第02講 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（練習(xí)）（解析版）

第02講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（模擬精練+真題演練）1．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）下面是一個列聯(lián)表，其中a、b處填的值分別為（

）總計a217322527總計b46100

A．52、54 B．54、52C．94、146 D．146、94【答案】A【解析】由題意可得，解得，所以a、b值分別為52、54.故選：A.2．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）為客觀反映建設(shè)創(chuàng)新型國家進(jìn)程中我國創(chuàng)新能力的發(fā)展情況，國家統(tǒng)計局社科文司《中國創(chuàng)新指數(shù)（CII）研究》課題組研究設(shè)計了評價我國創(chuàng)新能力的指標(biāo)體系和指數(shù)編制方法.中國創(chuàng)新指數(shù)（ChinaInnovationIndex，CII）中有4個分指數(shù)（創(chuàng)新環(huán)境指數(shù)、創(chuàng)新投入指數(shù)、創(chuàng)新產(chǎn)出指數(shù)、創(chuàng)新成效指數(shù)），下面是2005—2021年中國創(chuàng)新指數(shù)及分領(lǐng)域指數(shù)圖，由圖可知指數(shù)與年份正相關(guān)，則對4個分領(lǐng)域指數(shù)，在建立年份值與指數(shù)值的回歸模型中，相關(guān)系數(shù)最大的指數(shù)類型是（

）

A．創(chuàng)新環(huán)境指數(shù) B．創(chuàng)新投入指數(shù) C．創(chuàng)新產(chǎn)出指數(shù) D．創(chuàng)新成效指數(shù)【答案】D【解析】由題圖易知4個分領(lǐng)域指數(shù)的起始位置相同，其中創(chuàng)新投入指數(shù)、創(chuàng)新產(chǎn)出指數(shù)從2014年起，指數(shù)增幅大，變化趨勢明顯大于另兩類指數(shù)；從2011年起，創(chuàng)新環(huán)境指數(shù)的波動幅度比創(chuàng)新成效指數(shù)的波動幅度大，創(chuàng)新成效指數(shù)對應(yīng)的散點(diǎn)更趨近于某一條直線，故其對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)最大.故選：D.3．（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測）某學(xué)校一同學(xué)研究溫差（℃）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y1720252835經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．樣本中心點(diǎn)為B．C．時，殘差為D．若去掉樣本點(diǎn)，則樣本的相關(guān)系數(shù)增大【答案】D【解析】對于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以樣本中心點(diǎn)為，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由回歸直線必過樣本中心可得：，解得：，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，由B項(xiàng)知，，令，則，所以殘差為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，由相關(guān)系數(shù)公式可知，去掉樣本點(diǎn)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變，故D項(xiàng)錯誤.故選：D.4．（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）下列說法：（1）分類變量與的隨機(jī)變量越大，說明與相關(guān)的把握性越大；（2）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.7；（3）若隨機(jī)變量，且，則．以上正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)原理，分類變量與的隨機(jī)變量越大，說明與相關(guān)的把握性越大，故（1）正確；由，兩邊取對數(shù)得，即，設(shè)，可得，又，∴，即，故（2）正確；若隨機(jī)變量，則正態(tài)曲線關(guān)于對稱，則，故（3）正確，所以正確的個數(shù)是3．故選：D．5．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）設(shè)兩個相關(guān)變量和分別滿足下表：若相關(guān)變量和可擬合為非線性回歸方程，則當(dāng)時，的估計值為（

）（參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榉蔷€性回歸方程為：，則有，令，即，列出相關(guān)變量關(guān)系如下：01334所以，，，，所以，所以，所以，即，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時，.故選：B6．（2023·陜西商洛·校考三模）用模型擬合一組數(shù)，若，，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（

）A．12 B． C． D．7【答案】B【解析】由已知，，所以，，，所以，由題意，滿足線性回歸方程為，所以，所以，此時線性回歸方程為，即，可將此式子化為指數(shù)形式，即為，因?yàn)槟Ｐ蜑槟Ｐ停?，，所?故選：B.7．（2022·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個樣本點(diǎn)（1.2，2.2）和（4.8，7.8）誤差較大，去除后重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線l的斜率為1.2，則（

）A．變量x與y具有正相關(guān)關(guān)系B．去除兩個誤差較大的樣本點(diǎn)后，重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為C．去除兩個誤差較大的樣本點(diǎn)后，y的估計值增加速度變快D．去除兩個誤差較大的樣本點(diǎn)后，相應(yīng)于樣本點(diǎn)（2，3.75）的殘差為0.05【答案】A【解析】對A：經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，，變量與具有正相關(guān)關(guān)系，故選項(xiàng)A正確；對B：當(dāng)時，，所以樣本中心為，去掉兩個樣本點(diǎn)為和，，，樣本中心不變，去除后重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率為1.2，，解得，故去除兩個誤差較大的樣本點(diǎn)后，重新求得的回歸方程為，故選項(xiàng)B錯誤；對C：，去除兩個誤差較大的樣本點(diǎn)后，的估計值增加速度變慢，故選項(xiàng)C錯誤；對D：，，去除兩個誤差較大的樣本點(diǎn)后，相應(yīng)于樣本點(diǎn)（2，3.75）的殘差為，故選項(xiàng)D錯誤．故選：A．8．（2021·江西南昌·南昌市八一中學(xué)校考三模）已知變量關(guān)于的回歸方程為，其一組數(shù)據(jù)如表所示：若，則預(yù)測值可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得：，，解得：，回歸方程為，若，則.故選：D.9．（2021·山西·統(tǒng)考三模）某公交公司推出掃碼支付乘車優(yōu)惠活動，活動為期兩周，活動的前五天數(shù)據(jù)如下表：第天12345使用人數(shù)()151734578421333由表中數(shù)據(jù)可得y關(guān)于x的回歸方程為，則據(jù)此回歸模型相應(yīng)于點(diǎn)（2，173）的殘差為（

）A． B． C．3 D．2【答案】B【解析】令，則，1491625使用人數(shù)()151734578421333，，所以，所以，當(dāng)時，，所以殘差為.故選：B10．（多選題）（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）總和生育率有時也簡稱生育率，是指一個人口群體的各年齡別婦女生育率的總和．它反映的是一名婦女在每年都按照該年齡別現(xiàn)有生育率生育的假設(shè)下，在育齡期間生育的子女總數(shù)．為了了解中國人均GDPx（單位：萬元）和總和生育率y以及女性平均受教育年限z（單位：年）的關(guān)系，采用2012~2022近十年來的數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖，并得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，，對應(yīng)的決定系數(shù)分別為，，則（

）

A．人均GDP和女性平均受教育年限正相關(guān)．B．女性平均受教育年限和總和生育率負(fù)相關(guān)C．D．未來三年總和生育率一定繼續(xù)降低【答案】AB【解析】由回歸方程知人均GDP和女性平均受教育年限正相關(guān)，故A正確；因?yàn)?，，可得女性平均受教育年限z和總和生育率y的關(guān)系式為，所以女性平均受教育年限z和總和生育率y負(fù)相關(guān)，故B正確；由散點(diǎn)圖可知，回歸方程相對擬合效果更好，所以，故C錯誤；根據(jù)回歸方程預(yù)測，未來總和生育率預(yù)測值有可能降低，但實(shí)際值不一定會降低，故D錯誤．故選：AB11．（多選題）（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列命題正確的是（

）A．對于事件A，B，若，且，，則B．若隨機(jī)變量，，則C．相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)D．在做回歸分析時，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬表示回歸效果越差【答案】ACD【解析】對于A，由于，即A發(fā)生必定有B發(fā)生，根據(jù)條件概率的定義，正確；對于B，根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)知，，錯誤；對于C，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)知：約接近于1，表示線性相關(guān)程度越強(qiáng)，正確；對于D，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越寬說明線性回歸時的誤差越大，即回歸效果越差，正確；故選：ACD.12．（多選題）（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）年月日，工業(yè)和信息化部成功舉辦第十七屆“中國芯”集成電路產(chǎn)業(yè)大會．此次大會以“強(qiáng)芯固基以質(zhì)為本”為主題，旨在培育壯大我國集成電路產(chǎn)業(yè)，夯實(shí)產(chǎn)業(yè)基礎(chǔ)、營造良好產(chǎn)業(yè)生態(tài).某芯片研發(fā)單位用在“A芯片”上研發(fā)費(fèi)用占本單位總研發(fā)費(fèi)用的百分比如表所示.已知，于是分別用p＝和p＝得到了兩條回歸直線方程：，，對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為、，百分比y對應(yīng)的方差分別為、，則下列結(jié)論正確的是（

）（附：，）年份年份代碼xpqA． B． C． D．【答案】ABC【解析】時，，變量、呈線性正相關(guān)，故，故A正確；方差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，顯然時更穩(wěn)定，故此時方差更小，即，故B正確；由于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故C正確；因?yàn)?，所以時，，故D錯誤.故選：ABC13．（多選題）（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對本校學(xué)生體育鍛的經(jīng)常性有影響，隨機(jī)抽取了300名學(xué)生，對他們是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，繪制其等高堆積條形圖，如圖所示，則（

）A．參與調(diào)查的男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B．從參與調(diào)查的學(xué)生中任取一人，已知該生為女生，則該生經(jīng)常鍛煉的概率為C．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1D．假設(shè)調(diào)查人數(shù)為600人，經(jīng)常鍛煉人數(shù)與不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的比例不變，統(tǒng)計得到的等高堆積條形圖也不變，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】ABD【解析】對于A，由題意知經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，故經(jīng)常鍛煉人數(shù)為200人，不經(jīng)常鍛煉人數(shù)為100人，故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為人，不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為人，故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多，A正確；對于B，經(jīng)常鍛煉的女生人數(shù)為人，不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為人，故從參與調(diào)查的學(xué)生中任取一人，已知該生為女生，則該生經(jīng)常鍛煉的概率為，B正確；對于C，由題意結(jié)合男女生中經(jīng)常鍛煉和不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)，可得列聯(lián)表：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計男10060160女10040140合計200100300則，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1，C錯誤；對于D，由題意可得：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計男200120320女20080280合計400200600則此時，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05，D正確，故選：ABD14．（2023·全國·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）害蟲防控對于提高農(nóng)作物產(chǎn)量具有重要意義.已知某種害蟲產(chǎn)卵數(shù)（單位：個）與溫度（單位：）有關(guān)，測得一組數(shù)據(jù)，可用模型進(jìn)行擬合，利用變換得到的線性回歸方程為.若，則的值為.【答案】【解析】對兩邊同時取對數(shù)可得；即，可得由可得，代入可得，即，所以.故答案為：15．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲的人數(shù)占女生人數(shù)的.若根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲和性別有關(guān)，且此推斷犯錯誤的概率超過0.01但不超過0.05，則被調(diào)查的學(xué)生中男生可能有人.（請將所有可能的結(jié)果都填在橫線上）附表：，其中.0.0500.0103.8416.635【答案】45，50，55，60，65【解析】設(shè)男生有x人，由題意可得列聯(lián)表如下，喜歡不喜歡合計男生x女生x合計若認(rèn)為喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲和性別有關(guān)，且該推斷犯錯誤的概率超過0.01但不超過0.05，則.∵，∴，解得，又x為5的整數(shù)倍，∴被調(diào)查的學(xué)生中男生可能人數(shù)為45，50，55，60，65.故答案為：45，50，55，60，65.16．（2023·廣西桂林·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一只紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù)，可用模型擬合，設(shè)，其變換后的線性回歸方程為，若，，為自然常數(shù)，則.【答案】【解析】經(jīng)過變換后，得到，根據(jù)題意，故，又，故，，故，于是回歸方程為一定經(jīng)過，故，解得，即，于是.故答案為：.17．（2022·北京·人大附中?？寄M預(yù)測）某班在一次考試后分析學(xué)生在語文?數(shù)學(xué)?英語三個學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）．關(guān)于該班級學(xué)生這三個學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：①三科中，數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最??；②語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人；③本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名可能為三名不同的同學(xué)；④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④【解析】①：三科中，數(shù)學(xué)對應(yīng)的點(diǎn)比英語對應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離近且較為密集，數(shù)學(xué)對應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離比語文對應(yīng)的點(diǎn)到縱軸距離近且較為密集，所以數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最小.判斷正確；②：語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人.判斷正確；③：本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名為同一名同學(xué).判斷錯誤；④：由圖表可知語文排名大于200的有3位同學(xué)，語文排名大于200且英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的同學(xué)僅有1位同學(xué).故從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．判斷正確.故答案為①②④18．（2022·安徽安慶·安慶一中?？既＃┰诠こ碳夹g(shù)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常利用最小二乘法原理求曲線的函數(shù)關(guān)系式：設(shè)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，它們大體分布在某條曲線上，通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法，當(dāng)該曲線為一條直線時，由方程組來確定，的值，此時偏差平方和表示為．為了測定某種刀具的磨損速度，每隔1小時測一次刀具的厚度，得到一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如下表：順序編號i01234567時間01234567刀具厚度作出刀具厚度關(guān)于時間散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)分布在一條直線附近．(1)求實(shí)數(shù)，的值，并估計時刀具厚度（所有結(jié)果均精確到）；(2)求偏差平方和．（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1）由條件可得，應(yīng)滿足，其中，可由得到，且，，，即，解得，所以該直線方程為，當(dāng)時，則所以，刀具的厚度為.（2）由題意可得，偏差平方和為.19．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵外來務(wù)工人員選擇就地過年．某市統(tǒng)計了該市4個地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)外來務(wù)工人數(shù)萬3456就地過年人數(shù)萬2.5344.5(1)請用相關(guān)系數(shù)說明與之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求關(guān)于的線性回歸方程和A區(qū)的殘差(2)假設(shè)該市政府對外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼．①若該市區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計該市政府需要給區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；②若區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為，其中，該市政府對甲、乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1400元，求的取值范圍．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．【解析】（1）由題，，，，，所以相關(guān)系數(shù)，因?yàn)榕c之間的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與之間的線性相關(guān)程度非常強(qiáng)，所以可用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系．，故關(guān)于的線性回歸方程為．∵，∴，故A區(qū)的殘差為0.05.（2）（2）①將代入，得，故估計該市政府需要給區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額為（萬元）．②設(shè)甲、乙兩人中選擇就地過年的人數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，，，．所以，所以，由，得，又，所以，故的取值范圍為．20．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)校考三模）為了解某一地區(qū)電動汽車銷售情況，某機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動汽車銷量單位：萬臺關(guān)于年份的線性回歸方程為，且銷量的方差，年份的方差為．(1)求與的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷電動汽車銷量與年份的相關(guān)性強(qiáng)弱；(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)位購車車主性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：購買非電動汽車購買電動汽車總計男性女性總計能否有的把握認(rèn)為購買電動汽車與性別有關(guān)(3)在購買電動汽車的車主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人，記這人中，男性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：線性回歸方程：，其中，；相關(guān)系數(shù)：，若，則可判斷與線性相關(guān)較強(qiáng)；，其中．附表：【解析】（1）相關(guān)系數(shù)為所以，故與線性相關(guān)較強(qiáng).（2）零假設(shè)為：購買電動汽車與車主性別相互獨(dú)立，即購買電動汽車與車主性別無關(guān)．，

所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立.由此推斷犯錯誤的概率不大于，故有的把握認(rèn)為購買電動汽車與性別有關(guān).（3）人中，男性車主人，女性車主人，則的可能取值為，，，，，故故的分布列為：0123421．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）五一小長假期間，文旅部門在某地區(qū)推出A，B，C，D，E，F(xiàn)六款不同價位的旅游套票，每款套票的價格（單位：元；）與購買該款套票的人數(shù)（單位：千人）的數(shù)據(jù)如下表：套票類別ABCDEF套票價格（元）405060657288購買人數(shù)（千人）16.918.720.622.524.125.2（注：A，B，C，D，E，F(xiàn)對應(yīng)i的值為1，2，3，4，5，6）為了分析數(shù)據(jù)，令，，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)集中在一條直線附近．(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，建立購買人數(shù)y關(guān)于套票價格x的回歸方程；(2)規(guī)定：當(dāng)購買某款套票的人數(shù)y與該款套票價格x的比值在區(qū)間上時，該套票為“熱門套票”．現(xiàn)有甲、乙、丙三人分別從以上六款旅游套票中購買一款．假設(shè)他們買到的套票的款式互不相同，且購買到“熱門套票”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．附：①參考數(shù)據(jù)：，，，．②對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【解析】（1）由已知點(diǎn)集中在一條直線附近，設(shè)回歸直線方程為，由，，，得，，因此變量關(guān)于的回歸方程為，令，則，即，所以關(guān)于的回歸方程為.（2）由，解得，所以，于是為“熱門套票”，則三人中購買“熱門套票”的人數(shù)服從超幾何分布，的可能取值為1,2,3，，所以的分布列為：123期望.22．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：）與樣本對原點(diǎn)的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計量的值.（表中）660(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離的回歸方程類型？(2)根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）樣本對原點(diǎn)的距離時，金屬含量的預(yù)報值是多少？(3)已知該金屬在距離原點(diǎn)米時的平均開采成本（單位：元）與關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時，開采成本最大？【解析】（1）因?yàn)榈木€性相關(guān)系數(shù)，的線性相關(guān)系數(shù)，，更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離的回歸方程類型.（2）（i）依題意，可得，，，關(guān)于的回歸方程為.（ii）當(dāng)時，金屬含量的預(yù)報值為.（3）因?yàn)?，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，也是最大值，此時取得最大值，故為10時，開采成本最大.1．（2023?天津）調(diào)查某種花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性 B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān) C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān) D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245【答案】【解析】相關(guān)系數(shù)，且散點(diǎn)圖呈左下角到右上角的帶狀分布，花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245．故選：．2．（2023?甲卷）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：．試驗(yàn)結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表；對照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【解析】（1）根據(jù)題意，計算試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為．（2）由題意知，這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排列后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因?yàn)樵瓟?shù)據(jù)的第11位數(shù)據(jù)是18.8，后續(xù)依次為19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，，所以第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；填寫列聯(lián)表如下：合計對照組61420試驗(yàn)組14620合計202040根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算，所以有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異．3．（2022?新高考Ⅰ）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出的估計值．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表為：不夠良好良好合計病例組4060100對照組1090100合計50150200計算，所以有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異．（2）證明：；（ⅱ）利用調(diào)查數(shù)據(jù)，，，，，所以．4．（2021?甲卷）甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？（2）能否有的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）由題意可得，甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)均為200件，因?yàn)榧椎囊患壠返念l數(shù)為150，所以甲的一級品的頻率為；因?yàn)橐业囊患壠返念l數(shù)為120，所以乙的一級品的頻率為；（2）根據(jù)列聯(lián)表，可得．所以有的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．5．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，，2，，，其中和分別表示第個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，．（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本，，2，，的相關(guān)系數(shù)（精確到；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確地估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．【解析】（1）由已知，，個樣區(qū)野生動物數(shù)量的平均數(shù)為，該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為；（2），，，；（3）更合理的抽樣方法是分層抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進(jìn)行分層抽樣．理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確地估計．6．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）鍛煉人次空氣質(zhì)量等級，，，1（優(yōu)216252（良510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為：；該市一天的空氣質(zhì)量等級為2的概率為：；該市一天的空氣質(zhì)量等級為3的概率為：；該市一天的空氣質(zhì)量等級為4的概率為：；（2）由題意可得：一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為：，（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的列聯(lián)表，人次人次總計空氣質(zhì)量好333770空氣質(zhì)量不好22830總計5545100由表中數(shù)據(jù)可得：，所以有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．7．（2020?山東）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的和濃度（單位：，得下表：，，，，32184，6812，3710（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：，，，，（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）用頻率估計概率，從而得到“該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，由，；故有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)，8．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020（1）分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；（2）能否有的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）由題中數(shù)據(jù)可知，男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率，女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；（2）由題意可知，，故有的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異．9．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為1，2，，建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為1，2，，建立模型②：．（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．【解析】（1）根據(jù)模型①：，計算時，；利用這個模型，求出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值是226.1億元；根據(jù)模型②：，計算時，；利用這個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值是256.5億元；（2）解法1：模型②得到的預(yù)測值更可靠，因?yàn)閺目傮w數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額是逐年上升的，從2000年到2009年間遞增的幅度較小些，從2010年到2016年間遞增的幅度較大些，所以利用模型②的預(yù)測值更可靠些．解法2，模型②對應(yīng)的7個點(diǎn)分布寬度小于模型①對應(yīng)的17個點(diǎn)的分布寬度，則，所以模型②較好；解法3，選擇與2018鄰近的三個年份，2015，計算模型②對應(yīng)的殘差絕對值之和，模型①對應(yīng)的殘差絕對值之和；且，所以模型②較好；所以利用模型②的預(yù)測值更可靠些．10．（2017?新課標(biāo)Ⅱ）海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：，其頻率分布直方圖如圖：（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱