2025年高考數(shù)學一輪專題復習-空間向量和立體幾何專題二（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復習專題二知識點一證明線面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法典例1、如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點.（1）求證:;（2）求二面角的大小.

隨堂練習：如圖，在正四棱錐中，，點M，N分別在上，且．（1）求證：平面；（2）當時，求平面與平面所成二面角的正弦值．典例2、如圖所示多面體中，底面是邊長為3的正方形，平面，，，是上一點，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．

隨堂練習：在四棱錐中，，，，，且，，平面平面.（1）證明：//平面；（2）求二面角的余弦值.典例3、如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）點在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.

隨堂練習：如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，是線段的中點，設(shè)平面與平面的交線為.（1）證明∥平面BCM（2）已知，為上的點，若與平面所成角的正弦值為是，求線段的長.（3）在（2）的條件下，求二面角的正弦值.知識點二求點面距離,面面角的向量求法典例4、如圖，四棱錐的底面是正方形，平面ABCD，.（1）求點A到平面SBC的距離；（2）求二面角的大小.隨堂練習：如圖，在長方體中，，，為的中點．（1）證明：；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的平面角的余弦值．典例5、已知正三棱柱底面邊長為2，M是BC上一點，三角形是以M為直角頂點等腰直角三角形.（1）證明M是BC中點；（2）求二面角的大??；（3）直接寫出點C到平面的距離.

隨堂練習：如圖，三棱柱的棱長均為2，點在底面的射影O是的中點.（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面所成角的余弦值.典例6、如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）求點到平面的距離．隨堂練習：如圖，平面，，，，，點，，分別為，，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大??；（3）若為線段上的點，且直線與平面所成的角為，求線段的長．

空間向量和立體幾何高考復習專題二答案典例1、答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）依題意，平面，如圖，以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系.依題意，可得，，，，即；∵，為的中點，∴（2），平面,平面，故為平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量為，，即，令，得，故.，由圖可得二面角為鈍角，二面角的余弦值為，則二面角的大小為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析2（2）解：（1）證明：連接AN并延長交BC于點E，因為正四棱錐P?ABCD，所以ABCD為正方形，所以．又因為，所以，所以在平面PAE中，，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．（2）連接AC交BD于點O，連接PO，因為正四棱錐P?ABCD，所以平面ABCD，又OA，平面ABCD，所以，，又正方形ABCD，所以．以，，為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，因為，所以，則，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，取，；，，設(shè)平面PBC的法向量為，則取，；所以，設(shè)平面AMN與平面PBC所成的二面角為，則，所以平面AMN與平面PBC所成二面角的正弦值為．典例2、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：過點作，交于點，則，即，因為，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）由題意以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，，即，，令，，則，，設(shè)二面角為，所以，即，所以二面角的正弦值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）設(shè)點滿足，即，結(jié)合條件，即，，即；由條件，即，可得：，顯然線段不共線，從而可得四邊形為平行四邊形，即可得：//，平面，平面，故可得：//平面（2）過點作作的垂線，垂足為，平面，平面平面，平面平面，可得：平面∵，∴，故可得，，，.在直角梯形中，，，可得，在中，根據(jù)余弦定理：，根據(jù)上述分析可得：，從而可得：.綜上可得：三條直線兩兩垂直.故以點為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸建立空間直角坐標系.則有點，，，，，設(shè)平面的法向量為，則可得：，即有，令，可得；平面與平面為同一個平面，顯然平面的一個法向量為.可得：，結(jié)合圖形可知是銳二面角，從而可得二面角的余弦值為典例3、答案：（1）證明見解析（2）（3）解：（1）記的中點為，連結(jié)，因為，，所以四邊形是平行四邊形，則，因為，所以平行四邊形是矩形，則，因為平面，平面，所以，則兩兩垂直，（2）故以為坐標原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，因為為的中點，所以，則，設(shè)平面的一個法向量為，而，，則，令，則，所以，則，又平面，所以平面．.設(shè)平面的一個法向量為，而，，所以，令，則，設(shè)平面的一個法向量為，而，，所以，令，則，記平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）依題意，不妨設(shè)，則，，又由（2）得平面的一個法向量為，記直線與平面所成角為，所以，解得（負值舍去），所以，則，而由（2）得平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）（3）解：（1）在正方形中，，因為平面，平面，所以∥平面，又因為平面，平面平面，所以，因為平面，平面，所以∥平面（2）如圖建立空間直角坐標系，因為，則有，，，，，設(shè)，則有，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則因為與平面所成角的正弦值為是，所以，解得.所以.（3）由（2）可知平面的一個法向量為因為是線段的中點，所以于是，，設(shè)平面的法向量則，即.令，得，，，所以二面角的正弦值為.典例4、答案：（1）；（2）.解:（1）設(shè)點A到平面SBC的距離為，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為四邊形為正方形，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，因為，所以，因為，所以，所以，解得，所以點A到平面SBC的距離為，（2）如圖，以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，平面的一個法向量為，所以，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的大小為隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.解:（1）如圖，以為原點，分別以，，的方向為，，軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，所以，．因為，所以．（2）由（1），得，，所以，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以，則點到平面的距離．（3）因為，所以．由（1）可知，且，所以平面，即是平面的一個法向量．由（2）得是平面的一個法向量，所以．又二面角的平面角是銳角，所以二面角的平面角的余弦值為典例5、答案：（1）證明見解析（2）（3）解：（1）證明：在正三棱柱中，有底面，面，，又是以點為直角頂點的等腰直角三角形，且，面面，面，，底面是邊長為2的正三角形，點為中點．（2）過作，交于．以為坐標原點，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系．由（1）知，，，，，則、，，，所以，，，設(shè)面的一個法向量為，則，取，得，令面的一個法向量為，則，令，則設(shè)二面角的大小為，由圖知為銳角，故，解得．故二面角的大小為．（3）過點作，由（1）知且，平面，平面，在平面內(nèi)，，又，平面，平面由（1）知，，，，，，點到平面的距離為．隨堂練習：答案：（1）；（2）.解:（1）由點在底面的射影O是的中點，可得平面，又由是等邊三角形，所以兩兩垂直，以分別為建立如圖所示的空間直角坐標系，因為三棱柱的棱長都是2，所以得，可得，所以，在平面中，，設(shè)法向量為，則有，可得，取，可得，所以平面的一個法向量為，記點到平面的距離d，則.（2）在平面中，，設(shè)法向量為，則有，可得，取，可得，所以，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值.典例6、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）．解:（1）證明：∵四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，∴，，又∵平面平面，，且平面平面，∴平面以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，，，，，，則，．∵，，∴為平面的一個法向量．又，∴，即平面．（2）由（1）知，由（1）知，，設(shè)平面的一個法向量，則，∴，∴平面AEF的一個法向量，則，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（3）由（1）知，又平面的一個法向量，所以點到平面的距離．隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.解：（1）證明：連接，，，，又，四邊形為平行四邊形.點，分別為，的中點，，.，，為的中點，，,，.四邊形為平行四邊形