2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-數(shù)列專題十二（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題十二知識點一等差數(shù)列通項公式的基本量計算,求等差數(shù)列前n項和,裂項相消法求和典例1、在①，；②；③，是與的等比中項，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．已知為等差數(shù)列的前n項和，若________．（1）求；（2）記，已知數(shù)列的前n項和，求證：隨堂練習(xí)：在①是與的等比中項：②；③這三個條件中任選兩個補充到下面的橫線中并解答．問題：已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，且滿足______．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個組合分別作答，按第一個解答計分．典例2、在①且，②且，③正項數(shù)列滿足這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題:已知數(shù)列的前項和為，且______?（1）求數(shù)列的通項公式:（2）求證：.

隨堂練習(xí)：設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，__________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.從下列兩個條件中任選一個作為已知，補充在上面問題的橫線中進行求解（若兩個都選，則按所寫的第1個評分）：①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列；②.典例3、已知的前n項和為，，且滿足______，現(xiàn)有以下條件：①；②；③請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的前n項和，并證明：．

隨堂練習(xí)：已知等差數(shù)列與正項等比數(shù)列，滿足，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并完成求解.若______，求數(shù)列的前項和.（注：若多選，以選①評分）知識點二由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列,錯位相減法求和典例4、已知為數(shù)列的前項和,．（1）證明:數(shù)列為等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列中，，且滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.典例5、已知數(shù)列的前n項和為．（1）記，證明：是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為，求，并求使不等式成立的最大正整數(shù)n．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列中，，數(shù)列的前項和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.典例6、對于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù)．（1）定義在R上的函數(shù)滿足：對任意，，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿足．（Ⅰ）求證：是數(shù)列的母函數(shù)；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．（2）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且．若數(shù)列的前n項和為，求證：．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項和．人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題十二答案典例1、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）選擇條件①：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，故；選擇條件②：，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，也適合上式，故；選擇條件③：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得、或、（不合題意），故．（2）證明：因為，所以，故，得證.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）方法1：選①和③，整理得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，方法2：選①和②，，所以，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，化簡得，解得，，則，方法3：選②和③，，可得，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，得到方程，解得，故，所以等差數(shù)列的通項公式為：.（2），典例2、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）選擇①當(dāng)時，，，兩式作差得：，整理得，所以為常數(shù)列，因此，所以.選擇②得，兩式相減得，即數(shù)列為隔項等差數(shù)列，且公差為，當(dāng)時，，又，則，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，綜合得：；選擇③又，得.當(dāng)時，，兩式相減得：，即.又因為，所以，故為公差為1的等差數(shù)列，得.（2）證明：由（1）可得所以因為所以因此.隨堂練習(xí)：答案：（1）選擇①②，都有；（2）證明見解析.解：（1）若選擇①數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，顯然其首項為故，故；當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足.故的通項公式為；若選擇②即，整理得：故，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，與選擇①相同，故的通項公式為.（2）根據(jù)（1）中所求可得：，則故又，故可得.典例3、答案：（1）；（2）；證明見解析.解：（1）若選擇條件①：因為，當(dāng)時，，兩式相減得，所以當(dāng)時，當(dāng)n＝1時符合，∴；若選擇條件②：因為，當(dāng)時，兩式相減得，，∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴；若選擇條件③：∵，∴時，，兩式相減得，當(dāng)n＝1時，，可得，，∴時成立，∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴；（2）由（1）可知，則，所以，因為，所以各項均為正數(shù)，所以，又因為，所以．隨堂練習(xí)：答案：（1），（2）見解析解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，正項等比數(shù)列的公比為，由已知得，則，解得，所以，；（2）選①，則有即.選②，則有，設(shè)數(shù)列的前項和為，，，兩式相減，，解得.選③，則由，即.典例4、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明:由題知,,解得:故,由,可得,,兩式相減可得:,,所以,,所以,,所以數(shù)列是以6為首項,2為公比的等比數(shù)列;（2）由(1)得數(shù)列是以6為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,故,則,設(shè),其前n項和為,則①,②,①-②可得:,所以,所以,綜上:.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）解：（1），數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列.，（2），即①，②，由①②得：，，化簡得：.典例5、答案：（1）證明過程見解析，；（2）；n為5．解：（1）由，得，即，．即，又，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，；（2）由（1）知．，①，②①-②，得，，，因為所以，所以是遞增數(shù)列，，使不等式成立的最大正整數(shù)n為5．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）當(dāng)時，，；當(dāng)時，，則，又滿足，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得：，則，；，則，，.典例6、答案：（1）（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（2）證明見解析.解：（1）（Ⅰ）由題知，且．是數(shù)列的母函數(shù)；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：是首項和公差均為2的等差數(shù)列，故．①