2025高考總復(fù)習(xí)專項復(fù)習(xí)-概率專題四（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--概率專題四知識點一根據(jù)頻率分布表解決實際問題,用頻率估計概率,求離散型隨機變量的均值典例1、《中華人民共和國老年人權(quán)益保障法》規(guī)定，老年人的年齡起點標(biāo)準(zhǔn)是60周歲．為解決老年人打車難問題，許多公司均推出老年人一鍵叫車服務(wù)．某公司為調(diào)查老年人對打車軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機抽取了100位老年人，調(diào)查結(jié)果整理如下：年齡/歲80歲以上使用過打車軟件人數(shù)41201151未使用過打車軟件人數(shù)13963（1）從該地區(qū)的老年人中隨機抽取1位，試估計該老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率；（2）從參與調(diào)查的年齡在且使用過打車軟件的老年人中，隨機抽取2人進(jìn)一步了解情況，用X表示這2人中年齡在的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）為鼓勵老年人使用打車軟件，該公司擬對使用打車軟件的老年人贈送1張10元的代金券，若該地區(qū)有5000位老年人，用樣本估計總體，試估計該公司至少應(yīng)準(zhǔn)備多少張代金券．

隨堂練習(xí)：近期，某中學(xué)全體學(xué)生參加了“全國節(jié)約用水大賽”活動．現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了男、女各25名學(xué)生，將他們的成績（單位：分）記錄如下：成績男生（人數(shù)）25891女生（人數(shù)）ab1032（1）在抽取的50名學(xué)生中，從大賽成績在80分以上的人中隨機取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分?jǐn)?shù)段不同的概率；（2）從該校參加活動的男學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中大賽成績在80分以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）試確定a、b為何值時，使得抽取的女生大賽成績方差最小．（只寫出結(jié)論，不需要說明理由）典例2、某企業(yè)為了解職工款A(yù)PP和款A(yù)PP的用戶量情況，對本單位職工進(jìn)行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男職工女職工使用不使用使用不使用款A(yù)PP72人48人40人80人款A(yù)PP60人60人84人36人假設(shè)所有職工對兩款A(yù)PP是否使用相互獨立.（1）分別估計該企業(yè)男職工使用款A(yù)PP的概率?該企業(yè)女職工使用款A(yù)PP的概率；（2）從該企業(yè)男，女職工中各隨機抽取1人，記這2人中使用款A(yù)PP的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）據(jù)電商行業(yè)發(fā)布的市場分析報告顯示，款A(yù)PP的用戶中男性占%?女性占%；款A(yù)PP的用戶中男性占%?女性占%.試分析該企業(yè)職工使用款A(yù)PP的男?女用戶占比情況和使用款A(yù)PP的男?女用戶占比情況哪一個與市場分析報告中的男?女用戶占比情況更相符.

隨堂練習(xí)：某調(diào)研機構(gòu)就該市工薪階層對“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了5000名市民，他們月收入人數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入(單位：百元)調(diào)查人數(shù)500100015001000500500贊成人數(shù)40080012004149987（1）若從抽調(diào)的5000名市民中隨機選取一名市民，求該市民贊成“樓市限購令”的概率；（2）依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，若從該市工薪階層隨機選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若從抽調(diào)的收入在(百元)的市民中隨機抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作；若從抽調(diào)的收入在(百元)的市民中隨機抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作，比較與的大小關(guān)系.(直接寫出結(jié)論即可)典例3、小明所在學(xué)習(xí)小組開展社會調(diào)查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業(yè)務(wù)量．現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）隨機選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；（2）將上圖中的頻率作為相應(yīng)的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業(yè)務(wù)量不少于65單的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（3）如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計一名騎手每天的收入．并說明理由．

隨堂練習(xí)：人類常見的遺傳病類型主要分為單基因遺傳病、多基因遺傳病和染色體異常遺傳病三大類，高度近視（600度以上）、紅綠色盲都是較常見的單基因遺傳?。硨W(xué)校課后實踐活動對學(xué)生這兩種遺傳病情況進(jìn)行統(tǒng)計，分別從男、女同學(xué)中各隨機抽取100人進(jìn)行調(diào)查，對患病情況統(tǒng)計如下，其中“√”表示是，“×”表示否．人數(shù)男生高度近視紅綠色盲3√×√2√√×1√√√1××√2×√×1、分別估計該校男生紅綠色盲的發(fā)病率和該校女生紅綠色盲的發(fā)病率；2、為做家庭訪問，從已調(diào)查出患紅綠色盲的同學(xué)中任選兩人，記這兩人中男同學(xué)人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；3、假設(shè)該校男生人數(shù)為1500，女生人數(shù)為2500，試估計該校學(xué)生高度近視發(fā)病率與該校學(xué)生紅綠色盲發(fā)病率的大小關(guān)系，并說明理由．（注：）

知識點二獨立性檢驗解決實際問題,計算條件概率典例4、茶是中國頗受青睞的傳統(tǒng)飲品．于愛茶的人而言，不僅迷戀于茶恬淡的氣味與味道，泡茶工序帶來的儀式感也是個修身養(yǎng)性靜心的方式．但是細(xì)細(xì)品來，茶飲復(fù)雜的味型之中，總能品出點點的苦和淡淡的澀，所以也有人并不喜歡飲茶．在人們的固有印象中，總覺得中年人好飲茶，年輕人對飲茶持有怎樣的態(tài)度呢？帶著這樣的疑問，高二3班的小明同學(xué)做了一項社會調(diào)查．調(diào)查針對身邊的同學(xué)與方便聯(lián)系的家長，共回收了200份有效問卷．為了提高統(tǒng)計工作的效率，小明只記錄了問卷中三項有效數(shù)據(jù)，喜歡飲茶不喜歡飲茶合計家長60120學(xué)生50合計（1）請將上面的信息表格補充完整（請在答題卡中畫表格作答）；（2）從這200人中隨機選取2人，已知選取的2人中有人喜歡飲茶，求其中有學(xué)生的概率；（3）請利用獨立性檢驗相關(guān)的知識幫小明同學(xué)形成這次調(diào)查的結(jié)論．公式：0.500.4000.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

隨堂練習(xí)：在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務(wù)人員和人民群眾抗擊疫情的武器與保障，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我國企業(yè)依靠自身強大的科研能力，果斷轉(zhuǎn)產(chǎn)自行研制新型全自動高速口罩生產(chǎn)機，“爭分奪秒、保質(zhì)保量”成為口罩生產(chǎn)線上的重要標(biāo)語．（1）在試產(chǎn)初期，某新型全自動高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測工序，包括紅外線自動檢測與人工抽檢．已知批次的成品口罩生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，．①求批次I成品口罩的次品率．②第四道工序中紅外線自動檢測為次品的口罩會被自動淘汰，合格的口罩進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗.已知批次I的成品口罩紅外線自動檢測顯示合格率為92%，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個口罩恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次成品口罩的次品率為，設(shè)100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率為，記的最大值點為，改進(jìn)生產(chǎn)線后批次的口罩的次品率．某醫(yī)院獲得批次，的口罩捐贈并分發(fā)給該院醫(yī)務(wù)人員使用．經(jīng)統(tǒng)計，正常佩戴使用這兩個批次的口罩期間，該院醫(yī)務(wù)人員核酸檢測情況如下面條形圖所示，求，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險有關(guān)？附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828

典例5、某種病菌在某地區(qū)人群中傳播，目前臨床醫(yī)學(xué)研究中已有費用昂貴但能準(zhǔn)確檢測出個體是否帶菌的方法.現(xiàn)引進(jìn)操作易、成本低的新型檢測方法：每次只需檢測，兩項指標(biāo)，若指標(biāo)的值大于4且指標(biāo)的值大于100，則檢測結(jié)果呈陽性，否則呈陰性.為考查該檢測方法的準(zhǔn)確度，隨機抽取50位帶菌者（用“*”表示）和50位不帶菌者（用“”表示）各做一次檢測，他們檢測后的數(shù)據(jù)，制成統(tǒng)計圖：（1）從這100名被檢測者中，隨機抽取一名不帶菌者，求檢測結(jié)果呈陽性的概率；（2）完成下列列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“帶菌”與“檢測結(jié)果呈陽性”有關(guān)？檢測結(jié)果呈陽性檢測結(jié)果呈陰性合計不帶菌者帶菌者合計（參考公式：，其中）50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

隨堂練習(xí)：根據(jù)國家電影局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2020年中國電影總票房為204.17億，年度票房首度超越北美，成為2020年全球第一大電影市場.國產(chǎn)歷史戰(zhàn)爭題材影片《八佰》和《金剛川》合力貢獻(xiàn)了國內(nèi)全年票房的.我們用簡單隨機抽樣的方法，分別從這兩部電影的購票觀眾中各隨調(diào)查了100名觀眾，得到結(jié)果如下：圖1是購票觀眾年齡分布情況；圖2是購票觀眾性別分布情況.（1）記表示事件：“觀看電影《八佰》的觀眾年齡低于30歲”，根據(jù)圖1的數(shù)據(jù)，估計的概率；（2）現(xiàn)從參與調(diào)查的電影《金剛川》的100名購票觀眾中隨機抽取兩名依次進(jìn)行電話回訪，求在第1次抽到男性觀眾的條件下，第2次仍抽到男性觀眾的概率.（3）填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析男性觀眾與女性觀眾對這兩部歷史戰(zhàn)爭題材影片的選擇是否有差異？影片女性觀眾男性觀眾總計《八佰》100《金剛川》100總計861142000.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828附：典例6、大型綜藝節(jié)目《最強大腦》中，有一個游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實原理是十分簡單的，要學(xué)會盲擰也是很容易的.根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān).為了驗證這個結(jié)論，某興趣小組隨機抽取了50名魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如下表所示：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計男2330女11總計50表（1）并邀請其中20名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如下表（2）所示.成功完成時間（分鐘）人數(shù)10442表（2）（1）將表（1）補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從表（2）中成功完成時間在和這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人對他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄，求2人成功完成時間恰好在同一組內(nèi)的概率.附參考公式及參考數(shù)據(jù)：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

隨堂練習(xí)：某手機商家為了更好地制定手機銷售策略，隨機對顧客進(jìn)行了一次更換手機時間間隔的調(diào)查.從更換手機的時間間隔不少于3個月且不超過24個月的顧客中選取350名作為調(diào)查對象，其中男性顧客和女性顧客的比為，商家認(rèn)為一年以內(nèi)（含一年）更換手機為頻繁更換手機，否則視為未頻繁更換手機.現(xiàn)按照性別采用分層抽樣的方法從中抽取105人，并按性別分為兩組，得到如下表所示的頻數(shù)分布表：事件間隔（月）男性x89181284女性y25131172（1）計算表格中x，y的值；（2）若以頻率作為概率，從已抽取的105名且更換手機時間間隔為3至6個月（含3個月和6個月）的顧客中，隨機抽取2人，求這2人均為男性的概率；（3）請根據(jù)頻率分布表填寫列聯(lián)表，并判斷是否有以上把握認(rèn)為“頻繁更換手機與性別有關(guān)”.頻繁更換手機未頻繁更換手機合計男性顧客女性顧客合計附表及公式：P（）0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

人教A版數(shù)學(xué)--概率專題四答案典例1、答案：（1）（2）分布列見解析，（3）3900張解：（1）在隨機抽取的100位老年人中，年齡在且未使用過打車軟件的人數(shù)為，所以隨機抽取的這1位老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率．（2）由題可知，X的所有可能取值為0，1，2，且，，．所以X的分布列為X012P故X的數(shù)學(xué)期望．（3）在隨機抽取的100位老年人中，使用過打車軟件的共有（人），所以估計該公司至少應(yīng)準(zhǔn)備張代金券．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）分布列見解析；期望為；（3）．解：（1）設(shè)“從大賽成績在以上的人中隨機取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分?jǐn)?shù)段不同”為事件A，由表格可得：隨機抽取的50名學(xué)生中，成績在80分以上的男生人數(shù)是10人，女生5人，共15人，即從15名學(xué)生中隨機抽取2人，所以樣本空間；如果這2人恰好男、女生各1名，且分?jǐn)?shù)段不同，即．所以事件A包含21個樣本點，因此．（2）由數(shù)據(jù)可知，從抽取的25名男學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生大賽成績在80分以上的概率為．即從該校參加活動的男學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生大賽成績在80分以上的概率為，因此從該校參加活動的男學(xué)生中隨機抽取3人，這3人中大賽成績在以上的人數(shù)可取，且．，，，．所以隨機變量的分布列0123數(shù)學(xué)期望或者，所以．（3）（由題意可得，由于方差是衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度，當(dāng)數(shù)據(jù)越集中，方差越小，所以時，數(shù)據(jù)更集中，方差最?。┑淅?、答案：（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）該企業(yè)職工使用APP的情況與官方發(fā)布的男?女用戶情況更相符解：（1）由所給數(shù)據(jù)可知，男職工使用A款A(yù)PP的人數(shù)為72，用頻率估計概率，可得男職工使用京東APP的概率約為，同理，女職工使用A款A(yù)PP的概率約為；（2）的可能取值為0，1，2，；；.的分布列為：012的數(shù)學(xué)期望；（3）樣本中，款A(yù)PP的男?女用戶為(人)，其中男用戶占%；女用戶占%，樣本中，款A(yù)PP的男?女用戶為(人)，其中男用戶占%；女用戶占%，該企業(yè)職工使用APP的情況與官方發(fā)布的男?女用戶情況更相符.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）分布列見詳解，數(shù)學(xué)期望為；（3）；解:（1）由數(shù)據(jù)可知，在抽調(diào)的5000名市民中，有名，由頻率估計為概率，所以從抽調(diào)的5000名市民中隨機選取一名市民，該市民贊成“樓市限購令”的概率為，（2）由（1）知，市民贊成“樓市限購令”的概率為，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為X，則，則X的可能取值為0,1,2，那么，，，所以X的分布列為：X012P則.（3）由題意得：因為，，.典例3、答案：（1）0.4；（2）分布列見解析，1.2；（3）186元，理由見解析.解：（1）由頻率分布直方圖知，該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率為：，所以，隨機選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率為0.4.（2）的可能值為0，1，2，3，依題意，，，，，，，所以的分布列為：01230.2160.4320.2880.064期望.（3）由頻率分布直方圖知，騎手每天送單的平均數(shù)為：，因騎手每送1單可以提成3元，則騎手每天的收入的期望為（元）.隨堂練習(xí)：答案：（1）男生紅綠色盲的發(fā)病率為，女生紅綠色盲的發(fā)病率（2）的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（3）解：（1）設(shè)該校男生紅綠色盲為事件，女生紅綠色盲為事件，則（2）由表中的數(shù)據(jù)可知，已調(diào)查的學(xué)生中，有5人患紅綠色盲，其中男生4人，女生1人，所以可能取1，2，則,,所以的分布列為12所以（3）由題意得，，所以典例4、答案：（1）表格見解析（2）（2）答案見解析喜歡飲茶不喜歡飲茶合計家長6060120學(xué)生305080合計90110200解：（2）取事件A為“選取的2人中有人喜歡飲茶”，則，取事件B為“選取的2人中有學(xué)生”，則事件AB為“選取的2人中即有人喜歡飲茶，又包含有學(xué)生”，∴∴．依題意，，∴此次調(diào)研的結(jié)論為：有90%的把握認(rèn)為家長相比于學(xué)生更喜歡飲茶．隨堂練習(xí)：答案：（1）①，②；（2），有99.9%的把握認(rèn)為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險有關(guān)．解：（1）①批次Ⅰ成品口罩的次品率為：．②設(shè)批次Ⅰ的成品口罩紅外線自動檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，由已知，得，，則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個口罩恰為合格品為事件，．（2）100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率．因此．令，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以的最大值點為．由（1）可知，，，故批次口罩的次品率低于批次Ⅰ，故批次的口罩質(zhì)量優(yōu)于批次Ⅰ．由條形圖可建立列聯(lián)表如下：單位：人核酸檢測結(jié)果口罩批次合計呈陽性12315呈陰性285785合計4060100．因此，有99.9%的把握認(rèn)為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險有關(guān)．典例5、答案：（1）；（2）表格見解析，能.解:（1）設(shè)從這100名被檢測者中，隨機抽取一名不帶菌者，檢測結(jié)果呈陽性為事件，根據(jù)統(tǒng)計圖可知在不帶菌者中，檢測結(jié)果呈陽性的有5人，∴.（2）可作出列聯(lián)表如下：檢測結(jié)果呈陽性檢測結(jié)果呈陰性合計不帶菌者54550帶菌者351550合計4060100進(jìn)一步計算得的觀測值所以，能夠在犯錯誤概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“帶菌”與“檢測結(jié)果呈陽性有關(guān).隨堂練習(xí)：答案：(1)；(2)；(3)列聯(lián)表見解析，沒有99%的把握認(rèn)為對這兩部歷史戰(zhàn)爭題材影片的選擇與性別有關(guān).解:(1)由圖1知，“觀看電影《八佰》的觀眾年齡低于30歲”的頻率為，由此估計事件C的概率為；(2)由圖2知，參與調(diào)查的電影《金剛川》的100名購票觀眾中男性有61人，從100名觀眾中依次抽兩名，在