2025年高考數學一輪專題復習-數列專題七（含解析）

21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數學--數列專題七知識點一根據規(guī)律填寫數列中的某項,數列求和的其他方法,數列新定義典例1、對于項數為的有窮數列，設為中的最大值，稱數列是的控制數列.例如數列3，5，4，7的控制數列是3，5，5，7.（1）若各項均為正整數的數列的控制數列是2，3，4，6，6，寫出所有的；（2）設是的控制數列，滿足（為常數，）.證明：.（3）考慮正整數的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列.是否存在數列，使它的控制數列為等差數列？若存在，求出滿足條件的數列的個數；若不存在，請說明理由.隨堂練習：給定整數()，設集合，記集合．（1）若，求集合；（2）若構成以為首項，()為公差的等差數列，求證：集合中的元素個數為；（3）若構成以為首項，為公比的等比數列，求集合中元素的個數及所有元素之和．典例2、設，為正整數，一個正整數數列，，…，滿足，對，定義集合，數列，，…，中的（）是集合中元素的個數.（1）若數列，，…，為5,3,3,2,1,1，寫出數列，，…，；（2）若，，，，…，為公比為的等比數列，求；（3）對，定義集合，令是集合中元素的個數.求證：對，均有.

隨堂練習：已知數列的各項均為正整數，設集合，記的元素個數為.（1）①若數列：，，，，求集合，并寫出的值；②若數列：，，，，且，，求數列和集合；（2）若是遞增數列，求證：“”的充要條件是“為等差數列”；（3）請你判斷是否存在最大值，并說明理由.典例3、對于項數為m（且）的有窮正整數數列，記，即為中的最小值，設由組成的數列稱為的“新型數列”.（1）若數列為2019，2020，2019，2018，2017，請寫出的“新型數列”的所有項；（2）若數列滿足，且其對應的“新型數列”項數，求的所有項的和；（3）若數列的各項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求符合條件的及其對應的“新型數列”.

隨堂練習：設數列（）的各項均為正整數，且.若對任意，存在正整數使得，則稱數列具有性質.（1）判斷數列與數列是否具有性質；（只需寫出結論）（2）若數列具有性質，且，，，求的最小值；（3）若集合，且（任意，）.求證：存在，使得從中可以選取若干元素（可重復選取）組成一個具有性質的數列.知識點二利用定義求等差數列通項公式,裂項相消法求和,利用an與sn關系求通項或項典例4、已知數列是等差數列，其前n項和為，，，數列滿足(且)，.（1）求和的通項公式；（2）求數列的前n項和.

隨堂練習：已知等差數列的各項均為正數，其前n項和為，且滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，且，求數列的前n項的和.典例5、已知數列的首項，其前n項和為，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前n項和為，且，求n.

隨堂練習：已知數列的前項和，數列滿足.（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，求滿足的的最大值.典例6、在“①，，；②，；③”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上，并解答．已知等差數列的前n項和為，且__________．（1）求的通項公式；（2）若，求的前n項和為，求證：．

隨堂練習：已知等差數列的前項和為，數列是各項均為正數的等比數列，，.（1）求數列的通項公式；（2）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.問題：已知，___________，是否存在正整數，使得數列的前項和？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）人教A版數學--數列專題七答案典例1、答案：（1）答案見解析；（2）證明見解析；（3）。解：（1）由題意，，，，，所以數列有六種可能：；；；；；．（2）因為，，所以，所以控制數列是不減的數列，是的控制數列，滿足，是常數，所以，即數列也是不減的數列，，那么若時都有，則，若，則，若，則，又，由數學歸納法思想可得對，都有；（3）設的控制數列是，由（2）知是不減的數列，必有一項等于，當是數列中間某項時，不可能是等差數列，所以或，若，則（），是等差數列，此時只要，是的任意排列均可．共個，，而時，數列中必有，否則不可能是等差數列，由此有，即就是，只有一種排列，綜上，的個數是．隨堂練習：答案：（1）（2）見解析（3）解:（1）因為，當時，∴．(2)因為構成以為首項，()為公差的等差數列，所以有()，以及()．此時，集合中的元素有以下大小關系：．因此，集合中含有個元素．(3)由題設，．設集合，．①先證中的元素個數為，即從集合中任取兩個元素，它們的和互不相同．不妨設，于是．顯然．假設，可得，即．因為，，所以，又，于是，等式不成立．因此，．同理可證．②再證．不妨設，于是．顯然，．假設，可得，即，因為，所以，又，于是，等式不成立．因此，．由①②，得，且．此時，集合中的元素個數為．集合中所有元素的和為．典例2、答案：（1）數列，，…，是6,4,3,1,1.（2）（3）解:（1）解：數列，，…，是6,4,3,1,1.（2）由題知，由于數列，，…，是項的等比數列，因此數列，，…，為，，…，2下面證明假設數列中有個，個，…，個2，個1，顯然所以.由題意可得，，，…，，…，.所以故即（3）對，表示，，…，中大于等于的個數由已知得，，…，一共有項，每一項都大于等于1，故，由于故由于，故當時，即.接下來證明對，，則，即1,2，…，，從而故，從而1,2，…，，故，從而，故有設，即，根據集合的定義，有.由知，1,2，…，，由的定義可得，而由，故因此，對，隨堂練習：答案：（1）①；②數列：，，，，；（2）證明見解析；（3）不存在，證明見解析.【試題解析】分析:解：（1）因為，，，，，，所以集合，.因為：，，，，且，所以，，均不相等，所以，，都是集合中的元素，因為，所以，可得：，，所以數列：，，，，.（2）充分性：是遞增數列，若為等差數列，則，設的公差為，，當時，，所以，所以，故充分性成立.必要性：若是遞增數列，，則為等差數列，因為是遞增數列，所以，所以，且互不相等，所以，又因為，所以且互不相等，所以，，，，所以，所以為等差數列，必要性成立.所以若是遞增數列，“”的充要條件是“為等差數列”.（3）假設存在最大值為，即中有個元素，分別為，且，不妨設，其中且與均是正整數，則，且也是正整數，所以，所以中有個元素，與假設中有個元素矛盾，所以假設不成立，所以不存在最大值.典例3、答案：（1）數列為2019，2019，2019，2018，2017（2）（3）滿足題意的數列：.所以對應的“新型數列”分別為：.解：（1）數列為2019，2019，2019，2018，2017；（2）由已知得：當時，關于n遞減；當時，關于n遞減，又時，關于n遞減.，.又，.共21項且各項分別與中各項相同，其和為.（3）先不妨設數列單調遞增，當時，，，，此時無解，不滿足題意；當時，由得，，又，，代入原式得.當時，，而，矛盾，所以不存在滿足題意的數列.綜上，滿足題意的數列：.所以對應的“新型數列”分別為：.隨堂練習：答案（1）數列不具有性質；數列具有性質（2）的最小值為（3）證明見解析解:（1）數列不具有性質；數列具有性質.（2）由題可知，，，，，所以.若，因為且，所以.同理，因為數列各項均為正整數，所以.所以數列前三項為.因為數列具有性質，只可能為之一，而又因為，所以.同理，有.此時數列為.但數列中不存在使得，所以該數列不具有性質.所以.當時，取.（構造數列不唯一）經驗證，此數列具有性質.所以，的最小值為.（3）反證法：假設結論不成立，即對任意都有：若正整數，則.否則，存在滿足：存在，使得，此時，從中取出：當時，是一個具有性質的數列；當時，是一個具有性質的數列；當時，是一個具有性質的數列.（i）由題意可知，這個集合中至少有一個集合的元素個數不少于個，不妨設此集合為，從中取出個數，記為，且.令集合.由假設，對任意，，所以.（ii）在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，從中取出個數，記為，且.令集合.由假設.對任意，存在使得.所以對任意，，由假設，所以，所以，所以.（iii）在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，從中取出個數，記為，且.令集合.由假設.對任意，存在使得.所以對任意，，同樣，由假設可得，所以，所以.（iv）類似地，在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，從中取出個數，記為，且，則.（v）同樣，在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，從中取出個數，記為，且，同理可得.（vi）由假設可得.同上可知，，而又因為，所以，矛盾.所以假設不成立.所以原命題得證.典例4、答案：（1），；（2）.解：（1）設等差數列公差為d，∵，∴，∵公差，∴.由得，即，∴數列是首項為，公比為2的等比數列，∴；（2）∵，∴，隨堂練習：答案：（1）；（2）.解:（1）設數列的首項為，公差為，且.則由題意，得，解之得或（舍），∴.（2）由得：；；；；以上等式左右相加得，又，∴，當時，也滿足上式，.∴.典例5、答案：（1）（2）解：（1）由得，從而數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以；（2）由（1）得，由得又，所以.隨堂練習：答案：（1）證明見解析，；（2）的最大值為.解:（1）.當時，，解得；當時，由，可得，上述兩式相減得，即，等式的兩邊同時乘以，得，即，所以，且，所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，即，；（2）由（1）可，所以，，由可得，即，.因此，正整數的最大值為.典例6、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）若選擇①，因為，，，，解得，，設公差為d，則有，，解得，，所以．若選擇②，設公差為d，，即，結合，解得，，所以．若選擇③，當時，；當時，，當時亦滿足上式，所以．（2）證明：由（1）得，所以，因為，（），所以，所以．隨堂練習：答案：（1）（2）答案見解析解：（1）設等比數列的公比為，由得：，，又，因此有，即，解得，(