案例分析與教師發(fā)展教學案例

案例分析與教師發(fā)展（教學案例）

主題：建議通過案例分析來促進教師的發(fā)展，既解決工

作中的實際問題，又促進個人的專業(yè)發(fā)展.期望：

?領會三個名詞：案例，案例教學，案例研究；

?參與一個行動：案例分析（校本教研的具體形式）；

?帶走一個信念：我要進行、也能進行案例研究.

我將采用講故事（數(shù)學聊天）和交流討論的方式來進行,

即通過教育事件的描述，發(fā)掘內(nèi)隱于其背后的思想與意義（教

育敘事）.

1案例分析的初步認識

本來，可以先給出界定，然后舉例說明，但我不這樣做，

我將用分析案例的方式來說明案例分析.

1-1通過分析案例來說明案例分析

先做一個數(shù)學練習（自行車問題），再議一個教學問題

（三角形內(nèi)角和的教學），可以認為是學習“案例分析”相

關(guān)概念和做法的情境創(chuàng)設.

1-1-1案例1:自行車問題（經(jīng)歷解題案例）

第一、案例的呈現(xiàn).

例1-1一個自行車新輪胎，若安裝在前輪則行駛

50006后報廢，若安裝在后輪則行駛3000加后報廢.如果

行駛一定路程后交換前、后輪胎，使一輛自行車的一對新輪

胎同時報廢，那么這輛車將能行駛多少加？

(請用方程或算術(shù)等多種方法求解.求解后想想如何讓

學生也學會解)

解法1

解法2

解法3

困難在哪里？

(1)不清楚解題困難在哪里，反正讀完題目之后就無

從下手了.

(2)感覺好像什么都不知道，總磨損量不知道，什么

時候交換不知道，拿什么做等量關(guān)系不清楚，屬于什么題型

不清楚.

(3)理不清題目的條件是什么.特別是“自行車的前

輪后輪”把“甲乙兩個輪胎”與“自行車前后兩個位置”交

叉在一起，理不清“自行車的前輪后輪”的數(shù)學含義是什

么.（參見圖2）

（4）理不清題目的結(jié)論是什么.表面上，結(jié)論求“一

對新輪胎行駛多少加”寫得很清楚，但這與“交換”前、后

輪胎有關(guān)，并且“交換”好像是實質(zhì)的，否則，怎能“使一

輛自行車的一對新輪胎同時報廢”呢？（干擾因素）

如果你不能求解，沒關(guān)系，請先做第2題.

例1-2一件工程，平均分為前、后兩段，甲工程隊干

前半段5000小時完成，乙工程隊干后半段3000小時完成，

如果兩工程隊同時動工，甲工程隊干前段、乙工程隊干后段

一定時間后，甲、乙兩工程隊交換（交換時間不計），使前、

后兩段同時完工，問整個工程一共幾小時完成？

（屬于什么題型？中途交換如何處理？）

如果你能求解第2題請返回做第1題；如果你也不能求

解第2題，沒關(guān)系，請先做第3題：

例1-3一件工程，甲工程隊干一半需5000小時，乙工

程隊干一半需3000小時，如果甲、乙兩工程隊一齊干，整

個工程幾小時完成？（中途交換去掉了，屬于什么題型？）

如果你能求解第3題，請返回做第2、1題；如果你不

能求解第3題，請看第4題.

例1-4一件工程，甲工程隊干需10000小時，乙工程

隊干需6000小時，如果甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程

幾小時完成？

這是標準的工程問題了.

最終至少要用兩個以上的解法完成第1題.希望完成之

后能談談感想，想說什么就說什么.

第二、案例的分析.

案例分析1：關(guān)于解法.

解法1（方程解法）設每個新輪胎報廢時的總磨損量

為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛”根的磨損量為嬴，安裝

在后輪的輪胎每行使1碗的磨損量為嬴.又設一對新輪胎

交換位置前走了。加、交換位置后走了bh”，分別以一個輪

胎總磨損量為等量關(guān)系列方程，有（方程組）

kakb

50003000

kbka

50003000

兩式相加，得

+k(a+b)

2k,③

50003000

2k2

則a+h3750(km).④

~kV

——+-----一i+一r

5000300050003000

作為“怎樣解題”任務是完成了，但作為“怎樣學會解

題”這只不過是新的開始——反思分析.

當然，這個解法條理清晰，書寫完整，答案正確，也不

乏趣味性的技巧.特別是，這個解法對“字母表示數(shù)”的運

用很熟練，“缺什么設什么”、引進過渡性的字母心力，既有

助于寫出相關(guān)代數(shù)式、建立等量關(guān)系、列出方程，又“設而

不求”（像化學反應中的催化劑），表現(xiàn)出解題的藝術(shù).但也

正是這些技巧給我們的教學講解和學生接受帶來困惑，把所

求的未知數(shù)設為兩個未知數(shù)之和〃學生不太好理解，這

是“怎樣想到的”也不容易說清楚，這促使我們思考：能不

能把題目處理得更好接受一些？

反思1：既然艱力都只有輔助的作用，而①、②式的等

量關(guān)系也被更實質(zhì)性的③式代替了，那么，我們能不能一開

始就抓住③式這個本質(zhì)結(jié)構(gòu)呢？事實上，不管甲輪胎還是乙

輪胎作前（后）輪，磨損率是一樣的，交換是非實質(zhì)的，就

是說，若設一對新輪胎可走x6，則一對輪胎在前輪走了

xkm,在后輪也走了xm，有（可以不列方程組，列方程就

行了）

解法2：（方程解法）設每個新輪胎報廢時的總磨損量為

k,則安裝在前輪的輪胎每行駛16的磨損量為盛，安裝在

后輪的輪胎每行使1碗的磨損量為嬴.又設一對新輪胎可

走xAm,則一■對輪胎分別在前后輪各走了X加，有

旦+旦=2k

50003000'

貝I」x---~~；—=—；——-——；—=3750（女〃z）.⑤

kkII

-----1------------1----

5000300050003000

說明1:如果說原解法更關(guān)注前輪、后輪兩個“局部”

的話，那么新解法則把前輪、后輪合起來作“整體處理”了；

原解法將兩個“局部”列成兩條方程，新解法則已經(jīng)完成兩

條方程相加、“整體”得出④式.

反思2：這個解法中％只有輔助作用，能不能也去掉，

怎么去？另外，由④及⑤中的運算式[2]=375。,我們看

----1----

50003000

到了一種結(jié)構(gòu)——工程問題（這正是上述教學設計的一個基

本考慮），我們能不能一開始就抓住這個本質(zhì)結(jié)構(gòu)呢？有

解法3:（算術(shù)解法）設每個新輪胎報廢時的總磨損量為

1,則一對新輪胎報廢時的總磨損量為2；又由已知得，安裝

在前輪的輪胎每行駛1癡的磨損量為嬴，安裝在后輪的輪

胎每行駛1碗的磨損量為康，進而，每“加一對輪胎磨損

量為嬴+/；用總磨損量除以單位磨損量可得“一對新輪

胎同時報廢最多可行駛”

——2]=3750（km）.

-----1----

50003000

說明2:這個題型小學說是“工程問題”，到中學可以

說是“調(diào)和平均”作（高中），“反比例函數(shù)模式”孫“（初

—+-

ab

中）.（參見后面的提煉）

反思3：解法3是在④、⑤中取心1（這是小

kK

----------F

50003000

學的慣例），女只能取1嗎？回答是：取5000與3000的最小

公倍數(shù)更方便.有

解法4：（技巧解法）假設自行車行駛了15000^,則前

輪用了3個，后輪用了5個，共報廢8個，所以，一對新輪

胎同時報廢能行駛空”=3750（km）.

4

說明3：這也是把前輪、后輪合起來作“整體處理”.由

這個解法可知，前、后輪的磨損有3：5的關(guān)系，從而可以

改寫為

解法5假設自行車已走了30006，后輪磨完，則一對

輪胎只剩下前輪的2000%〃,；接下來，前輪會磨掉2000碗的］

X

（后輪會磨掉它的。），由2000xg=750知，一對輪胎可走

OO

3000+750=3750（km）.

反思4解法1由目標牽引，進行了①、②“兩式相加”,

而由兩式相減呢，立即可得八人就是說，若一對新輪胎同

時報廢，則單個輪胎安裝在前輪行駛的路程等于其安裝在后

輪行駛的路程.這個實事有明顯的幾何意義：方程組①、②

中的兩條不平行直線關(guān)于對角線x=y對稱，其交點在對角線

x=），上（或說兩個互為反函數(shù)的圖像——兩條直線，相交于

對角線），有

解法6（創(chuàng)設解法情景）設一對新輪胎交換位置后同

時報廢時自行車共行駛了X碗，我們不妨設想自行車的車把

和車座都可以旋轉(zhuǎn)，用人和車的掉頭代替前、后輪交換的裝

卸.當自行車行駛到9根時，磨掉了一半的磨損量（正好等

于一個輪胎的磨損量），有（如圖1）：前輪的磨損量恰好是

后輪的磨損剩余量，前輪的磨損剩余量恰好是后輪的磨損

量，如果此時旋轉(zhuǎn)車把和車座掉頭返回出發(fā)地，就交換了前、

后輪，再行駛"加回到出發(fā)地時一對新輪胎同時報廢.于是

一個新輪胎的總磨損量

=前進與〃的磨損量+返程與〃的磨損量，

22

%%—……前輪

5000+3000-1,-----------,一后輪

（這就是方程③上+上=2人,）

50003000

得x=-j——!——j—=3750.圖1

----------------1----------------

2x50002x3000

不管題目還會有的多少解法，我們已經(jīng)有了三類解法：

方程解法、算術(shù)解法、技巧解法.這可以認為是反思解法1

的成果，并且是“只要去做、人人都能做到”.

案例分析2：關(guān)于教學設計的意圖.

這是一個“親身參與”的解題教學案例，體現(xiàn)解題教學

是解題活動的教學，當中有三個基本的考慮.（不知在大家

的體會中有沒有談到）

（1）解題化歸的教學設計：如果你不能求解第1題，

請先做第2題；如果你能求解第2題請返回做第1題，如果

你也不能求解第2題，請先做第3題；如果你能求解第3題

請返回做第2、第1題，如果你也不能求解第3題，請先做

第4題，一路轉(zhuǎn)化為基本題型.這就是化歸：把一個未解決

或較難解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決或較易解決的問題.

（2）揭示問題的深層結(jié)構(gòu)：自行車問題有工程問題的

深層結(jié)構(gòu).可列表說明如下：

例1-1自行車問題例1-2工程問題

一對輪胎的磨損（感覺磨損有一件工程（感覺工程有建設性）

破壞性）

磨損量（從新輪胎到報廢）工程量（完成一件工程）

輪胎有兩個工程有兩段（甲乙輪胎對應前后兩

段工程）

甲、乙輪胎磨損量相等前、后兩段工程量相等

輪胎放在前面位置行駛甲工程隊干前段5000小時完成

5000km報廢

輪胎放在后面位置行駛

乙工程隊干后段3000小時完成

3000km報廢

如果行駛一定路程后，交換如果兩工程隊同時動工，甲工程隊

前、后輪胎，使一輛自行車的干前段、乙工程隊干后段一定時間

一對新輪胎同時報廢（交換后，甲、乙兩工程隊交換，使前、

前、后輪胎好像是實質(zhì)的，否后兩段同時完工（甲、乙兩工程隊

貝IJ,怎能“使一輛自行車的一交換不交換是非實質(zhì)的，使前、后

對新輪胎同時報廢”？）兩段同時完工即可）

這輛車將能行駛多少加？整個工程兒小時完成？

可見，“自行車問題”與“工程問題”有相同的結(jié)構(gòu)！

這時，是從“工程問題”的角度重新理解題意，體會“條件

是什么、結(jié)論是什么”的最好機會.甲乙輪胎對應前后兩段

工程、自行車前后位置對應甲乙兩個工程隊（輪胎是工程、

位置是工程隊、磨損是干工程，如圖2）.于是，從工程的觀

點看例1-1,可以認為有兩個條件：其一是磨完一個新輪胎,

自行車的前輪位置需走50006（完成工程前半段甲工程隊需

5000小時），其二是磨完一個新輪胎，自行車的后輪位置需

走3000加（完成工程后半段乙工程隊需3000小時完成）；結(jié)

論是：求自行車的前、后輪一起磨完兩個新輪胎需走多少服

（甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程幾小時完成）.

圖2

（3）溝通一題多解的內(nèi)在聯(lián)系.

從原解法出發(fā)，上面呈現(xiàn)了方程、算術(shù)、技巧三類解法,

我們說三類解法不是各別孤立的.由③（或⑤）式有

.2k2cr-八（.\

a=----------=----------------=3750（km）.

kK11

----------1--------------------------1----------

5000300050003000

這是方程解法的結(jié)果，約去女（或說令人=1）便是工程解

法，而取％=15000,就是技巧解法.所以，三類解法是可以溝

通的.也惟有溝通不同解法的聯(lián)系，我們才能洞察問題的深

層結(jié)構(gòu)，形成優(yōu)化的認知結(jié)構(gòu).

案例分析3：方程解法與算術(shù)解法的對比.

下面，我們來議論一個問題：方程解法與算術(shù)解法的對

比.（哪個解法好？好在哪里？）

（1）基本情況：方程解法設每個新輪胎報廢時的總磨

損量為女，一對新輪胎可走””之后，視總磨損量和路程均為

已知數(shù)，從一對新輪胎可走x加出發(fā)，就可以求出在前輪位

置的磨損率量和磨損量、在后輪位置的磨損率量和磨損量，

得出輪胎磨損的等量關(guān)系（方程），根據(jù)等量關(guān)系解出未知

的x，將未知數(shù)還原出來.

算術(shù)解法設每個新輪胎報廢時的總磨損量為1，總磨損

量成為已知數(shù)，然后，從已知數(shù)據(jù)“裝在前輪行駛5000府”

“裝在后輪行駛3000癡”出發(fā)，算出一個輪胎的磨損率、一

對輪胎的磨損率，一步步得出一對新輪胎可走多少物.

（2）對比分析：由上面的基本情況可以看達兩種處理的

不同.

第一、對“未知”的思想認識不同.

在方程解法中已知與未知是辯證統(tǒng)一的，它是先把未知

看作已知（設未知數(shù)），然后參與運算，與已知相結(jié)合建立

起通向未知的橋梁（列方程），通過橋梁把未知還原為已

知.而在算術(shù)解法中已知與未知是機械分離的，已知就是已

知、未知就是未知，只能使用已知之間的關(guān)系鋪設一條通向

未知的路來，把結(jié)論作為最后的摸索目標.于是

?方程解法設出X后比算術(shù)解法多了一個可供參與運算

的條件，列出相關(guān)式子更容易、更方便.

?方程解法設出X后比算術(shù)解法多了一個可供參與運算

的條件，尋找等量關(guān)系的途徑增加、思路開闊.

第二、通向“目標”的思維方向不同.

方程解法把結(jié)論設為X后，就以明確的目標為牽引，帶

動所有條件，建立起相關(guān)量（包括已知與未知）的平衡；而

算術(shù)解法則要在所有已知條件建立起平衡之后才能呈現(xiàn)目

標.就是說，方程解法把條件與結(jié)論同時抓、一起用，算術(shù)

解法是看著結(jié)論用條件，列式、運算只用到條件.

?方程解法把條件與結(jié)論同時抓、一起用，比算術(shù)解法

目標更加明確、溝通條件與結(jié)論的聯(lián)系更加容易、更加方便;

?方程解法把條件與結(jié)論同時抓、一起用，比算術(shù)解法

對目標的使用更加自覺、更加給力.

如果把解題比作過河，河的這邊是條件（已知），河的

那邊是結(jié)論（未知），那么算術(shù)方法就好像是趟水過河，人

從已知的岸邊開始，一步一步摸著石頭、把著竹竿，摸索著

走向?qū)Π?；方程解法則不同，它像是將一根帶鉤的繩子甩過

河去，鉤住對岸的目標（未知數(shù)），拴緊繩子（甚至裝好滑

輪）后（建立方程），人沿著繩子拉（滑）過對岸.兩者的

思維方向相反，一個是由條件摸過去的，一個是由結(jié)論拉過

去的.

所以，從思想方法上方程解法優(yōu)于算術(shù)解法，這并不否

定算術(shù)解法也可以有精彩的技巧處理，但是，方程解法的一

般性可以解釋（導出）精彩技巧的特殊性.

第三、對案例分析的啟示.

（1）這就是一個“親身參與”的解題教學案例.

（2）我們通過這個故事來啟引大家認識案例、關(guān)注案

例研究，實際上是在進行“案例教學”.

（3）講這個有趣的故事、分析提煉內(nèi)蘊于其背后的思

想、意義與道理，就是案例研究.

1-1-2案例2：在“三角形內(nèi)角和定理”的課堂上

第1、案例呈現(xiàn)

師生理清了“三角形內(nèi)角和”的證明思路之后，學生

腦子里有一個圖、但板書沒有畫出來，寫出證明如下：

已知：A8C中，為三個內(nèi)角.

求證：ZA+ZB+NC=180°.

證明：在三角形外部作ZACE=NA,

則CE//AB,（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

有NECD—B.（兩直線平行，同位角相等）

得ZA+NB+NC

^ZACE+ZECD+ZC（等量代換）

=180。.（平角的定義）

第2、案例研究.

反思1

（1）對這個證明你有什么看法？

①缺圖，②點。來歷不明，③NC寫為ZAC8,④其他（三

角形明確為ABC,先做CE//A5....）

（2）對于“點。來歷不明"，你會如何處理？

（學員討論）

修正1如圖3,作8C的延長線。（延長8C到。不好,

有線段CO之嫌），在相。外部作/4比=4,

則CE//AB,（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

有NECO=4.（兩直線平行，同位角相等）

得ZA+ZB+ZC

ZACE+ZECD+ZACB（等量代換）

=180。.（平角的定義）圖3

反思2:（1）A8C為什么畫成銳角三角形？證明中沒

有用到“銳角三角形”條件，所以，圖3只是任意三角形

（7種情況）的一個代表.可向?qū)W生說明.

ZC三角形形狀ZAZB示意圖

銳角三角形NA為銳角NB為銳角

ZC直角三角形N4為直角N8為銳角

為

銳場三角形NA為銳角ZB為直角

角M

鈍角三角形乙4為鈍角NB為銳角

鈍角三角形NA為銳角N3為鈍角

0一

NC為直角直角三角形NA為銳角N3為銳角

NC為鈍角鈍角三角形NA為銳角為銳角

（2）為什么CE在ZAC。內(nèi)部？“外角大于不相鄰的內(nèi)對

角”恰好是“三角形內(nèi)角和定理”的推論，有沒有邏輯循環(huán)？

能不能避免?

“外角大于內(nèi)角”是推論；

叫學生作圖、作到哪里就那里，是不講道理.

附《兒何原本》中外角大于內(nèi)角的證明：取邊AC的中

點0,連結(jié)8。并延長到E,使0E=B0,作射線Cf.

易知COE=A0B（SAS）,Z0CE=Z0AB,AE

由于CE在ZAC0內(nèi)，所以N4C0>NBAC,同\

工EB'D

理，ZACD>ZABC.C-

要說明“CE在48內(nèi)”！圖4

道理：得出CE//A8后，A8C在CE的一旁，則8c的延長

線CO,必在CE的另一旁，是有道理的，

修正2如圖3,在A8C外部作NACE=ZA,

則CE//AB,（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

且A8C在CE的一旁，作8。的延長線CD,必在CE的另一旁,

有NECD=4.（兩直線平行，同位角相等）

A

得ZA+Z5+ZC

BCD

^ZACE+ZECD+ZACB(等量代換)

180"（平角的定義）

反思3:對來歷不明的。，只有“補”一個思路嗎？

開頭

補＜

中間

不補（刪）

修正3如圖5,在ABC外部作NACE=ZA,

則CE//A8,（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

得ZA+Z5+ZC

=(ZACE+NC)+N6(等量代換)

=(Z4CE+ZACB)+ZB

=NBCE+NB

=180。.（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）圖5

第3、今天的結(jié)論.

以上我們共同經(jīng)歷了一個“案例”，共同進行了一次“案

例研究”.

（1）學生給出一個證明，這個證明就是一個案例，數(shù)

學教育界習慣稱數(shù)學案例為課例.

（2）我們一起談“這個證明你有什么看法？”“你會

如何處理？”就是反思，就是“案例研究”.

（3）我們通過這個證明的反思，來啟引大家認識案例,

關(guān)注案例研究，體會案例教學的過程，感悟“我要進行案例

研究，我能進行案例研究”的理念，實際上是在進行“案例

教學”.

④講這個有教育意義的故事、分析提煉內(nèi)蘊于其背后的

思想、意義與道理，有一個很時髦的詞，叫做“教育敘事”

即通過教育事件的描述，發(fā)掘內(nèi)隱于其背后的思想與意義.

至少有兩個收獲：

收獲1：經(jīng)歷了案例教學的三步驟過程：

①教師提供課例，學員體會情景.

②教師組織討論，學員分析材料.

③教師總結(jié)評述，學員掌握原理.

收獲2：感悟到教學處處有創(chuàng)新的空間.

①面臨"。來歷不明”我們的認識不要封閉，要廣開思

補1開頭

路，1［中間三個思路都是通的.

不補（刪）

②面對教材我們的認識也不要封閉.

（羅增儒.與“國培”學員一起做課例分析——在“三角形內(nèi)角和定理”的課堂上.中學數(shù)

學教學參考（中旬）,2013,3）

上面的兩個小故事，是不是有助于樹立一種觀念，明白

一個道理,理解一個概念，學到一種方法？可以認為是學習

“案例分析”概念的情境創(chuàng)設.

1-2案例研究的現(xiàn)實需要

我國正在進行的新一輪課程改革，面臨許多始料未及、

而又缺乏現(xiàn)成解決方案的問題，數(shù)學教學的生活化取向、活

動化取向、個性化取向，向我們提出了從理論到實踐的挑戰(zhàn)、

向我們提出了從教學到數(shù)學的挑戰(zhàn).

1-2-1存在問題的實例

（討論：實行新課程存在些什么問題？比如“三維目標”

（知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀）——“四個方面”

（義務教育階段數(shù)學課程目標分為總目標和學段目標，從知識技能、數(shù)學思考、

問題解決、情感態(tài)度等四個方面加以闡述）-----“四基”（通過義務教育階

段的數(shù)學學習，學生能：獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知

識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗），它們之間是什么關(guān)系？）

案例3：鐘面上的時針與分針是否組成角？

下面是一位教師在上人教版七年級上冊“角的度量”第

一課時的教學片斷.教師首先出示了時鐘、棱錐、樹葉等幾

幅圖片（見課本第131頁）.

教師：請同學們找出以上圖片所含的角.

學生：鐘面上的時針與分針，棱錐相交的兩條棱，樹葉

上交錯的葉脈等都是角.

教師：這些角有什么共同的特征？你能否根據(jù)這些特征

給角下一個定義？

學生：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.

教師：由線段。4。5組成的圖形是角嗎？

學生：不是角.

教師：回答正確.因為。4。6是線段而不是射線，所以由

線段。4。6組成的圖形不是角.

學生：老師，如果根據(jù)角的定義，鐘面上的時針與分針,

棱錐相交的兩條棱，樹葉上交錯的葉脈那也不是角了？

教師無言以對.

（官云春.由一則教學悖論引發(fā)的思考.中小學數(shù)學（教師版），2006,6）

解釋：這里有現(xiàn)實原型與抽象模式的關(guān)系，現(xiàn)實原型要

經(jīng)過抽象才能成為數(shù)學.

案例4：乘法交換律的教學

有一個教學設計，用一個柄特別長的勺子喝水，勺子太

長自己喝不到，學生經(jīng)過討論找到“交換喝水”的辦法：你

拿勺子喂給我喝，我拿勺子喂給你喝，喝水問題圓滿解決.這

個“活動”固然有趣，辦法也很好，但與“乘法”沒有關(guān)系,

亦離開了“數(shù)量不變”的交換率本身.交換律的本質(zhì)是變化

中的不變性，學生在這里學到的不是數(shù)學或不是“乘法交換

律”.（地獄與天堂的寓言）

如何防止“去數(shù)學化”，既是教學的挑戰(zhàn)，又是數(shù)學的

挑戰(zhàn).

（張奠宙.教育數(shù)學是具有教育形態(tài)的數(shù)學.數(shù)學教育學報，2005,8）

解釋：數(shù)學并不只是一種有趣的活動，僅僅使數(shù)學變得

有趣起來并不能保證數(shù)學學習一定能夠獲得成功（數(shù)學上的

成功還需要艱苦的工作）.有效的情景應該起始于精細的數(shù)

學認知分析，使情境具有數(shù)學對象的必要因素和必要形式

（這是一個創(chuàng)作與創(chuàng)造的過程），只注意情景的形式，缺失

了數(shù)學及其本質(zhì)（去數(shù)學化），會好心辦壞事.如何防止“去

數(shù)學化”，既是教學的挑戰(zhàn)，又是數(shù)學的挑戰(zhàn).（柄長可以鋸

短或靠前拿，為什么一定要交換呢？）

（說到乘法交換律還想提起，現(xiàn)實解釋3x10與10x3是可以有區(qū)別

的，比如，一個人生病了，醫(yī)生開了30個藥片，每天吃3次，每次

吃1片，連吃10天病就好了；反之，每天吃1次，每次吃10片，連

吃3天可能就把人吃死了.但去掉“吃好”與“吃死”不同現(xiàn)實的具體形

式與生活內(nèi)容，可得出數(shù)學上的乘法交換律3x10=10x3）

案例5“倒數(shù)”的負情境

在講解“倒數(shù)”時，某教師作了這樣的設計，引導學生

“杯子可以倒過來，數(shù)可以倒過來嗎?”“上海自來水來自海上,

可以倒過來念還是‘上海自來水來自海上'……”結(jié)果學生出

現(xiàn)了26的倒數(shù)是62.

（金小君.創(chuàng)設有效情景，讓課堂煥發(fā)活力.成才之路，2008,6）

解釋“倒數(shù)”對于分數(shù)而言確有顛倒分子分母的形式,

但這不是概念的本質(zhì)特征（相乘等于1）,句子倒過來念更與

“倒數(shù)”概念毫不相干，于是，所引入的情境不具有“倒數(shù)”

的必要因素與必要形式，對學生的學習產(chǎn)生了負面效應.如

同數(shù)學上負數(shù)比零更小，教學中負情景不會比零情景更好.

案例6"用字母表示數(shù)”的導入情景.

（老師想通過蘭州拉面引入2〃，上一次條數(shù)為〃，下一次條數(shù)為2〃）

師：同學們，早餐吃過了嗎？

生：吃過了.

師：你們都吃了什么早餐？

生：面包，稀飯，餅干……

師（感覺不太好）：有吃過拉面嗎？

生：沒有.

師：拉面怎么做的？

生用手比畫.

師：做拉面，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

生：拉面越拉越長.

師：還有其他規(guī)律嗎？

生茫然，師無奈.

師：拉面拉長后條數(shù)怎樣變化？

生：越來越多.

師（不得已）：任意多次后，拉面條數(shù)可以表示為2〃，這

就是今天學習的用字母表示數(shù)，引出課題.

（金小君.創(chuàng)設有效情景，讓課堂煥發(fā)活力.成才之路，2008,6）

解釋：情境太發(fā)散，徒然浪費了時間.形式主義與繁瑣

哲學的情景實際上是一種“負情景”，它既增加教學夾生的

風險，又進行了生命的奢侈消費.

這些小例子表明，現(xiàn)實向我們提出了從理論到實踐的挑

戰(zhàn)、向我們提出了從教學到數(shù)學的挑戰(zhàn).我們認為，這是教

師專業(yè)化發(fā)展的一個歷史良機，建議同行們通過“行動研究”

的方式來解決現(xiàn)實問題（更加有效地促進學生的學習），通

過反思性的實踐來促進自身的水平提高（教師的自我完善與

成長）.

1-2-2問題涉及的關(guān)系

（1）關(guān)注過程和關(guān)注結(jié)果的關(guān)系；（過程與結(jié)果，預設

與生成）

沒有過程的結(jié)果是事實的外在灌輸，沒有結(jié)果的過程是

時間的低效消費.過程與結(jié)果并重.

精心預設是精彩生成的基礎，精彩生成是教學觀念、教

學能力和精心預設的升華.預設與生成并重.

（2）學生自主學習和教師講授的關(guān)系；（教師與學生，

講授與探究）

學生為主體、教師為主導.（在課堂教學中，教師是主

導性主體，其對象性活動指向?qū)W生；學生是發(fā)展性主體，其

對象性活動指向自身發(fā)展，教學是在這種師生雙主體的關(guān)系

下開展的主體性活動）

歷史上是先有探究學習后有接受學習；講授法不是萬能

的，沒有講授法是萬萬不能的；講授與探究結(jié)合.

（3）合情推理和演繹推理的關(guān)系；（歸納與演繹）

數(shù)學上有兩種類方法，一類是發(fā)現(xiàn)的方法，一類是論證

的方法.直覺用于發(fā)現(xiàn)，邏輯用于證明.

（4）生活情境和知識系統(tǒng)性的關(guān)系；（生活經(jīng)驗與知識

體系）

生活中只有數(shù)學的原型和數(shù)學的應用，誰見過數(shù)學上的

“1”、幾何上的“點”？

缺乏直觀的概念是盲目的，缺乏概念的直觀是空虛的，

數(shù)學教學既要有“引進的情景化”，又要有“提煉的去情景

化”（數(shù)學化）.形式主義與繁瑣哲學的情景實際上是一種

“負情景”，它既增加教學夾生的風險，又進行了生命的奢

侈消費.

（5）改革與繼承的關(guān)系.（傳統(tǒng)與創(chuàng)新）

用一句話來概括中國數(shù)學教育的特色，那就是：“在良

好的數(shù)學基礎上謀求學生的數(shù)學發(fā)展.”這里的“數(shù)學基礎”,

其內(nèi)涵就是三大數(shù)學能力：數(shù)學運算能力、空間想象能力、

邏輯思維能力；這里的“數(shù)學發(fā)展”是指：提高用數(shù)學思想

方法分析問題和解決問題的能力，促進學生在德智體各方面

的全面發(fā)展.與此相應的教學方式，則是貫徹辯證唯物主義

精神，進行“啟發(fā)式”教學，關(guān)注課堂教學中的數(shù)學本質(zhì)，

倡導數(shù)學思想方法教學，運用“變式”進行練習，加強解題

規(guī)律的研究.……

（參見張奠宙.關(guān)于中國數(shù)學教育的特色------與國際上相應概念的對

照.人民教育，2010,2）

如何繼承而又促進學生的發(fā)展？應該把教學的主動權(quán)

交給教師，有關(guān)部門可以提出指導性意見（如提出四種方式

學習方式：除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流

同樣是學習數(shù)學的重要方式），具體實施由教師決定——以

前，行政決定農(nóng)民怎樣種地，糧食不夠吃，后來，農(nóng)民決定

怎樣種地，糧食吃不完.

新課程面臨問題是對教師的學習愿望與學習潛能的喚

醒與激發(fā)，是對教師反思、、變革、實踐能力的有效培植.（不

是教師不適應、不合格才需要培訓，而是教師要學習、要成

長、要發(fā)展才需要培訓.）

課程改革與教師專業(yè)發(fā)展之間存在著良性循環(huán)：一方

面，課程改革為教師專業(yè)發(fā)展提供機會，并促進教師的專業(yè)

發(fā)展；另一方面，教師的專業(yè)發(fā)展是課程改革的重要支撐，

課程改革也因教師活躍的身影和創(chuàng)造的激情而充滿活力.

課程改革使得中國成為最需要教育家的時候，也成為最

可能產(chǎn)生教育家的時候.

2案例研究的理論提煉

2-1案例研究的理論支持

2-1-1對教育研究方法的反思.

對教育研究方法的反思導致了幾個轉(zhuǎn)向，如：

（1）支撐教師教育的理念根基已由以往的關(guān)注“理論”

轉(zhuǎn)向關(guān)注“實踐”、關(guān)注“課堂”；

?“聽了未必接受”.傳播學的“認知不協(xié)調(diào)”理論認

為，人們總是回避同自己原有認知要素對立的不協(xié)調(diào)信息，

而積極接觸與之協(xié)調(diào)的信息.

?“接受了未必會用”.哲學認識論的“默會知識論”

指出，專業(yè)人員所具有的知識很多是緘默（不能解釋）的、

個性化的，而且鑲嵌于情境活動之中（需要“做中學”）才

能學會.實際上，大部分教師在參與講授為主的培訓后，都

很難把聽來的理論和技能運用到日常教學上，這已經(jīng)成為教

師培訓難以消解的困惑.

?喬依斯與許瓦斯（Joyce&Showers,1982）的等組實

驗發(fā)現(xiàn)，教師在課程培訓的同時，如參與校內(nèi)同事間的互助

指導，可有75%的人能在課堂上有效應用所學的內(nèi)容；否則

只有15%悟性較高的人能有同樣的表現(xiàn).

（2）教育問題的研究從借鑒自然科學的精確描述轉(zhuǎn)向

為對教育問題的理解和詮釋.

越是追求精確，就越是脫離人類經(jīng)驗，于是，“案例教

學”、“教育敘事”、“行動研究”等應運而生.

(3)教師發(fā)展從理論培訓到校本教研的興起，以校為

本的教研，其核心要素是：

?實踐與反思，

?交流與合作，

?引領與創(chuàng)新.

2-1-2教師知識組成的新認識

通常認為，數(shù)學教師的知識組成包括教育學知識、數(shù)學

系統(tǒng)知識、數(shù)學教學知識諸方面，而美國舒爾曼的研究表明:

教師專業(yè)知識結(jié)構(gòu)由三類知識構(gòu)成，即

(1)原理規(guī)則知識；

(2)專業(yè)的案例知識.

(3)運用原理規(guī)則于特殊案例的策略知識.

這就從教師的知識分類上將教育教學案例納入到教師的知

識系統(tǒng)，并且后兩者都屬于內(nèi)隱知識——這些知識以及創(chuàng)造

性解決問題的能力，僅僅依靠現(xiàn)成書本的格式化知識的傳授

是無法獲得的.(冰山的水下部分)

2-1-3范良火博士論文的結(jié)論

范良火在其博士論文中研究得出：教師教學知識的最重要

來源是

(1)自身的教學經(jīng)驗和反思；

(2)和同事的日常交流.

至于職后培訓、當學生時的經(jīng)歷、職前培訓、閱讀專業(yè)

報刊等都是其次的、第三、第四位的，教師自主的實踐中學

習、及教師群體內(nèi)部的自主交流是對教師的專業(yè)發(fā)展貢獻最

大的兩個方面.

2-1-4顧泠沅“行動教育”模式

（青浦經(jīng)驗：1977年，以初中一、二年級的數(shù)學常見題，對全縣

中學最高年級的4373名學生進行統(tǒng)考，總平均分數(shù)為11.1分，零

分學生的比例高達23.5%,約有三分之二的學生連小學的分數(shù)運算

都不熟練.經(jīng)過近九年的改革，青浦縣的數(shù)學質(zhì)量從七十年代的全市

最低水平開始逐年穩(wěn)步上升，1985年初中升學考試數(shù)學成績，全市

各區(qū)縣平均為69.7分，青浦縣平均為79.1分.）

顧泠沅在上海的調(diào)查研究表明：

（1）保持同事間的互助指導，還須注重縱向的理念引

領；（防止蘿卜煮蘿卜還是蘿卜）

（2）保持側(cè)重討論式的案例教學，還須包含行為跟進

的全過程反思.

（3）因此在通常的教師培訓形式之外，構(gòu)建了以課例

為載體、專業(yè)引領與行為跟進相統(tǒng)整的“行動教育”模式，

為教師在職教育提供了一種有價值的選擇.基本模式如下圖

所示.

圖6

2-1-5我的個人體會

我是在耀縣水泥廠當了十年礦山職工之后調(diào)到子弟當

中學教師的(1978),既不懂數(shù)學又不懂教學，不懂就學，

通過分析教學案例學教學，通過分析解題案例學解題.記得

我當中學教師時(1978-1986)常常問自己：

?有專業(yè)學者的功底嗎？

?有教育理論家的修養(yǎng)嗎？

?有教學藝術(shù)家的氣質(zhì)嗎？

?有青年導師的榜樣形象嗎？

如果我們沒有向這四個方向努力，我們怎能心安理得地面對

充滿求知渴望的孩子，又怎能問心無愧地面對我們的崇高職

業(yè)和激情人生？我的體會是“案例研究”促進了我所有這四

個方面的發(fā)展，所以，我今天選擇了這樣一個經(jīng)驗話題來與

大家交流.

2-2名詞解釋

“案例”一詞源于法學，就是一個案件，哈佛法學院將案

例應用于法律人才的培養(yǎng)，產(chǎn)生案例教學；哈佛工商學院將

其應用于工商管理人才的教學，取得顯著成效；之后，人們

把“病例”用于醫(yī)生培養(yǎng)，把“戰(zhàn)例”用于軍官培養(yǎng)，把“課

例”用于教師培養(yǎng)，都叫做案例教學.教師教育中的案例教

學始于20世紀70年代，伴隨案例教學而進行的分析、反思、

提煉又促進了“案例研究”的發(fā)展.這里有三個詞：案例、

案例教學、案例研究.案例是一個教學實例，案例教學是一

種教學方法，案例研究是一類研究方法.三者既有聯(lián)系又有

區(qū)別.

2-2-1案例（課例）

（1）界定：案例是具有典型意義的教學過程的描述.

對于數(shù)學教學上的案例，我們更習慣叫做課例（或個

案），在形式上，可以是體現(xiàn)教育理論與教學技能的課堂實

錄，可以是學生學數(shù)學的生動故事，可以是教師教數(shù)學的有

趣設計，還可以是教學實踐中遇到的意外與困惑的事件.為

了教學研究的需要，課例的敘述可以對課堂信息的攝取有所

側(cè)重，對課堂之外的情況（如教師、學生的背景）及心理活

動有所描述（動機、態(tài)度、思想、意圖、需要等），這就使

得用于教學分析的課例與記錄教學實驗的課例略有區(qū)別.創(chuàng)

作課例可以是一種“教育敘事”，用記敘文的體裁表示出來.

（2）作用：教學課例包含有充分多的信息（可以代表

一類事物），蘊含一定程度的理論原理，反映了教學實踐的

經(jīng)驗與方法，滲透著對特定教學問題的深刻反思，可以幫助

數(shù)學教師樹立一種觀念，明白一個道理，理解一個概念，學

到一種方法；案例是了解教學的窗口，是問題解決的源泉，

是教學理論的故鄉(xiāng)，是教師發(fā)展的階梯.

（3）特征：典型性、研究性、啟發(fā)性.

2-2-2案例教學

（1）界定：案例教學是一種通過典型教學過程（課例）

的分析來學習教育理論與教學技能的教學方法.

它與傳統(tǒng)的講授法不同，強調(diào)教與學雙方直接參與，共

同對案例或疑難問題進行討論.案例教學突出體現(xiàn)了

?教學內(nèi)容，

?學習方式，

?教育觀念

的轉(zhuǎn)變.這是一種研究性學習.

（2）教師培訓中的案例教學可分成3個步驟來實施：

①教師提供課例，學員體會情景.

較長的課例可以課前提供，較短的情節(jié)可以隨堂呈

現(xiàn).提供的方式可以是書面材料、錄相或口頭敘述.（參見

后面的例子）

②教師組織討論，學員分析材料.

這是一個師生互動、生生合作的學習過程.一般說來，

每個課例都可以從多個角度進行分析，每個學員又都有自己

的興趣指向，如果引導啟發(fā)不當，有的學員會不知從什么地

方開始談，有的學員會只談現(xiàn)象與技節(jié).因此，教師要充分

了解課例的內(nèi)容，提前進行精心的準備，臨場還得有機敏靈

活的動態(tài)調(diào)節(jié).為了使討論相對集中，可以隨課例的呈現(xiàn)提

出兒道重點思考題.

在案例教學中，教師更多地從講臺站到了學員的背后，

聰明不是由教師告訴、而是由學員自己去獲得.

③教師總結(jié)評述，學員掌握原理.

這一步主要由教師進行，教師的總結(jié)首先要有理論深

度，使學員確實學到東西；其次要體現(xiàn)現(xiàn)場討論的情況.

老師們在日常教學中，可以獨立地進行經(jīng)常性的課例分

析，也可以以教研組為單位開展交流.

需要說明的是：案例教學與舉例說明是不同的；課例分

析與評優(yōu)課、或說課也是不同的.然而，課例分析水平的提

高，可以促進所有這幾方面水平的提高.

2-2-3案例研究

(1)界定：在對典型教育事件進行具體描述的基礎上,

通過分析、歸納和解釋，概括出具有普遍性結(jié)論的研究方法,

叫做案例研究.

在案例研究中，作為研究素材的一個或多個案例本身是

研究的一部分，對案例的收集、整理和敘述本身體現(xiàn)著研究

者的研究旨趣和研究立場，但是，案例素材本身并不是理論,

需要研究者對案例素材進行分析、解釋、判斷和評價，形成

特定的理論.從這個意義上說，案例研究是從具體經(jīng)驗事實

走向一般理論的一種研究工具.（相當于生物學研究中的標

本）

案例研究突破了理論脫離實踐的困境，建構(gòu)了與實際問

題緊密相連的知識體系，便于教師結(jié)合自己的教學實際開展

研究.

（2）分析的視角.

通過現(xiàn)場聽課、錄像播放、文本閱讀等獲得案例是很

方便的，但是，怎樣開展案例研究呢？我們建議抓住三個主

要視角.

①數(shù)學的視角（主要看數(shù)學功底）

?內(nèi)容結(jié)構(gòu)：數(shù)學內(nèi)容充實、完整，邏輯線路明晰.

?知識構(gòu)建：原有知識經(jīng)驗明確，有構(gòu)建新知識的合理過

程.

?數(shù)學概念：清晰、準確，有發(fā)生過程.

?數(shù)學論證：科學、正確，有思維揭示.

?數(shù)學思想：有數(shù)學思想方法的滲透、提煉或闡明.

②教學的視角（主要看教學能力）

?教學目標：體現(xiàn)三維目標，定位準確，教學性質(zhì)清楚.

?教學要求：恰當、適合學生的最近發(fā)展區(qū).

?教學方法：創(chuàng)設發(fā)現(xiàn)情景，鼓勵探索質(zhì)疑，多向交流溝

通，促成意義建構(gòu).

?教學過程：有序、完整，思路清晰，使用多媒體，激勵

性評價.

?教學效果：突出了重點、突破了難點，實現(xiàn)了教學目標.

③特色的視角（主要看創(chuàng)新亮點）

?內(nèi)容處理的新意.

?教學風格的特點.

?教學設計的亮點.

?處理突發(fā)事件的藝術(shù).

?其他創(chuàng)新亮點.

最重要的是能從這些視角里看清基本事實，并用這些事

實去分析相關(guān)的數(shù)學處理、解釋相關(guān)的教學行為.當然，課

例分析的共識有的只能作為教師的營養(yǎng)，間接進入課堂，而

有的則可以直接進入課堂，這兩方面都將促進教學的發(fā)

展.課例分析不應是“空對空”的“紙上談兵”，而應該是

“實對實”的“行動研究”.

（還可參見：《全國中學青年數(shù)學教師優(yōu)秀課評價標準（修訂

版）》，《中國數(shù)學教育》2012年第6期）

3案例分析的實踐

3-1案例7：你們看到了什么？

圖7

1.描述

(A)一個可能的描述是：圖片的右邊有棵樹，樹上長

著樹枝，樹枝遠離小池塘，在池塘邊上有一條翹著尾巴、頭

朝孩子、張著大嘴的鱷魚，背后有一些小棕檎樹.

(B)一個可能描述是：水里的鱷魚在追逐一個孩子，

想吞下那個孩子，所以那個孩子快速爬上那棵樹.

2.分析

(A)描述的是圖片的靜態(tài)結(jié)構(gòu)，把著眼點放在物體的

特征上，重要的是尋找一個個物體，不習慣把這幅圖想象為

一個動態(tài)的過程(追逐、爬上)，歸為特征性思維者.

(B)注意力在是圖片的動態(tài)行動上(追逐、爬上)、因

果關(guān)系上（所以），歸為功能性思維者.

名稱描述傾向

特征圖片的右邊有棵樹，樹上長著靜態(tài)著眼點放在物體的特征上，

性思樹枝，樹枝遠離小池塘，在池結(jié)構(gòu)重要的是尋找一個個物體，

維者塘邊上有一條翹著尾巴、頭朝不習慣把這幅圖想象為一

孩子、張著大嘴的鱷魚，背后個動態(tài)的過程（追逐、爬上）

有一些小棕桐樹.

功能一個可能描述是：水里的鱷魚動態(tài)著眼點放在物體之間的因

性思在追逐一個孩子，想吞下那個行動果關(guān)系上（所以）

維者孩子，所以那個孩子快速爬上

那棵樹.

數(shù)學教育研究：實證加理論說明.

3-2案例9"四邊形內(nèi)角和”的教學

第1、案例的呈現(xiàn).

2005年的一次教研會上，兄弟單位介紹了“四邊形內(nèi)

角和”的教學，分兩步介紹如下：

（1）教師在兩個水平相當?shù)陌嗌纤M行的學習活動是一

樣的，都組織學生去探究，找出的解題途徑也大體相同，如

圖8所示.

p

(4)3，(6)

圖8

教師總結(jié)講評后，在一個班（記為/班）增加了一個環(huán)

節(jié)，組織學生討論在這“一題多解”的背后，有什么共同的

地方——“化歸為三角形的內(nèi)角和”；另一個班（記為8班）

沒有這個環(huán)節(jié).

（2）25天后，組織了一次測試，求圖9中各角之和（凹

五邊形的內(nèi)角和），結(jié)果，A班有89%的學生能夠完成，B

班有25%的學生能夠完成.在所完成的同學中，多數(shù)都是連

結(jié)兩條輔助線切,EC,如圖10轉(zhuǎn)化為3個“三角形的內(nèi)角和”

之和來解決.

第2、案例的分析.（大家討論）

聽完這個敘述之后，我們要問：

（1）你最突出的感受是什么？說出你最想說的話來.

為了把思考引向深入，我們還要繼續(xù)問：

（2）課例說了些什么事實？這些事實說明了什么道

理？

①為什么會有89%與25%的差距？

②教師的教學與研究能否結(jié)合起來？

③怎樣認識圖10的正確解答？

④從這個課題中能提煉哪些數(shù)學思想方法？

（討論發(fā)言，這個討論的一個目的是滲透“數(shù)學思想方法的

教學”）

下面是我們的初步總結(jié).

這是一個簡明而又富于啟發(fā)性的案例，描述了一個微型

教學實驗，有實驗假設、有實驗過程、有變量控制、有效果

測試，以“化歸思想提煉”為自變量，以“問題解決水平”

為因變量，之間的因果關(guān)系存在明顯的正相關(guān).這是把教學

與研究結(jié)合起來，把教學納入到學術(shù)研究的軌道.我們在這

里作出4點分析.

（1）進行數(shù)學思想方法的提煉是可行和有效果的.

在A班的討論顯化了數(shù)學內(nèi)容和數(shù)學方法所隱含的本質(zhì)

思想——化歸；在B班沒有這一提煉，學生的認識停留在“一

題多解”的操作層面和化歸思想的“滲透”階段.結(jié)果，進

行思想方法顯化提煉的班89%通過測試，未進行顯化提煉的

班只有25%通過測試，差異十分顯著，因而“進行數(shù)學思想

方法的提煉是可行和有效果的”.這應該是我們從案例的敘

述中所獲得的最明顯的印象，而做法本身并不復雜，教師幾

乎時時、事事、處處都可以做，這對破除“數(shù)學思想方法教

學”的神秘性很有沖擊力和啟示性，用數(shù)據(jù)說話也很有份量.

當然，啟示的內(nèi)涵并不是每一課題都討論“有什么共同

的地方？”一題多解可以這樣問，不是一題多解呢？還是這

樣問就呆板了、僵化了.遇到一題一解其實可以通過分析解

題的過程與步驟，找出每一步的內(nèi)容與作用、組織為整體的

內(nèi)容與作用等，提煉出數(shù)學實質(zhì)與邏輯結(jié)構(gòu).于是內(nèi)在的思

想方法就有機會浮出水面了，不浮出水面也能作為“隱性知

識”而“滲透”在學生的思想里.關(guān)鍵在于行動，在于有提

煉數(shù)學思想方法的自覺性.比如，分析圖8中的眾多解法的

共同本質(zhì)，可得

①本質(zhì)思想1：化歸.所有這些解法都是通過輔助線將

“四邊形的內(nèi)角和”化歸為“三角形的內(nèi)角和”，它是“化

歸為已經(jīng)解決問題”的一個具體形式.

②本質(zhì)思想2：數(shù)形結(jié)合.從運算角度看，都是幾何上

的“隱性和ZA+N8+NC+N?！保ㄟ^角的分割、轉(zhuǎn)移與合并，

產(chǎn)生求和式的拆項、交換與結(jié)合，轉(zhuǎn)化為代數(shù)上的“顯性和”

3600,數(shù)形結(jié)合又是一個本質(zhì)思想.

伴隨上述思想還有：

③本質(zhì)思想3:分解與組合.化歸中圖形的分割、轉(zhuǎn)移

與合并，代數(shù)和中數(shù)式的拆項、交換與結(jié)合，都體現(xiàn)了分解

與組合.

④本質(zhì)思想4：不變量.角A、B、C、D變化，但和不變,

體現(xiàn)了變動中的不變量.

（2）進行數(shù)學教育的研究是人人都能做到的.

這個案例本身就是一個微型實驗，有實驗假設、有實驗

過程、有變量控制、有效果測試，以“化歸思想提煉”為自

變量，以“問題解決水平”為因變量，之間的因果關(guān)系存在

明顯的正相關(guān)，這就是數(shù)學教育研究.有的教師埋怨不知道

數(shù)學教育研究怎么做，埋怨找不到課題，這個案例應該是一

個很好的啟示：不是缺少課題，而是缺少發(fā)現(xiàn)課題的眼光.

試想，研究生到學校來發(fā)上一些問卷、做上兒周試驗，

碩士論文出來了，博士論文出來了.我們天天在課堂上拼搏,

理應天天有素材，月月有文章，年年有大作.

比如說，由上述案例的啟發(fā)就可以進一步精致化，化歸

的心理機制是怎樣的？（類比是不是值得考慮）收集學生做

測試時的草稿紙、與學生作面對面的深度訪談，定能將這個

案例與“化歸思想”的研究引向深入，得出更富于理論價值

和實踐意義的結(jié)論.更重要的是，在自己的每節(jié)課中關(guān)注數(shù)

學思想方法的提煉，關(guān)注數(shù)學的本質(zhì)，就把教學納入到學術(shù)

活動的軌道.教學本來就應該是一種學術(shù)活動！

（3）注意防止“認知基礎”異化為“認知障礙”，努

力提供高認知水平的教學.

如圖11，其實聯(lián)結(jié)叫EC當中有一條就夠了——化歸為

一個三角形的內(nèi)角和加上一個四邊形的內(nèi)角和，學生普遍用

圖10來求解表明，學生對“化歸為三角形的內(nèi)角和”有直

接的依賴，化歸認識還停留在當初學習“四邊形內(nèi)角和”的

水平上（25天前），而沒有表現(xiàn)出學習水平的提升.這提醒

我們：要注意防止“認知基礎”異化為“認知障礙”，要努

力提供高認知水平的教學.（其實，“四邊形內(nèi)角和”還可以

化歸為梯形的內(nèi)角和（圖12）,或集中為一個周角等）

圖12

（4）測試數(shù)據(jù)的進一步分析.

數(shù)據(jù)表明：

①前25%左右的學生存在“內(nèi)隱學習”.不管教師進不

進行“數(shù)學思想方法的提煉”，兩個班的優(yōu)秀生都會自覺領

悟”化歸為三角形內(nèi)角和”；據(jù)詢問，兩個班中有10多個同

學就是轉(zhuǎn)化為圖11求解的，這說