江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)：壓軸題提優(yōu)沖刺訓(xùn)練二

2021屆九年級數(shù)學(xué)

第二輪專題復(fù)習(xí)

專題1一線三等角/K型圖（垂直處理）

專題2特殊幾何圖形在坐標(biāo)系（函數(shù)圖像）中

專題3設(shè)點(diǎn)法解決反比例函數(shù)問題

專題4等腰三角形存在性問題

專題5直角三角形存在性問題

專題6特殊四邊形存在性問題

專題7相似、全等三角形存在性問題

專題8相切問題

專題9線段問題

專題10角度問題

專題11面積問題

第1頁

第2頁

專題六特殊四邊形存在性問題

坐標(biāo)系中特殊四邊形的存在性問題的解題策略：

1、平行四邊形的存在性：利用構(gòu)造全等或?qū)蔷€互相平分建立點(diǎn)的坐標(biāo)之間

的關(guān)系；

2、菱形的存在性：利用菱形的鄰邊相等的對稱性，轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在

性問題；

3、矩形的存在性：轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性問題。

【平行四邊形】

例1：如圖，已知拋物線y=與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)c,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,-3）,

點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M、N,使得以M、N、C、E

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第3頁

變式：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-1/+\》+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)

A在點(diǎn)B的左側(cè)），與〉軸交于點(diǎn)C,連接BC.

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸。

（2）點(diǎn)D為線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接CD、BD,求四邊形COBD面積的最大值及此

時點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)N為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以B、

D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；

備用圖

第4頁

【菱形】

例2：在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C在直線

AB上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)D,使得以0、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形。

第5頁

變式：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+4與X軸交于點(diǎn)A,與y軸交

于點(diǎn)B,點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，S0BC=28，點(diǎn)P是線段CA上一動點(diǎn).

(1)求直線CB的解析式；

⑵連接BP,分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F,線段EF的垂直平分線交AC

于點(diǎn)F,連接BG,求BG的長；

(3)H是直線BC上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)R,使以點(diǎn)0、B、H、R為頂點(diǎn)的四邊形是菱

形?若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

第6頁

【矩形】

例3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線丁=公2一2℃-3。(a<0)與x軸交于A、B

兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，經(jīng)過A點(diǎn)的直線/：丁=履+人與y軸交于點(diǎn)C,與拋物線的另一

個交點(diǎn)為D,且CD=4AC。

(1)直接寫出A點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線/的函數(shù)表達(dá)式(其中鼠。用含。的代數(shù)式表示)；

(2)點(diǎn)E是直線/上方的拋物線上的一點(diǎn)，若4ACE的面積最大值為2,求。的值；

4

(3)設(shè)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成

為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能，請說明理由。

第7頁

3

變式：如圖，直線y=-*x+3與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度沿BA邊向終點(diǎn)A運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q以相同的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)0出發(fā)沿0B

邊向終點(diǎn)B運(yùn)動。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為/秒。

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)^OPQ的面積為S,求S與運(yùn)動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、P、Q、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？

若存在，求/的值，并直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第8頁

0隨堂練習(xí)

1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（4,0）、B（0,3）,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,加），過點(diǎn)C作CE±AB于點(diǎn)E,點(diǎn)D為x軸正半軸上的一動點(diǎn)，且滿足

OD=2OC,連接DE,以DE、DA為邊作平行四邊形DEFA。

（1）如果平行四邊形DEFA為矩形，求m的值；

（2）如果平行四邊形DEFA為菱形，請直接寫出機(jī)的值。

第9頁

2、將拋物線q：y=—K/+百沿％軸翻折，得到拋物線c?,如圖所示。

（1）請直接寫出拋物線。2的表達(dá)式；

（2）現(xiàn)將拋物線G向左平移m個單位長度，平移后得到新的拋物線的頂點(diǎn)為M,與x軸的交

點(diǎn)從左向右依次為A、B；將拋物線C2向右也平移機(jī)個單位長度，平移后得到新的拋物線的頂

點(diǎn)為N,與x軸的交點(diǎn)從左向右依次為D、Eo

①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時，求機(jī)的值。

②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請求出此時的

加的值；若不存在，請說明理由。

第10頁

3、如圖，拋物線y=—f+Ox+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D

是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD。

(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P作PFJ_x軸于點(diǎn)F,G為拋物線上一動點(diǎn)，M為光軸上一動點(diǎn)，

N為直線PF上一動點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

備用圖

第11頁

4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的解析式為：y=-^-x+4,與x軸交于點(diǎn)C,直線/

上有一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為百，點(diǎn)A是0C的中點(diǎn)。

(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在直線BC上有兩點(diǎn)P、Q,且PQ=4,使四邊形OAPQ的周長最小，求周長的最小值；

(3)直線AB與)，軸交于點(diǎn)H,將△OBH沿AB翻折得到△HBG,M為直線AB上一動點(diǎn)，N

為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的M、N,使得以H、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在,

直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第12頁

5、如圖，拋物線y=—2與龍軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交

于點(diǎn)C,P為拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDLx軸于點(diǎn)D,交直線BC于點(diǎn)E。

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P在第四象限內(nèi)，當(dāng)OD=4PE時，求四邊形POBE的面積。

（3）在（2）的條件下，若M為直線BC上一點(diǎn)，N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣

的點(diǎn)M和點(diǎn)N,使得以B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由。

備用圖

第13頁

6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+8與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn),

直線AB與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、0C的長是方程d—3x+2=0的兩個根(0A

>00

(1)求點(diǎn)人、C的坐標(biāo)；

k

(2)直線AB與直線CD交于點(diǎn)E,若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=±(七0)的圖象

x

的一個分支經(jīng)過點(diǎn)E,求左的值；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M在直線CD上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)B、E、M、N為

頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第14頁

專題七相似、全等三角形存在性問題

問題1（1）熟練掌握相似三角形的判定方法：

①“SAS”型（分清對應(yīng)邊）②“AA”型

（2）如何找對應(yīng)角：

①公共角②平行出等角③垂直出等角（同角的余角相等）④等腰出等角

問題2熟練掌握相似的重要結(jié)論和模型

（1）射影定理，如圖1

（2）母子型，如圖2、圖3

（3）一線三等角

①三垂直，如圖4；②三個60。，如圖5；③三普通，如圖6.

AB

圖2圖3

圖4圖5圖6

專題攻略

?相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，因

此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等。

?判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程,

解方程并檢驗(yàn)。

?應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等。

第15頁

例1：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=a/+法(?>0)經(jīng)過

點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B,AO=BO=2,ZAOB=120°?

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接OM,求NAOM的大小；

(3)如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

第16頁

變式：直線y=-$+1分別交光軸、y軸于A、B兩點(diǎn),△AO3繞點(diǎn)。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。

后得到△CO。，拋物線)，=加+灰+。經(jīng)過4、C、D三點(diǎn).

(1)寫出點(diǎn)A、B、C、。的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過A、C、。三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)在直線BG上是否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)A、B、。為頂點(diǎn)的三角形與△C。。相似？若存

在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6

5

1,

ill』ill」.

-4?1-3?1-2?1-1?191234x

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T?i

第17頁

例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=-"的圖像過點(diǎn)A(4,0),

頂點(diǎn)為B,連接AB、BOo

(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)C是BO的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB上，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)為B"當(dāng)^OCB，

為等邊三角形時，求BQ的長度；

(3)若點(diǎn)D為線段BO上，OD=2DB,點(diǎn)E、F在^OAB的邊上，且滿足△DOF與△DEF全

等，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

第18頁

3

例3：如圖1,△ABC中，AB=5,AC=3,cosA=—.。為射線84上的點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)

10

8重合)，作OE//BC交射線C4于點(diǎn)E.

(1)若CE=x,BD=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;

(2)當(dāng)分別以線段80,CE為直徑的兩圓相切時，求OE的長度；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在AB邊上時，邊上是否存在點(diǎn)F,使△ABC與相似？若存在，請求

出線段3尸的長；若不存在，請說明理由.

第19頁

0隨堂練習(xí)

1、如圖，拋物線y=辦2+以-3與x軸交于點(diǎn)A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D,

頂點(diǎn)為C?

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,過M作MN_Lx軸于點(diǎn)N,使以A、M、N為頂點(diǎn)

的三角形與△BCD相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第20頁

2、如圖，直線y=4x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=ax?-2ax+c(aRO)過點(diǎn)

B、C,且與x軸另一個交點(diǎn)為A,以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC,CD交拋物線于點(diǎn)G

(1)求拋物線的解析式以及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)已知直線廣〃?交0A于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)M,交拋物線(CD上方部分)于點(diǎn)

P,請用含m的代數(shù)式表示PM的長；

(3)在(2)的條件下，連接PC,若△PCF和△AEM相似，求小的值.

第21頁

k

3、RS48C在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，反比例函數(shù)〉=￡(攵工0)在第一象限內(nèi)的圖像與

x

BC邊交于點(diǎn)D(4,m),與AB邊交于點(diǎn)E(2,〃)，△8DE的面積為2.

(1)求機(jī)與〃的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)tanNA=1時，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達(dá)式；

2

(3)設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)F,點(diǎn)P在射線FO上，在(2)的條件下，如果△AEO與

△EFP相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第22頁

11A

4、如圖，已知拋物線y」x2's_i）x+g（匕是實(shí)數(shù)且Q2）與X軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、

444

B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C。

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含b的代數(shù)式表示）。

（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于26,且^PBC是以

點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。

（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得^QC。、AQOA和AQAB中的任意兩

個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請

說明理由。

第23頁

5、如圖，拋物線,=必：2+"+以4>0）交x軸于兩點(diǎn)（A點(diǎn)在8點(diǎn)左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C.已

知8（8,0）,tanZABC=-,△ABC的面積為8.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動直線EF（EF〃x軸），從點(diǎn)C開始，以每秒1個單位長度的速度沿y軸負(fù)方向

平移，且交y軸、線段BC于E、F兩點(diǎn)，動點(diǎn)P同時從點(diǎn)B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個單

位長度的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動，連接FP,設(shè)運(yùn)動時間為/秒，當(dāng)f為何值時，0-的值最大,

EF+OP

求出最大值；

（3）在（2）的條件下，是否存在/的值，使以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.若

存在，試求出/的值；若不存在，請說明理由.

第24頁

專題八相切問題

專題攻略

直線與圓的位置關(guān)系問題，一般也無法先畫出比較準(zhǔn)確的圖形

解這類問題，一般也分三步走，第一步先羅列兩要素：R和d,第二步列方程，第三解方

程并驗(yàn)根。

第一步在羅列兩要素R和△的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素就是要用

含有x的式子表示的，

第二步列方程，就是根據(jù)直線與圓相切時衣R列方程。

附加公式

?兩點(diǎn)間的距離公式：

若A（王，/）、B（%2，%），則AB=_/）2+（、-%）2

?點(diǎn)到直線的距離公式：

若點(diǎn)A（%,%）,直線/的解析式為：y=kx+b,則A點(diǎn)到直線/的距離為丁飛「、+以。

Jl+公

例1：如圖，P是拋物線y=——5x+5上的一個動點(diǎn)，OP的半徑為1,如果。P與坐標(biāo)軸相切,

第25頁

變式：如圖，已知。P圓心P在直線尸〃-1的圖像上運(yùn)動.

(1)若。尸的半徑為2,當(dāng)。P與x軸相切時，求尸點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若OP的半徑為2,當(dāng)。P與y軸相切時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)OP與x軸和y軸都相切時I0P的半徑是多少？并寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

第26頁

3

例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=：x+4的圖像是直線小4與x軸、y軸分別

交于A、B兩點(diǎn)，直線4過點(diǎn)C(a,0)且與直線4垂直，其中a>0.點(diǎn)P、Q同時從A點(diǎn)出發(fā),

其中點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動，速度為每秒4個單位；點(diǎn)Q沿射線AO運(yùn)動，速度為每秒5個單位.

(1)求出A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動了多少秒時，以點(diǎn)Q為圓心，PQ為半徑的。Q與直線4、y軸都相切，

求此時a的值.

第27頁

例3：如圖，拋物線丁=一：/+3+〃的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（2,3）,對稱軸為41,一次函數(shù)y=&x+b

的圖像經(jīng)過點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)P,交拋物線于另一點(diǎn)B,點(diǎn)A、B位于點(diǎn)P的同側(cè).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若PA：PB=3：1,求一次函數(shù)解析式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)人＞0時，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C,使得。C同時與無軸和

直線AP都相切，如果存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

第28頁

0隨堂練習(xí)

1、如圖，直線y=*x+若與九軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，圓心P的坐標(biāo)為(1,0),

圓P與y軸相切于點(diǎn)O,若將圓P沿x軸向左移動,當(dāng)圓P與該直線相交時，橫坐標(biāo)為整數(shù)的

點(diǎn)P的個數(shù)是()

D.5

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知D(-5,4)、B(-3,0),過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的

垂線，垂足分別為A、C兩點(diǎn)，動點(diǎn)P從。點(diǎn)出發(fā),沿九軸以每秒I個單位長度的速度向右運(yùn)

動，運(yùn)動時間為/秒.

(1)當(dāng)仁時，PC〃DB；

(2)當(dāng)U時，PC±BC；

(3)以點(diǎn)。為圓心，OP的長為半徑作。O,當(dāng)。。與ABCD的邊所在直線相切時，求f的值.

第29頁

專題九線段問題

例1：如圖，已知一條直線過點(diǎn)(0,4),且與拋物線＞=：/交于A、B兩點(diǎn)，其實(shí)點(diǎn)A的橫

坐標(biāo)為-2.

(1)求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)過線段AB上一點(diǎn)P,作PM〃尤軸，交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N(0,1),

當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時，MN+3Mp的長度最大？最大值是多少？

第30頁

例2：如圖，拋物線,=。/+"+。(/0)與》軸交于點(diǎn)人，B(L0),與y軸交于點(diǎn)C,

直線y=；x-2經(jīng)過點(diǎn)A、C.拋物線的頂點(diǎn)為D,對稱軸為直線/.

(2)設(shè)點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，且AE=CE,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)N是直線AC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接BN交AC于點(diǎn)M,且MN=2BN,求點(diǎn)N

第31頁

(4)設(shè)點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G,使得GD+GB的值最小，若存在，求出點(diǎn)G的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(5)在直線/上是否存在一點(diǎn)F,使得4BCF的周長最小，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及ABCF

周長的最小值；若不存在，請說明理由;

第32頁

(6)若點(diǎn)H是拋物線上位于AC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)H作y軸的平行線，交AC于點(diǎn)K,設(shè)點(diǎn)H

的橫坐標(biāo)為〃，線段HK=d.

①求”關(guān)于〃的函數(shù)關(guān)系式；

②求d的最大值及此時H點(diǎn)的坐標(biāo).

(7)已知直線y=-x+2交拋物線于點(diǎn)L,交y軸于點(diǎn)P,若點(diǎn)M是直線y=-2上一點(diǎn)，過點(diǎn)M

作MN，x軸，交x軸于點(diǎn)N,連接PN、ML,是否存在點(diǎn)M,使得PN+PM+ML有最小值？若

第33頁

3

(8)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，求—PA+PC的最小值。

5

第34頁

(9)已知x軸上一點(diǎn)R的坐標(biāo)為(行-1,0),連接CR,點(diǎn)Q是線段CR上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q

作QJLCO于點(diǎn)J,QILAC于點(diǎn)I,判斷券皆是否為定值，并說明理由。

第35頁

0隨堂練習(xí)

1、如圖，拋物線>=一害/+羋x+3小與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與

y軸交于點(diǎn)C,連接AC，8C.點(diǎn)P沿AC以每秒1個單位長度的速度由點(diǎn)4向點(diǎn)C運(yùn)動，同時,

點(diǎn)。沿30以每秒2個單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)0運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也

隨之停止運(yùn)動，連接PQ.過點(diǎn)。作軸，與拋物線交于點(diǎn)。，與交于點(diǎn)E.連接P。，

與BC交于點(diǎn)E設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒。>0).

(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)①直接寫出P,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用含/的代數(shù)式表示，結(jié)果需化簡)；

②在點(diǎn)P,。運(yùn)動的過程中，當(dāng)PQ=P。時，求，的值；

(3)試探究在點(diǎn)P,。運(yùn)動的過程中，是否存在某一時刻，使得點(diǎn)尸為PO的中點(diǎn)？若存在,

請直接寫出此時f的值與點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

第36頁

3

2^如圖，拋物線y=-f+Zzr+c與x軸交于點(diǎn)A(—1,0),B(5,0)兩點(diǎn)，直線y=—2+3與N

軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PFLx軸于點(diǎn)F,

交直線CD于點(diǎn)￡設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)若PE=5EF,求機(jī)的值；

(3)若點(diǎn)￡是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)E落在)，軸上？若存在，請

直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

第37頁

3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO），中，將二次函數(shù)y=/_i的圖像乂沿刀軸翻折，把所得到的

圖像向右平移2個單位長度再向上平移8個單位長度，得到二次函數(shù)圖像N.

（1）求N的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，〃）是以點(diǎn)C（1,4）為圓心，1為半徑的圓上一動點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像M與

x軸相交于A、B兩點(diǎn)，求PN+PB?的最大值；

（3）若一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則該點(diǎn)稱為整點(diǎn)，求M與N所圍成封閉圖形內(nèi)（包

括邊界）整點(diǎn)的個數(shù).

第38頁

第39頁

4、如圖，直線/:y=—3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ox?-2ax+a+4（a

<0）經(jīng)過點(diǎn)B.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個動點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM,設(shè)點(diǎn)M的

橫坐標(biāo)為機(jī)，^ABM的面積為5,求S與加的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時，動點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M，.

①寫出點(diǎn)M，的坐標(biāo)；

②將直線/繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線匕當(dāng)直線與直線AM，重合時停止旋轉(zhuǎn)，在旋

轉(zhuǎn)過程中，直線/'與線段BM，交于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)B、到直線T的距離分別為4、d2,當(dāng)4+4最

大時，求直線P旋轉(zhuǎn)的角度（即NBAC的度數(shù)）.

第40頁

第41頁

第42頁

專題十角度問題

ill）知識導(dǎo)航

函數(shù)中的動點(diǎn)與角度問題，在考試中，主要體現(xiàn)在：

①角度的存在性問題（特殊角度問題）；

②角度關(guān)系的存在性問題（角之間的和、差、倍、分關(guān)系）

一、角度的存在性問題（特殊角度問題）

角度的存在性問題分為特殊角和非特殊角的存在性問題，主要以特殊角的存在性問題為主,

特殊角通常包括30°、45°、60°>90°等.

幾何法：利用（特殊）角度構(gòu)造直角三角形，從邊長比例關(guān)系進(jìn)行求解.

工具：

解析法：利用直線丁=1四3工+機(jī)與拋物線>=0￥2+bx+c（a0）的交點(diǎn).

工具：知識儲備：（1）一次函數(shù)廣自+匕中左的幾何意義

假如廣爪+h過兩個不同的點(diǎn)區(qū),y）,（乙,月），由待定系數(shù)法可以解得左=上二為，從

玉一々

圖象上來看，就是兩個點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值，也就是直線與x軸夾角的正切值（但

要注意符號），即|k|=tan8。

第43頁

引例：根據(jù)圖中條件將直線解析式寫在橫線上

總結(jié)：①解析式為尸七計(jì)萬的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形;

L

②解析式為"土百或產(chǎn)土寸尤+匕的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是含30°,60°的

直角三角形。

(2)借助輔助圓來解決問題

二、角度關(guān)系的存在性問題(角之間的和、差、倍、分關(guān)系)

角度關(guān)系的問題一般指兩角或多角的和差倍分或大小關(guān)系的問題.

幾何法：構(gòu)造相似或全等三角形進(jìn)行求解.

解析法：利用三角函數(shù)值進(jìn)行求解.

和差關(guān)系

等量關(guān)系大小關(guān)系

(ZA+ZC=ZABD)

A

轉(zhuǎn)化為三角形全等或相似找臨界值，即找等量關(guān)系

B

專題攻略

函數(shù)中兩個角度相等的問題

①已知兩角相等：可得出這兩個角的三角函數(shù)值相等，或利用這兩個相等角推出平行與

相似；

②求證兩角相等：常常通過這兩個角的三角函數(shù)值來證明，或借助相似來證明.

第44頁

解決角度有關(guān)問題的一般步驟：

1、讀題，畫圖，理解題意.

2、分析動點(diǎn)、定點(diǎn)，找不變特征，如角有兩邊，其中一邊是確定的.

3、確定分類特征，進(jìn)行分類討論.

4、把角放在直角三角形中，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，根據(jù)三角函數(shù)、相似或全等

的知識解決.

,例題精練

模塊一角度的存在性問題(特殊角度問題)

例題1：如圖，拋物線片加+"-4a經(jīng)過A(-1,0)C(0,4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)

B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)0(人加+1)在第一象限的拋物線上，連接BD,在拋物線上是否存在點(diǎn)P使得

“射=45。？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；不存在，說明理由.

變式：如圖，已知拋物線yu’W+for+c與x軸相交于A(-6,0),B(1,0),與y軸相交于

2

點(diǎn)C,直線/_LAC,垂足為C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若直線/與該拋物線的另一個交點(diǎn)為。，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)設(shè)動點(diǎn)P(m,〃)在該拋物線上，當(dāng)ZE4C=45。時，求機(jī)的值.

第45頁

例題2：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=-/+日-2火的頂點(diǎn)為N.

(1)若此拋物線過點(diǎn)A(-3,1),求拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下，若拋物線與y軸交于點(diǎn)3,連接相，C為拋物線上一點(diǎn)，且位于線段

他的上方，過C作CD垂直x軸于點(diǎn)￡),CD交A5于點(diǎn)E,若CE=ED,求點(diǎn)C坐標(biāo)；

(3)已知點(diǎn)M(2-生目，0),且無論攵取何值，拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)H,當(dāng)ZMHZV=60。時，求拋

3

第46頁

備用圖

例題3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a/+加;+c經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)、B(0,3)、

C(1,0)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)將拋物線的對稱軸繞拋物線的頂點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)60。，與直線y=-x交于點(diǎn)N.在直線DN

上是否存在點(diǎn)M,使得NMON=75。.若存在，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

第47頁

模塊二角度關(guān)系的存在性問題（角之間的和、差、倍、分關(guān)系）

例題1：（2018?常州）如圖，二次函數(shù)y=-gY+bx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交

于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,0）,P是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C不重合）.

（1）b=，點(diǎn)3的坐標(biāo)是;

第48頁

(2)設(shè)直線依與直線AC相交于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PM:MB=1:2?若存在,

求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)連接AC、BC,判斷NC4B和NCSA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

變式：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)產(chǎn)；/+區(qū)+0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-3,6)

并與尤軸交于點(diǎn)B(-1,0)和點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)。為線段。C上的一點(diǎn)，若ZDPC=ZBAC,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

第49頁

yk

4-

3-

2

1

?????

-4-3-2-1O12345x

-1

-2

-3

-4

變式：如圖，已知拋物線ynaf+-+c的對稱軸為直線*=2,且與x軸交于A、B兩點(diǎn).與y

軸交于點(diǎn)C.其中4L°）,CQ-3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動（點(diǎn)P異于點(diǎn)A）,當(dāng)NPC8=ZBC4時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

第50頁

變式：拋物線y=(x-3)(x+l)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

D為頂點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)連結(jié)8。，CD,拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

①若線段8。上一點(diǎn)P,使ZDCP=ZBDE,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

第51頁

②若拋物線上一點(diǎn)M,作MV_L8,交直線CD于點(diǎn)N,使ZCMN=NBDE,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

備用圖

變式：(2020?常州)如圖，二次函數(shù)曠=/+法+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的平

行線交拋物線于另一點(diǎn)B,拋物線過點(diǎn)C(l,0),且頂點(diǎn)為。，連接AC、BC、BD、CD.

(1)填空：b-;

(2)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)大于1,直線尸C交直線比)于點(diǎn)Q.若/CQD=ZACB，

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

第52頁

(3)點(diǎn)￡在直線AC上，點(diǎn)￡關(guān)于直線處對稱的點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸關(guān)于直線8C對稱的點(diǎn)為G,連

例題2：如圖，拋物線丁=一3%2+法+。與x軸交于點(diǎn)4和點(diǎn)與V軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)3坐標(biāo)

為(4,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)。作8軸的垂線，垂足為E,連接BD.

第53頁

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)尸是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)=時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)。

例題3：如圖，直線卜=—+〃與x軸交于點(diǎn)4(3,0),與丁軸交于點(diǎn)5,拋物線yn-f+bx+c

經(jīng)過點(diǎn)AB.

(1)求拋物線的解析式;

第54頁

（2）E（〃?,0）為x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作團(tuán)，x軸，交直線A3于點(diǎn)￡）,交拋物線于點(diǎn)P,連

接3P.點(diǎn)E在％軸的正半軸上運(yùn)動，若ZPBD+NCBO=45。，請求出機(jī)的值.

變式：如圖，已知拋物線了=（3_加）/+2（〃?-3口+4/〃-病的頂點(diǎn)A在雙曲線y=3上，直線

X

y=,nr+〃經(jīng)過點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,與x軸交于點(diǎn)C.

（1）確定直線的解析式.

（2）將直線繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90。，與x軸交于點(diǎn)。，與y軸交于點(diǎn)E,求sin/BOE的值.

第55頁

（3）過點(diǎn)8作x軸的平行線與雙曲線交于點(diǎn)G,點(diǎn)M在直線BG上，且到拋物線的對稱軸的

距離為6.設(shè)點(diǎn)N在直線8G上，請你直接寫出使得ZAMB+ZAA?=45。的點(diǎn)N的坐標(biāo).

0隨堂練習(xí)

1、如圖直線＞=；%+%與拋物線丫=_/+加+。交于C、。兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)￡＞的坐

第56頁

標(biāo)為（3,I）,點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸E_Lx軸于點(diǎn)E,交CO于點(diǎn)￡

（1）求一次函數(shù)和拋物線的解析式.

（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3當(dāng)r為何值時，四邊形。CP尸是平行四邊形？請說明理由.

（3）在CO上方是否存在點(diǎn)P,使ZPB=45。，若存在，求出相應(yīng)的點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在,

請說明理由.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丁=依2+法+。的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（一i,o）、B（O,一百）、

C（2,0）,其中對稱軸與x軸交于點(diǎn)D,M（5,力為拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，連接MA、

MB,若NAMB不小于60。，求/的取值范圍？

第57頁

3,已知在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,8）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）,

點(diǎn)E是直線y=x+4上的一個動點(diǎn)，若NEAB=NABO,求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

第58頁

3

4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=加-5X+C與工軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,

直線y=gx+2經(jīng)過A、C兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)NPC4=NBC。時，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

第59頁

5、如圖，拋物線yuaf+z^+c交x軸于o(0,0)、A(8,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為4.

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)C是拋物線上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，且滿足23c2=。42+2。。2,試判斷△OBC的形

狀，并說明理由;

第60頁

（3）在（2）的條件下，若拋物線上存在一點(diǎn)D,使得NOCD=NAOC-NOCA,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

6、如圖，拋物線y=o?+反+3與％軸交于4-3,0）,8（1,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是

拋物線的頂點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M是V軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)。在對稱軸左側(cè)的拋物線上運(yùn)動，直線。。交

第61頁

拋物線的對稱軸于點(diǎn)N,連接MN,當(dāng)MN平分NOND時,求點(diǎn)。的坐標(biāo);

專題H■一面積問題

類型一面積最值問題

解題技巧：

鉛垂法求三角形面積：A,B兩點(diǎn)之間的水平距離稱為“水平寬”；過點(diǎn)C作x軸的垂線

第62頁

與AB交于點(diǎn)D,線段CD即為AB邊的“鉛垂高”.

2

/

鉛

套

高

水平寬、鉛垂高還可以這樣做：如圖2,取AC作水平寬，過點(diǎn)B作BDlx軸交直線AC

于點(diǎn)D,BD即對應(yīng)的鉛垂高，

。。。水平寬x鉛垂高

SAABC—SAABD—SABCD=Q.

【解題步驟】

⑴求A,B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；

⑵過點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D,可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；

(3)求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；

(4)根據(jù)C,D坐標(biāo)求得鉛垂高；

(5)利用公式求得三角形面積.

【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=公2+法