2024年山東省中考數(shù)學(xué)試卷試題解讀及答案解析

年中考真題完全解讀（山東卷）2024年是山東省第一次統(tǒng)一命題，參與的地區(qū)有臨沂、棗莊、聊城、菏澤4個(gè)地市。本次試卷從題目數(shù)量與題型上看，相比去年有不小的的變化，題型是是10（選擇）+6（填空）+7（解答）的試卷結(jié)構(gòu)，從試卷內(nèi)容上看，本次試題在保持相對(duì)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，適當(dāng)調(diào)整了命題方向，難度適中。本套試卷側(cè)重增加文化的考查，加強(qiáng)問題背景的設(shè)置，加大考查的深度和廣度.同時(shí)應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的畫圖能力、識(shí)圖能力、動(dòng)手能力、探究能力、思維能力，注重?cái)?shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練.對(duì)于創(chuàng)新型試題要增加思維的含量，重點(diǎn)考查學(xué)生將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)的能力。從試題試題難度上看，容易題和較易題這類基礎(chǔ)性題目占比約52%，選擇題和填空題相對(duì)簡(jiǎn)單，解答題相較去年略有變化，考察的知識(shí)面更廣，中等題占比約35%，壓軸題占比約13%，壓軸題側(cè)重考查幾何綜合性問題和二次函數(shù)的性質(zhì)綜合問題。試卷也更加具有區(qū)分度，用后面最后三道解答題拉開差距，更加有利于選撥性考試。從命題上質(zhì)量看，山東統(tǒng)考卷注重基礎(chǔ)，同時(shí)也考查學(xué)生的思維能力。其中有知識(shí)考點(diǎn)的變化，這也提醒了老師們?cè)诮虒W(xué)過程中，要注重?cái)?shù)學(xué)試題的多元性，不能單就重點(diǎn)知識(shí)花費(fèi)大量時(shí)間機(jī)械化地刷題訓(xùn)練。從命題要求看注重基礎(chǔ)扎實(shí)和計(jì)算，在中等難度以上的題目需要考查知識(shí)的交匯，大大提高了試卷的區(qū)分度。從試卷內(nèi)容和考查知識(shí)點(diǎn)上來看，選擇題1-8題非常的基礎(chǔ)考查了實(shí)數(shù)的大小比較、中心對(duì)稱圖形、科學(xué)記數(shù)法、三視圖、整式與冪的運(yùn)算、分式方程的應(yīng)用、多邊形的內(nèi)角與外角、概率的求法，此類題目比較容易得分；第9題考查了平行四邊形的性質(zhì)與相似的判定與性質(zhì)，第10題靈活考查了方程與不等式的應(yīng)用，具有一定的綜合性。填空題的第11-13題分別考查了因式分解、解不等式組、一元二次方程根的情況，屬于基礎(chǔ)知識(shí)；第14題考查了三角形的外接圓和圓的性質(zhì)、第15題考查了基本作圖與三角形有關(guān)性質(zhì)的計(jì)算、第15題是探究性問題，這幾道題目難度適中。對(duì)于解答題，第17-19題是基礎(chǔ)性題目，第17題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、分式化簡(jiǎn)求值，屬于基本計(jì)算；第18題靈活考查了全等三角形與銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，與生活實(shí)際緊密練習(xí)；第19題考了頻數(shù)分布直方圖、數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)、數(shù)據(jù)的分析；第20-21題是中等性題目，主要是一次函數(shù)與反比例函數(shù)問題以及圓的有關(guān)計(jì)算與證明，第20題涉及的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、函數(shù)的表示方法、利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象解決不等式問題；第21題涉及的知識(shí)點(diǎn)有等邊三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)與證明、求圓中陰影部分的面積。最后兩題是壓軸問題，第22題是四邊形綜合壓軸題，涉及的主要知識(shí)點(diǎn)有全等三角形的性質(zhì)與判定、特殊四邊形的性質(zhì)與、證明根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算；第23題是二次函數(shù)綜合壓軸題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、二次函數(shù)與一元二次方程的根的關(guān)系。1.2024年山東統(tǒng)考卷的選擇填空難度降低，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，優(yōu)化了問題情境設(shè)計(jì)，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)在生活中應(yīng)用的考查，突出了學(xué)生的作圖能力和分析圖形的能力，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的考查，以及去模式化、增強(qiáng)試題的開放性和靈活性。2、更加注重?cái)?shù)學(xué)在生活應(yīng)用部分，注重運(yùn)用數(shù)學(xué)解決生活中的實(shí)際問題：在6、8、10、18、19題適當(dāng)生活情景，將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到社會(huì)生產(chǎn)與生活中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活的應(yīng)用。3.本套試卷加強(qiáng)了對(duì)幾何作圖和分析圖形能力的考查，比如填空題的18題考查線段的垂直平分線和角平分線的做法，第20題利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象求不等式的解集，第22題利用圖形的變化來解決旋轉(zhuǎn)綜合問題，需要學(xué)生畫出正確的旋轉(zhuǎn)后的圖形。4.解答題第21題利用平行四邊形為載體考查圓的性質(zhì)，證明切線時(shí)需要多次利用倒角；對(duì)于第2問陰影部分的面積要轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積。此外，學(xué)生還應(yīng)培養(yǎng)探究新知識(shí)的能力，提高分析問題和解決問題的能力，增進(jìn)邏輯思維能力，以及對(duì)幾何中理性思維的理解。5.壓軸題第22題是幾何壓軸問題的考查，幾何綜合題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角形以及幾何動(dòng)態(tài)思維。要求學(xué)生掌握幾何圖形的基本性質(zhì)和定理，能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力。6.壓軸題第23題由二次函數(shù)與圖形的結(jié)合變?yōu)榭疾槎魏瘮?shù)的性質(zhì)。?學(xué)生需要能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，加深對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，會(huì)靈活利用二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象解決純函數(shù)問題。題號(hào)分值題型考查內(nèi)容考查點(diǎn)13選擇題實(shí)數(shù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算；實(shí)數(shù)的大小比較23選擇題中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形的識(shí)別；中心對(duì)稱圖形的識(shí)別33選擇題科學(xué)記數(shù)法用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)43選擇題三視圖判斷簡(jiǎn)單組合體的三視圖53選擇題整式的運(yùn)算合并同類項(xiàng)；冪的乘方運(yùn)算；計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及求值；運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算63選擇題分式方程分式方程的實(shí)際應(yīng)用73選擇題四邊形正多邊形的外角問題83選擇題概率列表法或樹狀圖法求概率93選擇題平行四邊形；相似利用平行四邊形的性質(zhì)求解；由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值；相似三角形的判定與性質(zhì)綜合103選擇題二元一次方程、不等式代入消元法；用一元一次不等式解決實(shí)際問題113填空題因式分解提公因式法分解因式123填空題一元一次不等式組求一元一次不等式組的整數(shù)解133填空題一元二次方程根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)143填空題三角形的外接圓與外心根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)；三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；等邊對(duì)等角；圓周角定理153填空題作圖、三角形作角平分線(尺規(guī)作圖)；作垂線(尺規(guī)作圖)；根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等；用勾股定理解三角形163填空題探究規(guī)律點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索1710解答題代數(shù)計(jì)算實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算；分式化簡(jiǎn)求值；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪189解答題三角形、銳角三角函數(shù)全等三角形綜合問題；解直角三角形的應(yīng)用199解答題統(tǒng)計(jì)由樣本所占百分比估計(jì)總體的數(shù)量；頻數(shù)分布直方圖；求加權(quán)平均數(shù)；求中位數(shù)2010解答題一次函數(shù)、反比例函數(shù)求一次函數(shù)解析式；求反比例函數(shù)解析式；一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應(yīng)用2110解答題圓的有關(guān)計(jì)算與證明等邊三角形的判定和性質(zhì)；證明某直線是圓的切線；求其他不規(guī)則圖形的面積；解直角三角形的相關(guān)計(jì)算2212解答題四邊形綜合題全等的性質(zhì)和HL綜合；證明四邊形是正方形；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解；解直角三角形的相關(guān)計(jì)算2312解答題二次函數(shù)綜合二次函數(shù)圖象的平移；y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)；二次函數(shù)與一元二次方程1、在復(fù)習(xí)備考過程中，要重視基礎(chǔ)，回歸課本，回歸基礎(chǔ)，多注重對(duì)概念，性質(zhì)，關(guān)系，規(guī)律變換與關(guān)聯(lián)的理解。2、多注意結(jié)合生活實(shí)際，將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)踐相結(jié)合，加強(qiáng)方程、不等式、函數(shù)、銳角三角函數(shù)與生活的聯(lián)系。3、初三學(xué)習(xí)以及復(fù)習(xí)過程中，一定要有“面的兼顧”和“點(diǎn)的串聯(lián)”，即使是小知識(shí)點(diǎn)，也不能忽視，復(fù)習(xí)過程中，對(duì)于這些小的知識(shí)點(diǎn)，一定要做到面面俱到，才能順利地應(yīng)對(duì)多變的考試。4、重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)一定要重視，比如第16題對(duì)于菱形以及對(duì)稱面積比問題，其實(shí)畫圖能力也是最基本的要求，理解題意本質(zhì)，用圖形語言刻畫文字語言，自然找到解決問題的基本方法。5、理錯(cuò)題本：整理錯(cuò)題，建立錯(cuò)題本?？忌腻e(cuò)題本可以選擇大一點(diǎn)的本子，右邊折一小半用紅筆寫明錯(cuò)誤原因，錯(cuò)誤糾正方法及注意事項(xiàng)。一定要根據(jù)錯(cuò)誤類型具體情況具體分析，以審題為例，如果是純粹的粗心審題錯(cuò)誤，其實(shí)可以不用寫在錯(cuò)題本里，如果是對(duì)題目的信息理解不透，忽略隱含條件的審題性錯(cuò)誤則是一定要在錯(cuò)題本上留有痕跡，思維與方法錯(cuò)誤、知識(shí)性錯(cuò)誤也是如此。6、注重基礎(chǔ)和計(jì)算，計(jì)算能力是數(shù)學(xué)的基石，所以一定要有一個(gè)非常好的計(jì)算功底，是解決難題的基礎(chǔ)。7．規(guī)范解題過程：首先重要步驟不能丟，丟步驟等于丟分。比如今年的第24題幾何中的證明問題，不能因?yàn)椴粫?huì)而不寫過程或少些，都需要寫出相應(yīng)的步驟，而不能太過簡(jiǎn)單。8．做題要細(xì)心：解題時(shí)審題要慢，要看清楚，步驟要到位，動(dòng)作要快，步步為營(yíng)，穩(wěn)中求快，立足于一次成功，很多學(xué)生在做題做到一半時(shí)發(fā)現(xiàn)做錯(cuò)了，再回去做既浪費(fèi)時(shí)間也會(huì)影響后面的解題，建議在做題中檢查，爭(zhēng)取一擊就中，正所謂“七分讀題，三分做題”。相信考生做到以上幾點(diǎn)，可以在2025年初三一年的考試中取得理想的成績(jī)！2024年中考數(shù)學(xué)試題（山東卷）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1．下列實(shí)數(shù)中，平方最大的數(shù)是（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，乘方運(yùn)算，先分別計(jì)算各數(shù)的乘方，再比較大小即可.【詳解】解：∵，，，，而，∴平方最大的數(shù)是3；故選A2．用一個(gè)平面截正方體，可以得到以下截面圖形，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，常見的中心對(duì)稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長(zhǎng)方形等等．常見的軸對(duì)稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：A．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．該圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．3．年山東省扎實(shí)落實(shí)民生實(shí)事，全年新增城鄉(xiāng)公益性崗位萬個(gè)，將萬用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法的表示方法，一般形式為，其中，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)位數(shù)相同，確定與的值是解題關(guān)鍵．【詳解】解：萬，故選：C．4．下列幾何體中，主視圖是如圖的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了幾何體的三視圖，從前面看到的圖形是主視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左邊看到的圖形是左視圖．能看到的線畫實(shí)線，看不到的線畫虛線．根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形分析即可．【詳解】解：A．主視圖是等腰三角形，不符合題意；B．主視圖是共底邊的兩個(gè)等腰三角形，故不符合題意；C．主視圖是上面三角形，下面半圓，故不符合題意；D．主視圖是上面等腰三角形，下面矩形，故符合題意；故選：D．5．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查合并同類項(xiàng)，冪的乘方運(yùn)算，完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，掌握其運(yùn)算法則是解決此題的關(guān)鍵．按照運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：A．式子中兩項(xiàng)不是同類項(xiàng)，不能合并，故A不符合題意；B．，故B不符合題意；C．，故C不符合題意；D．，故D符合題意．故選D．6．為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時(shí)間與改造前生產(chǎn)400件的時(shí)間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（

）A．200 B．300 C．400 D．500【答案】B【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，根據(jù)“改造后生產(chǎn)600件的時(shí)間與改造前生產(chǎn)400件的時(shí)間相同”列出分式方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，根據(jù)題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，且符合題意，答：改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)．故選：B．7．如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個(gè)內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個(gè)外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.【詳解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴正邊形的一個(gè)外角為，∴的值為；故選A8．某校課外活動(dòng)期間開展跳繩、踢毽子、韻律操三項(xiàng)活動(dòng)，甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項(xiàng)參加，則他們選擇同一項(xiàng)活動(dòng)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率．首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果以及甲與乙恰好選擇同一項(xiàng)活動(dòng)的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：設(shè)跳繩、踢毽子、韻律操分別為A、B、C，畫樹狀圖如下，共有9種等可能的結(jié)果，甲、乙恰好選擇同一項(xiàng)活動(dòng)的有3種情況，故他們選擇同一項(xiàng)活動(dòng)的概率是，故選：C．9．如圖，點(diǎn)為的對(duì)角線上一點(diǎn)，，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．作輔助線如圖，由平行正相似先證，再證，即可求得結(jié)果．【詳解】解：延長(zhǎng)和，交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴∴，∴，∴∵，∴．故選：B．10．根據(jù)以下對(duì)話，給出下列三個(gè)結(jié)論：①1班學(xué)生的最高身高為；②1班學(xué)生的最低身高小于；③2班學(xué)生的最高身高大于或等于．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程、不等式的應(yīng)用，設(shè)1班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，2班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，根據(jù)1班班長(zhǎng)的對(duì)話，得，，然后利用不等式性質(zhì)可求出，即可判斷①，③；根據(jù)2班班長(zhǎng)的對(duì)話，得，，然后利用不等式性質(zhì)可求出，即可判斷②．【詳解】解：設(shè)1班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，2班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，根據(jù)1班班長(zhǎng)的對(duì)話，得，，∴∴，解得，故①錯(cuò)誤，③正確；根據(jù)2班班長(zhǎng)的對(duì)話，得，，∴，∴，∴，故②正確，故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．11．因式分解：．【答案】【分析】本題考查了因式分解，直接提取公因式即可．【詳解】解：原式，故答案為：．12．寫出滿足不等式組的一個(gè)整數(shù)解．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查一元一次不等式組的解法，解題的關(guān)鍵是正確掌握解一元一次不等式組的步驟．先解出一元一次不等式組的解集為，然后即可得出整數(shù)解．【詳解】解：，由①得：，由②得：，∴不等式組的解集為：，∴不等式組的一個(gè)整數(shù)解為：；故答案為：（答案不唯一）.13．若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】/【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：．故答案為：．14．如圖，是的內(nèi)接三角形，若，，則．【答案】/40度【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用圓周角定理求出的度數(shù)，利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，即可求解．【詳解】解∶連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．15．如圖，已知，以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與、相交于點(diǎn)，；分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線．分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線分別與，相交于點(diǎn)，．若，，則到的距離為．【答案】【分析】如圖，過作于，證明，，，再證明，再結(jié)合勾股定理可得答案.【詳解】解：如圖，過作于，由作圖可得：，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴到的距離為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：基本作圖，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)，逐步操作．16．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)中的，分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中，均為正整數(shù)．例如，點(diǎn)經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)，經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)，以此類推．則點(diǎn)1,4經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)．【答案】【分析】本題考查了新定義，點(diǎn)的規(guī)律，根據(jù)新定義依次計(jì)算出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后找出規(guī)律，最后應(yīng)用規(guī)律求解即可．【詳解】解：點(diǎn)1,4經(jīng)過1次運(yùn)算后得到點(diǎn)為，即為，經(jīng)過2次運(yùn)算后得到點(diǎn)為，即為，經(jīng)過3次運(yùn)算后得到點(diǎn)為，即為，……，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點(diǎn)1,4經(jīng)過3次運(yùn)算后還是1,4，∵，∴點(diǎn)1,4經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)，故答案為：．三、解答題：本題共7小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（1）計(jì)算：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】（1）

（2）

?2【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算、分式的運(yùn)算：（1）根據(jù)求算術(shù)平方根和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、有理數(shù)的減法的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先通分，然后求解即可．【詳解】（1）原式（2）原式將代入，得原式18．【實(shí)踐課題】測(cè)量湖邊觀測(cè)點(diǎn)和湖心島上鳥類棲息點(diǎn)之間的距離【實(shí)踐工具】皮尺、測(cè)角儀等測(cè)量工具【實(shí)踐活動(dòng)】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)．測(cè)量，兩點(diǎn)間的距離以及和，測(cè)量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：米，，．畫出示意圖，如圖【問題解決】（1）計(jì)算，兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【交流研討】甲小組回班匯報(bào)后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點(diǎn)，，，使得，，在同一條直線上，且，，當(dāng)，，在同一條直線上時(shí)，只需測(cè)量即可．（2）乙小組的方案用到了________．（填寫正確答案的序號(hào)）①解直角三角形

②三角形全等【教師評(píng)價(jià)】甲、乙兩小組的方案都很好，對(duì)于實(shí)際測(cè)量，要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)地形狀況選擇可實(shí)施的方案．【答案】（1），兩點(diǎn)間的距離為米；（2）②【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，靈活應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵；（1）如圖，過作于，先求解，，再求解及即可；（2）由全等三角形的判定方法可得，可得，從而可得答案.【詳解】解：如圖，過作于，∵米，，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴（米）；即，兩點(diǎn)間的距離為米；（2）∵，，當(dāng)，，在同一條直線上時(shí)，∴，∴，∴，∴只需測(cè)量即可得到長(zhǎng)度；∴乙小組的方案用到了②；19．某學(xué)校開展了“校園科技節(jié)”活動(dòng)，活動(dòng)包含模型設(shè)計(jì)、科技小論文兩個(gè)項(xiàng)目．為了解學(xué)生的模型設(shè)計(jì)水平，從全校學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績(jī)中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績(jī)（成績(jī)?yōu)榘俜种?，用表示），并將其分成如下四組：，，，．下面給出了部分信息：的成績(jī)?yōu)椋?1，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．根據(jù)以上信息解決下列問題：(1)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(2)所抽取學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績(jī)的中位數(shù)是________分；(3)請(qǐng)估計(jì)全校1000名學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績(jī)不低于80分的人數(shù)；(4)根據(jù)活動(dòng)要求，學(xué)校將模型設(shè)計(jì)成績(jī)、科技小論文成績(jī)按的比例確定這次活動(dòng)各人的綜合成績(jī)．某班甲、乙兩位學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績(jī)與科技小論文成績(jī)（單位：分）如下：模型設(shè)計(jì)科技小論文甲的成績(jī)9490乙的成績(jī)9095通過計(jì)算，甲、乙哪位學(xué)生的綜合成績(jī)更高？【答案】(1)畫圖見解析(2)(3)人(4)甲的綜合成績(jī)比乙高.【分析】（1）先求解總?cè)藬?shù)，再求解的人數(shù)，再補(bǔ)全圖形即可；（2）根據(jù)中位數(shù)的含義確定第25個(gè)，第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可得到中位數(shù)；（3）由總?cè)藬?shù)乘以80分含80以上的人數(shù)百分比即可得到答案；（4）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式分別計(jì)算甲，乙二人成績(jī)，再比較即可【詳解】（1）解：∵，而有20人，∴有，補(bǔ)全圖形如下：。（2）解：∵，而的成績(jī)?yōu)椋?1，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．∴50個(gè)成績(jī)按照從小到大排列后，排在第25個(gè)，第26個(gè)數(shù)據(jù)分別是：83,83；中位數(shù)為：；（3）解：全校1000名學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績(jī)不低于80分的人數(shù)為：（人）；（4）解：甲的成績(jī)?yōu)椋海ǚ郑灰业某煽?jī)?yōu)椋海ǚ郑?；∴甲的綜合成績(jī)比乙高.【點(diǎn)睛】本題考查的是頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)的含義，利用樣本估計(jì)總體，加權(quán)平均數(shù)的含義，掌握基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)是解本題的感覺.20．列表法、表達(dá)式法、圖像法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．下表是函數(shù)與部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系：11________________________7(1)求、的值，并補(bǔ)全表格；(2)結(jié)合表格，當(dāng)?shù)膱D像在的圖像上方時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，補(bǔ)全表格見解析(2)的取值范圍為或；【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，利用圖像法寫自變量的取值范圍；（1）根據(jù)表格信息建立方程組求解的值，再求解的值，再補(bǔ)全表格即可；（2）由表格信息可得兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合函數(shù)圖像可得答案.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，∴，解得：，∴一次函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)時(shí)，，即，∴反比例函數(shù)為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，補(bǔ)全表格如下：117（2）由表格信息可得：兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，∴當(dāng)?shù)膱D像在的圖像上方時(shí)，的取值范圍為或；21．如圖，在四邊形中，，，．以點(diǎn)為圓心，以為半徑作交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作所交于點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn)，連接．(1)求證：為所在圓的切線；(2)求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留）【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，圓的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證明四邊形是平行四邊形是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，證明，即可證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，再根據(jù)圓的切線判定定理即可證得結(jié)果．（2）先求出平行四邊形的高，根據(jù)扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：連接如圖，根據(jù)題意可知：，又∵，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴在以為直徑的圓上，∴，∴為所在圓的切線．（2）過作于點(diǎn)，由圖可得：，在中，，，∴，∴，由題可知：扇形和扇形全等，∴，等邊三角形的面積為：，∴22．一副三角板分別記作和，其中，，，．作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖1．(1)求證：；(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個(gè)三角形按如圖2所示的方式放置，點(diǎn)與點(diǎn)重合記為，點(diǎn)與點(diǎn)重合