考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷3（共254題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷3（共9套）（共254題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)D：x2+y2≤16，則｜x2+y2一4｜dxdy等于()．A、40πB、80πC、20πD、60π標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：選B．2、設(shè)D是xOy平面上以(1，1)，(一1，1)，(一1，一1)為頂點的三角形區(qū)域，D1為區(qū)域D位于第一象限的部分，則(xy+cosxsiny)dσ等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：令A(yù)(1，1)，B(0，1)，C(—1，一1)，D(一1，0)，E(一1，一1)，記三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE所在的區(qū)域分別記為D1，D2，D3，D4，3、設(shè)平面區(qū)域D：1≤x2+y2≤4，f(x，y)是區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr一∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫02rf(r2)dr—∫01rf(r2)dr]標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：，選A．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)4、(x2+xy一x)dxdy=__________，其中D由直線y=x，y=2x及x=1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：5、=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：6、=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：改變積分次序得7、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=xy+f(x，y)dσ，其中D由y=0，y=x2及x=1圍成，則f(x，y)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)f(x，y)在點(0，0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：2πf(0，0)知識點解析：三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)9、改變積分次序．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析10、改變積分次序．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析11、改變積分次序．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、改變積分次序并計算標(biāo)準(zhǔn)答案：改變積分次序得知識點解析：暫無解析13、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：改變積分次序得知識點解析：暫無解析15、把二重積分寫成極坐標(biāo)下的累次積分的形式(先r后θ)，其中D由直線x+y=1，x=1，y=1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、把寫成極坐標(biāo)的累次積分，其中D=((x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)連續(xù)，f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，則F(t)=∫02πdθ∫0trf(r2)dr=2π∫0trf(r2)dr，因為f(x)連續(xù)，所以F’(t)=2πtf(t2)且F’(0)=0，于是知識點解析：暫無解析18、計算及x軸和y軸圍成，其中a＞0，b＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)D是由點O(0，0)，A(1，2)及B(2，1)為頂點構(gòu)成的三角形區(qū)域，計算．標(biāo)準(zhǔn)答案：將區(qū)域向x軸投影，知識點解析：暫無解析20、求，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得知識點解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、計算二重積，其中D：x2+y2≤x+y+1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，a]上連續(xù)，在(0，a)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(0)=0，f"(x)＜0，則在(0，a]上()．A、單調(diào)增加B、單調(diào)減少C、恒等于零D、非單調(diào)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：，令h(x)=xf’(x)一f(x)，h(0)=0，h’(x)=xf"(x)＜0(0＜x≤a)，由，得h(x)＜0(0＜x≤a)，于是在(0，a]上為單調(diào)減函數(shù)，選B．2、設(shè)f(x)可導(dǎo)，則當(dāng)△x→0時，△y—dy是△x的()．A、高階無窮小B、等價無窮小C、同階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為f(x)可導(dǎo)，所以f(x)可微分，即△y=dy+0(△x)，所以△y—dy是△x的高階無窮小，選A．3、設(shè)函數(shù)則在點x=0處f(x)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D、導(dǎo)數(shù)連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：4、設(shè)，則在x=1處f(x)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但不是連續(xù)可導(dǎo)D、連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因=3=f(1)，所以f(x)在x=1處連續(xù)．因為，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．當(dāng)x≠1時，f’(x)=2x+1，因為=3=f’(1)，所以f(x)在x=1處連續(xù)可導(dǎo)，選D．5、若f(—x)=一f(x)，且在(0，+∞)內(nèi)f’(x)＞0，f"(x)＞0，則在(一∞，0)內(nèi)()．A、f’(x)＜0，f"(x)＜0B、f’(x)＜0，f"(x)＞0C、f’(x)＞0，f"(x)＜0D、f’(x)＞0，f"(x)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)，故在(一∞，0)內(nèi)有f’(x)＞0．因為f"(x)為奇函數(shù)，所以在(一∞，0)內(nèi)f"(x)＜0，選C．6、f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，f"(x)＜0，，則f(x)在(一∞，0)內(nèi)()．A、單調(diào)增加且大于零B、單調(diào)增加且小于零C、單調(diào)減少且大于零D、單調(diào)減少且小于零標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由，得f(0)=0，f’(0)=1，因為f"(x)＜0，所以f’(x)單調(diào)減少，在(一∞，0)內(nèi)f’(x)＞f’(0)=1＞0，故f(x)在(一∞，0)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，再由f(0)=0，在(一∞，0)內(nèi)f(x)＜f(0)=0，選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：10f(a)f’(a)知識點解析：因為f(x)在x=a處可導(dǎo)，所以f(x)在x=a處連續(xù)，=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．8、設(shè)f’(a)存在且不等于零，則=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且f’(1)=2，則=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)，10、設(shè)f(x)=，且f’(0)存在，則a=__________，b=__________，c=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：2；—2；2知識點解析：因為f(x)在x=0處可導(dǎo)，即f’+(0)=f’—(0)，故b=一2．11、設(shè)f(x)在x=2處可導(dǎo)，且，則f(2)=_______，f’(2)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2；8知識點解析：三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)12、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．證明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在[0，3]上連續(xù)，所以f(x)在[0，2]上連續(xù)，故f(x)在[0，2]取到最大值M和最小值m，顯然3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)=1．因為f(x)在[c，3]上連續(xù)，在(c，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(c)=f(3)=1，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，試證明存在ξ∈(a，b)使標(biāo)準(zhǔn)答案：令，φ(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且因為φ(a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以區(qū)間(a，b)內(nèi)必有g(shù)(x)＞0，從而就有知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(b)lnx—f(x)lnx+f(x)lna，φ(a)=φ(b)=f(b)lna．由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0．知識點解析：由一f’(x)lnx+f’(x)lna=0，或[f(b)lnx一f(x)lnx+f(x)lna]’=0，輔助函數(shù)為φ(x)=f(b)lnx一f(x)lnx+f(x)lna．15、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且g’(x)≠0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一f(x)g(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)一f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，所以知識點解析：這是含端點和含ξ的項的問題，且端點與含ξ的項不可分離，具體構(gòu)造輔助函數(shù)如下．把結(jié)論中的ξ換成x得，整理得f’(x)g(b)+f(a)g’(x)一f’(x)g(x)一f(x)g’(x)=0，還原得[f(x)g(b)+f(a)g(x)一f(x)g(x)]’=0，輔助函數(shù)為F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一f(x)g(x)．16、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ+(ξ一1)f(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=．因為φ(0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ(ξ)=0．而φ(x)=．知識點解析：17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)f(a)>0，f(b)>0，f()<0，令φ(x)=e—xf(x)，則φ’(x)=e—x[f’(x)一f(x)]．因為φ(a)>0，，使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ，ξ)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，即e—ξ[f’(ξ)=f(ξ)]=0，因為e—ξ≠0，所以f’(ξ)=f(ξ)．知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)，證明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(0)=f(1)，所以f’(ξ)=一f’(η)，即f’(ξ)+f’(η)=0．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=x2，F(xiàn)(x)=2x≠0(a＜x＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得，再由微分中值定理，存在車∈(口，多)，使得．知識點解析：暫無解析20、95．設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，連接點A(a，f(a))，B(b，f(b))的直線與曲線y=f(x)交于點C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因為點A，B，C共線，所以f’(ξ1)=f’(ξ2)，又因為f(x)二階可導(dǎo)，所以再由羅爾定理，存在ξ∈(ξ，ξ)(a，b)，使得f"(ξ)=0．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨設(shè)f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知識點解析：暫無解析22、設(shè)b＞a＞0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(t)=lnt，由微分中值定理得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)=，其中ξ∈(a，b)．因為0＜a＜ξ＜b，所以．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[a，b]上滿足｜f"(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)內(nèi)取到最小值．證明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在(a，b)內(nèi)取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)為f(x)在[a，b]上的最小值，從而f’(c)=0．由微分中值定理得兩式相加得｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[0，1]上二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，證明：｜f"(x)｜≤．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得知識點解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，且滿足條件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f"(x)＞g"(x)(x＞a)．證明：當(dāng)x＞a時，f(x)＞g(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)一g(x)，顯然φ(a)=φ’(a)=0，φ"(x)＞0(x＞a)．知識點解析：暫無解析26、證明：當(dāng)x＞0時，x2＞(1+x)ln2(1+x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x一ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)α～β(x→a)，則等于()．A、eB、e2C、1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：2、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0使得()．A、對任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B、對任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C、當(dāng)x∈(0，δ)時，f(x)為單調(diào)增函數(shù)D、當(dāng)x∈(0，δ)時，f(x)是單調(diào)減函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為f’(0)＞0，所以＞0，根據(jù)極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時，有＞0，即f(x)＞f(0)，選A．3、設(shè)f(x)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"+py’+qy=sin2x+2ex的滿足初始條件f(0)=f’(0)=0的特解，則當(dāng)x=0時，()．A、不存在B、等于0C、等于1D、其他標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：4、下列命題正確的是()．．A、若｜f(x)｜在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處連續(xù)B、若f(x)在x=a處連續(xù)，則｜f(x)｜在x=a處連續(xù)C、若f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a的一個鄰域內(nèi)連續(xù)D、若[f(a+h)一f(a一h)]=0，則f(x)在x=a處連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：令f(x)=，顯然｜f(x)｜≡1處處連續(xù)，然而f(x)處處間斷，A不對；令f(x)=顯然f(x)在x=0處連續(xù)，但在任意x=a≠0處函數(shù)f(x)都是間斷的，故C不對；令[f(0+h)一f(0一h)]=0，但f(x)在x=0處不連續(xù)，D不對；若f(x)在x=a處連續(xù)，則=f(a)，又0≤｜｜f(x)｜—｜f(a)｜｜≤｜f(x)一f(a)｜，根據(jù)夾逼定理，｜f(x)｜=｜f(a)｜，選B．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)5、設(shè)f’(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)=1，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：6、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(1)=1，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、設(shè)f(x)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，f’(0)≠0，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：8、設(shè)f(x)連續(xù)，且=________標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：9、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：當(dāng)x→0時，有11、設(shè)f(x)可導(dǎo)且f(x)≠0，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、設(shè)f(x)在x=0處連續(xù)，且=一1，則曲線y=f(x)在(2，f(2))處的切線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：13、當(dāng)x→0時，一1～cos2x一1，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-3知識點解析：14、設(shè)f(x)=在x=0處連續(xù)，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：15、設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識點解析：f(0+0)=，f(0)=f(0一0)=a，因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以a=一2。16、設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=________，b=________標(biāo)準(zhǔn)答案：-1；1知識點解析：因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)17、設(shè)f(x)=，求f(x)的間斷點并指出其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先，其次f(x)的間斷點為x=kπ(k=0，±1，…)，因為=e，所以x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點中的可去間斷點，x=kπ(k=±1，…)為函數(shù)f(x)的第二類間斷點．知識點解析：暫無解析18、求函數(shù)y=ln(x+)的反函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+…+anln(1+nx)，其中a1，a2，…，n為常數(shù)，且對一切x有｜d(x)｜≤｜ex一1｜．證明：｜a1+2a2+…+nan｜≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)且0≤f’(x)≤(k＞0)，對任意的x0，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，證明：存在且滿足方程f(x)=x．標(biāo)準(zhǔn)答案：xn+1—xn=f(xn)一f(xn-1)一f’(ξn)(xn一xn-1)，因為f’(x)≥0，所以xn+1一xn與xn一xn-1同號，故{xn}單調(diào)．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，且存在．證明：f(x)在[a，+∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)=A，取ε0=1，根據(jù)極限的定義，存在X0＞0，當(dāng)x＞X0時，｜f(x)一A｜＜1，從而有｜f(x)｜≤｜A｜+1．又因為f(x)在[a，X0]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界的性質(zhì)，存在k＞0，當(dāng)x∈[a，X0]，有｜f(x)｜≤k．取M=max{｜A｜+1，k)，對一切的x∈[a，+∞)，有｜f(x)｜≤M．知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，證明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，顯然有m≤f(xi)≤M(i=1，2，…，n)，注意到ki＞0(i=1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M，即k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．知識點解析：暫無解析27、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、設(shè)，求a，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、已知，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析31、確定a，b，使得x一(a+bcosx)sinx當(dāng)x→0時為階數(shù)盡可能高的無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：令y=x一(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x一(a+bcosx)cosx，y"=bsin2x+sin2x+(n+bcosx)sinx—asinx+2bsin2x，y"’=acosx+4bcos2x，顯然y(0)=0，y"(0)=0，知識點解析：暫無解析32、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析33、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析34、設(shè)，求f(x)的間斷點并分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=k(k=0，一1，一2，…)及x=1為f(x)的間斷點．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、函數(shù)f（x）=的間斷點及類型是（）A、x=1為第一類間斷點，x=—1為第二類間斷點B、x=±1均為第一類間斷點C、x=1為第二類間斷點，x=—1為第一類間斷點D、x=±1均為第二類間斷點標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：分別就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1時求極限得出f（x）的分段表達式：所以，x=+1為f（x）的第一類間斷點，故選B。2、設(shè)f（x）可導(dǎo)，F(xiàn)（x）=f（x）（1+|sinx|），則f（0）=0是F（x）在x=0處可導(dǎo)的（）A、充分必要條件B、充分條件但非必要條件C、必要條件但非充分條件D、既非充分條件也非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：令φ（x）=f（x）|sinx|，顯然φ（0）=0。由于而由φ（x）在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是φ+’（0）與φ—’（0）都存在且相等可知，若f（0）=0，則必有φ+’（0）=φ—’（0）；若φ+’（0）=φ+’（0），即有f（0）=一f（0），從而f（0）=0。因此f（0）=0是φ（x）在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件，也是F（x）在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件。故選A。3、設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，且f’（0）＞0，則存在δ＞0，使得（）A、f（x）在（0，δ）內(nèi)單調(diào)增加B、f（x）在（—δ，0）內(nèi)單調(diào)減少C、對任意的x∈（0，δ）有f（x）＞f（0）D、對任意的x∈（—δ，0）有f（x）＞f（0）標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由導(dǎo)數(shù)定義，知f’（0）=＞0。根據(jù)極限的保號性，存在δ＞0，使對任意x∈Uδ（0），有＞0。于是當(dāng)x∈（一δ，0）時，有f（x）＜f（0）；當(dāng)x∈（0，δ）時，有f（x）＞f（0）。故選C。4、函數(shù)）y=f（x）在（一∞，+∞）連續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖1—2—2所示，則y=f（x）的拐點個數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：只須考查f"（x）=0的點與f"（x）不存在的點。f"（x1）=f"（x4）=0，且在x=x1，x4兩側(cè)f"（x）變號，故凹凸性相反，則（x1，f（x1）），（x4，f（x4））是y=f（x）的拐點。x=0處f"（0）不存在，但f（x）在x=0連續(xù)，且在x=0兩側(cè)f"（x）變號，因此（0，f（0））也是y=f（x）的拐點。雖然f"（x3）=0，但在x=x3兩側(cè)f"（x）＞0，y=f（x）是凹的，（x3，f（x3））不是y=f（x）的拐點。因此共有三個拐點。故選C。5、由曲線y=1—（x—1）2及直線y=0圍成的圖形（如圖1—3—1所示）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積V是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：根據(jù)選項，需要把曲線表示成x=x（y），于是要分成兩部分：則所求立體體積為兩個旋轉(zhuǎn)體的體積差，其中于是有V=V1—V2=π∫01故選D。6、設(shè)函數(shù)u（x，y）=φ（x+y）+φ（x—y）+∫x—yx+yψ（t）dt，其中函數(shù)φ具有二階導(dǎo)數(shù)，ψ具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：先分別求出再進一步比較結(jié)果?？梢娪幸虼苏_選項為B。7、累次積分∫01dx∫x1f（x，y）dy+∫12dy∫02—yf（x，y）dx可寫成（）A、∫02dx∫x2f（x，y）dyB、∫01dx∫x2—yf（x，y）dyC、∫01dx∫x2—xf（x，y）dyD、∫01dx∫y2—yf（x，y）dy標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：原積分域為直線y=x，x+y=2，與y軸圍成的三角形區(qū)域，故選C。8、設(shè)級數(shù)un收斂，則下列選項必為收斂級數(shù)的為（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為級數(shù)（un+un+1）收斂，故選D。9、正項級數(shù)an2收斂的（）A、充要條件B、充分條件C、必要條件D、既非充分條件，又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于正項級數(shù)an2收斂。因此，正項級數(shù)an2收斂的充分條件，故選B。10、已知，y1=x，y2=x2，y3=ex為方程y"+p（x）y’+q（x）y=f（x）的三個特解，則該方程的通解為（）A、y=C1x+C2x2+exB、y=C1x2+C2ex+xC、y=C1（x—x2）+C2（x—ex）+xD、y=C1（x—x2）+C2（x2—ex）標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：方程y"+p（x）y’+q（x）y=f（x）是一個二階線性非齊次方程，則（x—x2）和（x—ex）為其對應(yīng)齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解，則原方程通解為y=C1（x一x2）+C2（x一ex）+x，故選C。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、已知y=標(biāo)準(zhǔn)答案：—x（1+x2）知識點解析：13、函數(shù)y=ln（1—2x）在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)y（n）（0）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—2n（n—1）!知識點解析：將ln（l+t）按照泰勒展開式展開成級數(shù)的形式令t=—2x代入第n項可得比較系數(shù)可得y=ln（1—2x）在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)為y（n）（0）=—2n（n—1）！。14、設(shè)某商品的收益函數(shù)為R（p），收益彈性為1+p3，其中p為價格，且R（1）=1，則R（p）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由彈性的定義得15、f（x）=則∫14f（x一2）dx=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：設(shè)x—2=t，dx=dt，當(dāng)x=1時，t=—1；當(dāng)x=4時，t=2。于是16、設(shè)f（x，y，z）=ex+y2z，其中z=z（x，y）是由方程x+y+z+xyz=0所確定的隱函數(shù)，則fz’（0，1，—1）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：已知f（x，y，z）=ex+y22，那么有fx’（x，y，z）=ex+y2zx’。在等式x+y+z+xyz=0兩端對x求偏導(dǎo)可得1+zx’+yz+xyzx’=0。由x=0，y=1，z=—1，可得zx’=0。故fx’（0，1，—1）=e0=1。17、設(shè)函數(shù)f（u，υ）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)z=f（x，xy），則標(biāo)準(zhǔn)答案：xf12"+f2’+xyf22"知識點解析：由題干可知，=xf12"+f2’+xyf22"。18、級數(shù)的和為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由麥克勞林公式易知19、微分方程y’+y=e—xcosx滿足條件y（0）=0的特解為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e—xsinx知識點解析：原方程的通解為y=e—∫1dx（e—xcosx．e—∫1dxdx+C）=e—x（cosxdx+C）=e—x（sinx+C）。由y（0）=0得C=0，故所求解為y=e—xsinx。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、證明當(dāng)x＞0時，（x2—1）Inx≥（x—1）2。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f（x）=（x2—1）lnx—（x—1）2，易知f（1）=0。又可見，當(dāng)0＜x＜1時f"（x）＜0，當(dāng)1＜x＜+∞時，f"’（x）＞0。因此，當(dāng)0＜x＜+∞時，f"（x）＞f"（1）=2＞0。又由f’（x）是單調(diào)增函數(shù)，且f’（1）=0，所以當(dāng)0＜x＜1時，f’（x）＜0；當(dāng)1＜x＜+∞時，f’（x）＞0。因此，由f（x）≥f（1）=0（0＜x＜+∞），即證得當(dāng)x＞0時，（x2—1）lnx≥（x—1）2。知識點解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)f（x），g（x）在[a，b]上連續(xù)，且滿足∫axf（t）dt≥∫axg（t）dt，x∈[a，b），f（t）dt=∫abg（t）dt。證明∫abxf（x）dx≤∫axxg（x）dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F（x）=f（x）—g（x），G（x）=F（t）dt，由題設(shè)G（x）≥0，x∈[a，b），且G（A）=G（b）=0，G’（x）=F（x）。從而∫abxF（x）dx=∫abxdG（x）=xG（x）|ab一∫abG（x）dx=一∫abbG（x）dx，由于G（x）≥0，x∈[a，b），故有一∫abG（x）dx≤0，即∫abxF（x）dx≤0。因此∫abxf（x）dx≤∫abxg（x）dx。知識點解析：暫無解析24、證明可微的必要條件：設(shè)z=f（x，y）在點（x0，y0）處可微，則fx’（x0，y0）與f（x0，y0）都存在，且dz|x0，y0=fx’（x0，y0）△x+fx’（x0，y0）△y。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)z=f（x，y）在點（x0，y0）處可微，則等式成立。令△y=0，于是令A(yù)x→0，有于是證明了fx’（x0，y0）與fy’（x0，y0）存在，并且dz|（x0，y0）=fx’（x0，y0）△x+fy’（x0，y0）△y。知識點解析：暫無解析25、求f（x，y）=xe一的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求函數(shù)f（x，y）=xe—e2。知識點解析：暫無解析26、求二重積分其中D是由曲線r=2（1+cosθ）的上半部分與極軸所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1—4—18，D的極坐標(biāo)表示是：0≤θ≤π，0≤r≤2（1+cosθ），因此知識點解析：暫無解析27、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f（x）。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)an=所以當(dāng)x2＜1時，原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)x2＞1時，原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（—1，1）。知識點解析：暫無解析28、已知函數(shù)f（x）滿足方程f"（x）+f’（x）—2f（x）=0及f"（x）+f（x）=2ex。（Ⅰ）求f（x）的表達式；（Ⅱ）求曲線y=f（x2）∫0xf（一t2）dt的拐點。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）齊次微分方程f"（x）+f’（x）—2f（x）=0的特征方程為r2+r—2=0，特征根為r1=1，r2=—2，因此該齊次微分方程的通解為f（x）=C1ex+C2e—2x。再由f"（x）+f（x）=2ex得2C1ex—3C2e—2x=2ex，因此可知C1=1，C2=0。所以f（x）的表達式為f（x）=ex。（Ⅱ）曲線方程為，則令y"=0得x=0．下面證明x=0是y"=0唯一的解，當(dāng)x＞0時，可得y"＞0；當(dāng)x＜0時，2x＜0，2（1+2x2）可得y"＜0．可知x=0是y"=0唯一的解。同時，由上述討論可知曲線y=f（x2）∫0xf（一t2）dt在x=0左、右兩邊的凹凸性相反，因此（0，0）點是曲線y=f（x2）∫0xf（一t2）dt唯一的拐點。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、累次積分rf(rcosθ，rsinθ)dr等于()．A、B、C、∫01dx∫01f(x，y)dyD、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：積分所對應(yīng)的直角坐標(biāo)平面的區(qū)域為D：0≤x≤1，0≤y≤選(D)．2、設(shè)D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，則sinxsiny．max{x，y}dσ等于()．A、πB、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：根據(jù)對稱性，令D1={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤x}，選(B)．3、設(shè)，其中D:x2+y2≤a2，則a為()．A、1B、2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由解得a=2，選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、設(shè)f(u)連續(xù)，則∫0xdu∫u1υf(u2一υ2)dυ=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一xf(x2一1)．知識點解析：∫0xdu∫u1υf(u2一υ2)dυ=一xf(x2一1)．5、設(shè)f(x)=∫0x，則∫0πf(x)dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：6、設(shè)f(x)連續(xù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：πr2cos(ξ+η)．知識點解析：7、設(shè)f(x，y)在區(qū)域D：x2+y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)=4，則標(biāo)準(zhǔn)答案：8π．知識點解析：8、設(shè)a＞0，f(x)=g(x)=而D表示整個平面，則標(biāo)準(zhǔn)答案：a2．知識點解析：9、設(shè)D為xOy面，則f(y)f(x+y)dxdy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：在D1={(x，y)|一∞＜x＜+∞，0＜y＜1)上，f(y)=y；在D2:0＜x+y≤1，f(x+y)=x+y，則在D0=D1∩D2={(x，y)|一y≤x≤1一y，0≤y＜1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)10、設(shè)z=(x2+y2)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析11、設(shè)其中f(s，t)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求du及標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)函數(shù)f(x，y，z)一階連續(xù)可偏導(dǎo)且滿足f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=tx，υ=ty，ω=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，兩邊對t求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)u=U(x，y)由方程組u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0確定，其中f，g，h連續(xù)可偏導(dǎo)且標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組由五個變量三個方程構(gòu)成，故確定了三個二元函數(shù)，其中x，y為自變量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得知識點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt確定u為x，y的函數(shù)，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)連續(xù)，且φ’(u)≠1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：z=f(u)兩邊對x及y求偏導(dǎo)，得方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt兩邊對x及y求偏導(dǎo)，得知識點解析：暫無解析16、設(shè)z=z(x，y)滿足證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、求z=x2+12xy+2y2在區(qū)域4x2+y2≤25上的最值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)4x2+y2＜25時，由得駐點為(x，y)=(0，0)．當(dāng)4x2+y2=25時，令F=x2+12xy+2y2+λ(4x2+y2一25)，因為z(0，0)=0，所以目標(biāo)函數(shù)的最大和最小值分別為106和一50．知識點解析：暫無解析18、某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場上銷售，售價分別為P1，P2，銷售量分別為q1，q2，需求函數(shù)分別為q1=24一0．2p1，q2=10一0．05p2，總成本函數(shù)為C=35+40(q1+q2)，問廠家如何確定兩個市場的銷售價格，能使其獲得總利潤最大？最大利潤為多少？標(biāo)準(zhǔn)答案：p1=120一5q1，P2=200一20q2，收入函數(shù)為R=p1q1+p2q2，總利潤函數(shù)為L=R一C=(120一5q1)q1+(200一20q2)q2一[35+40(q1+q2)]，由得q1=8，q2=4，從而p1=80，p2=120，L(8，4)=605，由實際問題的意義知，當(dāng)p1=80，p2=120時，廠家獲得的利潤最大，最大利潤為605．知識點解析：暫無解析19、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)=|x一y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(0，0)處的某鄰域內(nèi)連續(xù)．證明：函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的充分必要條件是φ(0，0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(必要性)設(shè)f(x，y)在點(0，0)處可微，則fx’(0，0)，fy’(0，0)存在．知識點解析：暫無解析20、已知二元函數(shù)f(x，y)滿足且f(x，y)=g(u，υ)，若=u2+υ2，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、計算∫01dx∫x21(x2+y2)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、已知設(shè)D為由x=0、y一0及x+y=t所圍成的區(qū)域，求F(t)=f(x，y)dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)t＜0時，F(xiàn)(t)=0；當(dāng)0≤t＜1時，當(dāng)1≤t＜2時，當(dāng)t≥2時，F(xiàn)(t)=1.知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、計算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、計算(x2+y2)dxdy，其中D={(x，y)|x2+y2≤4x2+y2≥2x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、計算(x+y2)dxdy，其中D:x2+y2≤2x+2y=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D：x2+y2≤2x+2y-1可化為D:(x-1)2+（y-1）2≤1，則(x+y2)dxdy=∫02πdt∫01(1+rcost+1+2rsin2+r∫12sin∫12t)rdr知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x，y)=且D:x2+y2≥2x，求f(x+y)dxdy標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、計算其中D=((x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)|一1≤x≤1，x2≤y≤2}，知識點解析：暫無解析29、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、計算其中D由y=一x，y=圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：將D分成兩部分D1，D2，其中D1=((x，y)|0≤x≤1，知識點解析：暫無解析31、飛機在機場開始滑行著陸，在著陸時刻已失去垂直速度，水平速度為υ0(m/s)，飛機與地面的摩擦系數(shù)為μ，且飛機運動時所受空氣的阻力與速度的平方成正比，在水平方向的比例系數(shù)為kx(kg．s2/m2)，在垂直方向的比例系數(shù)為ky(kg．s2/m2)．設(shè)飛機的質(zhì)量為m(kg)，求飛機從著陸到停止所需要的時間．標(biāo)準(zhǔn)答案：水平方向的空氣阻力Rx=kxυ2，垂直方向的空氣阻力Ry=kyυ2，摩擦力為W=μ(mg一Ry)，由牛頓第二定律，有知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，下列變上限積分函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()．A、∫0xf(t)一f(一t)]dtB、∫0xt[f(t)+f(一t)]dtC、∫0xf(t2)dtD、∫0xf2(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為t[f(t)一f(一t)]為偶函數(shù)，所以∫0xt[f(t)一f(一t)]dt為奇函數(shù)，(A)不對；因為f(t2)為偶函數(shù)，所以∫0xf(t2)dt為奇函數(shù)，(C)不對；因為不確定f2(t)的奇偶性，所以(D)不對；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(一t)ldt，F(xiàn)(一x)=∫0一xt[f(t)+f(一t)]dt=∫0x(一u)[f(u)+f(一u)](一du)=F(x)，選(B)．2、若由曲線y=，曲線上某點處的切線以及x=1，x=3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線是()．A、B、C、y=x+1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：曲線y=在點(t，)處的切線方程為y=由于切線位于曲線y=的上方，所以由曲線y=切線及x=1，x=3圍成的面積為當(dāng)t∈(0，2)時，S’(t)＜0；當(dāng)t∈(2，3)時，S’(t)＞0，則當(dāng)t=2時，S(t)取最小值，此時切線方程為選(A).二、解答題(本題共27題，每題1.0分，共27分。)3、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(x)=2f(x一t)dt+ex，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xf(x一t)dt∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du，f(x)=2∫0xf(u)du+ex兩邊求導(dǎo)數(shù)得f’(x)一2f(x)=ex，則f(x)=(ex．e∫一2dxdx+C)e一∫一2dx=Ce2x一ex，因為f(0)=1，所以C=2，故f(x)=2e2x一ex．知識點解析：暫無解析4、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析5、標(biāo)準(zhǔn)答案：因為(x2ex)’=(xx+2x)ex，知識點解析：暫無解析6、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析7、設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)F(x)=，又F(0)=1，F(xiàn)(x)＞0，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊積分得F2(x)=解得F2(x)=+C，由F(0)=1，F(xiàn)(x)＞0，得F(x)=知識點解析：暫無解析8、設(shè)f’(lnx)=，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令lnx=t，則f’(t)=當(dāng)t≤0時，f(t)=t+C1；當(dāng)t＞0時，f(t)=et+C2．顯然f’(t)為連續(xù)函數(shù)，所以f(t)也連續(xù)，于是有C1=1+C2，故f(x)=知識點解析：暫無解析9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析10、設(shè)f(x)連續(xù)∫0xtf(x一t)dt=1一cosx，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由∫0xtf(x一t)dt∫0x(x一u)f(u)(一du)=∫0x(x一u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du=1一cosx，兩邊求導(dǎo)得∫0xf(u)du=sinx，令x=得f(x)dx=1．知識點解析：暫無解析設(shè)S(x)=∫0x|cost|dt．證明：11、當(dāng)nπ≤x＜(n+1)π時，2n≤S(x)＜2(n+1)；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)nπ≤x＜(n+1)π時，∫0nπ|cost|dt≤∫0x|cost|dt＜∫0(n+1)π|cost|dt，∫0nπ|cost|dt=n∫0π|cost|dt=∫0(n+1)|cost|dt=2(n+1)，則2n≤S(x)＜2(n+1)．知識點解析：暫無解析12、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由nπ≤x＜(n+1)π，得從而根據(jù)夾逼定理得知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，非負(fù)，且以T為周期，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：對充分大的x，存在自然數(shù)n，使得nT≤x＜(n+1)T，因為f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n+1)Tf(t)dt，注意到當(dāng)x→+∞時，n→+∞，且由夾逼定理得知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=0，∫01f(x)dx=0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以φ(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，又φ(0)=0，φ(1)=∫01f(x)dx=0，由羅爾定理，存在t∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=所以∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在(一a，a)(a＞0)內(nèi)連續(xù)，且f'(0)=2．證明：15、對0＜x＜a，存在0＜0＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]；標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0一xf(t)dt，顯然F(x)在[0，x]上可導(dǎo)，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)一F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0一xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]．知識點解析：暫無解析16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：令=A，由∫0xf(t)dt+∫0一xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]，得知識點解析：暫無解析17、設(shè)an=tannxdx(n≥2)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：an+an+2=同理an+an一2=因為tannx，tann+2x在上連續(xù)，tannx≥tann+2x，且tannx，tann+2x不恒等，所以tann+2xdx，即an＞an+2，于是=an+an+2＜2an，即an＞同理可證an＜知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)有界，且f’(x)連續(xù)，對任意的x∈(一∞，+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1．證明：|f(x)|≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=exf(x)，則φ’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，由|f(x)+f’(x)|≤1得|φ’(x)|≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，則φ(x)=φ(x)一φ(一∞)=∫一∞xφ’(x)dx，兩邊取絕對值得ex|f(x)|≤∫一∞x|φ’(x)|dx≤∫一∞xexdx=ex，所以|f(x)|≤1．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上有定義，且對任意的x，y∈(一∞，+∞)有|f(x)一f(y)|≤|x一y|．證明：∫abf(x)dx一(b一a)f(a)≤(b一a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為(b一a)f(a)=∫abf(a)dx，所以|∫abf(x)dx一(b一n)f(a)|=|∫ab[f(x)一f(a)]dx|≤∫ab|f(x)一f(a)|dx知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且0＜m≤f(x)≤M，對任意的x∈[0，1]，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因為0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)一m≥0，f(x)一M≤0，從而知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)減少．證明：∫1n+1f(x)dx≤f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，當(dāng)x∈[1，2]時，f(x)≤f(1)，兩邊積分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫nn+1f(x)dx≤當(dāng)x∈[1，2]時，f(2)≤f(x)，兩邊積分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n一1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是≤∫n一1nf(x)dx．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)減少．證明：當(dāng)0＜k＜1時，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx一k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx]=(1一k)∫0kf(x)dx一kf(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因為0＜k＜1且f(x)單調(diào)減少，所以∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．知識點解析：暫無解析24、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)且|f’(x)|≤M．證明：|∫01f(x)dx一標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0，令|f’(x)|=M證明：|∫0af(x)dx|≤標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0與x之間，因為f(0)=0，所以|f(x)|=|f’(ξ)x|≤Mx，x∈[0，a]，從而|∫0af(x)dx|≤∫0a|f(x)|dx≤∫0aMxdx=．知識點解析：暫無解析26、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(1)一f(0)=1．證明：f’2(x)dx≥1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由1=f(1)一f(0)=∫01f’(x)dx，得12=1=(∫01f’(x)dx)2≤∫0112dx∫01f’2(x)dx=∫01f’2(x)dx，即∫01f’2(x)dx≥1．知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=0．證明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(a)=0，得f(x)一f(a)=f(x)=f’(t)dt，由柯西不等式得f2(x)=(∫axf’(t)dt)2≤∫ax12dt∫axf’2(t)dt≤(x一a)∫abf’2(x)dx積分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x一a)dx．f’2(x)dx=∫abf’2(x)dx．知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因為且f(a)=f(b)=0，所以知識點解析：暫無解析29、早晨開始下雪整天不停，中午一掃雪車開始掃雪，每小時掃雪體積為常數(shù)，到下午2點掃雪2km，到下午4點又掃雪lkm，問降雪是什么時候開始的？標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)單位面積在單位時間內(nèi)降雪量為a，路寬為b，掃雪速度為c，路面上雪層厚度為H(t)，掃雪車前進路程為S(t)，降雪開始時間為T，則H(t)=a(t一T)，又b×H(t)×△s=c×△t，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第7套一、解答題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)1、設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，f(0)=0，|f’(x)|≤|f(x)|．證明：f(x)一=0，x∈[x，1]．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)，從而|f(x)|在[0，1]上連續(xù)，故|f(x)|在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得|f(x0)|=M．當(dāng)x0=0時，則M=0，所以f(x)=0，x∈[0，1]；當(dāng)x0≠0時，M=|f(x0)|=|f(x0)一f(0)|=|f’(ξ)|x0≤|f’(ξ)|≤|f(ξ)|≤，其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)=0，x∈[0，1]．知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=1．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ一η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=exf(x)．由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得令φ(x)=e2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，或2e2ξ一η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．知識點解析：暫無解析3、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=f(1)=0且=一1．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．標(biāo)準(zhǔn)答案：在使用泰勒中值定理時，若已知條件中給出某點的一階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在該點展開；若結(jié)論中是關(guān)于某點的一階導(dǎo)數(shù)，則在該點展開；若既未給出某點的一階導(dǎo)數(shù)的條件，結(jié)論中又不涉及某點的一階導(dǎo)數(shù)，往往函數(shù)在區(qū)間的中點處展開．因為f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)且f(0)=f(1)=0，f(x)=一1，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)內(nèi)達到，即存在f∈(0，1)，使得f(c)=一1，再由費馬定理知f’(c)=0，根據(jù)泰勒公式所以存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．知識點解析：暫無解析4、一質(zhì)點從時間t=0開始直線運動，移動了單位距離使用了單位時間，且初速度和末速度都為零．證明：在運動過程中存在某個時刻點，其加速度絕對值不小于4．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)運動規(guī)律為S=S(t)，顯然S(0)=0，S’(0)=0，S(1)=1，S’(1)=0．由泰勒公式兩式相減，得S"(ξ2)一S"(ξ1)=一8|S"(ξ1)|+|S"(ξ2)|≥8．當(dāng)|S"(ξ1)≥|S"(ξ2|)時，|S"(ξ1)|≥4；當(dāng)|S"(ξ2)|時，|S"(ξ2)|≥4．知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，證明：|f’(x)|≤(x∈[0，1])．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得f(0)=f(x)一f’(x)x+f"(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+f"(ξ1)(1一x)2，ξ2∈(x，1)，兩式相減，得f’(x)=f"(ξ1)x2一f"(ξ2)(1一x)2．兩邊取絕對值，再由|f"(x)|≤1，得知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在(一1，1)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f"(x)≠0．證明：6、對(一1，1)內(nèi)任一點x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意x∈(一1，1)，根據(jù)微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因為f"(x)∈C(一1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(—1，1)內(nèi)保號，不妨設(shè)f"(x)＞0，則f’(x)在(一1，1)內(nèi)單調(diào)增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．知識點解析：暫無解析7、標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+x2，其中ξ介于0與x之間，而f(x)=f(0)+xf[θ(x)x]，所以有令x→0，再由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及非零性，得知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f’(a)=f’(b)=0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得(1)當(dāng)|f"(ξ1)|≥f"(ξ2)|時，取ξ=ξ1，則有|f"(ξ)|≥(2)當(dāng)|f"(ξ1)|＜|f"(ξ2)|時，取ξ=ξ2，則有|f"(ξ)|≥知識點解析：暫無解析9、f(x)在[1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．證明：存在ξ∈(一1，1)，使得f"’(ξ)=3．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得兩式相減得f"(ξ1)+f"’(ξ2)=6．因為f(x)在[一1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，所以f"’(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)最值定理，f"’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"’(ξ1)+f"’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](一1，1)，使得f"’(ξ)=3．知識點解析：暫無解析10、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，所以有因為f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，從而f(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得故知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且|f(x)|≤a，|f"(b)|≤b，其中a，b都是非負(fù)常數(shù)，c為(0，1)內(nèi)任意一點．11、寫出f(x)在x=c處帶Lagrange型余項的一階泰勒公式；標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+(x一c)2，其中ξ介于c與x之間．知識點解析：暫無解析12、證明：|f(c)|≤2a+．標(biāo)準(zhǔn)答案：分別令x=0，x=1，得知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在[一a，a](a＞0)上有四階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，存在．13、寫出f(x)的帶拉格朗日余項的麥克勞林公式；標(biāo)準(zhǔn)答案：由存在，得f(0)=0，f’(0)=0，f"(0)=0，則f(x)的帶拉格朗日余項的麥克勞林公式為其中ξ介于0與x之間．知識點解析：暫無解析14、證明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：上式兩邊積分得f(x)dx=f(4)(ξ)x4dx．因為f(4)(x)在[一a，a]上為連續(xù)函數(shù)，所以f(4)(x)在[一a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx1≤f(4)(ξ)x4≤Mx4，兩邊在[一a，a]上積分得a5≤∫aaf(4)(ξ)x4dx≤a5，從而于是m≤f(x)dx≤M，根據(jù)介值定理，存在ξ1∈[一a，a]，使得f(4)(ξ1)=或a5f(4)(ξ1)=60f(x)dx．再由積分中值定理，存在ξ2∈[一a，a]，使得a5f(4)(ξ1)=60∫一aaf(x)dx=120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)四階可導(dǎo)，且|f(4)(x)|≤M(M＞0)．證明：對此鄰域內(nèi)任一異于x0的點x，有其中x’為x關(guān)于x0的對稱點．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+(x—x0)2+(x—x0)3+(x—x0)4，f(x’)=f(x0)+f’(x0)(x’一x0)+(x’—x0)2+(x’—x0)3+(x’—x0)4，兩式相加得f(x)+f(x’)一2f(x．)=f"(x0)(x—x0)2+[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)[x一x0)4，于是[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)[x一x0)2，再由|f(4)(x)≤M，得知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，f’+(a)f’一(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f一’(a)＞0，f一’(b)＞0，由f一’(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0；由f一’(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0，因為f(x1)f(x2)＜0，所以由零點定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0．令h(x)=，顯然h(x)在[a，b]上連續(xù)，由h(a)=h(f)=h(b)=0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而令φ(x)=f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f"(x)g(x)一f(x)g"(x)，所以知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且f’+(a)＞0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為=f+’(a)＞0，所以存在δ＞0，當(dāng)0＜x一a＜δ時，有＞0，從而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0．由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得再由微分中值定理及f(x)的二階可導(dǎo)性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=0，且f"(x)＞0．證明：對任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，使得兩式相減得f(a+b)一f(a)一f(b)=[f’(ξ2)一f’(ξ1)]a．因為f"(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)增加，而ξ1＜ξ2，所以f’(ξ1)＜f’(ξ2)，故f(a+b)一f(a)一f(b)=[f’(ξ2)一f’(ξ1)]a＞0，即f(a+b)＞f(a)+f(b)．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f"(x)＞0，對任意的x0，x2∈[a，b]及0＜λ＜1，證明：f[λx1+(1一λ)x2]≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x0=λx1+(1一λ)x2，則x0∈[a，b]，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+(x—x0)2，其中ξ介于x0與x之間，因為f"(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，于是兩式相加，得f[λx1+(1一λ)x2]≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)．知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，=1且f"(x)＞0．證明：當(dāng)x≠0時，f(x)＞x．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=1，得f(0)=0，f’(0)=1，又由f"(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f’(0)x=x．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．證明：f(x)＜ex(x＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=e一xf(x)，則φ(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，又φ(0)=1，φ’(x)=e一x[f(x)一f(x)]＜0(x＞0)，所以當(dāng)x＞0時，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x＞0)．知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f"(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且滿足k1+k2+…+kn=1．證明：f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x0=k1x1+k2x2+…+knxn，顯然x0∈[a，b]．因為f"(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，分別取x=xi(i=1，2，…，n)，得由ki＞0(i=1，2，…，n)，上述各式分別乘以ki(i=1，2，…，n)，得將上述各式分別相加，得f(x0)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)，即f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．知識點解析：暫無解析23、證明：當(dāng)x＞0時，(x2一1)lnx≥(x一1)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(x2—1)lnx一(x一1)2，φ(1)=0．故x=1為φ"(x)的極小值點，由其唯一性得其也為最小值點，而最小值為φ"(1)=2＞0，故φ"(x)＞0(x＞0)．故x=1為φ(x)的極小值點，也為最小值點，而最小值為φ(1)=0，所以x＞0時，φ(x)≥0，即(x2一1)lnx≥(x一1)2．知識點解析：暫無解析24、當(dāng)x＞0時，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)0＜a＜b，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、求由方程x2+y3一xy=0確定的函數(shù)在x＞0內(nèi)的極值，并指出是極大值還是極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法，得知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0．證明：方程f"(x)=f(x)=0在(0，1)內(nèi)有根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=e一x[f(x)+f’(x)]．因為φ(0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在c∈(0，1)使得φ’(f)=0，而φ’(x)=e一x[f(x)一f(x)]且e一x≠0，所以方程f"(c)一f(c)=0在(0，1)內(nèi)有根．知識點解析：暫無解析28、設(shè)非負(fù)函數(shù)f(x)當(dāng)x≥0時連續(xù)可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x軸，y軸及過點(x，0)且垂直于x軸的直線圍成的圖形的面積與y=f(x)在[0，x]上弧的長度相等，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)f（x）=則f（f（x）））等于（）A、0B、1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由題設(shè)可知|f（x）|≤1，因此f（f（f（x）））=1。故選B。2、設(shè)f（x）在R上連續(xù)，且f（x）≠0，φ（x）在R上有定義，且有間斷點，則下列陳述中正確的個數(shù)是（）①φ[f（x）]必有間斷點。②[φ（x）]2必有間斷點。③f[φ（x）]沒有間斷點。A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：①錯誤。舉例：設(shè)φ（x）=f（x）=ex，則φ[f（x）]=1在R上處處連續(xù)。②錯誤。舉例：設(shè)φ（x）=則[φ（x）]2=9在R上處處連續(xù)。③錯誤。舉例：設(shè)φ（x）=在x=0處間斷。因此選A。3、設(shè)F（x）=g（x）φ（x），x=a是φ（x）的跳躍間斷點，g’（a）存在，則g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a處可導(dǎo)的（）A、充分必要條件B、充分非必要條件C、必要非充分條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因φ（x）在x=a處不可導(dǎo)，所以不能對F（x）用乘積的求導(dǎo)法則，須用定義求F’（a）。題設(shè)下面證明若F’（A）存在，則g（A）=0。反證法，若g（A）≠0，φ（x）=，由商的求導(dǎo)法則，φ（x）在x=a可導(dǎo)，這與題設(shè)矛盾，則g（A）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a處可導(dǎo)的充要條件。故選A。4、設(shè)f（x）在（0，+∞）內(nèi)二階可導(dǎo)，滿足f（0）=0，f"（x）＜0（x＞0），又設(shè)b＞a＞0，則a＜x＜b時，恒有（）A、af（x）＞xf（A）B、bf（x）＞xf（b）C、xf（x）＞bf（b）D、xf（x）＞af（A）標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：將A，B選項分別改寫成或xf（x）的單調(diào)性即可。又因令g（x）=xf’（x）一f（x），則g（0）=0，g’（x）=xf"（x）＜0（x＞0），那么g（x）＜g（0）=0（x＞0），故在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)減小。所以當(dāng)a＜x＜b時，故選B。5、設(shè)f（x）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’（1）=0，則（）A、f（1）是f（x）的極大值B、f（1）是f（x）的極小值C、（1，f（1））是曲線f（x）的拐點坐標(biāo)D、f（1）不是f（x）的極值，（1，f（l））也不是曲線f（x）的拐點坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：選取特殊f（x）滿足:f"（x）=（x—1）2，如取f（x）=（x—1）4，則f（x）滿足題中條件，f（x）在x=1處取極小值，而其余均不正確。故選B。6、設(shè)f（x）=下述命題成立的是（）A、f（x）在[—1，1]上