認識二元一次方程組（知識梳理與考點分類講解）-八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（北師大版）

專題5.1認識二元一次方程組（知識梳理與考點分類講解）【知識點1】二元一次方程定義含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.二元一次方程的條件（1）整式方程；（2）只含有兩個未知數(shù)；關于x,y的兩元一次方程的一般形式：ax+by=c（a≠0,b≠0）.特別提醒：“所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1”不可理解為兩個未知數(shù)的次數(shù)都是1,例如2xy+1=0不是二元一次方程.【知識點2】二元一次方程組定義共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程,叫做二元一次方程組.二元一次方程組應滿足的條件：兩個方程都是整式方程；共含有兩個未知數(shù)；兩個方程都是一次方程；特別提醒：判斷二元一次方程組時,誤認為每個方程必須是二元一次方程.【知識點3】二元一次方程的解二元一次方程組的解適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解.判斷一對數(shù)值是不是二元一次方程的解的方法：判斷一對數(shù)值是不是二元一次方程的解，只需將這對數(shù)值分別代入方程的左右兩邊，看其是否相等.特別提醒：二元一次方程只要給定其中的一個未知數(shù)的值，就可以相應地求出另一個未知數(shù)的值，因此二元一次方程有無數(shù)個解.二元一次方程的整數(shù)解有時只有有限個.【知識點4】二元一次方程組的解二元一次方程組的解二元一次方程組中各個方程的公共解,叫做這個二元一次方程組的解.判斷一對數(shù)值是不是二元一次方程組的解的方法判斷一對數(shù)值是否為一個二元一次方程組的解，必須將這對數(shù)值分別帶入方程組中的每一個方程進行檢驗，若滿足沒一個方程，則這對數(shù)值就是這個方程組的解，否則就不是這個方程組的解.特別提醒：方程組的解一定是方程組中每個方程的解，而方程組中某個方程的解不一定是方程組的解.【考點目錄】【考點1】二元一次方程的認識；【考點2】二元一次方程組的認識【考點3】二元一次方程的解；【考點4】二元一次方程組的解【考點一】二元一次方程的認識【例1】（2021下·上海靜安·六年級上海田家炳中學?？计谥校┤?，是關于x，y的二元一次方程，求的值．【答案】【分析】根據二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程，進行求解即可解：∵方程是關于的二元一次方程，∴，∴，∴【點撥】本題考查二元一次方程的定義，掌握二元一次方程組的定義是解題關鍵．二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)都是一次．【舉一反三】【變式1】（2023上·河北張家口·八年級統(tǒng)考期中）下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程的定義，二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程，②方程中共含有兩個未知數(shù)，③所有未知項的次數(shù)都是一次，不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．解：A．，是一元一次方程，故本選項不符合題意；B．，是二元二次方程，故本選項不符合題意；C．，是二元一次方程，故本選項符合題意；D．，是分式方程，故本選項不符合題意．故選：C．【變式2】（2022下·湖北荊州·七年級?？计谥校┤舴匠蹋?＋＝6是關于、的二元一次方程，則的平方根為．【答案】【分析】根據二元一次方程的定義，得各個未知數(shù)的次數(shù)為1，求得m，n的值，進而求解．解：由題意，得：，，解得，．∴，∴的平方根．故答案為：．【點撥】本題考查二元一次方程的定義，平方根，熟練掌握只含有兩個未知數(shù)，且未知項的次數(shù)為1的整式方程是二元一次方程是解題的關鍵．【考點二】二元一次方程組的認識【例2】（2017下·四川宜賓·七年級校聯(lián)考階段練習）已知方程組是二元一次方程組，求m的值．【答案】m=5解：依題意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，解得：m=5．【點撥】本題考查了二元一次方程組的定義．二元一次方程組也滿足三個條件：①方程組中的兩個方程都是整式方程，②方程組中共含有兩個未知數(shù)，③每個方程都是一次方程．【舉一反三】【變式1】（2023下·河北廊坊·七年級統(tǒng)考期末）下列方程組中是二元一次方程組的是（）A．B． C． D．【答案】B【分析】根據二元一次方程組定義判斷即可.解：A.此方程組含有三個未知數(shù)，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；B．該方程組是二元一次方程組，故此選項符合題意；C．是二元二次方程，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；D．是分式方程，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；故選：B．【點撥】本題主要考查了二元一次方程的定義．一定要緊扣二元一次方程組的定義回答．【變式2】（2023下·江蘇徐州·七年級統(tǒng)考期末）觀察所給的4個方程組：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程組定義的是（寫出所有正確的序號）．【答案】①②④【分析】含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的整式方程組是二元一次方程組，根據定義逐一判斷即可．解：①，符合二元一次方程組定義；②，符合二元一次方程組定義；③，未知數(shù)x的最高次數(shù)是2，不符合二元一次方程組定義；④，符合二元一次方程組定義；所以符合二元一次方程組定義的是①②④．故答案為：①②④．【點撥】本題考查的是二元一次方程組的定義，熟記定義是解本題的關鍵．【考點三】二元一次方程的解【例3】（2023上·河北張家口·八年級統(tǒng)考期中）已知是關于，的二元一次方程的一組解．（1）求的值（2）請用含有的代數(shù)式表示．【答案】（1）；（2）【分析】（1）將二元一次方程的解代入得到關于a的方程，解關于a的方程即可；（2）將代入得到，將x看作已知數(shù)，y看作未知數(shù)，解關于y的方程即可．（1）解：將代入，得：，解得；（2）解：∵，∴原方程可變?yōu)椋啵九e一反三】【變式1】（2023上·陜西西安·八年級高新一中?？计谥校┤絷P于、的二元一次方程的一組解為，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二元一次方程的解，解題的關鍵是掌握二元一次方程的定義．把，代入到中即可求解．解：把，代入到中得：，，，故選：A．【變式2】（2023上·全國·八年級專題練習）小方解方程組時，因抄錯了a，解得，則c的值為．【答案】1【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，將解代入第二個方程即可解答．解：把代入得：，解得：．故答案為：1．【考點四】二元一次方程組的解【例4】（2023上·全國·八年級專題練習）甲和乙兩人同解方程組，甲因抄錯了a，解得，乙因抄錯了b，解得，求的值．【答案】1【分析】本題考查了二元一次方程組的解，將甲、乙求得的解分別代入正確的方程，求出，的值即可求解，用代入法解方程是解本題關鍵．解：由題意，是的解，，解得，又是的解，，解得，．【舉一反三】【變式1】（2023上·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期中）若關于x，y的二元一次方程組的解是，則關于m、n的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二元一次方程組的解及解二元一次方程組，先將代入解得，再將代入即可求解，熟練掌握二元一次方程組的解及利用加減消元法解二元一次方程組是解題的關鍵．解：將代入得：，解得：，，解得：，故選D．【變式2】（2023下·七年級單元測試）寫出一個解為的二元一次方程組：．【答案】（答案不唯一）【分析