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21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)(共2頁(yè))空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題二知識(shí)點(diǎn)一證明線面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法典例1、如圖,四邊形是正方形,平面,,,,為的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求二面角的大小.
隨堂練習(xí):如圖,在正四棱錐中,,點(diǎn)M,N分別在上,且.(1)求證:平面;(2)當(dāng)時(shí),求平面與平面所成二面角的正弦值.典例2、如圖所示多面體中,底面是邊長(zhǎng)為3的正方形,平面,,,是上一點(diǎn),.(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值.
隨堂練習(xí):在四棱錐中,,,,,且,,平面平面.(1)證明://平面;(2)求二面角的余弦值.典例3、如圖,在四棱錐中,平面,,且,,,,,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面夾角的余弦值;(3)點(diǎn)在線段上,直線與平面所成角的正弦值為,求點(diǎn)到平面的距離.
隨堂練習(xí):如圖,四棱錐的底面為正方形,底面,是線段的中點(diǎn),設(shè)平面與平面的交線為.(1)證明∥平面BCM(2)已知,為上的點(diǎn),若與平面所成角的正弦值為是,求線段的長(zhǎng).(3)在(2)的條件下,求二面角的正弦值.知識(shí)點(diǎn)二求點(diǎn)面距離,面面角的向量求法典例4、如圖,四棱錐的底面是正方形,平面ABCD,.(1)求點(diǎn)A到平面SBC的距離;(2)求二面角的大小.隨堂練習(xí):如圖,在長(zhǎng)方體中,,,為的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求點(diǎn)到平面的距離;(3)求二面角的平面角的余弦值.典例5、已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2,M是BC上一點(diǎn),三角形是以M為直角頂點(diǎn)等腰直角三角形.(1)證明M是BC中點(diǎn);(2)求二面角的大?。唬?)直接寫出點(diǎn)C到平面的距離.
隨堂練習(xí):如圖,三棱柱的棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)在底面的射影O是的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到平面的距離;(2)求平面與平面所成角的余弦值.典例6、如圖所示,平面平面,且四邊形為矩形,,,,.(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;(3)求點(diǎn)到平面的距離.隨堂練習(xí):如圖,平面,,,,,點(diǎn),,分別為,,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面夾角的大??;(3)若為線段上的點(diǎn),且直線與平面所成的角為,求線段的長(zhǎng).
空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題二答案典例1、答案:(1)證明見解析;(2).解:(1)依題意,平面,如圖,以為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意,可得,,,,即;∵,為的中點(diǎn),∴(2),平面,平面,故為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為,,即,令,得,故.,由圖可得二面角為鈍角,二面角的余弦值為,則二面角的大小為.隨堂練習(xí):答案:(1)證明見解析2(2)解:(1)證明:連接AN并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,因?yàn)檎睦忮FP?ABCD,所以ABCD為正方形,所以.又因?yàn)椋?,所以在平面PAE中,,又平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.(2)連接AC交BD于點(diǎn)O,連接PO,因?yàn)檎睦忮FP?ABCD,所以平面ABCD,又OA,平面ABCD,所以,,又正方形ABCD,所以.以,,為正交基底,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,因?yàn)?,所以,則,,設(shè)平面AMN的法向量為,則,取,;,,設(shè)平面PBC的法向量為,則取,;所以,設(shè)平面AMN與平面PBC所成的二面角為,則,所以平面AMN與平面PBC所成二面角的正弦值為.典例2、答案:(1)證明見解析(2)解:(1)證明:過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),則,即,因?yàn)?,所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所?又平面,平面,所以平面.(2)由題意以為原點(diǎn),分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,,設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,則,,即,,令,,則,,設(shè)二面角為,所以,即,所以二面角的正弦值為.隨堂練習(xí):答案:(1)證明見解析(2)解:(1)設(shè)點(diǎn)滿足,即,結(jié)合條件,即,,即;由條件,即,可得:,顯然線段不共線,從而可得四邊形為平行四邊形,即可得://,平面,平面,故可得://平面(2)過(guò)點(diǎn)作作的垂線,垂足為,平面,平面平面,平面平面,可得:平面∵,∴,故可得,,,.在直角梯形中,,,可得,在中,根據(jù)余弦定理:,根據(jù)上述分析可得:,從而可得:.綜上可得:三條直線兩兩垂直.故以點(diǎn)為原點(diǎn),方向?yàn)檩S,方向?yàn)檩S,方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系.則有點(diǎn),,,,,設(shè)平面的法向量為,則可得:,即有,令,可得;平面與平面為同一個(gè)平面,顯然平面的一個(gè)法向量為.可得:,結(jié)合圖形可知是銳二面角,從而可得二面角的余弦值為典例3、答案:(1)證明見解析(2)(3)解:(1)記的中點(diǎn)為,連結(jié),因?yàn)?,,所以四邊形是平行四邊形,則,因?yàn)?,所以平行四邊形是矩形,則,因?yàn)槠矫?,平面,所以,則兩兩垂直,(2)故以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,,,,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,而,,則,令,則,所以,則,又平面,所以平面..設(shè)平面的一個(gè)法向量為,而,,所以,令,則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,而,,所以,令,則,記平面與平面夾角為,則,所以,所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)依題意,不妨設(shè),則,,又由(2)得平面的一個(gè)法向量為,記直線與平面所成角為,所以,解得(負(fù)值舍去),所以,則,而由(2)得平面的一個(gè)法向量為,所以點(diǎn)到平面的距離為.隨堂練習(xí):答案:(1)證明見解析(2)(3)解:(1)在正方形中,,因?yàn)槠矫?,平面,所以∥平面,又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?,所以,因?yàn)槠矫妫矫?,所以∥平面?)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,則有,,,,,設(shè),則有,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,所以平面的一個(gè)法向量為,則因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為是,所以,解得.所以.(3)由(2)可知平面的一個(gè)法向量為因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn),所以于是,,設(shè)平面的法向量則,即.令,得,,,所以二面角的正弦值為.典例4、答案:(1);(2).解:(1)設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為,因?yàn)槠矫鍭BCD,平面ABCD,所以,因?yàn)樗倪呅螢檎叫?,所以,因?yàn)?,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)椋?,因?yàn)?,所以,所以,解得,所以點(diǎn)A到平面SBC的距離為,(2)如圖,以為原點(diǎn),分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,平面的一個(gè)法向量為,所以,由圖可知二面角為銳角,所以二面角的大小為隨堂練習(xí):答案:(1)證明見解析;(2);(3).解:(1)如圖,以為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)?,,軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,.因?yàn)?,所以.?)由(1),得,,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,令,則,,所以,則點(diǎn)到平面的距離.(3)因?yàn)椋裕桑?)可知,且,所以平面,即是平面的一個(gè)法向量.由(2)得是平面的一個(gè)法向量,所以.又二面角的平面角是銳角,所以二面角的平面角的余弦值為典例5、答案:(1)證明見解析(2)(3)解:(1)證明:在正三棱柱中,有底面,面,,又是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,且,面面,面,,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,點(diǎn)為中點(diǎn).(2)過(guò)作,交于.以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.由(1)知,,,,,則、,,,所以,,,設(shè)面的一個(gè)法向量為,則,取,得,令面的一個(gè)法向量為,則,令,則設(shè)二面角的大小為,由圖知為銳角,故,解得.故二面角的大小為.(3)過(guò)點(diǎn)作,由(1)知且,平面,平面,在平面內(nèi),,又,平面,平面由(1)知,,,,,,點(diǎn)到平面的距離為.隨堂練習(xí):答案:(1);(2).解:(1)由點(diǎn)在底面的射影O是的中點(diǎn),可得平面,又由是等邊三角形,所以兩兩垂直,以分別為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)槿庵睦忾L(zhǎng)都是2,所以得,可得,所以,在平面中,,設(shè)法向量為,則有,可得,取,可得,所以平面的一個(gè)法向量為,記點(diǎn)到平面的距離d,則.(2)在平面中,,設(shè)法向量為,則有,可得,取,可得,所以,設(shè)平面與平面所成角為,則,所以平面與平面所成角的余弦值.典例6、答案:(1)證明見解析;(2);(3).解:(1)證明:∵四邊形為直角梯形,四邊形為矩形,∴,,又∵平面平面,,且平面平面,∴平面以為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,則,.∵,,∴為平面的一個(gè)法向量.又,∴,即平面.(2)由(1)知,由(1)知,,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,∴,∴平面AEF的一個(gè)法向量,則,平面與平面所成銳二面角的余弦值為.(3)由(1)知,又平面的一個(gè)法向量,所以點(diǎn)到平面的距離.隨堂練習(xí):答案:(1)證明見解析;(2);(3).解:(1)證明:連接,,,,又,四邊形為平行四邊形.點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),,.,,為的中點(diǎn),,,,.四邊形為平行四邊形
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