(x)]標準答案：D知識點解析：令g(x)=φ[φ(x)]，注意φ(x)是奇函數(shù)，有g(－x)=φ[φ(－x)]=φ[－φ(x)]=－φ[φ(x)]=－g(x)．因此φ[φ(x)]為奇函數(shù)，同理可得f[φ(x)]，f[f(x)]，φ[f(x)]均為偶函數(shù)．答案選(D)．4、設f(x)=sin(cosx)，φ(x)=cos(sinx)，則在區(qū)間(0，)內()A、f(x)是增函數(shù)，φ(x)是減函數(shù)B、f(x)，φ(x)都是減函數(shù)C、f(x)是減函數(shù)，φ(x)是增函數(shù)D、f(x)，φ(x)都是增函數(shù)標準答案：B知識點解析：注意在內，sinx是增函數(shù)，cosx是減函數(shù)．任取x1，x2∈，且x1＜x2，有cosx1＞cosx2，所以sin(cosx1)＞sin(cosx2)，即f(x)是減函數(shù)；由于sinx1＜sinx2，所以cos(sinx1)＞cos(sinx2)，即φ(x)是減函數(shù)．5、設在區(qū)間(－∞，+∞)內f(x)＞0，且當k為大于0的常數(shù)時有f(x+k)=，則在區(qū)間(－∞，+∞)內函數(shù)f(x)是()A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)C、周期函數(shù)D、單調函數(shù)標準答案：C知識點解析：因為f(x+2k)==f(x)，故f(x)是周期函數(shù)．6、設f(x)=，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：7、設f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)－v(x)，并設與都不存在，下列論斷正確的是()A、若不存在，則必存在B、若不存在，則必不存在C、若存在，則必不存在D、若存在，則必存在標準答案：C知識點解析：令，當x→0時可排除(A)；令u(x)=v(x)=，當x→0時可排除(B)；令，當x→0時可排除(D)．8、兩個無窮小量比較的結果是()A、同階B、高階C、低階D、不確定標準答案：D知識點解析：如α(x)=，β(x)=x，當x→0時，都是無窮?。淮嬖?，故α(x)和β(x)無法比較階的高低．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)9、設f(x)是奇函數(shù)，且對一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a為常數(shù)，n為整數(shù)，則f(n)=________．標準答案：na知識點解析：令x=－1，則f(1)=f(－1)+f(2)，因f(x)是奇函數(shù)，得到f(2)=f(1)－f(－1)=2f(1)=2a．再令x=1，則f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明f(n)=na．當n=1，2，3時，已知或者已證．假設n≤k時，有f(k)=ka．當n=k+1時，f(k+1)=f(k－1)+f(2)=(k－1)a+2a=(k+1)a，故對一切正整數(shù)n，有f(n)=na．令x=0，則f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0×a，又f(x)是奇函數(shù)，故對一切負整數(shù)n有f(n)=－f(－n)=－(－na)=na．所以對一切整數(shù)n，均有f(n)=na．10、對充分大的一切x，給出以下5個函數(shù)：100x，log10x100，e10x，，則其中最大的是_________．標準答案：知識點解析：當x充分大時，有重要關系：11、=__________．標準答案：知識點解析：12、=__________．標準答案：0知識點解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)13、標準答案：知識點解析：暫無解析14、標準答案：本題同樣考查分段函數(shù)的復合方法．下面用解析法求解．首先，廣義化為f[g(x)]=由g(x)的表達式知，①當g(x)≤0時，即｛2ex－1≤0｝∩｛x≤0｝或｛x2－1≤0｝∩｛x＞0｝，而｛2ex－1≤0｝∩｛x≤0｝=｛x≤－ln2｝∩｛x≤0｝=｛x≤－ln2｝，｛x2－1≤0｝∩｛x＞0｝={－1≤x≤1)∩｛x＞0｝=｛0＜x≤1｝．②當g(x)＞0時，即｛2ex－1＞0｝∩{x≤0}或｛x2－1＞0｝∩{x＞0)，而｛2ex－1＞0｝∩｛x≤0｝=｛x＞－ln2｝∩｛x≤0｝=｛－ln2＜x≤0｝，｛x2－1＞0｝∩｛x＞0｝=｛x＞1或x＜－1｝∩｛x＞0｝=｛x＞1｝．知識點解析：暫無解析15、(1)求函數(shù)f(x)=的表達式，x≥0；(2)討論函數(shù)f(x)的連續(xù)性．標準答案：(1)所以f(x)在[0，+∞)上連續(xù)．知識點解析：暫無解析16、求標準答案：因為知識點解析：暫無解析17、求下列極限．標準答案：(1)當x→0時，tanx～x，(2)當x→0時，sinx～x，ex－e－x=e－x(e2x－1)～2x，故原極限=2．(3)當x→0時，ln(1+x4)～x4，(4)這是“1∞”型極限，可用公式來計算，事實上lnu=ln[1+(u－1)]～u－1(u→1)．故原式=(5)這是“∞—∞”型未定式極限，首先通分變成型未定式，然后使用洛必達法則求極限．或利用等價無窮小ex－1～x(當x→0)代換，則(6)是“1∞”型極限，可以使用洛必達法則求極限，也可以湊成第二個重要極限，還可以利用等價無窮小代換．知識點解析：暫無解析18、設f(x)=x2+ax+b，證明：｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一個不小于2．標準答案：用反證法．設｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜都小于2.即｜f(1)｜=｜a+b+1｜＜2，｜f(3)｜=｜3a+b+9｜＜2，｜f(5)｜=｜5a+b+25｜＜2，則｜f(1)－2f(3)+f(5)｜≤｜f(1)｜+2｜f(3)｜+｜f(5)｜＜2+2×2+2=8．而事實上，｜f(1)－2f(3)+f(5)｜=｜a+b+1-6a-2b-18+5a+b+25｜=8，與上面結論矛盾，故｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一個不小于2．知識點解析：暫無解析19、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析20、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析21、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析22、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析23、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析24、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析25、求極限標準答案：為了在使用洛必達法則時使求導變得簡單，先做變量代換，令t=，從而原式=知識點解析：暫無解析26、求極限標準答案：此題為型未定式，若用洛必達法則，則連續(xù)使用完兩次法則，又回到了原點，法則失敗，正確的做法是先對式子恒等變形，分子分母同乘e－x，知識點解析：暫無解析27、求極限標準答案：原極限=知識點解析：暫無解析28、求極限，ai＞0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2．標準答案：知識點解析：暫無解析29、求極限標準答案：設函數(shù)y=sint，在內可導，滿足拉格朗日中值定理的條件．故知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、當x→0時，下列無窮小中，哪個是比其他三個更高階的無窮小()．A、x2B、1一cosxC、D、x一tanx標準答案：D知識點解析：暫無解析2、設f(x)=∫01一cosxsint2dt，g(x)=，則當x→0時，f(x)是g(x)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標準答案：B知識點解析：所以f(x)是g(x)的高階無窮小，選(B)．3、設f(x)=則x=0是f(x)的()．A、連續(xù)點B、第一類間斷點C、第二類間斷點D、不能判斷連續(xù)性的點標準答案：B知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、設a＞0，且則a=________，b=________。標準答案：1；4．知識點解析：5、=________．標準答案：知識點解析：6、=________．標準答案：1．知識點解析：7、當x→0時，3x一4sinx+sinrcosx與xn為同階無窮小，則n=________。標準答案：5．知識點解析：8、=________．標準答案：知識點解析：9、設x→0時，lncosax～一2xb(a＞0)，則a=________，b=________。標準答案：2；2．知識點解析：暫無解析10、設f(x)連續(xù)，且F(x)==________．標準答案：a2f(a)．知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、求標準答案：知識點解析：暫無解析12、求標準答案：知識點解析：暫無解析13、求標準答案：知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、標準答案：因為當x→0時，ex2一1～x2，xln(1+2x)～2x2，所以知識點解析：暫無解析17、設標準答案：因為x→0時，所以知識點解析：暫無解析18、設f(x)連續(xù)，且=e3，且f’(0)存在，求f’(0)．標準答案：知識點解析：暫無解析19、求標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：所以原式=a1a2…an．知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、確定常數(shù)a，b，c的值，使得當x→0時，ex(1+bx+cx2)=1+ax+o(x3)．標準答案：由ex=1+x++o(x3)，得ex(1+bx+cx2)=[1+x++o(x3)](1+bx+cx2)=1+(b+1)x+(b+c+)x2+()x3+o(x3)+o(x3)，所以b+1=a，b+c+知識點解析：暫無解析23、設，求a，b，c，d的值．標準答案：所以a，b，c，d滿足的條件是a=一2d，c=一1，b取任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析24、設a1=1，an+1+=0，證明：數(shù)列(an)收斂，并求標準答案：先證明{an}單調減少．a2=0，a2＜a1；設ak+1＜ak，ak+2=由ak+1＜ak得1一ak+1＞1一ak，從而即ak+2＜ak+1，由歸納法得數(shù)列{an}單調減少．現(xiàn)證明an≥由極限存在準則，數(shù)列{an}收斂，設an=A，對an+1+=0兩邊求極限得知識點解析：暫無解析25、討論函數(shù)f(x)=(x＞0)的連續(xù)性．標準答案：當x∈(0，e)時，f(x)=當x=e時，f(e)=1，當x＞e時，f(x)=故f(x)=因為f(e—0)=f(e)=f(e+0)=1，所以f(x)在x＞0處處連續(xù)．知識點解析：暫無解析26、設f(x)=，試補充定義使得f(x)在上連續(xù)．標準答案：因為所以令f(1)=，則f(x)在上連續(xù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、已知=0，其中a，b是常數(shù)，則A、a=1，b=1．B、a=-1，b=1．C、a=1，b=-1．D、a=1，b=1．標準答案：C知識點解析：這是從已知極限值去確定函數(shù)式中的待定常數(shù)．可通過直接計算，導出式中的常數(shù)昕滿足的方程組，然后解出a和b．作為選擇題，也可把四個選項中的各組常數(shù)值代人，看哪一組常數(shù)可以使極限為零，這種解法留給讀者自己完成．由得1-a=0，a+b=0，即a=1，b=-1．故選(C)．2、若當x→0時etanx-ex與xn是同階無窮小，則n為A、1．B、2．C、3．D、4標準答案：C知識點解析：因為由此可得n=3．故選(C)．3、設有定義在(-∞，+∞)上的函數(shù)：其中在定義域上連續(xù)的函數(shù)是______；A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：當x＞0與x＜0時上述各函數(shù)分別與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．從而只需再考察哪個函數(shù)在點x=0處連續(xù)．注意列若f(x)=其中g(x)在(-∞，0]連續(xù)，h(x)在[0，+∞)連續(xù)．因當x∈(-∞，0]時f(x)=g(x)f(x)在x=0左連續(xù)．若又有g(0)=h(0)，則f(x)=h(x)在x∈[0，+∞)上成立．于是f(x)在x=0右連續(xù)．因此f(x)在x=0連續(xù)．(B)中的函數(shù)g(x)滿足：sin｜x=0=(cosx-1)｜x=0，又sinx，cosx-1均連續(xù)，故g(x)在x=0連續(xù)．因此，(B)中的g(x)在(-∞，+∞)連續(xù)．應選(B)．4、設有定義在(-∞，+∞)上的函數(shù)：以x=0為第二類間斷點的函數(shù)______．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：關于(A)：由于故x=0是f(x)的第一類間斷點(跳躍間斷點)．關于(C)：由于故x=0是h(x)的第一類間斷點(可去間斷點)．已證(B)中g(x)在x=0連續(xù)．因此選(D)．我們也可直接考察(D)．由于故x=0是m(x)的第二類間斷點．5、在函數(shù)A、①．B、②．C、③．D、①②③④．標準答案：D知識點解析：對于①：由于綜上分析，應選(D)．6、極限A、等于B、等于C、等于e-6．D、不存在．標準答案：A知識點解析：注意到故原極限=，應選(A)．7、設A、2．B、4．C、6．D、8標準答案：C知識點解析：由于故選(C)．8、設f(x)在x=a連續(xù)，φ(x)在x=a間斷，又f(a)≠0，則A、φ[f(x)]在x=a處間斷．B、f[φ(x)]在x=a處間斷．C、[φ(x)]2在x=a處間斷．D、在x=a處間斷．標準答案：D知識點解析：反證法．若在x=a連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的四則運算法則可得φ(x)=必在x=a連續(xù)，與假設φ(x)在x=a間斷矛盾，從而必在x=a間斷．故選(D)．9、“f(x)在點a連續(xù)”是｜fx)｜在點a處連續(xù)的()條件．A、必要非充分B、充分非必要C、充分必要D、既非充分又非必要標準答案：B知識點解析：由｜｜f(x)｜-｜f(a)｜｜≤f(x)-f(a)｜可知當f(x)在x=a連續(xù)可推知｜f(x)｜在x=a連續(xù)；而由f(x)=∈(-∞，+∞))成立，從而｜f(x)｜在x=a連續(xù)，但f(x)卻在x=a間斷．以上討論表明“f(x)在點a連續(xù)”是｜f(x)｜在點a處連續(xù)的充分非必要的條件．應選(B)．10、設數(shù)列{xn}，{yn}滿足=0，則下列正確的是A、若{xn}發(fā)散，則{yn}必發(fā)散．B、若{xn}無界，則{yn}必有界．C、若{xn}有界，則{yn}必為無窮小．D、若為無窮小，則{yn}必為無窮?。畼藴蚀鸢福篋知識點解析：由已知條件高階的無窮小量，即(D)正確．11、f(x)=xsinxA、在(-∞，+∞)內有界．B、當x→∞時為無窮大．C、在(-∞，+∞)內無界．D、當x→∞時有極限．標準答案：C知識點解析：設xn=nπ(n=1，2，3，…)，則f(xn)=0(n=1，2，3，…)；設yn=2nπ+(n=1，2，3，…)，則f(yn)=2nπ+(n=1，2，3，…)．這表明結論(A)，(B)，(D)都不正確，而(C)正確．12、函數(shù)f(x)=在下列哪個區(qū)間內有界．A、(-1，0)B、(0，1)C、(1，2)D、(2，3)標準答案：A知識點解析：注意當x∈(-1，0)時有這表明f(x)在(-1，0)內有界．故應選(A)．13、若當x→∞時，，則a，b，c的值一定為A、a=0，b=1，c為任意常數(shù)．B、a=0，b=1，c=1．C、a≠0，b，c為任意常數(shù)．D、a=1，b=1，c=0．標準答案：C知識點解析：故應選(C)．14、設f(x)=，則下列結論錯誤的是A、x=1，x=0，x=-1為間斷點．B、x=0為可去間斷點。C、x=-1為無窮間斷點．D、x=0為跳躍間斷點．標準答案：B知識點解析：計算可得由于f(0+0)與f(0-0)存在但不相等，故x=0不是f(x)的可去間斷點．應選(B)．15、把當x→0+時的無窮小量α=tanx-x，β=排列起來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．標準答案：C知識點解析：因即當x→0+時α是比β高階的無窮小量，α與β應排列為β，α．故可排除(A)與(D).又因即當x→0+時γ是較α高階的無窮小量，α與γ應排列為α，γ．可排除(B)，即應選(C).二、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)16、設f(x)在[0，+∞)連續(xù)，且滿足標準答案：先作恒等變形轉化為求型未定式，然后用洛必達法則．知識點解析：暫無解析17、設f(x)可導，且f(0)=0．f’(0)≠0，求w=標準答案：此極限是型未定式．由洛必達法則可得知識點解析：暫無解析18、已知，求常數(shù)a≥0與b的值．標準答案：本題是型未定式．用洛必達法則，并結合等價無窮小因子替換可求得w．設，當a＞0時f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)；當a=0時f(x)在x≠0有定義，且，補充定義f(0)=0，則f(x)=x｜x在(-∞，+∞)上連續(xù)．從而，當a≥0時可導，且用洛必達法則求極限，對a=0有由此可見必有a＞0，這時知識點解析：暫無解析19、確定常數(shù)a，b，c的值，使標準答案：由于當x→0時對常數(shù)a，b都有ax2+bx+1-e-2x→0，又已知分式的極限不為零，所以當x→0時必有分母，故必有c=0．由于故必有a=4．綜合得a=4，b=-2，c=0．知識點解析：暫無解析20、設(Ⅰ)f(x)=求f(x)，g(x)．標準答案：(Ⅰ)需要對參數(shù)x用夾逼定理分段進行討論．知識點解析：暫無解析21、求下列數(shù)列極限：標準答案：(Ⅰ)先用等價無窮小因子替換：現(xiàn)把它轉化為函數(shù)極限后再用洛必達法則即得知識點解析：暫無解析22、當x→0時下列無窮小是x的n階無窮小，求階數(shù)n：標準答案：(Ⅰ)～x4-2x2～-2x。(x→0)，即x→0時是x的2階無窮小，故n=2．(Ⅱ)(1+tan2x)sinx-1～ln[(1+tan2x)sinx-1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x.x2=x3(x→0)，即當x→0時(1+tan2x)sinx-1是x的3階無窮小，故n=3．知識點解析：暫無解析23、設函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內具有一階連續(xù)導數(shù)，且f(0)≠0，f’(0)≠0，若af(x)+bf(2h)-f(0)當h→0時是比h高階的無窮小，試確定a、b的值標準答案：由題設條件知[af(h)+bf(2h)-f(0)]=(a+b-1)f(0)=0．由于f(0)≠0，故必有a+b-1=0．利用a+b=1和導數(shù)的定義，又有=af’(0)+2bf’(0)=(a+2b)，f’(0)=(1+b)f’(0)．因f’(0)≠0，故1+b=0，即b=-1．于是a=2，b=-1．知識點解析：暫無解析24、試確定a和b的值，使f(x)=有無窮間斷點x=0，有可去間斷點x=1．標準答案：為使x=0為f(x)的無窮間斷點，必須有，因而a=0，b≠1．將a=0代入上面極限式中，為使x=1是f(x)的可去間斷點，必須有綜合即得a=0．b=e．知識點解析：暫無解析25、設f(x)=試確定常數(shù)a，使f(x)在x=0處右連續(xù)．標準答案：由題意a=利用當x→0+時的等價無窮小關系ln(1-x)～-x可得所以A=e0=1．知識點解析：暫無解析26、設f(x)是在(-∞，+∞)上連續(xù)且以T為周期的周期函數(shù)，求證：方程f(x)-的閉區(qū)間上至少有一個實根．標準答案：由f(x)的周期性，有知識點解析：考慮輔助函數(shù)F(x)=f(x)-上必有零點．27、設f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，存在極限．證明：(Ⅰ)設A＜B，則對∈(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(-∞，+∞)上有界．標準答案：利用極限的性質轉化為有界區(qū)間的情形．(Ⅰ)由=A＜μ及極限的不等式性質可知，使得f(X1)＜μ．由使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]連續(xù)，f(X1)＜μ＜f(X2)，由連續(xù)函數(shù)介值定理知(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ．(Ⅱ)因，由存在極限的函數(shù)的局部有界性定理可知，，使得當x∈(-∞，X1)時f(x)有界；(＞X1)，使得當x∈(X2，+∞)時f(x)有界．又由有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理即可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(-∞，+∞)上有界．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、函數(shù)f(x)=xsinx()A、在(－∞，+∞)內無界B、在(－∞，+∞)內有界C、當x→∞時為無窮大D、當x→∞時極限存在標準答案：A知識點解析：對于任意給定的正數(shù)M，總存在著點，使｜f(xn)｜=＞M，故f(x)在(－∞，+∞)內無界．(C)錯，對于任意給定的正數(shù)M，無論x取多么大的正數(shù)，總有xn=｜2nπ｜＞x(只要｜n｜＞)，使f(xn)=xnsinxn=0＜M，故當x→∞時f(x)不是無窮大．千萬不要將無窮大與無界混為一談．2、極限=A≠0的充要條件是()A、a＞1B、a≠1C、a＞0D、與a無關標準答案：B知識點解析：3、設當x→x0時，f(x)不是無窮大，則下述結論正確的是()A、設當x→x0時，g(x)是無窮小，則f(x)g(x)必是無窮小B、設當x→x0時，g(x)不是無窮小，則f(x)g(x)必不是無窮小C、設在x=x0的某鄰域g(x)無界，則當x→x0時，f(x)g(x)必是無窮大D、設在x=x0的某鄰域g(x)有界，則當x→x0時，f(x)g(x)必不是無窮大標準答案：D知識點解析：設f(x)=，當x→0時為無界變量，不是無窮大．令g(x)=x，當x→0時為無窮小，可排除(A)．設x→0時，令f(x)=x2，g(x)=可排除(B)，(C)．4、設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且f(x)在點x0處間斷，則在點x0處必定間斷的函數(shù)為()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜標準答案：B知識點解析：方法一若f(x)+sinx在點x0處連續(xù)，則f(x)=[f(x)+sinx]－sinx在點x0處也連續(xù)，與已知矛盾．方法二排除法．設則f(x)在點x=0處間斷，f(x)sinx=0在x=0處續(xù)．若設f(x)在點x=0處間斷，但f2(x)=1，｜f(x)｜=1在x=0處都連續(xù)．故可排除(A)，(C)，(D)．5、設當x→x0時，α(x)，β(x)(β(x)≠0)都是無窮小，則當x→x0時，下列表達式中不一定為無窮小的是()A、B、α2(x)+β2(x)C、ln[1+α(x).β2(x)]D、｜α(x)｜+｜β(x)｜標準答案：A知識點解析：有限個無窮小的和、差、積、絕對值還是無窮小量．6、設當x→0時，etanx－ex與xn是同階無窮小，則n為()A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：則n=3時，C=7、當x→0時，f(x)=x－sinax與g(x)=x2ln(1－bx)是等價無窮小，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：故a=1，b=二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、=___________．標準答案：e6知識點解析：9、=_________．標準答案：知識點解析：10、=_________．標準答案：知識點解析：11、=_________．標準答案：e6知識點解析：12、極限=_________．標準答案：2知識點解析：13、設=β＞0，則α，β的值分別為__________．標準答案：知識點解析：原式=三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)14、求極限，a＞0．標準答案：原極限等價于求令f(t)=arctant，t∈，由拉格朗日中值定理可得知識點解析：暫無解析15、設=A(a＞0，a≠1)，求．標準答案：因為，又x→0時，這樣～Axlna+αxlna～Axlna(x→0)，所以1+～aAx，因此f(x)～(aAx－1)sinx～Axlnasinx，于是得到知識點解析：暫無解析16、已知存在，且求f(x)．標準答案：知識點解析：暫無解析17、設f(x)是三次多項式，且有標準答案：因為所以f(2a)=f(4a)=0，從而得知x－2a，x－4a為f(x)的因式．又因為f(x)為三次多項式，可令f(x)=b(x－2a)(x－4a)(x－c)．于是知識點解析：暫無解析18、設=5，求a，b的值．標準答案：因為sinx(cosx－b)=0，所以－a=0，故a=1．又所以b=－4．知識點解析：暫無解析19、設=10,試求α，β的值．標準答案：顯然由條件知β≠0，而因此有α－β+1=0，且知識點解析：暫無解析20、確定常數(shù)a和b的值，使標準答案：ln(1+x)=x－+o(x2)，于是ln(1－2x+3x2)=－2x+3x2－(－2x+3x2)2+o(x2)=－2x+x2+o(x2)，代入即得知識點解析：暫無解析21、設函數(shù)f(x)=(x＞0)，證明：存在常數(shù)A，B，使得當x→0+時，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常數(shù)A，B．標準答案：知識點解析：暫無解析22、求標準答案：知識點解析：暫無解析23、已知=D≠0．求常數(shù)A，B，C，D．標準答案：知識點解析：暫無解析24、求標準答案：先看設t=，當x→+∞時，t→0+，有知識點解析：暫無解析25、已知數(shù)列｛xn｝的通項xn=，求標準答案：]因為=1，故由夾逼準則有=1．知識點解析：暫無解析26、設a1=2，(n=1，2，…)，證明：存在并求其極限值．標準答案：因為an+1==1，所以｛an｝有下界．下面再證明｛an｝單調遞減．即an+1≤an，所以，則A=1，A=－1(舍去)．知識點解析：暫無解析27、設x1=1，xn+1=1+(n=1，2，…)，求標準答案：x2=1+＞x1．假設xn＞xn－1，則即xn+1＞xn，由數(shù)學歸納法可知對一切n，都有xn+1＞xn．又xn+1=＜2，所以｛xn｝單調增加且有上界，｛xn｝必收斂．記=a，對等式xn+1=1+兩邊取極限，得a=1+，即a2－a－1=0．解得a=，因xn≥1，故負值不合題意，于是知識點解析：暫無解析28、如果數(shù)列｛xn｝收斂，｛yn｝發(fā)散，那么｛xnyn｝是否一定發(fā)散?如果｛xn｝和｛yn｝都發(fā)散，那么｛xnyn｝的斂散性又將如何?標準答案：在題設兩種情況下，｛xnyn｝的斂散性都不能確定．現(xiàn)在先就｛xn｝收斂，｛yn｝發(fā)散的情況來分析．利用yn=(xn≠0)這個恒等式，就可得到下述結論：若｛xn｝收斂且不收斂于零，｛yn｝發(fā)散，則｛xnyn｝必發(fā)散．這是因為若｛xnyn｝收斂，且又｛xn｝收斂而極限不等于零，則從上述恒等式及極限相除法則，可知｛yn｝收斂，這與假設矛盾．若=0，且｛yn｝發(fā)散，則｛｛xn｝yn｝可能收斂，也可能發(fā)散，如：①xn=，yn=n，則xnyn=1，于是｛xnyn｝收斂．②xn=，yn=(－1)nn，則xnyn=(－1)n，于是｛xnyn｝發(fā)散．現(xiàn)在再就｛xn｝和｛yn｝都發(fā)散的情況來分析｛xnyn｝的斂散性．有下面的結論：若｛xn｝和｛yn｝都發(fā)散，且兩者至少有一個是無窮大，則｛xnyn｝必發(fā)散．這是因為如果｛xnyn｝收斂，而｛xn｝為無窮大，從等式y(tǒng)n=便得到｛yn｝收斂于零，這與假設矛盾．若｛xn｝和｛yn｝都不是無窮大且都發(fā)散，則｛xnyn｝可能收斂，也可能發(fā)散，如③xn=yn=(－1)n，有xnyn=1，于是｛xnyn｝收斂．④xn=(－1)n，yn=1－(－1)n，有xnyn=(－1)n－1，于是｛xnyn｝發(fā)散．知識點解析：暫無解析29、分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)，若正確，試證之；若不正確，試說明它們之間的關系?標準答案：不正確．初等函數(shù)是指由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復合步驟所得到的，并用一個式子表示的函數(shù)．分段函數(shù)雖用幾個表達式表示，但并不能說肯定不能用一個表達式表示，因此，分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是初等函數(shù)，如φ(x)=｜x｜，通常寫成分段函數(shù)的形式但也可以寫成一個表達式｜x｜=，所以函數(shù)φ(x)=｜x｜是初等函數(shù)．而，則不是初等函數(shù)．知識點解析：暫無解析30、求標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)1、下列函數(shù)在其定義域內連續(xù)的是A、f(x)=nx+sinxB、C、D、標準答案：A知識點解析：由于f(x)=lnx+sinx為初等函數(shù)，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間內處處連續(xù)，則應選A．2、設f(x)=2x+3x一2，則當x→0時A、f(x)是x等價無窮?。瓸、f(x)與x是同階但非等價無窮?。瓹、f(x)是比x更高階的無窮小D、f(x)是比x較低階的無窮?。畼藴蚀鸢福築知識點解析：由于則應選B．3、設函數(shù)f(x)=xtanxesinx，則f(x)是A、偶函數(shù)B、無界函數(shù)C、周期函數(shù)D、單調函數(shù)標準答案：B知識點解析：由于，則f(x)無界．4、下列各式中正確的是A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：所以,不能選C．又所以，也不能選D．而則應選A，不能選B．5、當x→0時，下列四個無窮小量中，哪一個是比其它三個更高階的無窮小量?A、x2B、1一cosxC、D、x—tanx標準答案：D知識點解析：由于x→0時，是同階無窮小，則應選D．6、設函數(shù)討論函數(shù)f(x)的間斷點，其結論為A、不存在間斷點．B、存在間斷點x=1．C、存在間斷點x=0．D、存在間斷點x=一1．標準答案：B知識點解析：由此可知x=1為間斷點．7、設對任意的x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且A、存在且等于零．B、存在但不一定為零．C、一定不存在．D、不一定存在．標準答案：D知識點解析：排除法．顯然φ(x)≤f(x)≤g(x)．且此時，故A和C都不正確，實際上不一定存在．例如令顯然φ(x)、f(x)和g(x)均滿足條件，但，故D為正確答案．8、函數(shù)在下列哪個區(qū)間內有界：A、(一1，0)B、(0，1)C、(1，2)D、(2，3)標準答案：A知識點解析：顯然在(一1，0)上連續(xù)，又存在，則f(x)在(-1，0)上有界．故應選A．9、設f(x)在(一∞，+∞)內有定義，且則A、x=0必是g(x)的第一類間斷點．B、x=0必是g(x)的第二類間斷點．C、x=0必是g(x)的連續(xù)點．D、g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關．標準答案：D知識點解析：由于，則若a=0，則g(x)在點x=0處連續(xù)；若a≠0，則g(x)在點x=0處連續(xù)．故應選D．10、當x→0+時，與等價的無窮小量是A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：直接法則應選B．11、設函數(shù)f(x)在區(qū)間[一1，1]上連續(xù)，則x=0是函數(shù)的A、跳躍間斷點．B、可去間斷點．C、無窮間斷點．D、振蕩間斷點．標準答案：B知識點解析：直接法．則x=0為g(x)的可去間斷點．12、當x→0時，f(x)=x—sinax與g(x)=x2n(1一bx)是等價無窮小，則A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：由于當x→0時，f(x)=x—sinax與y(x)=x2ln(1一bx)是等價無窮小，則故應選A．13、函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為A、1．B、2．C、3．D、無窮多個．標準答案：C知識點解析：當x=k(k=0，±1，±2，…)時，sinnx=0，則這些點都是f(x)的間斷點．而當x=0，±1時，x—x3=0．又則x=0，x=±1為f(x)的可去間斷點，其余均為無窮間斷點．故應選C．14、若則a等于A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：C知識點解析：則a=215、設f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=，則當x充分大時有A、g(x)＜h(x)＜f(x)．B、h(x)＜g(x)＜f(x)．C、f(x)＜g(x)＜h(x)．D、g(x)＜f(x)＜h(x)．標準答案：C知識點解析：由于則當x充分大時，g(x)＞f(x)，故應選C．16、已知當x→0時，函數(shù)f(x)=3sinx—sin3x與cxk是等價無窮小，則A、k=1，c=4．B、k=1，c=一4．C、k=3，c=4．D、k=3，c=一4．標準答案：C知識點解析：17、當x→0時，用“o(x)”表示比x高階的無窮小，則下列式子中錯誤的是A、x.o(x2)=o(x3)．B、o(x).o(x2)=o(x3)．C、o(x2)+o(x2)=o(x2)．D、o(x)+o(x2)=o(x2)．標準答案：D知識點解析：若取o(x)=x2，則故應選D．18、函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：C知識點解析：在x=一1，0，1處沒定義．則x=0和x=1為可去間斷點，故應選C．19、設且a≠0，則當n充分大時有A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：直接法：由則當n充分大時有故應選A．20、設p(x)=a+bx+cx+dx2當x→0時，若p(x)一tanx是比x3高階的無窮小，則下列結論中錯誤的是A、a=0B、b=1C、c=0D、標準答案：D知識點解析：則a=0，b=1，c=0，，故應選D．21、設{xn}是數(shù)列．下列命題中不正確的是A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)22、=_________.標準答案：知識點解析：23、設常數(shù)=___________.標準答案：知識點解析：由于24、若，則a=___________，b=__________．標準答案：a=1，b=一4．知識點解析：當a=1時，又1一b=5，則b=一4．25、極限=__________.標準答案：2知識點解析：由于當x→∞時，．則26、=_____________.標準答案：1知識點解析：27、=_______________.標準答案：0知識點解析：由于28、設函數(shù)，在(一∞，+∞)內連續(xù)，則c=____________．標準答案：1知識點解析：顯然f(x)是偶函數(shù)，可能的閥斷點是x=±c，只要在x=c處連續(xù)則處處連續(xù)，令解得c=1則c=1時f(x)在(一∞，+∞)上處處連續(xù)．29、=____________.標準答案：知識點解析：這是“1∞”型極限，由于30、=______________.標準答案：知識點解析：31、=__________.標準答案：知識點解析：暫無解析32、設函數(shù)f(x)=ax(a＞0，a≠1)，則=____________。標準答案：271知識點解析：暫無解析33、已知當x→0時，與cosx一1是等價無窮小，則常數(shù)a=__________．標準答案：知識點解析：暫無解析34、已知在x=0處連續(xù)，則a=________．標準答案：知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)35、標準答案：非知識點解析：由于所以應填非．36、求標準答案：知識點解析：暫無解析37、若均存在，則存在．標準答案：非知識點解析：取x0=0，f(x)=x，但不存在．38、求標準答案：知識點解析：暫無解析39、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析40、極限標準答案：2知識點解析：41、求極限其中n為給定的自然數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析42、計算標準答案：知識點解析：暫無解析43、標準答案：知識點解析：44、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析45、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析46、當x→0時，1一cosx.eos2x.eos3x與axn為等價無窮小，求n與a的值．標準答案：由題設知故a=7．當n≠2時，顯然不合題意．所以a=7，n=2．知識點解析：暫無解析47、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析48、設函數(shù)f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3．若f(x)與g(x)在x→0時是等價無窮小，求a，b，k的值．標準答案：知識點解析：暫無解析49、設，f[φ(x)]=1一x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定義域．標準答案：知識點解析：暫無解析50、標準答案：知識點解析：暫無解析51、標準答案：2知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設函數(shù)在(一∞，+∞)內連續(xù)，且，則常數(shù)a，b滿足()A、a＜0，b＜0．B、a＞0，b＞0．C、a≤0，b＞0．D、a≥0，b＜0．標準答案：D知識點解析：因f(x)連續(xù)，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可．再由可知x→一∞時，a+ebx必為無窮大(否則極限必不存在)，此時需b＜0，故選D．2、設F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，“”表示“M的充分必要條件是N”，則必有()A、F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．B、F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．C、F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù)．D、F(x)是單調函數(shù)f(x)是單調函數(shù)．標準答案：A知識點解析：原函數(shù)可表示為F(x)=∫0xf(t)dt+C，且F’(x)=f(x)．當F(x)為偶函數(shù)時，有F(一x)=F(x)，于是F’(一x).(一1)=F’(x)，即一f(一x)=f(x)，也即f(一x)=一f(x)，可見f(x)為奇函數(shù)；若f(x)為奇函數(shù)，則∫0xf(t)dt為偶函數(shù)，從而F(x)=∫0xf(t)dt+C為偶函數(shù)，可見A為正確選項．本題也可以選取一些特殊的函數(shù)對其他選項進行排除．3、設函數(shù)f(x)=，則()A、x=0，x=1都是f(x)的第一類間斷點．B、x=0，x=1都是f(x)的第二類間斷點．C、x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點．D、x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點．標準答案：D知識點解析：由于函數(shù)f(x)在x=0，x=1點處無定義，因此是間斷點．且，所以x=0為第二類間斷點；所以x=1為第一類間斷點．故應選D．4、設f(x)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=0是其第一類間斷點，則∫0xf(t)dt是()A、連續(xù)的奇函數(shù)．B、連續(xù)的偶函數(shù)．C、在x=0處間斷的奇函數(shù)．D、在x=0處間斷的偶函數(shù)．標準答案：B知識點解析：用賦值法求解，取符合題意條件的特殊函數(shù)計算，如∫0xf(t)dt=|x|=它是連續(xù)的偶函數(shù)，故選B．5、當x→0+時，與等價的無窮小量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：本題為等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可．故用排除法可得正確選項為B．所以應選B．6、函數(shù)f(x)=在[一π，π]上的第一類間斷點是x=()A、0．B、1．C、D、標準答案：A知識點解析：先找出函數(shù)的無定義點，再根據(jù)左右極限判斷間斷點的類型．函數(shù)在x=0，x=1，均無意義．而且所以x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點，故應選A．7、設函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：本題考查可導的極限定義及連續(xù)與可導的關系．由于題設條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設條件的特殊函數(shù)f(x)去判斷，然后選出正確選項．如取f(x)=|x|，但f(x)在x=0不可導，故選D．8、判斷函數(shù)則f(x)有()A、1個可去間斷點，1個跳躍間斷點．B、1個可去間斷點，1個無窮間斷點．C、2個跳躍間斷點．D、2個無窮間斷點．標準答案：A知識點解析：當x=0，x=1時,f(x)無定義，故x=0，x=1是函數(shù)的間斷點．且所以x=0是可去間斷點，x=1是跳躍間斷點．9、設函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內單調有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是()A、若{xn}收斂，則{f(xn)}收斂．B、若{xn}單調，則{f(xn)}收斂．C、若{f(xn)}收斂，則{xn}收斂．D、若{f(xn)}單調，則{xn}收斂．標準答案：B知識點解析：因為f(x)在(一∞，+∞)內單調有界，且{xn}單調．所以{f(xn)}單調且有界．故{f(xn)}一定存在極限，即{f(xn)}一定收斂．10、設f(x)=則f(f(f(x)))等于()A、0．B、1．C、D、標準答案：B知識點解析：因為可知|f(x)|≤1，因此f(f(f(x)))=1．故選B．11、下列各題計算過程中正確無誤的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：A項錯誤，數(shù)列沒有導數(shù)概念，不能直接用洛必達法則．B項錯誤，是定式，不能用洛必達法則．C項錯誤，用洛必達法則求不存在，也不為∞，法則失效，不能推出原極限不存在，事實上該極限是存在的．故選D．12、設數(shù)列xn與yn滿足．則下列斷言正確的是()A、若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散．B、若xn無界，則yn必無界．C、若xn有界，則yn必為無窮?。瓺、若為無窮小，則yn必為無窮小．標準答案：D知識點解析：取xn=n，yn=0，顯然滿足，由此可排除A、B．若取xn=0，yn=n，也滿足，又排除C，故選D．13、設x→a時f(x)與g(x)分別是x一a的n階與m階無窮小，則下列命題中，正確的個數(shù)是()①f(x)g(x)是x一a的n+m階無窮?。廴鬾≤m，則f(x)+g(x)是x一a的n階無窮小．A、1．B、2．C、3．D、0．標準答案：B知識點解析：此類問題要逐一分析，按無窮小階的定義：對于①：故f(x)g(x)是(x一a)的n+m階無窮??；對于②：若n＞m，故f(x)/g(x)是(x一a)的n—m階無窮??；對于③：例如，x→0時，sinx與一x均是x的一階無窮小，但即sinx+(一x)是x的三階無窮?。虼刷?，②正確，③錯誤．故選B．14、以下極限等式(若右端極限存在，則左端極限存在且相等)成立的個數(shù)是()A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：D知識點解析：逐一分析，證明三項均成立．對于①：對于③：可直接證明,f1(x)一g1(x)～f2(x)一g2(x)(x→a)．故選D．15、設數(shù)列極限函數(shù)f(x)=，則f(x)的定義域I和f(x)的連續(xù)區(qū)間J分別是()A、I=(一∞，+∞)，J=(一∞，+∞)．B、I=(一1，+∞)，J=(一1，1)∪(1，+∞)．C、I=(一1，+∞)，J=(一1，+∞)．D、I=(一1，1)，J=(一1，1)．標準答案：B知識點解析：因此f(x)的定義域為I=(一1，+∞)．故f(x)的連續(xù)區(qū)間是J=(一1，1)∪(1，+∞)．16、把x→0+時的無窮小量排列起來，使排在后面的是前面一個的高階無窮小，則正確的排列次序是()A、α，β，γ．B、α，γ，β．C、β，α，γ．D、β，γ，α．標準答案：B知識點解析：因為所以當x→0+時，α是x的一階無窮小，β是x的三階無窮小，γ是x的二階無窮小，故選B．17、函數(shù)f(x)=的間斷點及類型是()A、x=1為第一類間斷點，x=一1為第二類間斷點．B、x=±1均為第一類間斷點．C、x=1為第二類間斷點，x=一1為第一類間斷點．D、x=±1均為第二類間斷點．標準答案：B知識點解析：分別就當|x|=1，|x|＜1，|x|＞1時，求極限得出f(x)的分段表達式所以，x=±1為f(x)的第一類間斷點，故選B．18、設f(x)在R上連續(xù)，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定義，且有間斷點，則下列陳述中正確的個數(shù)是()①φ[f(x))]必有間斷點．②[φ(x)]2必有間斷點．③f[φ(x)]沒有間斷點．A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：B知識點解析：①錯誤．舉例：設f(x)=ex，則φ[f(x)]=1在R上處處連續(xù)．②錯誤．舉例：則[φ(x)]2=9在R上處處連續(xù)．③正確．因為f(x)在R上連續(xù)，而φ(x)的取值必定在R上．因此選B．19、設對任意的x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，則A、存在且等于零．B、存在但不一定為零．C、一定不存在．D、不一定存在．標準答案：D知識點解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，顯然滿足φ(x)≤f(x)≤g(x)，且不存在，故A、B排除．再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同樣滿足φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，可見C不正確，故選D．20、設其中a2+c2≠0，則必有()A、b=4d．B、b=一4d．C、a=4c．D、a=一4c．標準答案：D知識點解析：當x→0時，由皮亞諾型余項的泰勒公式可知，tanx，ln(1—2x)均為x的一階無窮??；而1—cosx．均為x的二階無窮小，因此有二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)21、標準答案：知識點解析：22、標準答案：知識點解析：23、標準答案：知識點解析：運用洛必達法則，則有24、標準答案：知識點解析：因為25、設a＞0，a≠1，且則p=______標準答案：2知識點解析：26、標準答案：知識點解析：27、標準答案：知識點解析：28、標準答案：知識點解析：29、標準答案：1知識點解析：三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)30、已知求a,b的值．標準答案：原式可改寫成．由于該式成立，所以必有．即a=9．將a=9代入原式，并有理化得因此，b=一12，即a=9，b=一12．知識點解析：暫無解析31、求心形線r=a(1+cosθ)的全長，其中a＞0是常數(shù)．標準答案：因為r’(θ)=一asinθ，ds=，利用對稱性可知，所求的心形線的全長為知識點解析：暫無解析32、設f(x)連續(xù)，φ(x)=∫01f(xt)dt，且(A為常數(shù))，求φ’(x)并討論φ’(x)在x=0處的連續(xù)性．標準答案：已知(A為常數(shù))，則f(0)=0,f’’(0)=A，并且由已知得φ(0)=0．又因根據(jù)導數(shù)的定義，有因此，φ’(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析33、設數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)．標準答案：(1)因為0＜x1＜π，則0＜x2=sinx1≤1＜π．可推得0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，則數(shù)列{xn}有界．并且，(因當x＞0時sinx＜x)，則有xn+1＜xn，可見數(shù)列{xn}單調減少，故由單調減少有下界數(shù)列必有極限知，極限存在．令t=xn，則n→∞，t→0而知識點解析：暫無解析34、證明：(1)對任意正整數(shù)n，都有成立；(2)設an=(n=1，2，…)，證明{an}收斂．標準答案：先證明ln(1+x)＜x，x＞0．令f(x)=x—ln(1+x)．由于可知f(x)在[0，+∞]上單調遞增．又由于f(0)=0，因此當x＞0時,f(x)＞f(0)=0．也即ln(1+x)＞x，x＞0．可知g(x)在(0，+∞)上單調遞增．由于g(0)=0，因此當x＞0時，g(x)＞g(0)=0．即因此數(shù)列{an}是有界的．由單調有界收斂定理可知，數(shù)列{an}收斂．知識點解析：暫無解析35、設函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內連續(xù)，且有標準答案：由條件知于是有f(1)=0．又因為在x=0的某空心鄰域內f(x+1)+3sin2x≠0，現(xiàn)利用等價無窮小代換：當x→0時，ln[1+f(x+1)+3sin2x]一f(x+1)+3sin2x，知識點解析：暫無解析36、標準答案：知識點解析：暫無解析37、標準答案：知識點解析：暫無解析38、標準答案：知識點解析：暫無解析39、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、函數(shù)f(x)=|xsinx|ecosx，一∞＜x＜+∞是()．A、有界函數(shù)B、單調函數(shù)C、周期函數(shù)D、偶函數(shù)標準答案：D知識點解析：暫無解析2、設f(x)=，g(x)=∫0xsin2(x一t)dt，則當x→0時，g(x)是f(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價的無窮小D、等價無窮小標準答案：A知識點解析：暫無解析3、設y=f(x)由cos(xy)+lny一x=1確定，則=()A、2B、1C、一1D、一2標準答案：A知識點解析：暫無解析4、f(x)在[一1，1]上連續(xù)，則x=0是函數(shù)g(x)=的()．A、可去間斷點B、跳躍間斷點C、連續(xù)點D、第二類間斷點標準答案：A知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、設f(x)=slnx，f[φ(x)]=1一x2，則φ(x)=________，定義域為________。標準答案：arcsin(1一x2)，知識點解析：φ(x)=arcsin(1一x2)，6、=________．標準答案：1．知識點解析：7、=________．標準答案：知識點解析：8、=________．標準答案：知識點解析：9、=________．標準答案：知識點解析：10、若(cosx一b)=5，則a=________，b=________。標準答案：1；一4．知識點解析：11、設f(x)連續(xù)可導，f(0)=0且f’(0)=b，若在x=0處連續(xù)，則A=________。標準答案：a+b．知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)12、求標準答案：知識點解析：暫無解析13、求標準答案：知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、求標準答案：知識點解析：暫無解析16、標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、若標準答案：知識點解析：暫無解析19、設f(x)=∫0tanxarcta．t2dt，g(x)=x一sinx，當x→0時，比較這兩個無窮小的關系．標準答案：因為g(x)=x一sinx=x一所以當x→0時，f(x)=∫0tanxarctant2dt與g(x)=x一sinx是同階非等價的無窮小．知識點解析：暫無解析求下列極限：20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析26、標準答案：知識點解析：暫無解析27、設曲線y=xn在點(1，1)處的切線交x軸于點(ξn，0)，求標準答案：y=xn在點(1，1)處的切線方程為y一1=n(x一1)，令y=0得ξ=1一=e一2．知識點解析：暫無解析28、設求a，b的值．標準答案：由ln(1一2x+3x2)=(一2x+3x2)一+o(x3)=一2x+x2+o(x2)得則a=2，b+1=2，即a=2，b=1．知識點解析：暫無解析29、設an=，證明：(an)收斂，并求標準答案：顯然{an}單調增加，現(xiàn)證明：an≤3，當n=1時，a1=≤3，設n=k時，ak≤3，當n=k+1時，ak+1==3．由歸納法原理，對一切的自然數(shù)n，有an≤3，所以存在．令知識點解析：暫無解析30、討論函數(shù)的連續(xù)性．標準答案：當x≠0時，函數(shù)f(x)連續(xù)，f(0一0)==1，f(0)=1，x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點中的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析31、設f(x)=求f(x)的間斷點并判斷其類型．標準答案：當x=0及x=±1時f(x)間斷．由f(0一0)=0，f(0+0)=一∞得x=0為f(x)的第二類間斷點，由f(1一0)=得x=1為f(x)的第一類間斷點中的跳躍間斷點，同理x=一1也為f(x)的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、在中，無窮大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．標準答案：D知識點解析：本題四個極限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需討論極限要選擇該極限為+∞的，僅當n=3并取“+”號時，即選(D)．二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)2、設K，L，δ為正的常數(shù)，則=_____標準答案：KδL1-δ知識點解析：3、設f(x)=在x=0連續(xù)，則常數(shù)a與b滿足的關系是_______．標準答案：a=b知識點解析：對任何常數(shù)a和b，f(x)分別在(-∞，0]，(0，+∞)連續(xù)，且f(0)=0，f+(0)=b.故f(x)在x=0連續(xù)a=b．4、1+x2-當x→0時是石的_____階無窮小(填數(shù)字)．標準答案：4知識點解析：故當x→0時1+x2-是x的4階無窮?。蛴每芍錇閤的4階無窮?。?、已知=_____．標準答案：知識點解析：因6、=_______．標準答案：知識點解析：注意，當a＞1時7、=_______．標準答案：3知識點解析：本題屬“∞0”型未定式．數(shù)列極限不能直接用洛必達法則．如用，得先轉化成連續(xù)變量的極限，利用求得，但比較麻煩．事實上，恒等變形后可轉化為直接用冪指數(shù)運算法則的情形，即8、若=______．標準答案：5知識點解析：9、=_____標準答案：知識點解析：x-lnx.sinx=x-lnx.sinx→+∞，于是10、=______標準答案：1知識點解析：本題屬“00”型未定式，利用基本極限11、=_____標準答案：0知識點解析：當x＞0時，＜1，于是有12、設f(x)連續(xù)，且=______標準答案：6知識點解析：由積分中值定理知存在ξ∈[x，x+2]，可得13、設，則a=______，b=_________標準答案：知識點解析：利用洛必達法則可得又當a≠0時14、函數(shù)f(x)=的連續(xù)區(qū)間是______．標準答案：(-∞，1)∪(1，+∞)．知識點解析：初等函數(shù)(單一表達式)沒有定義的點(附近有定義)是間斷點；對分段函數(shù)的分界點，要用連續(xù)的定義予以討論．對非分界點，就不同段而言，在各自的區(qū)間內可以按初等函數(shù)看待．注意到x=0為分界點．因為又f(0)=3，因此=f(0)，即f(x)在x=0處連續(xù)．此外，由于函數(shù)f(x)在點x=1處無定義，因此x=1為f(x)的間斷點．于是所給函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-∞，1)∪(1，+∞)．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、求下列極限：標準答案：(9)屬1∞型極限．原極限=eJ，而(13)本題是∞-∞型未定式，提出無窮大因子x2后作變量替換x=，可得知識點解析：暫無解析16、設f(x)具有連續(xù)導數(shù)，且f(0)=0，f’(0)=6，求標準答案：由f(0)=0，f’(0)=6可得=f’(0)=6，從而知識點解析：暫無解析17、設f(x)=求常數(shù)A與k使得當x→0時f(x)與Axk是等價無窮小量．標準答案：因為故當x→0時f(x)的等價無窮小量是知識點解析：暫無解析18、討論下列函數(shù)的連續(xù)性并判斷間斷點的類型：標準答案：(Ⅰ)y=(1+x)arctan的定義域為(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)，由初等函數(shù)連續(xù)性知y分別在(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)內連續(xù)．因從而x=-1與x=1都是函數(shù)的第一類間斷點，其中x=-1是函數(shù)的可去間斷點，x=1是函數(shù)的跳躍間斷點．(Ⅱ)因顯然x=-1與x=1都是函數(shù)的第一類(跳躍)間斷點．(Ⅲ)由初等函數(shù)的連續(xù)性及y的定義可知，y分別在[-1，0)與(0，+∞)連續(xù)．又因故)，僅有x=0為第一類(可去)間斷點．(Ⅳ)先寫出f[g(x)]的表達式．考察g(x)的值域：當x≠1，2，5時f[g(x)]分別在不同的區(qū)間與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．當x=2，5時，分別由左、右連續(xù)得連續(xù)．當x=1時，從而x=1是f[g(x)]的第一類間斷點(跳躍間斷點)．知識點解析：暫無解析19、已知，求常數(shù)a＞0和b的值．標準答案：題目中的極限式可改寫為知識點解析：暫無解析20、設，試確定常數(shù)a，b的值．標準答案：由題設知利用(*)，一方面有另一方面，直接計算又有將a=-3代入(*)式，即得知識點解析：暫無解析21、設，求n及a的值．標準答案：由此可知n=2，a=-2e2．知識點解析：暫無解析22、證明：方程x=asinx+b(a＞0，b＞0為常數(shù))至少有一個正根不超過a+b．標準答案：引入函數(shù)f(x)=x-asinx-b，則f(x)=0的根即方程x=asinx+b的根．因f(0)=-b＜0，而f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]≥0．若f(a+b)=0，則x=a+b＞0便是f(x)=0的一個正根，若f(a+b)＞0，則由f(x)在[0，a+b]上的連續(xù)性可知，∈(0，a+b)，使f(ξ)=0．總之函數(shù)f(x)在(0，a+b]上至少有一個零點，即原方程至少有一個正根不超過a+b．知識點解析：暫無解析23、求證：ex+e-x+2cosx=5恰有兩個根．標準答案：引入函數(shù)f(x)=ex+e-x+2cosx-5，則f(x)是(-∞，+∞)上的連續(xù)偶函數(shù)，且f(0)=-1＜0，f’(x)=ex-e-x-2sinx，從而f’(0)=0．又f’’(x)=ex+e-x-2cosx=+2(1-cosx)＞0(＞0)成立，由此可見f’(x)當x≥0時單調增加，于是f’(x)＞f’(0)=0當x＞0時成立．這表明f(x)在x≥0是單調增加的．注意f(π)=eπ+e-π-7＞23-7=1＞0，故根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質可知f(x)=0在(0，π)內至少有一個根，結合f(x)在x≥0嚴格單調增加可知f(x)=0有且僅有一個正根．由f(x)為(-∞，+∞)上偶函數(shù)，f(x)=0還有且僅有一個負根．故方程ex+e-x+2cosx=5恰有兩個根．知識點解析：暫無解析24、設常數(shù)a＜b＜c，求證：方程在區(qū)間(a，b)與(b，c)內各有且僅有一個實根．標準答案：設函數(shù)=0的根．因函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(a，b)與(b，c)內可導，且這表明在區(qū)間(a，b)內f(x)的函數(shù)值從+∞單調減少到一∞，在區(qū)間(b，c)內f(x)的函數(shù)值也從+∞單調減少到-∞，故f(x)分別在(a，b)與(b，c)內有且僅有一個零點．即方程分別在(a，b)與(b，c)內有且僅有一個實根．知識點解析：暫無解析25、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，且a＜c＜d＜b．求證：存在ξ∈(a，b)，使pf(c)+qf(d)=(p+g)f(ξ)，其中p＞0，q＞0為任意常數(shù)．標準答案：利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、小值定理與介值定理證明本題．令由f(x)在[a，b]上連續(xù)，而[c，d][a，b]，可知f(x)在[c，d]上連續(xù)，于是存在即η是f(x)在[c，d]上的值域[m，M]上的一個值．由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、小值及介值定理可知，必存在ξ∈[c，d](a，b)使f(ξ)=η，即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)成立．知識點解析：暫無解析26、已知數(shù)列{xn}滿足：x0=25，xn=arctanxn-1(n=1，2,3，…)，證明{xn}的極限存在，并求其極限．標準答案：設f(x)=arctanx-x，則f(0)=0，所以f(x)單調減少，當x＞0時f(x)＜f(0)=0，即arctanx＜x，于是有xn=arctanxn-1＜xn-1由此可知，數(shù)列{xn}單調遞減．又x0=25，x1=arctan25＞0，…，且對每個n，都有xn＞0，根據(jù)極限存在準則即知存在．設=a，在xn+1=arctanxn兩邊取極限得a=arctana，所以a=0，即知識點解析：暫無解析27、設數(shù)列{xn}由遞推公式(n=1，2，…)確定，其中a＞0為常數(shù)，x0是任意正數(shù)，試證存在，并求此極限．標準答案：因a＞0，x0＞0，由xn的遞推式知xn＞0．又由算術平均值不小于幾何平均值知再由存在，設為l．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)1、函數(shù)f(x)=的有界區(qū)間()A、(一1，0)．B、(0，1)．C、(1，2)．D、(2，3)．標準答案：A知識點解析：當x≠0，1，2時,f(x)連續(xù)，而所以，函數(shù)f(x)在(一1，0)內有界，故選A．2、設f(x)在(一∞，+∞)內有定義，且A、x=0必是g(x)的第一類間斷點．B、x=0必是g(x)的第二類間斷點．C、x=0必是g(x)的連續(xù)點．D、g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關．標準答案：D知識點解析：因為又g(0)=0，故當a=0時，即g(x)在點x=0處連續(xù)；當a≠0時，即x=0是g(x)的第一類間斷點．因此，g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關，故選D．3、下列各式中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由重要極限結論可立即排除B、D．對于A、C選項，只要驗算其中之一即可．對于C選項，因，故C不正確，選A．4、設f’(x)在[a，b]上連續(xù)，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，則下列結論中錯誤的是()A、至少存在一點x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(a)．B、至少存在一點x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(b)．C、至少存在一點x0∈(a，b)，使得f’(x0)=0．D、至少存在一點x0∈(a，b)，使得f(x0)=0．標準答案：D知識點