【解析】湖北省黃岡市麻城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第六次模擬數(shù)學(xué)（文）試題

文科數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘分值：150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立即可得.【詳解】由，可得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力與推理論證能力.，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，由此求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用“分段法”比較出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.4.為實(shí)現(xiàn)國(guó)民經(jīng)濟(jì)新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)，國(guó)家加大了扶貧攻堅(jiān)的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比）為.2015年開(kāi)始，全面實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實(shí)施的扶貧項(xiàng)目，各項(xiàng)目參加戶數(shù)占比（參加該項(xiàng)目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比）及該項(xiàng)目的脫貧率見(jiàn)下表：實(shí)施項(xiàng)目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務(wù)業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先算出2019年的年脫貧率，再與年以前的年均脫貧率相比即可.【詳解】由圖表得，2019年的年脫貧率為.所以年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)期望的實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的分析問(wèn)題能力，屬于簡(jiǎn)單題.P（﹣3，1），則cos2α＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，再利用二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】∵角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣3，1），∴cosα，則cos2α＝2cos2α﹣1＝21，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，二倍角公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.=1(a>0，b>0)的漸近線方程為y=±3x，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由漸近線求得，由雙曲線的離心率求得答案.【詳解】因?yàn)樵撾p曲線的漸近線方程為y=±3x，則，所以雙曲線的離心率故選：A【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，涉及雙曲線的漸近線方程，屬于簡(jiǎn)單題.，陰陽(yáng)太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先設(shè)，，根據(jù)余弦定理得到，再根據(jù)圖形計(jì)算八卦田的面積即可.【詳解】如圖所示：設(shè)，.，解得：.因?yàn)?所以每塊八卦田的面積.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，同時(shí)考查了正弦定理計(jì)算三角形面積，屬于中檔題.被直線截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，結(jié)合勾股定理求得此時(shí)的弦長(zhǎng).【詳解】直線可化為，故直線恒過(guò)點(diǎn).圓：的圓心為，半徑為當(dāng)直線垂直于直線時(shí)，截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦長(zhǎng).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線過(guò)定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.的圖象可能是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，逐步分析到，顯然此時(shí)，觀察圖像即可選出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即所以，所以所以當(dāng)時(shí)，，可排除ABC故選：D【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選函數(shù)圖象，屬于中檔題.中，角，所對(duì)的邊分別為，若，，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化簡(jiǎn)得到，根據(jù)余弦定理得到，再利用正弦定理得到，即.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即.，即.因?yàn)?，即，解得?因?yàn)闉殇J角三角形，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同時(shí)考查了三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.R上的增函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，故可得，，，逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于對(duì)稱，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，且是定義在R上的增函數(shù)，所以是在R上的奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，所以，所以對(duì)于A：，因?yàn)椴灰欢ǖ扔?，所以不一定成立；對(duì)于B：，成立；對(duì)于C：，成立；對(duì)于D：，因?yàn)樵赗上為增函數(shù)，故，所以成立.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用，同時(shí)考查函數(shù)的平移變換，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.12.如圖，長(zhǎng)方體中，、分別為棱、與平面的交點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在線段上取點(diǎn)使，連接、且，設(shè)，連接，由平面相交的性質(zhì)可得，利用三角形相似求得、，再利用三角形相似即可得解.【詳解】在線段上取點(diǎn)使，連接、且，設(shè)，連接，由、分別為棱、的中點(diǎn)易得，即面，由可知面，所以面面，又面，所以直線與平面的交點(diǎn)即為與的交點(diǎn)，取的中點(diǎn)，由可得，所以，由可得，所以，由可得，由可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平面的性質(zhì)和平面相交的性質(zhì)，考查了空間思維能力和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．，滿足，則向量的夾角為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】首先化簡(jiǎn)得到，再計(jì)算即可得到.【詳解】，，解得.因?yàn)椋?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量夾角的計(jì)算，同時(shí)考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.軸為曲線的切線，則的值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)軸與曲線的切點(diǎn)為，由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解方程即可得解.【詳解】由題意，設(shè)軸與曲線的切點(diǎn)為，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.且，，若有最大值，則的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】先對(duì)分和討論，時(shí)，無(wú)最大值，不合題意，再分析時(shí)，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，故要使有最大值，則，求出的取值范圍即可.【詳解】若，由在單調(diào)遞增，無(wú)最大值；若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，則，若有最大值，則，得，則，即.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查了已知分段函函數(shù)的有最大值，求參數(shù)的范圍，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，還考查了學(xué)生的分析能力，邏輯推理能力，分類討論的思想，屬于中檔題.16.石雕工藝承載著幾千年的中國(guó)石雕文化，隨著科技的發(fā)展，機(jī)器雕刻產(chǎn)品越來(lái)越多．某石雕廠計(jì)劃利用一個(gè)圓柱形的石材（如圖1）雕刻制作一件工藝品（如圖2），該作品的上方是一個(gè)球體，下方是一個(gè)正四棱柱，經(jīng)測(cè)量，圓柱形石材的底面半徑米，高米，制作要求如下：首先需將石材切割為體積相等的兩部分（分別稱為圓柱A和圓柱B），要求切面與原石材的上、下底面平行（不考慮損耗），然后將圓柱A切割打磨為一個(gè)球體，將圓柱B切割打磨為一個(gè)長(zhǎng)方體，則加工打磨后所得工藝品的體積的最大值為_(kāi)_______立方米.【答案】【解析】【分析】要求加工打磨后所得工藝品的體積的最大值，只需上方的球與下方的長(zhǎng)方體的體積同時(shí)取得最大值即可.【詳解】因?yàn)閳A柱A和圓柱B的體積一樣大，所以它們的高一樣，即米，要使工藝品的體積最大，則上方的球與下方的長(zhǎng)方體的體積同時(shí)取得最大值，設(shè)由圓柱A打磨的球體半徑為，則，即，所以，當(dāng)時(shí)，球的體積取得最大值，此時(shí)球體體積，設(shè)下方的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為，，要使長(zhǎng)方體的體積最大，長(zhǎng)方體的高與圓柱B的高相等，此時(shí)其體積，因?yàn)殚L(zhǎng)方體為圓柱B的內(nèi)接長(zhǎng)方體，即長(zhǎng)方體的底面是圓柱底面的內(nèi)接長(zhǎng)方形，所以長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)等于圓柱底面的直徑，即，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長(zhǎng)方體體積的最大值為，所以所得工藝品的體積的最大值為(立方米).【點(diǎn)睛】本題主要考查球的體積計(jì)算和柱體的體積計(jì)算，關(guān)鍵是確定球的半徑，同時(shí)考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且．（1）求證：C，A，B成等差數(shù)列；（2）若的面積的最大值為，求外接圓的半徑.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用，結(jié)合正弦定理可得，再由余弦定理可得，再利用三角形內(nèi)角和定理求解.（2）由（1）知，得到，從而有，再根據(jù)的面積的最大值為，解得，然后利用正弦定理求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，由正弦定理可得，即，再由余弦定理可得，因?yàn)椋?，又，所以，即，所以C，A，B成等差數(shù)列．（2）由（1）知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又面積的最大值為，所以，解得，設(shè)外接圓的半徑為，則，解得.所以外接圓的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18.孔子曰：溫故而知新.數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)也是如此.為了調(diào)查數(shù)學(xué)成績(jī)與及時(shí)復(fù)習(xí)之間的關(guān)系，某校志愿者展開(kāi)了積極的調(diào)查活動(dòng)：從高三年級(jí)640名學(xué)生中按系統(tǒng)抽樣抽取40名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，所得信息如下：數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（人數(shù)）數(shù)學(xué)成績(jī)合格（人數(shù)）及時(shí)復(fù)習(xí)（人數(shù)）204不及時(shí)復(fù)習(xí)（人數(shù)）106（1）張軍是640名學(xué)生中的一名，他被抽中進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查的概率是多少（用分?jǐn)?shù)作答）；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，研究數(shù)學(xué)成績(jī)與及時(shí)復(fù)習(xí)的相關(guān)性.參考公式：，其中為樣本容量臨界值表：【答案】（1）（2）有的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與及時(shí)復(fù)習(xí)有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)概率定義直接求解即可；（2）根據(jù)列聯(lián)表，利用所給的公式求出的值，最后根據(jù)臨界表，做出判斷.【詳解】解析：（1）（2）由題可得如下列聯(lián)表優(yōu)秀合格合計(jì)及時(shí)復(fù)習(xí)20424不及時(shí)復(fù)習(xí)10616合計(jì)301040根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得隨機(jī)變量的觀測(cè)值，因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與及時(shí)復(fù)習(xí)有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率公式，考查利用對(duì)實(shí)際問(wèn)題做出判斷，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19.如圖，三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，平面平面，把平面沿旋轉(zhuǎn)至平面的位置，記點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（不在平面內(nèi)），、分別是、的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接、，利用面面垂直的性質(zhì)定理得出平面，可得出，利用勾股定理計(jì)算出，推導(dǎo)出是以為直角的直角三角形，再由中位線的性質(zhì)得出，由此可得出；（2）由的面積為定值，可知當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，連接、，推導(dǎo)出平面，計(jì)算出、以及的面積，然后利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接、，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以．因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，又，所以由勾股定理可得，又，，，，則，，所以為直角三角形，且，又、分別是、的中點(diǎn)，所以，所以；（2）如圖，連接、，因?yàn)槿忮F與三棱錐為同一個(gè)三棱錐，且的面積為定值，所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，則平面平面，，則，為的中點(diǎn)，則，平面平面，平面平面，平面，平面，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離為，在中，因?yàn)?，，所以，所以的最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查利用線面垂直證明線線垂直，同時(shí)也考查了利用等體積法計(jì)算三棱錐體積的最值，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.過(guò)點(diǎn)且橢圓的短軸長(zhǎng)為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知?jiǎng)又本€過(guò)右焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于軸上是否存在定點(diǎn)，使得，恒成立？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，【解析】【分析】（Ⅰ）由橢圓性質(zhì)可知點(diǎn)代入即可求得結(jié)果.（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)符合題意，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由解得或；②當(dāng)直線的斜率為0時(shí),解得或.由①②可得,然后證明當(dāng)時(shí),通過(guò)方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理,坐標(biāo)表示即可證得結(jié)論.【詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以.又橢圓的短軸長(zhǎng)為，所以，所以，解得.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，，，由，解得或；②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，，，由，解得或.由①②可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí)，由①②知結(jié)論成立.當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，，，由，得，直線經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且，.，所以.綜上所述，在軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立..【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線和橢圓位置關(guān)系中定點(diǎn)定值問(wèn)題,難度較難.（1）當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值并判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且時(shí)，總有成立，求取值范圍．【答案】（Ⅰ），為極大值點(diǎn)（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可；（Ⅱ）求出函數(shù)極值點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為[2lnx1]＞0，根據(jù)0＜x1＜1時(shí)，0.1＜x1＜2時(shí)，0．即h（x）＝2lnx（0＜x＜2），通過(guò)討論t的范圍求出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定t的范圍即可．【詳解】（Ⅰ），，則從而，所以時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)，所以為極大值點(diǎn).（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則在上有兩個(gè)不等的正實(shí)根，所以，由可得從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在，且時(shí)成立.即證成立.即證即證亦即證.①令則1)當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)且，①式在上不成立.2)當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，，所以在上為減函數(shù)且，、在區(qū)間及上同號(hào)，故①式成立.若，即時(shí)，的對(duì)稱軸，令，則時(shí)，，不合題意.綜上可知：滿足題意.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的坐標(biāo)方程為，若直線與曲線相切.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在曲線上取