2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-空間向量和立體幾何專題八（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題八知識(shí)點(diǎn)一證明線面垂直,求線面角,面面垂直證線面垂直,線面角的向量求法典例1、已知，如圖四棱錐中，底面ABCD為菱形，，，平面ABCD，E，M分別是BC，PD中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面PAD；（2）請(qǐng)確定F點(diǎn)的位置，使得直線AF與平面PCD所成的角取最大值．隨堂練習(xí)：已知正方體和平面，直線平面，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的最大值.典例2、如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，是線段上一點(diǎn)．（1）若平面，求；（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大？

隨堂練習(xí)：如圖，在三棱柱中，底面，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.典例3、在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，為棱上的點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）若二面角的平面角的正切值為，求的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，若為線段上一點(diǎn)，求與面所成角為，求的最大值．

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，.（1）證明：平面；（2）若，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.知識(shí)點(diǎn)一錐體體積的有關(guān)計(jì)算,證明面面垂直典例4、邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)M，N分別是DC，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P，連接PC，得到四棱錐.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，．（1）證明：平面PCD⊥平面PBC；（2）若，求三棱錐的體積．典例5、如圖，在三棱柱中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為線段BC，，的中點(diǎn)，且.（1）證明：平面平面ABC；（2）若，求三棱錐的體積.

隨堂練習(xí)：如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，是邊長(zhǎng)為2的菱形，，．（1）證明：平面平面；（2）若，求三棱柱的體積．典例6、如圖，已知在四棱錐中，，，，，E，F(xiàn)分別為棱PB，PA的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面EFDC；（2）若直線PC與平面PAD所成的角為45°，求四棱錐的體積．

隨堂練習(xí)：如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）點(diǎn)在棱上，滿足且三棱錐的體積為，求的值.空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題八答案典例1、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）證明：在正方形中有，，，，又因?yàn)椋云矫?，而平面，所以平面平?（2）連接MN,由題意可得，，，由，所以為直角三角形，即，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，，即，得，即四棱錐的體積為隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）連接，因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所以，?又因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以BC，又因?yàn)槠矫鍼CD，，所以平面PCD,又因?yàn)槠矫鍼BC，所以平面PCD⊥平面PBC.（2）在直角三角形中，在直角三角形中，所以，所以，所以.典例2、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OD，，因?yàn)?，，所以為等邊三角形，所?又因?yàn)椋c(diǎn)O，D分別為線段AC，BC的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，∵平面，則，又因?yàn)椋矫鍭BC，所以平面ABC，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面ABC.（2）如圖，過(guò)B作于點(diǎn)G，由（1）得平面平面ABC，且平面平面，平面，所以平面，在直角ABC中，，，，所以，由，又因?yàn)辄c(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D到平面的距離h為點(diǎn)B到平面的距離BG的一半，即.因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋缘拿娣e為，，所以三棱錐的體積為.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）.解：（1）因?yàn)閭?cè)面是矩形，則，又因?yàn)椋?，即有，則，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面．（2）由（1）知，平面，而平面，則，因?yàn)?，于是得，而是邊長(zhǎng)為2的菱形，因此是正三角形，，所以三棱柱的體積.典例3、答案：（1）見(jiàn)解析；（2）解：（1）因?yàn)樵谄矫嬷校?，故，因?yàn)?，故，而，，平面，故平?因?yàn)槠矫?，故，因?yàn)?，，故，因?yàn)椋矫?，故平?因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，故，而，故，故四點(diǎn)共面，而平面，故平面平面.（2）取的中點(diǎn)為，連接，由（1）可得，，故，而平面，故平面，故為直線與平面所成的角，故，因?yàn)槠矫?，平面，故，故為等腰直角三角形，而，故，故，故直角梯形的面積.又平面，故平面平面，而為等邊三角形，故，且.因?yàn)槠矫?，平面平面，故平面，故四棱錐的體積為.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析.（2）.解：（1）由題意底面，,，則底面為直角梯形，連接，則,故四邊形為矩形，則，所以四邊形為正方形，所以，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，O是的中點(diǎn)，所以，平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）因?yàn)榈酌嬷校?，側(cè)面為等邊三角形，O是的中點(diǎn)，所以,,,，因?yàn)槠矫妫矫妫?，所以，因?yàn)?，所?所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離分別為，因?yàn)?，所?即，故，因?yàn)槿忮F的體積為，所以所以，解得，所以，即因?yàn)?，所?典例4、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）F為PC的中點(diǎn)解：（1）連接AC，∵底面ABCD為菱形，，∴△ABC為正三角形，∵E是BC的中點(diǎn)，∴，又，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵，PA、平面PAD，∴平面PAD，（2）由（1）知，AE、AD、AP兩兩垂直，故以AE、AD、AP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，．設(shè)，．設(shè)平面PCD的法向量為，則令，則，，∴．設(shè)直線AF與平面PCD所成的角為，則當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)F為PC的中點(diǎn)．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）最大值為.解:（1）證明：連接，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以；又因?yàn)椋云矫?；因?yàn)槠矫妫?；同理；因?yàn)?，所以平面；因?yàn)槠矫?，過(guò)直線作平面與平面相交于直線，則；所以平面；又平面，所以平面平面；（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則；設(shè)，則，因?yàn)?，所以；設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值為，此時(shí)的最大值為.典例5、答案：（1）（2）當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大.解：（1），所以，解得，由于三角形是等邊三角形，圓是其外接圓，是圓的直徑，所以垂直平分，，在三角形中，由正弦定理得，則，由于平面，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以,所以.（2）由（1）得，設(shè)，，結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）.解:（1）因?yàn)?，，所?因?yàn)榈酌?，平面，所?又因?yàn)?，所?因?yàn)?，，，，平面，所以平?（2）如圖，取的中點(diǎn)E，連接.由，可得平面，又由，可得，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，，可得，所以，，，，.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，平面的法向量為.由，，有，取，則，，可得平面的法向量.又由，設(shè)直線與平面所成的角為.由，，，有.令，，有，故當(dāng)時(shí)，，的最大值為，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.典例6、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）解：（1）因?yàn)槠矫?，面，所以，，因?yàn)?，所以兩兩垂直，如圖以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，，，因?yàn)椋?，所以，，即，，因?yàn)?，所以平面?）由（1）知：平面，取平面的法向量，因?yàn)?，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，則，，所以，設(shè)二面角的平面角為，且為銳角，則，所以所以，整理可得：，解得：，所以的長(zhǎng)為.（3）由（2）知的長(zhǎng)為，即，因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)，所以，設(shè)，所以，平面的一個(gè)法向量，則，當(dāng)時(shí)，最小為，所以最大值為，綜上所述：的最大值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）.解:（1）取，中點(diǎn)，，連接，，.由，得，，又，所以平面.由，知四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以平面平面，所以平面.（2）由，知四邊形是以