陜西省銅川一中2025屆高三下學(xué)期精英聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題含解析

陜西省銅川一中2025屆高三下學(xué)期精英聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A．3 B． C． D．3．已知拋物線：，直線與分別相交于點，與的準線相交于點，若，則（）A．3 B． C． D．4．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．5．總體由編號01，,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A．08 B．07 C．02 D．016．已知命題：“關(guān)于的方程有實根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．在平面直角坐標系中，銳角頂點在坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點，則（）A． B． C． D．8．已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．10．如圖所示，網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．2 B． C．6 D．811．已知函數(shù)，，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（）A．1 B． C． D．12．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式的第5項的系數(shù)為_____.14．已知三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積是________.15．?dāng)?shù)列滿足遞推公式，且，則___________.16．如圖，在中，，，，點在邊上，且，將射線繞著逆時針方向旋轉(zhuǎn)，并在所得射線上取一點，使得，連接，則的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐的底面中，，，平面，是的中點，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）線段上是否存在點，使得，若存在指出點的位置，若不存在請說明理由.18．（12分）2019年12月以來，湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關(guān)疾病監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，均診斷為病毒性肺炎/肺部感染，后被命名為新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），簡稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計確診人數(shù)隨時間變化的散點圖.為了預(yù)測在未釆取強力措施下，后期的累計確診人數(shù)，建立了累計確診人數(shù)y與時間變量t的兩個回歸模型，根據(jù)1月15日至1月24日的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為累計確診人數(shù)y與時間變量t的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）以下是1月25日至1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù)，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：時間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù)19752744451559747111（?。┊?dāng)1月25日至1月27日這3天的誤差（模型預(yù)測數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)差值的絕對值與真實數(shù)據(jù)的比值）都小于0.1則認為模型可靠，請判斷（2）的回歸方程是否可靠？（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的強力領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民共同采取了強力的預(yù)防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真實數(shù)據(jù)明顯低于預(yù)測數(shù)據(jù)，則認為防護措施有效，請判斷預(yù)防措施是否有效？附：對于一組數(shù)據(jù)（，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：其中，.5.53901938576403152515470010015022533850719．（12分）如圖，為等腰直角三角形，，D為AC上一點，將沿BD折起，得到三棱錐，且使得在底面BCD的投影E在線段BC上，連接AE.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認為質(zhì)量不過關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.21．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的普通方程；（2）過坐標原點作直線交曲線于點（異于），交曲線于點，求的最小值.22．（10分）已知a>0，b>0，a+b=2.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．2．B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖：

直三棱柱的體積為，消去的三棱錐的體積為，

∴幾何體的體積，故選B.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.3．C【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖，過A,M作準線的垂直，垂足分別為C，D，過M作AC的垂線，垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點，所以MD為三角形NAC的中位線，故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故選：C本題考查求拋物線的焦點弦的斜率，常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系，屬于中檔題.4．B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08,02,14,07,01，所以第5個個體是01，選D.考點：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數(shù)表法，考查學(xué)習(xí)能力和運用能力.6．B【解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故7．A【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角公式，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點在于公式的計算，識記公式，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.8．B【解析】

由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長為2的正方形，如圖建立空間直角坐標系，由題意：，，，，，為的中點，.，，，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.9．A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得的值，再求得的值.【詳解】依題意，.故選：A本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】

先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀，以及四棱錐的高，再由體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，該四棱錐為斜著放置的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，上底為1，下底為2，高為2，四棱錐的高為2，所以該四棱錐的體積為.故選A本題主要考查幾何的三視圖，由幾何體的三視圖先還原幾何體，再由體積公式即可求解，屬于?？碱}型.11．C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當(dāng)時,,在遞減；當(dāng)時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.12．B【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當(dāng)時，x在點B處取得最大值，即，得；當(dāng)時，z在點C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.本題考查由目標函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．70【解析】

根據(jù)二項式定理的通項公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：第5項為故第5項的的系數(shù)為故答案為：70.本題考查的是二項式定理，屬基礎(chǔ)題。14．【解析】

將三棱錐補成長方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，求得的值，然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補成長方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理可得，上述三個等式全部相加得，，因此，三棱錐的外接球面積為.故答案為：.本題考查三棱錐外接球表面積的計算，根據(jù)三棱錐對棱長相等將三棱錐補成長方體是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.15．2020【解析】

可對左右兩端同乘以得，依次寫出，，，，累加可得，再由得，代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有，從而，，，，將以上式子累加得.由得.令，有.故答案為：2020本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16．【解析】

由余弦定理求得，再結(jié)合正弦定理得，進而得，得，則面積可求【詳解】由，得，解得.因為，所以，，所以.又因為，所以.因為，所以.故答案為本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，是中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，點為線段的中點.【解析】

（Ⅰ）連結(jié)，，，則四邊形為平行四邊形，得到證明.（Ⅱ）建立如圖所示坐標系，平面法向量為，平面的法向量，計算夾角得到答案.（Ⅲ）設(shè)，計算，，根據(jù)垂直關(guān)系得到答案.【詳解】（Ⅰ）連結(jié)，，，則四邊形為平行四邊形.平面.（Ⅱ）平面，四邊形為正方形.所以，，兩兩垂直，建立如圖所示坐標系，則，，，，設(shè)平面法向量為，則，連結(jié)，可得，又所以，平面，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則.（Ⅲ）線段上存在點使得，設(shè)，，，，所以點為線段的中點.本題考查了線面平行，二面角，根據(jù)垂直關(guān)系確定位置，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.18．（1）適宜（2）（3）（?。┗貧w方程可靠（ⅱ）防護措施有效【解析】

（1）根據(jù)散點圖即可判斷出結(jié)果.（2）設(shè)，則，求出，再由回歸方程過樣本中心點求出，即可求出回歸方程.（3）（?。├帽碇袛?shù)據(jù)，計算出誤差即可判斷回歸方程可靠；（ⅱ）當(dāng)時，，與真實值作比較即可判斷有效.【詳解】（1）根據(jù)散點圖可知：適宜作為累計確診人數(shù)與時間變量的回歸方程類型；（2）設(shè)，則，，，；（3）（ⅰ）時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以（2）的回歸方程可靠：（ⅱ）當(dāng)時，，10150遠大于7111，所以防護措施有效.本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用，在求非線性回歸方程時，現(xiàn)將非線性的化為線性的，考查了誤差的計算以及用函數(shù)模型分析數(shù)據(jù)，屬于基礎(chǔ)題.19．（1）見解析；（2）【解析】

（1）由折疊過程知與平面垂直，得，再取中點，可證與平面垂直，得，從而可得線面垂直，再得線線垂直；（2）由已知得為中點，以為原點，所在直線為軸，在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標系，由已知求出線段長，得出各點坐標，用平面的法向量計算二面角的余弦．【詳解】（1）易知與平面垂直，∴，連接，取中點，連接，由得，，∴平面，平面，∴，又，∴平面，∴；（2）由，知是中點，令，則，由，，∴，解得，故．以為原點，所在直線為軸，在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則．又易知平面的一個法向量為，．∴二面角的余弦值為．本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角．證線線垂直，一般先證線面垂直，而證線面垂直又要證線線垂直，注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化．求空間角，常用方法就是建立空間直角坐標系，用空間向量法求空間角．20．（1）（2）①2②期望值為X900600300100P【解析】