全國新高考1卷地區(qū)高三數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題分類完整版編完整版析

2024屆高三數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題分類精編精析【題型目錄】題型一：圓錐曲線中的弦長、面積問題題型二：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題題型三：圓錐曲線中的定值、恒成立問題題型四：圓錐曲線中的定直線問題題型五：圓錐曲線中的存在性問題題型六：圓錐曲線中的范圍與最值問題題型七：斜率之和差商積問題題型八：圓錐曲線中的切線問題【題型分類精編精析】：題型一：圓錐曲線中的弦長、面積問題1.（安徽省A10聯(lián)盟2024屆高三4月質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓C：的短軸長為4，過右焦點(diǎn)F的動(dòng)直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上的投影分別為，（在的左側(cè)）；當(dāng)直線的傾斜角為135°時(shí)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求的方程；（2）若圓：，判斷以線段為直徑的圓與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若直線與直線交于點(diǎn)M，的面積為，求直線的方程.【解析】：（1）易知，則.設(shè)，，則，相減得，，故，解得，則，故橢圓C的方程為.（2）設(shè)，橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，，設(shè)為線段的中點(diǎn)，則，故圓與圓內(nèi)切.（3）當(dāng)直線斜率為0時(shí)，不符合題意，舍去.當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，易知，則，.易知，，所以直線：①，直線：②，聯(lián)立①②，所以，因?yàn)?，所以，解得，故直線的方程為或.題型二：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題1.（山東省“齊魯名校聯(lián)盟”2023—2024學(xué)年高三年級(jí)第七次聯(lián)考）已知直線與曲線．（1）若與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與的斜率之積為1，證明：直線過定點(diǎn)；（2）若與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于，兩點(diǎn)，求的最小值．【解析】：（1）解：設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，即且，所以，可得，即，即，化簡得，解得或，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，此時(shí)直線過定點(diǎn).（2）解：由，整理得，因?yàn)橹本€與相切，所以且，且，解得，可得，所以，即，所以直線的方程為，令，可得；令，可得，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即的最小值為.【點(diǎn)睛】方法技巧：圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點(diǎn)問題，常涉及不等式、函數(shù)的值域問題，綜合性比較強(qiáng)，解法靈活多樣，但主要有兩種方法：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)最值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；單調(diào)性法；三角換元法；平面向量；導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.題型三：圓錐曲線中的定值、恒成立問題1.（2024屆河北省承德市部分高中二模）圓?橢圓?雙曲線都有對(duì)稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，如下方式可以得到部分的有心圓錐曲線，已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)其中且記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)若曲線上兩動(dòng)點(diǎn)均在軸上方且與相交于點(diǎn).（i）當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長均為定值；（ii）當(dāng)時(shí)，記的面積為其內(nèi)切圓半徑為試探究是否存在常數(shù)使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】：（1）設(shè)依題意得兩邊平方去分母得整理得經(jīng)化簡得的方程為當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.（2）設(shè)點(diǎn)其中且.（i）證明：由（1）可知的方程為因?yàn)樗砸虼巳c(diǎn)共線，且.（解法一）設(shè)直線的方程為聯(lián)立的方程得則由（1）可知所以（定值）.（解法二）設(shè)則有解得同理，由解得所以（定值）.由橢圓定義得因?yàn)樗越獾猛砜傻?所以.因?yàn)樗缘闹荛L為（定值）.（ii）解：當(dāng)時(shí)，曲線的方程為軌跡為雙曲線，根據(jù)（i）的證明，同理可得三點(diǎn)共線，且.（解法一）設(shè)直線的方程為聯(lián)立的方程得所以因?yàn)樗詫ⅲ?）代入上式，化簡得（解法二）設(shè)依條件有解得同理，由解得所以.由雙曲線的定義得根據(jù)解得同理根據(jù)解得所以由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)（常數(shù)）.因此，存在常數(shù)使得恒成立，且.2.（江西省新余市20232024學(xué)年高三年級(jí)第二次模擬考試）通過研究，已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P，（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：（2）已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由.【解析】：（1）由已知可得，則，設(shè)，則，所以，，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（2）（i）由與交點(diǎn)為和，則由與交點(diǎn)為和，則.所以，.（2）設(shè)直線：，與斜橢圓聯(lián)立得，∵，，∴，設(shè)直線：，與斜橢圓聯(lián)立得，∴，∴，故.法二：將橢圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，由①可得橢圓方程為，點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，，.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，與橢圓方程聯(lián)立可得，，，設(shè)直線為與橢圓方程聯(lián)立可得，，綜上所述，.3.（湖北省十一校20232024學(xué)年高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為、是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．（i）若點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點(diǎn)，設(shè)和的面積分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)：（ii）若直線與直線交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線和直線的斜率）．【解析】：（1）由題意得，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）（i）由（1）可得，連接，因?yàn)椋?，所以，，，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得或（舍去），.（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，又，，直線的方程為，由，解得，所以，由，得，由，則，所以，則，，依題意、不重合，所以，即，所以，直線的方程為，令即，解得，，，為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4.（湖南省2024屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）已知拋物線，焦點(diǎn)為，過作兩條關(guān)于直線對(duì)稱的直線分別交于兩點(diǎn)．（1）判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．（2）若三點(diǎn)在拋物線上，且滿足，證明三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)均小于2．【解析】：（1）由題意不妨設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去得，，所以，因?yàn)橹本€與關(guān)于直線對(duì)稱，所以，且，所以，即，即，將代入得解得，所以直線的斜率為定值；（2）由已知，因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，所以，所以，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在拋物線上所以，得，又，所以，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)也小于，所以三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)均小于2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線和圓錐曲線相交的問題，通常將圓錐曲線和直線聯(lián)立，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合題目中的條件來解答.題型四：圓錐曲線中的定直線問題1．（新疆烏魯木齊地區(qū)2024年高三年級(jí)第三次質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知拋物線，的三邊AB，AC，BC所在直線分別與拋物線相切于點(diǎn)M，N，D，點(diǎn)．（Ⅰ）求直線MN的方程；（Ⅱ）證明；（Ⅲ）證明的垂心H在定直線上．【解析】：（Ⅰ）因?yàn)椋?，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，得，帶入得或，所以，，所以直線MN的方程為；（Ⅱ）由（Ⅰ）得直線AM的方程為，直線AN的方程為，設(shè)，所以直線BC的方程為，聯(lián)立直線方程得，，所以，，所以；（Ⅲ）因?yàn)?，邊BC上的高所在直線方程為，同理邊AB上的高所在直線方程為，聯(lián)立得，所以的垂心H在定直線上．2.（河北省滄衡名校聯(lián)盟高三年級(jí)模擬考試）已知雙曲線的一條漸近線為，實(shí)軸長為，為上一點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）（i）證明：直線與雙曲線相切于點(diǎn)；（ii）若直線與雙曲線相切，為雙曲線的右焦點(diǎn)，且，試判斷點(diǎn)是否在定直線上，若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請(qǐng)說明理由.【解析】：（1）依題意，，則，又，解得，所以雙曲線的方程為.（2）（i）由點(diǎn)在上，知①，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，得，顯然成立，故點(diǎn)在上.當(dāng)時(shí)，將直線化為斜截式，得，代入并整理，得②.由①知，，故②為，其判別式，故直線與雙曲線相切于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)直線與雙曲線相切于點(diǎn).綜上，直線與雙曲線相切于點(diǎn).（ii）由（1）知，，設(shè)，由題意，，即③.由（i）知，雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，又點(diǎn)在此切線上，故④.③④，得，即，因?yàn)?，所以，故點(diǎn)在定直線上.[命題意圖]本題考查雙曲線的方程?直線與雙曲線的位置關(guān)系；考查邏輯思維能力?運(yùn)算求解能力；考查邏輯推理?直觀想象?數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3．（2024屆遼寧省撫順市六校協(xié)作體高三下學(xué)期第三次模擬）如圖所示，在圓錐內(nèi)放人兩個(gè)球，它們都與圓錐的側(cè)面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這兩個(gè)球都與平面相切，切點(diǎn)分別為，數(shù)學(xué)家丹德林利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，記為為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)直線分別與該圓錐的母線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的母線分別與球相切于兩點(diǎn)，已知．以直線為軸，在平面內(nèi)，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，連接，設(shè)直線與交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)在直線上．【解析】：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由切線長定理知，則，解得．由，解得．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)，已知．設(shè)．聯(lián)立方程組消去得，由，可得，所以，同理．因?yàn)槭乔悬c(diǎn)，且，所以直線的方程為，即，顯然直線過定點(diǎn)，即三點(diǎn)共線，則，解得或（舍去），聯(lián)立方程組解得，即點(diǎn)在直線上．題型五：圓錐曲線中的存在性問題1.（湖南省邵陽市2024屆高三第二次聯(lián)考）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).（1）若經(jīng)過點(diǎn)，且，求；（2）若經(jīng)過點(diǎn)，且兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值.若存在，請(qǐng)求出面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】：（1）把代入得：，又.又，解得.雙曲線方程為.若直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè).，舍去.若的斜率存在，設(shè)方程為，代入，化簡得，，設(shè)，則，.，得，即.則..（2）假設(shè)存在，使得為定值.設(shè)方程為，代入，化簡得.由題意..由題意.要使為定值，則，解之得.存在，使得為定值.此時(shí)令，..由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在遞減，在時(shí)取得最大值1.的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）求弦長時(shí)，可用弦長公式，韋達(dá)定理表示出兩根之和和兩根之積；（2）對(duì)于直線過定點(diǎn)問題時(shí)，可采用向量垂直數(shù)量積為零，求出關(guān)于參數(shù)的方程，再討論定點(diǎn)問題；（3）求圓錐曲線中三角形的面積最值問題時(shí)，可用弦長公式表示出面積，再結(jié)合換元法或基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最值.2．（2023學(xué)年第二學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn)．（?。┳C明：點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】：（1）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，則．因?yàn)椋偃簦獾茫ㄉ崛ィ谌?，解得（舍去）或．所以點(diǎn)的坐標(biāo)位．（2）（?。┰O(shè)直線．由，得．所以．所以 ①由，得或．易知直線的方程為 ②直線的方程為 ③聯(lián)立②③，消去，得④聯(lián)立①④，消去，則．解得，即點(diǎn)在直線上．（ⅱ）由圖可知，，即．所以點(diǎn)在以為直徑的圓上．設(shè)，則，所以，即．故直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得．解得等于．所以，所以．故．題型六：圓錐曲線中的范圍與最值問題1．（2024屆河北省名校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月第二次聯(lián)考）已知橢圓，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，垂足為點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求面積的取值范圍．【解析】：（1）①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線l在y軸右側(cè)，直線OA的方程為，由，解得，，所以，，所以，直線AB的方程為，此時(shí)．同理，當(dāng)直線l在y軸左側(cè)時(shí)，．②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，由消去y整理得，，∴，且，，又∵，∴即：，所以，，則，故，所以滿足，所以，．綜上，，所以，點(diǎn)P的軌跡方程為．（2）①由（1）可知，當(dāng)直線l斜率不存在或斜率為0時(shí)，．②當(dāng)直線l斜率存在且不為0時(shí)，，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立．∴，∴，∴，綜上，．2.（遼寧省鞍山市普通高中2023—2024學(xué)年度高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)）焦點(diǎn)在軸上的橢圓的左頂點(diǎn)為，，，為橢圓上不同三點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，直線和直線的斜率之積為．（1）求的值；（2）若的面積為1，求和的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)的中點(diǎn)為，求的最大值．【解析】：（1）因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，則必有點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，設(shè)直線和直線的斜率分別為，，因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，即；（2）設(shè)過兩點(diǎn)直線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以，，因?yàn)樵跈E圓上，所以，又，所以，即，結(jié)合可得，此時(shí)，，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，消去得，其中①，所以，所以因?yàn)榈街本€的距離，所以，所以，整理的，符合①式，此時(shí)，；（30因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)為直角三角形且為直角，故，解得，從而，此時(shí)等號(hào)可成立.所以的最大值為.3.（2024年大連市高三第一次模擬考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為G．（1）求曲線G的方程：（2）若P，C，D為曲線G上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的平分線交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)Q到直線PC的距離為1．（ⅰ）若點(diǎn)Q為重心，用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ⅱ）若，求a的取值范圍．【解析】：（10設(shè)點(diǎn)，即，，，，化簡得曲線的方程：；（2）（?。┙夥?：設(shè)，為的角平分線．為重心為的中線，S三線合一可得，為重心①設(shè)直線方程為：，直線方程為：，是的平分線，點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的距離為1，，可得同理，即是方程的兩根，，聯(lián)立可得：，，同理，點(diǎn)為重心，，即，又，故點(diǎn)的坐標(biāo)為②聯(lián)立①②可得即（ⅱ）由（?。┲?，，等價(jià)于時(shí)滿足題意．（?。┙夥?：是的平分線，點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的距離為1，直線與圓相切，設(shè)直線與圓的切點(diǎn)分別為，設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，可得，整理得，結(jié)合，進(jìn)一步可得直線方程為：，同理直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在兩條直線上，所以可知直線的方程為，代入圓方程可得：即：設(shè)直線的斜率，直線的斜率為，即，聯(lián)立直線與拋物線方程，，可得：，，同理可得，點(diǎn)為重心，，即，又故點(diǎn)的坐標(biāo)為②其余過程同解法1．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線位置關(guān)系,關(guān)鍵是利用角分線的意義抽方程或直線,進(jìn)而得韋達(dá)定理求出P坐標(biāo).4.（萍鄉(xiāng)市2023—2024學(xué)年度高三二?？荚囋嚲恚┮阎獧E圓的離心率為是上的不同兩點(diǎn)，且直線的斜率為1，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，點(diǎn)都不在軸上，連接，分別交于兩點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值.【解析】：（1）依題意，則，因此，設(shè)，聯(lián)立與的方程得，又，即，故，即陏圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）【解法1】設(shè)，可知的斜率存在，設(shè)為，則的方程為，聯(lián)立與的方程，整理得，，則，又，故，同理可得，易知的斜率不為0，設(shè)的方程為，則，又，則，對(duì)比的方程可知，直線恒過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取到最大值.（2）【解法2】設(shè)，則.……①又，即，作差整理得，結(jié)合①，解得.……②由①②，解得..……③同理可得，.……④可知的斜率不為0，設(shè)的方程為，結(jié)合①③④可得：，對(duì)比的方程可知，直線恒過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取到最大值.（2）【解法3】由題可設(shè)如下直線方程：，，則過四點(diǎn)的曲線系方程為：則項(xiàng)的系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，又橢圓的方程可寫為：，對(duì)比系數(shù)可知：，解得，即，故直線恒過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取到最大值.5.（山東省聊城市2024屆高三下學(xué)期模擬考試（二模））已知橢圓的短軸長為2，離心率為.（1）求的方程；（2）直線與交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且.（?。┊?dāng)時(shí)，求的值；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到的距離的最大值.【解析】：（1）由題意得，解得，所以的方程為．（2）（?。┯深}意得，由，得，即，由，得，即，將的坐標(biāo)分別代入的方程，得和，解得，又，所以.（ⅱ）由消去，得，其中，設(shè)，則，由，得，所以，由，得，即，所以，因此，又，所以.所以的方程為，即過定點(diǎn)，所以點(diǎn)到的最大距離為點(diǎn)與點(diǎn)的距離，即點(diǎn)到的距離的最大值為2.6.（江西省上饒市2024屆第二次高考模擬考試）已知離心率為的橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓圓心始終在直線上，求面積的最大值.【解析】：（1）在拋物線上，，解得：，拋物線方程為：；由拋物線方程知：，即，，解得：，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）的內(nèi)切圓圓心始終在直線上，平分，設(shè)直線斜率為，又軸，；設(shè)，，則，又，，整理可得：；，，；由得：，則，解得：；由得：，則，解得：；綜上所述：；設(shè)，，則，，，又到直線距離，，由得：，當(dāng)時(shí)，，的最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解直線與橢圓綜合應(yīng)用中的三角形面積最值（取值范圍）問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線距離表示出所求三角形的面積；④將所求三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解出最值（范圍）.7.（湖南省2024屆高三“一起考”大聯(lián)考）已知雙曲線E：（，）一個(gè)頂點(diǎn)為，直線l過點(diǎn)交雙曲線右支于M，N兩點(diǎn)，記，，的面積分別為S，，.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，的值為.（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若l交y軸于點(diǎn)P，，，求證：為定值；（3）在（2）的條件下，若，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】：（1）由題意得，，則當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，不妨設(shè)，由，得，將代入方程，得，解得，所以雙曲線E的方程為．（2）設(shè)，，，由與，得，即，，將代入E的方程得：，整理得：①，同理由可得②．由①②知，，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根．由韋達(dá)定理知，所以為定值．（3）又，即，整理得：，又，不妨設(shè)，則，整理得，又，故，而由（2）知，，故，代入，令，得，由雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以m的取值范圍為．.【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的范圍問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.8.（2024屆湖北省高中畢業(yè)生四月模擬考試）已知橢圓和的離心率相同，設(shè)的右頂點(diǎn)為，的左頂點(diǎn)為，，（1）證明：；（2）設(shè)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為P，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，連，求的最大值.參考公式：【解析】：（1）證明：當(dāng)時(shí)，的離心率，時(shí)，的離心率；因?yàn)椋曰?，得，又，所以，且；由題意知，，即，則，，它們的斜率之積為，因此；（2）解：由（1）問知，，聯(lián)立與的方程，將y消去得：，解得，，又在曲線上，則，，聯(lián)立與的方程，將y消去得：，解得，，又在曲線上，則，，……9分因此的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，即，所以，記，?dāng)最大時(shí)，也最大；可知，令得，解得，又，則，令得，因此在處取得最大值，且最大值為，因此最大值為.9．（天域全國名校協(xié)作體20232024學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為e，已知橢圓長軸長是短軸長的2倍，且橢圓W過點(diǎn)．（1）求橢圓W的方程；（2）已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在W上，求平行四邊形ABCD的面積S的最大值．【解析】：（1）由題意知，解得，所以；所以橢圓W的方程為；（2）①若直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為，，，因?yàn)?，故可設(shè)CD方程設(shè)為，由得，則，且，所以，同理，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕O(shè)兩平行線AB，CD間的距離為d，則，因?yàn)?，所以．所以所以?dāng)時(shí)，ABCD的面積S取得最大值為4．②若直線AB的斜率不存在，此時(shí)平行四邊形ABCD為矩形，設(shè)，易知，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等;綜上所述：ABCD的面積S的最大值為4題型七：斜率之和差商積問題1.（2024屆明日之星高考數(shù)學(xué)精英模擬卷）以雙曲線的右焦點(diǎn)F為圓心作圓，與C的一條漸近線相切于點(diǎn).（1）求C的方程.（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，過點(diǎn)M任意作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線l，當(dāng)l與C交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，直線，的斜率之和為定值？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【解析】：（1）雙曲線C的漸近線方程為，圓F與直線切于點(diǎn)，所以代入得，①設(shè)，直線FQ有斜率，則，即，②又，③由①②③解得，，，所以雙曲線C的方程為.（2）假設(shè)存在滿足條件的定點(diǎn)，因?yàn)橹本€l不與坐標(biāo)軸垂直，故設(shè)l的方程為，，.由消去x整理得，則即，且，因?yàn)椋灾本€，的斜率為，.設(shè)（為定值），即，即，即，整理得，所以，所以.因?yàn)閠，為定值，且上式對(duì)任意m恒成立，所以，解得，.將代入式解得或且.綜上，存在滿足條件的定點(diǎn).2.（湖南省益陽市2024屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知直線與橢圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．（1）設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，求的取值范圍；（2）已知橢圓在點(diǎn)處的切線為．（i）求證：切線的方程為；（ii）設(shè)射線交于點(diǎn)，求證：為等腰三角形．【解析】：（1）因?yàn)?、為直線與橢圓的交點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，所以、關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，不妨設(shè)，則，又、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)由題意可得，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離分別為，可得，，又因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以；?）（i）首先證明橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為，①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化