2025年高考科學復習創(chuàng)新方案數(shù)學提升版第三章第7講含答案

2025年高考科學復習創(chuàng)新方案數(shù)學提升版第三章第7講含答案第7講函數(shù)的圖象[課程標準]在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用．1．利用描點法作函數(shù)圖象的步驟2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up9(a>0，右移a個單位),\s\do9(a<0，左移|a|個單位))y＝f(x－a)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up9(b>0，上移b個單位),\s\do9(b<0，下移|b|個單位))y＝eq\x(\s\up1(01))f(x)＋b的圖象．(2)伸縮變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up18(0<ω<1，橫向伸長為原來的\f(1,ω)倍),\s\do18(ω>1，橫向縮短為原來的\f(1,ω)倍))y＝eq\x(\s\up1(02))f(ωx)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up9(A>1，縱向伸長為原來的A倍),\s\do9(0<A<1，縱向縮短為原來的A倍))y＝Af(x)的圖象．(3)對稱變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up9(關于x軸對稱))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up9(關于y軸對稱))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up9(關于原點對稱))y＝eq\x(\s\up1(03))－f(－x)的圖象．(4)翻折變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up9(去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖),\s\do9(作其關于y軸對稱的圖象))y＝f(|x|)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up9(保留x軸上方圖),\s\do9(將x軸下方圖翻折上去))y＝|f(x)|的圖象．1．左右平移僅僅是相對x而言的，即發(fā)生變化的只是x本身，利用“左加右減”進行操作．如果x的系數(shù)不是1，需要把系數(shù)提出來，再進行變換．2．上下平移僅僅是相對y而言的，即發(fā)生變化的只是y本身，利用“上減下加”進行操作．但平時我們是對y＝f(x)中的f(x)進行操作，滿足“上加下減”．3．函數(shù)圖象的對稱性(1)函數(shù)圖象自身的軸對稱若函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．(2)函數(shù)圖象自身的中心對稱函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(a，b)成中心對稱?f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)＝2b－f(2a－x)．(3)兩個函數(shù)圖象之間的對稱關系①函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)的圖象關于直線x＝eq\f(b－a,2)對稱(由a＋x＝b－x得對稱軸方程)；②函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)對稱．1．函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位，所得圖象與曲線y＝ex關于y軸對稱，則f(x)＝()A．ex＋1 B．ex－1C．e－x＋1 D．e－x－1答案D解析與曲線y＝ex關于y軸對稱的圖象對應的函數(shù)為y＝e－x，再向左平移1個單位，可得函數(shù)f(x)的圖象，故f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.2．(2024·石家莊模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,2x＋2－x)的部分圖象大致是()答案A解析根據題意，函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,2x＋2－x)，其定義域為R，有f(－x)＝－eq\f(x3,2x＋2－x)＝－f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除B，D；當x→＋∞時，f(x)→0，排除C.故選A.3．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖象關于直線x＝1對稱的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(3－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(3＋x)答案B解析根據題意，設y＝g(x)的圖象與函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖象關于直線x＝1對稱，則有g(x)＝f(2－x)，即g(x)＝ln[(2－x)＋1]＝ln(3－x)．故選B.4．(人教A必修第一冊3.2.2練習T1改編)已知圖①中的圖象對應的函數(shù)為y＝f(x)，則在下列給出的四個選項中，圖②中的圖象對應的函數(shù)只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案C解析由圖②知，圖象關于y軸對稱，對應的函數(shù)是偶函數(shù)．對于A，當x>0時，y＝f(|x|)＝f(x)，其圖象在y軸右側與圖①的相同，不符合，故A錯誤；對于B，當x>0時，對應的函數(shù)是y＝f(x)，顯然B錯誤；對于D，當x<0時，y＝－f(－x)，其圖象在y軸左側與圖①的不相同，不符合，故D錯誤；對于C，y＝f(－|x|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－x），x≥0，,f（x），x<0，))其圖象關于y軸對稱，在y軸左側與f(x)的圖象相同，符合題意，故C正確．5．若關于x的方程|x|＝a－x只有一個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(0，＋∞)解析在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝|x|與y＝a－x的圖象，如圖所示，由圖象知，當a＞0時，y＝|x|與y＝a－x的圖象只有一個交點，方程|x|＝a－x只有一個實數(shù)解．考向一畫函數(shù)圖象例1作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝|x－2|·(x＋2)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－4|x|.解(1)函數(shù)解析式可化為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4，x≥2，,－x2＋4，x<2，))其圖象如圖①實線所示．(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②所示．(3)函數(shù)解析式可化為y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖象可由函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到，如圖③所示．(4)y＝x2－4|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＝（x＋2）2－4，x<0，,x2－4x＝（x－2）2－4，x≥0，))作出圖象如圖④所示．函數(shù)圖象的常見畫法(1)直接法：當函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本初等函數(shù)時，可根據這些函數(shù)的特征描出圖象的關鍵點，進而直接作出函數(shù)圖象．(2)轉化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可去掉絕對值符號，轉化為分段函數(shù)來畫圖象．(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱得到，則可利用圖象變換作圖．提醒：①畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域；②利用圖象變換法時要注意變換順序，對不能直接找到熟悉的基本初等函數(shù)的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響．作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x2－4x＋3|；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x＋2|)；(4)y＝sin|x|.解(1)根據絕對值的意義，可將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,2x－1，x<1，))其圖象如圖①所示．(2)函數(shù)解析式可化為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤1或x≥3，,－x2＋4x－3，1<x<3，))其圖象如圖②實線所示．(3)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象中x≥0的部分，加上y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象中x>0部分關于y軸的對稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的圖象，再向左平移2個單位，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x＋2|)的圖象，如圖③所示．(4)當x≥0時，y＝sin|x|與y＝sinx的圖象完全相同，又y＝sin|x|為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，故圖象如圖④所示．考向二識圖與辨圖例2(1)(2024·南通模擬)函數(shù)f(x)＝cosx·ln(eq\r(x2＋1)－x)的圖象大致為()答案B解析f(x)＝cosx·ln(eq\r(x2＋1)－x)，f(－x)＝cos(－x)·ln(eq\r(x2＋1)＋x)＝－cosx·ln(eq\r(x2＋1)－x)＝－f(x)，函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，D；當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，cosx>0，ln(eq\r(x2＋1)－x)＝－ln(eq\r(x2＋1)＋x)<－ln1＝0，故f(x)<0，排除C.故選B.(2)(2022·全國乙卷)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[－3，3]的大致圖象，則該函數(shù)是()A．y＝eq\f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq\f(x3－x,x2＋1)C．y＝eq\f(2xcosx,x2＋1) D．y＝eq\f(2sinx,x2＋1)答案A解析設f(x)＝eq\f(x3－x,x2＋1)，則f(1)＝0，故排除B；設h(x)＝eq\f(2xcosx,x2＋1)，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，0＜cosx＜1，所以h(x)＝eq\f(2xcosx,x2＋1)＜eq\f(2x,x2＋1)≤1，故排除C；設g(x)＝eq\f(2sinx,x2＋1)，則g(3)＝eq\f(sin3,5)＞0，故排除D.故選A.函數(shù)圖象的識辨(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．(5)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．1.(2023·天津高考)函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2) B．f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)C．f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2) D．f(x)＝eq\f(5cosx,x2＋1)答案D解析解法一：由題圖可知，函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)，定義域為R，f(－x)＝eq\f(5（e－x－ex）,x2＋2)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函數(shù)，所以排除A；f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)，定義域為R，f(－x)＝eq\f(5sin（－x）,x2＋1)＝－eq\f(5sinx,x2＋1)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函數(shù)，所以排除B；f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)，定義域為R，f(－x)＝eq\f(5（e－x＋ex）,x2＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)是偶函數(shù)，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合題意，所以排除C.故選D.解法二：由題圖可知，函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．因為y＝x2＋2是偶函數(shù)，y＝ex－e－x是奇函數(shù)，所以f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函數(shù)，故排除A；因為y＝x2＋1是偶函數(shù)，y＝sinx是奇函數(shù)，所以f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函數(shù)，故排除B；因為x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)>0恒成立，不符合題意，故排除C.故選D.2．(2023·黃山二模)函數(shù)y＝eq\f(x,|x|ex)的圖象大致是()答案C解析∵y＝eq\f(x,|x|ex)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x>0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x<0，))∴根據指數(shù)函數(shù)圖象即可判斷C符合題意．故選C.多角度探究突破考向三函數(shù)圖象的應用角度利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質例3(多選)設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0，1]時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－x)，則下列結論正確的是()A．2是函數(shù)f(x)的周期B．函數(shù)f(x)在(1，2)上單調遞減，在(2，3)上單調遞增C．函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0D．當x∈(3，4)時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)答案ABD解析由已知條件得f(x＋2)＝f(x)，則y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，A正確；當－1≤x≤0時，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1＋x)，畫出函數(shù)y＝f(x)的部分圖象如圖所示．由圖象知B正確，C不正確；當3<x<4時，－1<x－4<0，f(x)＝f(x－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)，D正確．故選ABD.利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質的策略對于已知解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質常借助圖象研究：(1)從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；(2)從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；(3)從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調性、周期性．(多選)定義一種運算：a?b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b，))設f(x)＝(5＋2x－x2)?|x－1|，則下列結論中正確的是()A．函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱B．函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝5有三個公共點C．函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，－1)和[1，3]D．函數(shù)f(x)的最小值是2答案ACD解析由題意，f(x)＝(5＋2x－x2)?|x－1|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋2x－x2，－1≤x≤3，,|x－1|，x<－1或x>3，))作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故A正確；函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝5有四個公共點，故B錯誤；函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，－1)和[1，3]，故C正確；函數(shù)f(x)的最小值是2，故D正確．角度利用函數(shù)圖象解決方程根的問題例4(2023·洛陽第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<2，,\f(3,x－1)，x≥2，))若方程f(x)－a＝0有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(1，3) B．(0，3)C．(0，2) D．(0，1)答案D解析畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，方程f(x)－a＝0有三個不同的實數(shù)根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有三個不同的交點，由圖可知，實數(shù)a的取值范圍為(0，1)．故選D.利用函數(shù)圖象解決方程根的問題的思路當方程與基本初等函數(shù)有關時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸交點的橫坐標，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標．函數(shù)f(x)的定義域為[－1，1]，圖象如圖1所示，函數(shù)g(x)的定義域為[－1，2]，圖象如圖2所示．若集合A＝{x|f(g(x))＝0}，B＝{x|g(f(x))＝0}，則A∩B中有________個元素．答案3解析若f(g(x))＝0，則g(x)＝0，－1或1，∴A＝{－1，0，1，2}，若g(f(x))＝0，則f(x)＝0或2，∴B＝{－1，0，1}，∴A∩B＝{－1，0，1}，有3個元素．角度利用函數(shù)圖象解決不等式問題例5若關于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)對于任意的x>2恒成立，則a的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析不等式4ax－1<3x－4等價于ax－1<eq\f(3,4)x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝eq\f(3,4)x－1，當a>1時，在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象如圖①所示，由圖知不滿足條件；當0<a<1時，在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象如圖②所示，由題意知，f(2)≤g(2)，即a2－1≤eq\f(3,4)×2－1，解得a≤eq\f(1,2).綜上，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).利用函數(shù)圖象解決不等式問題的思路當不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其對應函數(shù)的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為兩函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而利用數(shù)形結合思想求解．(2023·北京市平谷區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)，若f(x)>|x|，則x的取值范圍是________．答案(0，1)解析作出函數(shù)y＝log2(x＋1)和函數(shù)y＝|x|的圖象，如圖所示．兩個函數(shù)的圖象相交于點(0，0)和(1，1)，當且僅當x∈(0，1)時，y＝log2(x＋1)的圖象在y＝|x|的圖象的上方，不等式f(x)>|x|的解集為(0，1)，即x的取值范圍是(0，1)．課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2024·山東師范大學附屬中學月考)函數(shù)y＝－ex的圖象()A．與y＝ex的圖象關于y軸對稱B．與y＝ex的圖象關于坐標原點對稱C．與y＝e－x的圖象關于y軸對稱D．與y＝e－x的圖象關于坐標原點對稱答案D解析由點(x，y)關于原點的對稱點是(－x，－y)，可知D正確．2．把函數(shù)y＝2x的圖象向右平移t個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式為y＝eq\f(2x,3)，則t的值為()A.eq\f(1,2) B．log23C．log32 D.eq\r(3)答案B解析函數(shù)y＝2x的圖象向右平移t個單位長度得y＝2x－t＝eq\f(2x,2t)，所以2t＝3，得t＝log23.3．(2023·?？谀M)函數(shù)f(x)＝eq\f(ln|x－1|,|x－1|)的部分圖象大致是()答案B解析由解析式可知x≠1，取x＝0.5，則f(0.5)＝eq\f(ln0.5,0.5)＝－2ln2<0，排除A，C；f(x)＝eq\f(ln|x－1|,|x－1|)可看成是由g(x)＝eq\f(ln|x|,|x|)向右平移1個單位得到，而g(x)＝eq\f(ln|x|,|x|)＝g(－x)是偶函數(shù)，即f(x)＝eq\f(ln|x－1|,|x－1|)的圖象關于直線x＝1對稱，再取x＝1.5，則f(1.5)＝eq\f(ln0.5,0.5)＝－2ln2<0，排除D.故選B.4．(2024·西寧海湖中學質檢)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)f(x)＝lnx的圖象關于直線x＝1對稱的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)答案B解析解法一：設所求函數(shù)圖象上任一點的坐標為(x，y)，則其關于直線x＝1的對稱點的坐標為(2－x，y)，由對稱性知點(2－x，y)在函數(shù)f(x)＝lnx的圖象上，所以y＝ln(2－x)．故選B.解法二：由題意知，對稱軸上的點(1，0)既在函數(shù)y＝lnx的圖象上也在所求函數(shù)的圖象上，代入選項中的函數(shù)解析式逐一檢驗，排除A，C，D.故選B.5．若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為()答案C解析要想由y＝f(x)的圖象得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，需要先作出y＝f(x)的圖象關于x軸對稱的圖象y＝－f(x)，然后向左平移1個單位長度得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，根據上述步驟可知C正確．6．(2024·煙臺愛華高級中學階段考試)用min{a，b，c}表示a，b，c三個數(shù)中的最小值，設f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，則f(x)的最大值為()A．3 B．4C．6 D．8答案C解析作出函數(shù)f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的圖象，如圖中實線部分所示，則f(x)的最大值為y＝x＋2與y＝10－x的圖象的交點的縱坐標，令x＋2＝10－x，解得x＝4，此時y＝6，即f(x)的最大值為6.7．函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當x∈[0，2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集為()A．(1，3) B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)答案C解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可知，xf(x)>0在(－1，3)上的解集為(－1，0)∪(1，3)．8．(2023·惠州一模)嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖1是番禺區(qū)某風景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛心．圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構成，則“心形”在x軸上方的圖象對應的函數(shù)解析式可能為()A．y＝|x|eq\r(4－x2) B．y＝xeq\r(4－x2)C．y＝eq\r(－x2＋2|x|) D．y＝eq\r(－x2＋2x)答案C解析對于A，∵y＝|x|eq\r(4－x2)＝eq\r(x2（4－x2）)≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋4－x2,2)))\s\up12(2))＝2(當且僅當x2＝4－x2，即x＝±eq\r(2)時取等號)，∴y＝|x|eq\r(4－x2)在(－2，2)上的最大值為2，與圖象不符，A錯誤；對于B，當x∈(－2，0)時，y＝xeq\r(4－x2)<0，與圖象不符，B錯誤；對于C，∵y＝eq\r(－x2＋2|x|)＝eq\r(－（|x|－1）2＋1)，∴當x＝±1時，ymax＝1.又y＝eq\r(－x2＋2|x|)過點(－2，0)，(2，0)，(0，0)．由－x2＋2|x|≥0得|x|(|x|－2)≤0，解得－2≤x≤2，即函數(shù)的定義域為[－2，2]．又eq\r(－（－x）2＋2|－x|)＝eq\r(－x2＋2|x|)，∴y＝eq\r(－x2＋2|x|)為定義在[－2，2]上的偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱．當x∈[0，2]時，y＝eq\r(－x2＋2x)＝eq\r(－（x－1）2＋1)，則函數(shù)在(0，1)上單調遞增，在(1，2)上單調遞減．綜上所述，y＝eq\r(－x2＋2|x|)與圖象相符，C正確；對于D，由－x2＋2x≥0得0≤x≤2，∴y＝eq\r(－x2＋2x)不存在x∈(－2，0)部分的圖象，D錯誤．故選C.二、多項選擇題9．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0<x≤1，))則下列函數(shù)的圖象正確的是()答案ABC解析先在坐標平面內畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖所示，再將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移1個單位長度即可得到y(tǒng)＝f(x－1)的圖象，因此A正確；作函數(shù)y＝f(x)的圖象關于y軸的對稱圖形，即可得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象，因此B正確；y＝f(x)的值域是[0，2]，因此y＝|f(x)|的圖象與y＝f(x)的圖象重合，C正確；y＝f(|x|)的定義域是[－1，1]，且是一個偶函數(shù)，當0≤x≤1時，y＝f(|x|)＝eq\r(x)，相應這部分圖象不是一條線段，因此D不正確．故選ABC.10．(2023·保定模擬)已知a，b分別是方程2x＋x＝0，3x＋x＝0的實數(shù)根，則下列關系式中正確的是()A．－1＜b＜a＜0 B．－1＜a＜b＜0C．b·3a＜a·3b D．a·2b＜b·2a答案BD解析函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝－x在同一坐標系中的圖象如圖，所以－1＜a＜b＜0，所以2a＜2b，3a＜3b，0＜－b＜－a，所以－b·2a＜(－a)·2b，－b·3a＜(－a)·3b，所以a·2b＜b·2a，a·3b＜b·3a.故選BD.11.如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝6.動點P從點A出發(fā)，沿著此三角形三邊逆時針運動回到A點，記點P運動的路程為x，點P到此三角形中心O距離的平方為f(x)，則下列結論正確的是()A．函數(shù)f(x)的最大值為12B．函數(shù)f(x)的最小值為3C．函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝9D．關于x的方程f(x)＝kx＋3最多有5個實數(shù)根答案ABC解析由題意可得函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋（x－3）2，0≤x<6，,3＋（x－9）2，6≤x<12，,3＋（x－15）2，12≤x≤18，))作出圖象如圖所示，則當點P與△ABC頂點重合，即x＝0，6，12，18時，f(x)取得最大值，為12，當點P位于三角形的三個邊的中點時，f(x)取得最小值，為3，故A，B正確；又f(x)＝f(18－x)，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x＝9，故C正確；由圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝kx＋3的交點個數(shù)最多為6，故方程f(x)＝kx＋3最多有6個實數(shù)根，故D錯誤．故選ABC.三、填空題12．已知函數(shù)f(x)＝|log3x|，實數(shù)m，n滿足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則eq\f(n,m)＝________．答案9解析如圖，作出函數(shù)f(x)＝|log3x|的圖象，觀察可知0<m<1<n，則－log3m＝log3n，得mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，∵m2<m，∴從圖象分析應有f(m2)＝2，即log3m2＝－2，∴m2＝eq\f(1,9).從而m＝eq\f(1,3)，n＝3，故eq\f(n,m)＝9.13.已知函數(shù)f(x)在R上單調且其部分圖象如圖所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集為(－1，2)，則實數(shù)t的值為________．答案1解析由圖象可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0)．又y＝f(x)在R上單調遞減，所以0<x＋t<3，不等式的解集為(－t，3－t)．依題意，得t＝1.14．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）2，x≥0，,|ex－2|，x<0，))則f(－1)＝________；若方程f(x)＝m有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案2－eq\f(1,e)(0，2)解析f(－1)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)－2))＝2－eq\f(1,e).作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，若方程f(x)＝m有兩個不同的實數(shù)根，則0<m<2，即實數(shù)m的取值范圍是(0，2)．四、解答題15．(2024·臺州質檢)已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,log2（x＋1），x>0.))(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)寫出函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(3)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝m有兩個不同的公共點，求實數(shù)m的取值范圍．解(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．(2)由圖象得，f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，0]，(0，＋∞)，無單調遞減區(qū)間．(3)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝m有兩個不同的公共點，則結合圖象得1<m≤2，即實數(shù)m的取值范圍為(1，2]．16．已知函數(shù)f(x)＝|x|(x－a)，a>0.(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)寫出函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(3)當x∈[0，1]時，由圖象寫出f(x)的最小值．解(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－a），x≥0，,－x（x－a），x<0，))其圖象如圖所示．(2)由圖可知，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))，單調遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2))).(3)由圖象知，當eq\f(a,2)>1，即a>2時，f(x)min＝f(1)＝1－a；當0<eq\f(a,2)≤1，即0<a≤2時，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4).綜上，f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,4)，0<a≤2，,1－a，a>2.))第8講函數(shù)零點與方程[課程標準]1.結合學過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點與方程解的關系.2.結合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于一般函數(shù)y＝f(x)，把使eq\x(\s\up1(01))f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)三個等價關系方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖象與eq\x(\s\up1(02))x軸有公共點?函數(shù)y＝f(x)有eq\x(\s\up1(03))零點．(3)函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有eq\x(\s\up1(04))f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\x(\s\up1(05))(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得eq\x(\s\up1(06))f(c)＝0，這個eq\x(\s\up1(07))c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且eq\x(\s\up1(08))f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．有關函數(shù)零點的結論(1)若圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．(2)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．(4)函數(shù)的零點是實數(shù)，而不是點，是方程f(x)＝0的實根．(5)由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)f(b)<0，如圖所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．1．(人教B必修第一冊習題3－2BT5改編)函數(shù)y＝lnx－eq\f(2,x)的零點所在的大致區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) B．(1，2)C．(2，e) D．(e，＋∞)答案C解析y＝f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的定義域為(0，＋∞)，因為y＝lnx與y＝－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)＝lnx－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f(1)＝ln1－2＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－eq\f(2,e)＝1－eq\f(2,e)>0，所以f(2)f(e)<0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零點．故選C.2．若函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的零點是2，則函數(shù)g(x)＝ax2＋bx的零點是()A．2 B．0和2C．0 D．－2和0答案B解析由條件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零點為0和2.故選B.3．(2023·海口第二次聯(lián)考)函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點個數(shù)即函數(shù)f(x)＝ex與g(x)＝－x2－2x＋1的圖象交點的個數(shù)，作圖容易判斷，兩圖象有兩個交點，故原函數(shù)有2個零點．4．(人教A必修第一冊習題4.5T13改編)若函數(shù)y＝ax2－2x＋1只有一個零點，則實數(shù)a的值為________．答案0或1解析當a＝0時，y＝－2x＋1，有唯一零點；當a≠0時，由題意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.綜上，實數(shù)a的值為0或1.5．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,x2－1，x＞0，))則函數(shù)y＝f(x)－1的零點是________．答案0和eq\r(2)解析要求函數(shù)y＝f(x)－1的零點，則令y＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，①當x≤0時，f(x)＝ex，由ex＝1，解得x＝0；②當x＞0時，f(x)＝x2－1，由x2－1＝1，解得x＝eq\r(2)(負值舍去)．綜上可知，函數(shù)y＝f(x)－1的零點是0和eq\r(2).考向一函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷例1(1)(2023·梅州二模)用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析令f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)，因為函數(shù)y＝log4x，y＝－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝log42－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)>0，所以函數(shù)f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在區(qū)間(1，2)上有唯一零點，所以用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是(1，2)．故選B.(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內B．(－∞，a)和(a，b)內C．(b，c)和(c，＋∞)內D．(－∞，a)和(c，＋∞)內答案A解析函數(shù)y＝f(x)是圖象開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點，由于a<b<c，則a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在區(qū)間(a，b)和區(qū)間(b，c)內各有一個零點．判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)定義法利用函數(shù)零點存在定理，首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點．(2)解方程法當對應方程易解時，可通過解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上．(3)數(shù)形結合法畫出相應的函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷，或者轉化為兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．1.已知x0是函數(shù)f(x)＝eq\r(x)＋log2(x＋1)－4的零點，則(x0－1)(x0－2)(x0－3)·(x0－4)的值()A．為正數(shù) B．為負數(shù)C．等于0 D．無法確定正負答案B解析由題意可知f(x)單調遞增且f(3)＝eq\r(3)＋log24－4<0，f(4)＝2＋log25－4>0，則x0∈(3，4)，所以x0－1>0，x0－2>0，x0－3>0，x0－4<0，所以(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)<0.故選B.2．已知函數(shù)f(x)＝20×3－x－x的零點x0∈(k，k＋1)，k∈Z，則k＝________．答案2解析因為函數(shù)y＝3－x為R上的減函數(shù)，故函數(shù)f(x)＝20×3－x－x為R上的減函數(shù)，又f(2)＝20×3－2－2＝eq\f(20,9)－2＝eq\f(2,9)>0，f(3)＝20×3－3－3＝eq\f(20,27)－3＝－eq\f(61,27)<0，故f(x)＝20×3－x－x在(2，3)上有唯一零點，結合題意可知k＝2.考向二函數(shù)零點個數(shù)的判定例2(1)(2024·濰坊模擬)函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在區(qū)間[－2，2]上的零點個數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．6答案A解析求函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在區(qū)間[－2，2]上的零點個數(shù)，轉化為求方程(x2－x)ln|2x－3|＝0在區(qū)間[－2，2]上的根的個數(shù)．由(x2－x)ln|2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln|2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函數(shù)f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在區(qū)間[－2，2]上的零點個數(shù)為3.故選A.(2)(2023·長郡中學模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))則函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點個數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5答案D解析令t＝f(x)＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)＋1，x>0，,（x＋1）2，x≤0.))①當t＞0時，f(t)＝lnt－eq\f(1,t)，則函數(shù)f(t)在(0，＋∞)上單調遞增，由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，由零點存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；②當t≤0時，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函數(shù)t＝f(x)＋1，直線t＝t1，t＝－2，t＝0的圖象如圖所示，由圖象可知，直線t＝t1與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個交點；直線t＝0與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個交點；直線t＝－2與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有且只有一個交點．綜上所述，函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點個數(shù)為5.故選D.判定函數(shù)零點個數(shù)的方法及思路(1)解方程法f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)函數(shù)零點存在定理法利用定理不僅要求函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所滿足的條件．(3)數(shù)形結合法轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．1.函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析由2x|log0.5x|－1＝0得|log0.5x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，作出y＝|log0.5x|和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，如圖所示，則兩個函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1有2個零點．2．函數(shù)f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零點個數(shù)為________．答案6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定義域為[－6，6]．令f(x)＝0，得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x為－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2).故f(x)共有6個零點．多角度探究突破考向三函數(shù)零點的應用角度利用零點比較大小例3(1)設函數(shù)f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝lnx－eq\f(1,x).若f(x1)＝g(x2)＝0，則()A．0<g(x1)<f(x2) B．g(x1)<0<f(x2)C．f(x2)<0<g(x1) D．f(x2)<g(x1)<0答案B解析∵f(x)＝ex－1＋4x－4為增函數(shù)，g(x)＝lnx－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f(0)＝eq\f(1,e)－4<0，f(1)＝1>0，g(1)＝－1<0，g(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，又f(x1)＝g(x2)＝0，∴0<x1<1，1<x2<2，∴g(x1)<0<f(x2)．故選B.(2)(多選)(2023·蘇北七市三模)已知函數(shù)y＝x＋ex的零點為x1，y＝x＋lnx的零點為x2，則()A．x1＋x2＞0 B．x1x2＜0C．ex1＋lnx2＝0 D．x1x2－x1＋x2＜1答案BCD解析∵函數(shù)y＝x＋ex的零點為x1，y＝x＋lnx的零點為x2，∴函數(shù)y＝－x與函數(shù)y＝ex圖象的交點的橫坐標為x1，函數(shù)y＝－x與函數(shù)y＝lnx圖象的交點的橫坐標為x2，作函數(shù)y＝－x，y＝ex，y＝lnx的圖象如圖，故點A的橫坐標為x1，點B的橫坐標為x2，∵函數(shù)y＝ex與函數(shù)y＝lnx的圖象關于直線y＝x對稱，函數(shù)y＝－x的圖象關于直線y＝x對稱，∴點A，B關于直線y＝x對稱，又點A，B在直線y＝－x上，∴點A，B關于原點對稱，∴x1＋x2＝0，故A錯誤；易知x1x2＜0，故B正確；∵ex1＝－x1，lnx2＝－x2，x1＋x2＝0，∴ex1＋lnx2＝0，故C正確；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，∴(x1＋1)·(x2－1)＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，故D正確．故選BCD.在同一平面直角坐標系內準確作出已知函數(shù)的圖象，數(shù)形結合，對圖象進行分析，找出零點的范圍，進行大小比較．(2024·河南重點中學聯(lián)考)已知a，b，c均大于1，滿足eq\f(2a－1,a－1)＝2＋log2a，eq\f(3b－2,b－1)＝3＋log3b，eq\f(4c－3,c－1)＝4＋log4c，則下列不等式成立的是()A．c<b<a B．a<b<cC．a<c<b D．c<a<b答案B解析∵eq\f(2a－1,a－1)＝2＋log2a?eq\f(1,a－1)＝log2a，eq\f(3b－2,b－1)＝3＋log3b?eq\f(1,b－1)＝log3b，eq\f(4c－3,c－1)＝4＋log4c?eq\f(1,c－1)＝log4c，∴考慮y＝eq\f(1,x－1)和y＝logmx的圖象相交，根據圖象可知a<b<c.故選B.角度由函數(shù)零點存在情況或個數(shù)求參數(shù)范圍例4(1)“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一個零點”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析當x>0時，令f(x)＝0，則lnx＝0，∴x＝1，∴當x>0時，f(x)有一個零點為1，∵函數(shù)f(x)只有一個零點，∴當x≤0時，f(x)＝－2x＋a無零點，即a>2x或a<2x，∵當x≤0時，2x∈(0，1]，∴a>1或a≤0，∴“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一個零點”的充分不必要條件．故選A.(2)(多選)(2023·中山模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x<1，,－4x2＋16x－13，x≥1，))函數(shù)g(x)＝f(x)－a，則下列結論正確的是()A．若g(x)有3個不同的零點，則a的取值范圍是[1，2)B．若g(x)有4個不同的零點，則a的取值范圍是(0，1)C．若g(x)有4個不同的零點x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，則x3＋x4＝4D．若g(x)有4個不同的零點x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，則x3x4的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(7,2)))答案BCD解析令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零點個數(shù)為函數(shù)y＝f(x)與y＝a圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由圖可知，若g(x)有3個不同的零點，則a的取值范圍是[1，2)∪{0}，故A錯誤；若g(x)有4個不同的零點，則a的取值范圍是(0，1)，故B正確；若g(x)有4個不同的零點x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，此時x3，x4關于直線x＝2對稱，所以x3＋x4＝4，故C正確；由C項可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－xeq\o\al(2,4)＋4x4，由于g(x)有4個不同的零點，a的取值范圍是(0，1)，故0<－4xeq\o\al(2,4)＋16x4－13<1，所以eq\f(13,4)<－xeq\o\al(2,4)＋4x4<eq\f(7,2)，故D正確．故選BCD.已知函數(shù)零點求參數(shù)范圍的常用方法1.(2023·濟南模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x≤0，,|lgx|，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－b有四個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍為()A．(0，1] B．[0，1]C．(0，1) D．(1，＋∞)答案A解析依題意，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有四個不同的零點，即f(x)＝b有四個解，轉化為函數(shù)y＝f(x)與y＝b的圖象有四個交點，由函數(shù)y＝f(x)可知，當x∈(－∞，－1]時，函數(shù)單調遞減，y∈[0，＋∞)；當x∈(－1，0]時，函數(shù)單調遞增，y∈(0，1]；當x∈(0，1)時，函數(shù)單調遞減，y∈(0，＋∞)；當x∈[1，＋∞)時，函數(shù)單調遞增，y∈[0，＋∞)．結合圖象可知，實數(shù)b的取值范圍為(0，1]．故選A.2．(2023·鄭州質檢)高斯是德國著名的數(shù)學家，享有“數(shù)學王子”的美譽，以他的名字“高斯”命名的成果達110個，其中的一個成果是：設x∈R，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非負純小數(shù)，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且僅有4個實數(shù)根，則正實數(shù)k的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))解析根據題意可得函數(shù)y＝{x}在x軸正半軸的部分圖象如圖所示，函數(shù)y＝1－kx的圖象為過定點P(0，1)的直線，所以要使方程{x}＝1－kx有且僅有4個實數(shù)根，則直線y＝1－kx應在PA，PB之間或恰好在PA處，所以－eq\f(1,3)≤－k<－eq\f(1,4)，即正實數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))).課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2023·焦作一模)設函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零點為x0，則x0∈()A．(－4，－2) B．(－2，－1)C．(1，2) D．(2，4)答案B解析因為y＝2x與y＝eq\f(x,3)在R上均為增函數(shù)，所以f(x)＝2x＋eq\f(x,3)在R上為增函數(shù)，又因為f(0)＝1＞0，f(－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)>0，f(－2)＝eq\f(1,4)－eq\f(2,3)＝－eq\f(5,12)<0，因為f(－2)f(－1)<0，所以f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零點在區(qū)間(－2，－1)內．故選B.2．(2024·鷹潭模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(－x)－1，x≤0，,log3x－2，x>0))的零點是()A．(－1，0)，(9，0) B．－1，9C．(9，0) D．9答案B解析當x≤0時，f(x)＝eq\r(－x)－1＝0，解得x＝－1；當x>0時，f(x)＝log3x－2＝0，解得x＝9，所以函數(shù)f(x)的零點為－1，9.故選B.3．(2024·長郡中學月考)設函數(shù)f(x)＝x＋log2x－m，則“函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零點”是“m∈(1，6)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析函數(shù)f(x)＝x＋log2x－m在(0，＋∞)上單調遞增，由函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零點，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)－m＜0，f(4)＝6－m＞0，解得－eq\f(1,2)＜m＜6，故“函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零點”是“m∈(1，6)”的必要不充分條件．故選B.4．(2024·惠州質檢)函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內的零點個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析由題意可知f(x)的定義域為(0，＋∞)，在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y1＝|x－2|(x>0)，y2＝lnx(x>0)的圖象，如圖所示．由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內的零點個數(shù)為2.5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，1)C．(－1，0) D．[－1，0)答案D解析當x>0時，f(x)＝3x－1有一個零點x＝eq\f(1,3).因此當x≤0時，f(x)＝ex＋a＝0只有一個實根，∴a＝－ex(x≤0)，則－1≤a<0.6．(2023·海南華僑中學一模)關于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－a，0≤x<3.5，,b－x，x≥3.5，))其中a，b∈R，給出下列四個結論：甲：5是該函數(shù)的零點；乙：4是該函數(shù)的零點；丙：該函數(shù)的所有零點之積為0；丁：方程f(x)＝1有兩個不等的實根．若上述四個結論中有且只有一個結論錯誤，則該錯誤的結論是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案B解析當x∈[3.5，＋∞)時，f(x)＝b－x為減函數(shù)，故5和4只有一個是函數(shù)的零點，即甲、乙中有一個結論錯誤，一個結論正確，故丙、丁均正確．由所有零點之積為0，結合分段函數(shù)的性質知，必有一個零點為0，則f(0)＝log22－a＝0，可得a＝1.①若甲正確，則f(5)＝b－5＝0，則b＝5，可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－1，0≤x<3.5，,5－x，x≥3.5，))由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f(x)＝1有兩個不等的實根，故丁正確；②若乙正確，則f(4)＝0，即b－4＝0，則b＝4，可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－1，0≤x<3.5，,4－x，x≥3.5，))由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，解得x＝2，方程f(x)＝1只有一個實根，故丁錯誤，不滿足題意．綜上，甲正確，乙錯誤．故選B.7．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logeq\s\do7(\f(1,2))x，h(x)＝log2x－eq\r(x)(0<x<10)的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系為()A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1答案D解析由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－logeq\s\do7(\f(1,2))x＝0，h(x)＝log2x－eq\r(x)＝0，得2x＝－x，x＝logeq\s\do7(\f(1,2))x，log2x＝eq\r(x)，在平面直角坐標系中分別作出y＝2x與y＝－x的圖象，y＝x與y＝logeq\s\do7(\f(1,2))x的圖象，y＝log2x與y＝eq\r(x)的圖象，由圖可知，－1<x1<0，0<x2<1，x3>1.所以x3>x2>x1.8．(2023·天津靜海區(qū)模擬)已知函數(shù)y＝f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且當x∈[－1，1]時，f(x)＝2|x|－1，則函數(shù)F(x)＝f(x)－|lgx|的零點個數(shù)是()A．9 B．10C．11 D．18答案B解析F(x)＝f(x)－|lgx|的零點個數(shù)就是y＝f(x)，y＝|lgx|圖象的交點個數(shù)，作出y＝f(x)，y＝|lgx|的圖象，如圖所示，由圖可得有10個交點，故F(x)＝f(x)－|lgx|有10個零點．故選B.二、多項選擇題9．某同學求函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點時，用計算器算得部分函數(shù)值如表所示：f(2)≈－1.307f(3)≈1.099f(2.5)≈－0.084f(2.75)≈0．512f(2.625)≈0．215f(2.5625)≈0．066則方程lnx＋2x－6＝0的近似解(精確度為0.1)可取為()A．2.52 B．2.56C．2.66 D．2.75答案AB解析由表格可知方程lnx＋2x－6＝0的解在(2.5，2.5625)內，又|2.5625－2.5|＝0.0625<0.1，因此選項A中2.52符合，選項B中2.56也符合．故選AB.10．(2024·海南川綿中學月考)在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石．布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個點x0，使得f(x0)＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是()A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2－1，x≤1，,|2－x|，x＞1)) D．f(x)＝eq\f(1,x)－x答案BCD解析根據定義可知，若f(x)為“不動點”函數(shù)，則f(x)＝x有解．對于A，令2x＋x＝x，得2x＝0，此時無解，故f(x)不是“不動點”函數(shù)；對于B，令x2－x－3＝x，得x＝3或x＝－1，所以f(x)是“不動點”函數(shù)；對于C，當x≤1時，令2x2－1＝x，得x＝－eq\f(1,2)或x＝1，所以f(x)是“不動點”函數(shù)；對于D，令eq\f(1,x)－x＝x，得x＝±eq\f(\r(2),2)，所以f(x)是“不動點”函數(shù)．故選BCD.11．(2024·江西重點中學聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3