拔高點(diǎn)突破02 極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題（七大題型）（解析版）

拔高點(diǎn)突破02極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：極值點(diǎn)偏移:加法型 3題型二：極值點(diǎn)偏移:減法型 8題型三：極值點(diǎn)偏移:乘積型 13題型四：極值點(diǎn)偏移:商型 20題型五：極值點(diǎn)偏移:平方型 28題型六：極值點(diǎn)偏移:混合型 33題型七：拐點(diǎn)偏移問題 3903過關(guān)測試 44

1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念所謂極值點(diǎn)偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往。如下圖所示。圖1極值點(diǎn)不偏移圖2極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡稱極值點(diǎn)右偏。2、對稱變換主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0.(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對稱函數(shù)，若證，則令.(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．【注意】若要證明的符號問題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效3、應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.題型一：極值點(diǎn)偏移:加法型【典例1-1】（2024·四川南充·一模）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【解析】（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.又當(dāng)x趨近于0或時(shí)，趨于，所以，要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需滿足，即.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）不妨設(shè)，由（1）可知，，則，要證，只需證，又在上單調(diào)遞增，所以只需證，即證.記，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以，即.所以.【典例1-2】（2024·安徽馬鞍山·一模）設(shè)函數(shù).(1)若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個(gè)不同的根、，求證：，其中為自然對數(shù)的底數(shù).【解析】（1）由，得.令，，則，令，則.所以，函數(shù)在上單增，故.①當(dāng)時(shí)，則，所以在上單增，，此時(shí)對恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，故存在使得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）證明：由（1）中結(jié)論，取，有，即.不妨設(shè)，，則，整理得.于是，即.【變式1-1】（2024·甘肅酒泉·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若（為的導(dǎo)函數(shù)），方程有兩個(gè)不等實(shí)根、，求證：．【解析】（1）因?yàn)?，則，所以，，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）證明：因?yàn)?，，所以．因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由方程有兩個(gè)不等實(shí)根、，則可設(shè)，欲證，即證，即證，而，即，即，設(shè)，其中，則，設(shè)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故得證．【變式1-2】（2024·安徽淮南·二模）已知函數(shù)．(1)若，證明：時(shí)，；(2)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，證明：．【解析】（1）時(shí)，函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，所以．（2），顯然為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為；設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由已知，必有兩個(gè)零點(diǎn)，且，下證：．設(shè)函數(shù)，則，，由于，則，由（1）有，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即有，由于，且在上單調(diào)遞增，所以，所以．【變式1-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，，兩式相減，可得，即，，因此，，.令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.因?yàn)?，所以，故得證.題型二：極值點(diǎn)偏移:減法型【典例2-1】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，證明：.【解析】（1）由題意可知：的定義域?yàn)椋?，令，可得，且，即，，可知在?nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，可得，，或故在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，由題意可得：，因?yàn)?，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得在內(nèi)恒成立，因?yàn)椋瑒t，且在內(nèi)單調(diào)遞減則，即；令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得在內(nèi)恒成立，因?yàn)?，則，且在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；由和可得.【典例2-2】（2024·湖南邵陽·一模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別記為.①求的取值范圍；②證明.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?又，令，得.當(dāng)，即時(shí)，在恒成立，.當(dāng)，即時(shí)，方程有兩根，可求得：，因?yàn)樗?，?dāng)和時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，.①方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令，則，令，求得：或，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，存在極大值為，存在極小值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.要使方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為.②證明：設(shè)方程三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為：，且，由①可得，要證，只需證，即證，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.由，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立，又，則有：，又，且在上單調(diào)遞減，，即.構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增.，即在上恒成立.又，則.即，由，則.在上單調(diào)遞增，.又，則可證得：.【變式2-1】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且存在，使得的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)；①求證：；②求證：．【解析】（1），，其中，，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)恒成立，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即或，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，得或，當(dāng)，或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）①由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，、是方程的兩根，有，，又的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)，故，則，要證，即證，又，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可證，又，即可證，令，，由，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，即，即恒成立，即得證；②由，則，令，，則，故在上單調(diào)遞增，即，即當(dāng)時(shí)，，由，故，又，故，由，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，又由①知，故，又，故.題型三：極值點(diǎn)偏移:乘積型【典例3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）因?yàn)槭呛膬蓚€(gè)零點(diǎn)，由（1）知，因?yàn)?，設(shè)，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．又因?yàn)?，且，所以，．首先證明：．由題意，得，設(shè)，則兩式相除，得．要證，只要證，即證．只要證，即證．設(shè)，．因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增．所以，即證得①．其次證明：．設(shè)，．因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減．所以，即．所以②．由①②可證得．【典例3-2】（2024·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.【解析】（1）因?yàn)?，所?所以，又f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，所以，解得..（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），因?yàn)閒（x）在定義域上為增函數(shù)，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，時(shí)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時(shí)，在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件是，即，又，所以在（1，）上存在一個(gè)零點(diǎn)（）.當(dāng)時(shí)，，所以在（，+∞）上存在一個(gè)零點(diǎn)，綜上函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.不妨設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)由，所以，所以，所以，要證，只需證，只需證，由，只需證，只需證，只需證，令，只需證，令，，∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，即成立，所以成立.【變式3-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則總成立，故函數(shù)即在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故在上存在唯一極值點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)．（2）由知，整理得，（*），不妨令，則，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有，即，那么，因此，（*）即轉(zhuǎn)化為，接下來證明，等價(jià)于證明，不妨令（），建構(gòu)新函數(shù)，，則在上單調(diào)遞減，所以，故即得證，由不等式的傳遞性知，即．【變式3-2】（2024·江西南昌·二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，所以，即，，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以，若恒成立，則．所以時(shí)，恒成立，a的取值范圍為.（2）由題意知，，不妨設(shè)，由得，則，令，則，即：．要證，只需證，只需證，即證，即證（），令（），因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以成立，故．【變式3-3】（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若存在兩個(gè)不同的正數(shù)，使得，證明：．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，解得，即的取值范圍為．（2）證明：不妨設(shè)，則，要證，即證，則證，則證，所以只需證，即．令，則，．當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減，則．所以．由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，從而成立．【變式3-4】（2024·高三·重慶·期末）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)求的最值；(2)證明：.【解析】（1），有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，∴在內(nèi)必不單調(diào)，故，令，解得，∴在上單增，上單減，∴，無最小值．（2）由題知兩式相減得，即，故要證，即證，即證，不妨設(shè)，令，則只需證，設(shè)，則，設(shè)，則，∴在上單減，∴，∴在上單增，∴，即在時(shí)恒成立，原不等式得證．題型四：極值點(diǎn)偏移:商型【典例4-1】（2024·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.【解析】（1），是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，∵，∴時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減.（2）由題意得，，即，，設(shè)，，則由得，，且.不妨設(shè)，則即證，由及的單調(diào)性知，.令，，則，∵，∴，，∴，取，則，又，則，又，，且在單調(diào)遞減，∴，.下證：.（i）當(dāng)時(shí)，由得，；（ii）當(dāng)時(shí)，令，，則，記，，則，又在為減函數(shù)，∴，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減，從而，在單調(diào)遞增，又，，∴，又，從而，由零點(diǎn)存在定理得，存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以，，又，，所以，，顯然，，所以，，即，取，則，又，則，結(jié)合，，以及在單調(diào)遞增，得到，從而.【典例4-2】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.【變式4-1】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）因?yàn)椋?，即，故，設(shè)，則，不妨設(shè)，由（1）可知原命題等價(jià)于：已知，證明：.

證明如下：若，恒成立；若，即時(shí)，要證：，即證，而，即證，即證：，其中設(shè)，，則，因?yàn)?，故，故，所以，故在為增函?shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.【變式4-2】（2024·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【解析】（1）因?yàn)?，所以，其?①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由得，由可得.所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）（i）方程可化為，即．令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合題意，關(guān)于的方程（*）有兩個(gè)不等的實(shí)根．又因?yàn)椴皇欠匠蹋?）的實(shí)根，所以方程（*）可化為．令，其中，則．由可得或，由可得，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，函數(shù)的極小值為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則.作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（ii）要證，只需證，即證．因?yàn)椋灾恍枳C．由（ⅰ）知，不妨設(shè)．因?yàn)椋?，即，作差可得．所以只需證，即只需證．令，只需證．令，其中，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．所以原不等式得證．【變式4-3】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，.(1)若對于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.【解析】（1）結(jié)合題意：對于任意，都有，所以，因?yàn)椋灾恍?，，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以只需；（2）等價(jià)于，設(shè)函數(shù)，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，由知且，，設(shè)函數(shù)，其中，知，知在區(qū)間上單調(diào)遞增，即時(shí)，即時(shí)，，即，又由已知由且，有且，由在上單調(diào)遞減，所以，即.題型五：極值點(diǎn)偏移:平方型【典例5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若對任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若且，，證明：．【解析】（1）由，，得，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由得，兩邊取對數(shù)并整理，得，即，即．由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（技巧：注意對第（1）問結(jié)論的應(yīng)用）而，當(dāng)時(shí)，恒成立，不妨設(shè)，則．記，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，，于是，，又在上單調(diào)遞減，因此，即，所以．【典例5-2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，，求證：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，且，所以切線的方程為，即為；（2）證明：由題意可得，若，則，所以在遞增，因此不存在，使得，所以；設(shè)，，則，令，，所以在遞減，又，所以在恒成立，從而在遞減，從而.①又由，可得，所以.②由①②可得.又因?yàn)椋?，因此要證，只需證明，即證，③設(shè)，，則，所以在上為增函數(shù)，又因?yàn)?，所以，即③式成?所以獲證.【變式5-1】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋猿闪?，等價(jià)于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，解得.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.且時(shí)，.所以，且.因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因?yàn)椋?，因此要證，只需證.因?yàn)椋灾恍枳C，即證.因?yàn)椋醋C.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.【變式5-2】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；【解析】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?由得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)椋?，所以，即，所?題型六：極值點(diǎn)偏移:混合型【典例6-1】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對數(shù)底數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，現(xiàn)有如下三個(gè)命題：①；②；③；請從①②③中任選一個(gè)進(jìn)行證明．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí)不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，要，只需，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，則由得，所以，故實(shí)數(shù)b的取值范圍為．（2）當(dāng)時(shí)，，，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，則，設(shè)，因?yàn)?，，則，因?yàn)?，所以，，則，取對數(shù)得，令，，則，即①令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，亦即，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，則，整理得，所以，故①成立②令，則，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，即，故②成立．③令，，則，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，∴，則，兩邊約去后化簡整理得，即，故③成立．【典例6-2】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，求證：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，令，即，解得：.令，解得：；令，解得：；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，都有，即，亦即對恒成立.令，只需..令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單增，所以，所以當(dāng)時(shí)，.所以，所以在上單減，所以.所以.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）可化為：.令，上式即為.由（1）可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為的兩根，其中.不妨設(shè)，要證，只需，即，只需證.令.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由零點(diǎn)存在定理可得：存在，使得.當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減；又，所以..因?yàn)?，，所?所以恒成立.所以.所以.所以即證.【變式6-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，不合乎題意，所以，，由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，由可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)的極大值為，如下圖所示：且當(dāng)時(shí)，，由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：因?yàn)?，則，令，其中，則有，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根、，令，，則關(guān)于的方程也有兩個(gè)實(shí)根、，且，要證，即證，即證，即證，由已知，所以，，整理可得，不妨設(shè)，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故原不等式成立.題型七：拐點(diǎn)偏移問題【典例7-1】已知函數(shù)，．(1)若在處取得極值，求的值；(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，求證：．【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得：．驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，易得在處取得極大值．（2）因?yàn)?，所以，①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②若，，當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為1，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不存在，滿足等號成立條件，所以．【典例7-2】已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對實(shí)數(shù)，令，正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.【解析】（1）.若，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.若，當(dāng)時(shí)，，即在（，上均單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.若，則，即在上單調(diào)遞增.若，當(dāng)時(shí)，，即在，上均單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，，，，令，，由于，知當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增.從而，，于是，，即，而，所以，而當(dāng)，時(shí)，取最小值6.【變式7-1】已知函數(shù)，.（1）若在處取得極值，求的值；（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿足，求證：.【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得．

驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，在處取得極大值．

（2）因?yàn)樗裕偃簦瑒t當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．②若，，當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（3）證明：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，即，所以?/p>

令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為．

所以，即，所以或．因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在滿足條件，所以．【變式7-2】已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）若正實(shí)數(shù)滿足，求證：.【解析】（1），切點(diǎn)為.，.切線為：，即.（2）.令，，，，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，所以.即.得：，得到，即：.【變式7-3】已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若正實(shí)數(shù)、滿足，證明：．【解析】（1）根據(jù)題意，可知的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，存在大于1的實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；不可能成立，所以，即的取值范圍為.（2）證明：不妨設(shè)，正實(shí)數(shù)、滿足，有（1）可知，，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又，所以只要證明：，設(shè)，則，可得，當(dāng)時(shí)，成立，在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，成立，即，所以不等式成立，所以.1．已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則；令，解得：或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（i）由得：，恰有個(gè)正實(shí)數(shù)根，恰有個(gè)正實(shí)數(shù)根，令，則與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)從的右側(cè)無限趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)無限趨近于時(shí)，的增速遠(yuǎn)大于的增速，則趨近于；則圖象如下圖所示，當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（ii）由（i）知：，，，，，不妨設(shè)，則，要證，只需證，，，，則只需證，令，則只需證當(dāng)時(shí)，恒成立，令，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，恒成立，原不等式得證.2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【解析】（1），令，則，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又，，，使得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知：若，則，要證，只需證，，，又在上單調(diào)遞減，則只需證，，則只需證，即證，則需證，又，只需證，即證，令，則，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，，，原不等式得證.3．（2024·安徽淮北·一模）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求證：.【解析】（1），.①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，，單調(diào)遞增，由得，，單調(diào)遞減.綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，不妨設(shè)，∴在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，，∴，由得，，單調(diào)遞減，由得，，單調(diào)遞增，，，，，∴要證，即證，又∵，只要證，即證，∵，即證即證，即證，即證令，，∴，令，，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，∴，∴，∴∴在上遞增，∴，∴∴.4．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若正實(shí)數(shù)、滿足，證明：．【解析】（1）根據(jù)題意，可知的定義域?yàn)?，而，?dāng)時(shí)，，，為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，存在大于1的實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；不可能成立，所以，即的取值范圍為.（2）證明：不妨設(shè)，正實(shí)數(shù)、滿足，有（1）可知，，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又，所以只要證明：，設(shè)，則，可得，當(dāng)時(shí)，成立，在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，成立，即，所以不等式成立，所以.5．已知函數(shù).(1)若的極小值為-4，求的值；(2)若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，證明：.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，取得極小值，由，解得或（舍去）.故的值為。（2）由題意可知，方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.驗(yàn)證可知，，由得，所以.當(dāng)時(shí)，方程，即方程，則有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不妨設(shè)，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，因?yàn)?，?6．（2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍;(2)若、是的零點(diǎn)，且，證明:.【解析】（1）由已知得的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.所以在處取得極小值即最小值，，，，即的取值范圍為.（2）由（1）知，的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且是的極小值點(diǎn).、是的零點(diǎn)，且，、分別在、上，不妨設(shè)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.，，即，，，，，又，在上單調(diào)遞增，，即.7．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．【解析】（1）由得，則由有兩個(gè)零點(diǎn)知方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．令，則，由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）法一、由（1）知，令，則．由得，要證，只需證，只需證，即證，即證．令，則，令，，則，所以單調(diào)遞增，即，故在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，故，得證．法二、由（1）知，當(dāng)時(shí)，顯然．當(dāng)時(shí)，則，要證，只需證，又且在上單調(diào)遞增，故只需證，即證，即證，即證，令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，所以，故，所以在上單調(diào)遞減，則，又，所以當(dāng)時(shí)，，即．8．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.【解析】（1）時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增.（2）關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根,，即有兩不同實(shí)根，，得，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，取得最大值，且，得圖象如圖：.

，則，即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根，，兩根滿足，，兩式相加得：，兩式相減地，上述兩式相除得，不妨設(shè)，要證：，只需證：,即證，設(shè)，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且,，即，.9．已知函數(shù)（其中為自然對