（初中教案）九年級(jí)春季班第2講：銳角的三角比-實(shí)戰(zhàn)演練-教師版

（初中教案）九年級(jí)春季班第2講：銳角的三角比-實(shí)戰(zhàn)演練-教師版（初中教案）九年級(jí)春季班第2講：銳角的三角比-實(shí)戰(zhàn)演練-教師版/（初中教案）九年級(jí)春季班第2講：銳角的三角比-實(shí)戰(zhàn)演練-教師版銳角的三角比銳角的三角比知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊模塊一：銳角的三角比知識(shí)知識(shí)精講知識(shí)知識(shí)精講銳角三角比的意義1、正切直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正切(tangent)．銳角A的正切記作tanA．．2、余切直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做這個(gè)銳角的余切(cotangent)．銳角A的余切記作cotA．．3、正弦直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的正弦(sine)．銳角A的正弦記作sinA．．4、余弦直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的余弦(cosine)．銳角A的余弦記作cosA．．5、銳角的三角比一個(gè)銳角的正切、余切、正弦、余弦統(tǒng)稱為這個(gè)銳角的三角比．定義表達(dá)式取值范圍相互關(guān)系正切(為銳角)余切(為銳角)正弦(為銳角)余弦(為銳角)特殊銳角的三角比的值30°45°1160°例題解析例題解析已知中,,那么是角A的() A．正弦 B．余弦 C．正切 D．余切【難度】★【答案】D【解析】在中,是的對(duì)邊,是的鄰邊,所以是的余切．【總結(jié)】本題考察銳角三角比中余切的意義,學(xué)生應(yīng)動(dòng)手畫(huà)圖更直觀．已知中,,AC=3,BC=4,那么______．【難度】★【答案】．【解析】在中,AC是的鄰邊,BC是三角形的斜邊,所以．【總結(jié)】本題考察銳角三角比中正弦的意義,學(xué)生應(yīng)動(dòng)手畫(huà)圖則解題更直觀．已知為銳角,且,求的余弦值．【難度】★【答案】．【解析】將放到一個(gè)直角三角形中去,設(shè)的對(duì)邊為,斜邊為,則通過(guò)勾股定理可知,的鄰邊為,所以．【總結(jié)】本題考察(1)一個(gè)角的銳角三角比是一個(gè)定值,不隨位置的變化而變化;(2)正弦與余弦之間的轉(zhuǎn)化,也可用公式完成．求值：_______．【難度】★【答案】．【解析】原式=—+=．【總結(jié)】本題考察特殊角的銳角三角比的值．已知銳角中,,,那么______°．【難度】★【答案】75°．【解析】,則;,則;由三角形內(nèi)角和為180°可知,．【總結(jié)】本題考察特殊角的銳角三角比的值．將銳角所在的三角形的三邊同時(shí)擴(kuò)大三倍,這時(shí)角的正弦值() A．變大 B．變小 C．不變 D．無(wú)法確定【難度】★【答案】C【解析】邊擴(kuò)大3倍,的大小沒(méi)有發(fā)生改變,在不同的三角形中,只要不變,則的銳角三角比的值不變．【總結(jié)】一個(gè)角的銳角三角比是一個(gè)定值,是這個(gè)角固有的一個(gè)性質(zhì)．ACBD(2014學(xué)年·松江區(qū)二?！さ?題)如圖,在中,,CDAB,垂足為D,AB=c,,則CD長(zhǎng)為()ACBD A． B． C． D．【難度】★★【答案】D【解析】中,,∴AC=,,,∴CD=AC=,故選D．【總結(jié)】本題考察銳角三角比的意義．(2015學(xué)年·徐匯區(qū)二?！さ?9題)計(jì)算：．【難度】★★【答案】．【解析】原式===．【總結(jié)】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算,注意相關(guān)運(yùn)算法則的運(yùn)用,(1)=;(2)．(2015學(xué)年·普陀區(qū)二?！さ?9題)計(jì)算：．【難度】★★【答案】．【解析】原式===．【總結(jié)】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算,注意相關(guān)運(yùn)算法則的運(yùn)用．模塊模塊二：解直角三角形知識(shí)知識(shí)精講解直角三角形在直角三角形中,由已知元素求出所有未知元素的過(guò)程,叫做解直角三角形．在中,如果,那么它的三條邊和兩個(gè)銳角之間有以下的關(guān)系：(1)三邊之間的關(guān)系：(2)銳角之間的關(guān)系：(3)邊角之間的關(guān)系：, ,仰角與俯角在測(cè)量過(guò)程中,常常會(huì)遇到仰角和俯角．如圖,當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí),在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫做仰角,視線在水平線下方的角叫做俯角．仰角仰角視線水平線視線俯角鉛垂線方向角指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角．北北偏東30°南偏西45°北偏西70°南偏東50°30°北北偏東30°南偏西45°北偏西70°南偏東50°30°70°45°50°坡度(坡比)、坡角在修路、挖河、開(kāi)渠等設(shè)計(jì)圖紙上,都需要注明斜坡的傾斜程度．如圖,坡面的鉛垂高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),記作i,即．hl坡度通常寫成1：m的形式,如．hl坡面與水平面的夾角叫做坡角,記作．坡度i與坡角之間的關(guān)系：．例題解析例題解析(2015學(xué)年·崇明縣二?！さ?5題)已知一斜坡的坡比為1：2,坡角為,那么______．【難度】★【答案】．【解析】設(shè)高度為,水平長(zhǎng)度為2,則通過(guò)勾股定理可知斜坡為,通過(guò)正弦意義可得,．【總結(jié)】考察坡比、坡角的意義．ABC(2014學(xué)年·長(zhǎng)寧區(qū)二?！さ?5題)已知在離地面30米的高樓窗臺(tái)A處測(cè)得地面花壇中心標(biāo)志物C的俯角為60°,那么這一標(biāo)志物C離此棟樓房的地面距離BC為ABC【難度】★【答案】．【解析】由題意可知,AB=30°,,∵,∴BC=米．【總結(jié)】本題主要考察俯角的意義及在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用．AB9米傳送帶(2015學(xué)年·浦東新區(qū)二模·第13題)如圖,傳送帶和地面所成的斜坡的坡度為,它把物體從地面送到離地面9米高的地方,則物體從A到B所經(jīng)過(guò)的路程為AB9米傳送帶【難度】★【答案】18．【解析】,,∴根據(jù)勾股定理,．【總結(jié)】本題考查坡度的意義．ABCD(2015學(xué)年·寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模·第16題)如圖,如果在大廈AB所在的平地上選擇一點(diǎn)C,測(cè)得大廈頂端A的仰角為30°,然后向大廈方向前進(jìn)40米,到達(dá)點(diǎn)D處(C、D、B三點(diǎn)在同一直線上),此時(shí)測(cè)得大廈頂端A的仰角為45°．那么大廈ABCD【難度】★★【答案】．【解析】由題意得,CD=40,中,,∴設(shè),．【總結(jié)】本題考察仰角的意義及特殊角的銳角三角比的值．(2014學(xué)年·閘北區(qū)二模·第6題)如圖,某水渠的橫斷面是等腰梯形,已知其斜坡AD和BC的坡度為1：0.6,現(xiàn)測(cè)得放水前的水面寬EF為1.2米,當(dāng)水閘放水后,水渠內(nèi)水面寬GH為2.1 A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75ABCABCDEFGHMN【答案】D【解析】過(guò)E、F分別作由題意得,MN=1.2,GM=NH=0.45,∵,故選D．【總結(jié)】本題考查坡度的意義,學(xué)生應(yīng)注意將題目中的數(shù)字信息轉(zhuǎn)化到圖形上去．(2014學(xué)年·浦東新區(qū)二?！さ?6題)如圖,已知小島B在基地A的南偏東30°方向上,與基地A相距10海里,貨輪C在基地A的南偏西60°方向、小島B的北偏西75°方向上,那么貨輪C與小島B的距離是______海里．ABCABC北北【答案】．【解析】由題意可知,AB=10,∴BC=．【總結(jié)】本題考察方向角的意義．ABCDE(2014學(xué)年·徐匯區(qū)二?！さ?2題)如圖,在中,,,AC=6,BD平分交AC邊于點(diǎn)D．ABCDE 求：(1)線段AB的長(zhǎng);(2)的值．【難度】★★【答案】(1);(2)．【解析】(1)在,設(shè),∴,;(2)過(guò)D作,,．設(shè),,,,．,．【總結(jié)】本題考察角平分線的性質(zhì)及銳角三角比的意義的綜合運(yùn)用．ABCDE(2014學(xué)年·閘北區(qū)二模·第21題)已知：如圖,點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn),BE=AD,AE=8,現(xiàn)有甲乙二人同時(shí)從E點(diǎn)出發(fā),分別沿EC、ED方向前進(jìn),甲的速度是乙的倍,甲到達(dá)目的地CABCDE (1)求的值; (2)求線段AB及BC的長(zhǎng)度．【難度】★★【答案】(1);(2)AB=6,BC=10．【解析】(1)由題意可知,,,在;(2)設(shè),則在,=,解得：,．【總結(jié)】本題考察勾股定理與銳角三角比相結(jié)合的應(yīng)用．ABCDEFH(2014學(xué)年·閔行區(qū)二?！さ?1題)如圖,已知在中,,,D為邊BC的中點(diǎn)．E為邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=BC．聯(lián)結(jié)AE,FABCDEFH 求：(1)線段DF的長(zhǎng);(2)的正切值．【難度】★★【答案】(1);(2)．【解析】(1)聯(lián)結(jié)AD．又．在,,,,,;(2)過(guò)C作,即,解得：,,．【總結(jié)】本題考查等腰三角形三線合一,斜邊上的中線等于斜邊的一半以及銳角三角比的相關(guān)知識(shí)．(2015學(xué)年·閘北區(qū)二模·第21題)已知：如圖,在中,,AD是BC邊上的中線,過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E,且,．FABCDE 求：(1)AB的長(zhǎng);(FABCDE【難度】★★【答案】(1)7;(2)．【解析】(1)在,．在,,;(2)過(guò),,．在,,,在．【總結(jié)】本題考察銳角三角比的意義,其中常見(jiàn)輔助線是作垂線,把有關(guān)角度放到直角三角形中去．(2015學(xué)年·松江區(qū)二?！さ?2題)如圖,在中,AB=AC=10,BC=12,MOCBADFEGHADBC于D,O為AD上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓交AB于G,交BC于MOCBADFEGH (1)求EF的長(zhǎng); (2)求的值．【難度】★★【答案】(1)8;(2)．【解析】(1)聯(lián)結(jié)OF,過(guò)O作,,,,∵AG=AD,,,．,,．,,;(2),,．．,,在．【總結(jié)】本題考察等腰三角形三線合一,垂徑定理以及銳角三角比的知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．(2015學(xué)年·普陀區(qū)二模·第21題)已知：如圖,在中,AB=AC=13,ABCDPBC=24,點(diǎn)P、D分別在邊BC、AC上,,求ABCDP【難度】★★【答案】．【解析】過(guò)A作,,又,∽,．,,在．【總結(jié)】本題考察了兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的相似判定方法及相等角的銳角三角比的值也相等的運(yùn)用．(2015學(xué)年·虹口區(qū)二?！さ?1題)如圖,在中,CD是邊AB上的中線,是銳角,且,,BC=,求邊AB的長(zhǎng)和的值．EABEABCD【答案】AB=6,．【解析】過(guò)點(diǎn)C作,在,．在,．．,．【總結(jié)】本題考察銳角三角比的意義,其中常見(jiàn)輔助線是作垂線,把有關(guān)角度放到直角三角形中去．CABED(2014學(xué)年·崇明縣二?！さ?1題)在中,,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),ADBC,垂足為點(diǎn)D．已知AC=9,．CABED (1)求線段AE的長(zhǎng);(2)求的值．【難度】★★【答案】(1)(2)．【解析】(1)在,．;(2),,．【總結(jié)】本題考察斜邊上的中線等于斜邊的一半,銳角三角比的意義的知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．(2015學(xué)年·崇明縣二?！さ?2題)如圖,在某海濱城市O附近海面有一股臺(tái)風(fēng),據(jù)監(jiān)測(cè),當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于該城市的南偏東20°方向200千米的海面P處,并以20千米/時(shí)的速度向P處的北偏西65°PQ的方向移動(dòng),臺(tái)風(fēng)侵襲范圍是一個(gè)圓形區(qū)域,當(dāng)前半徑為60千米,且圓的半徑以10千米/時(shí)速度不斷擴(kuò)張． (1)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)4小時(shí)時(shí),受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到________千米;當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)t小時(shí)時(shí),受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到________千米;OPQ北H (2)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到與城市O距離最近時(shí),這股臺(tái)風(fēng)是否侵襲這座海濱城市?請(qǐng)說(shuō)明理由．(參考數(shù)據(jù)OPQ北H【難度】★★【答案】(1)100,60+10t;(2)不會(huì)侵襲．【解析】(1)略;(2),由題意可知,,,∴(小時(shí)),此時(shí),．【總結(jié)】本題考察方向角的意義,學(xué)生要讀懂題意,將現(xiàn)實(shí)情況與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)．(2015學(xué)年·閔行區(qū)二?！さ?2題)如圖,山區(qū)某教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡,坡面BC平行于地面AD,斜坡AB的坡比為,且AB=26米．為了防止山體滑坡,保障安全,學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè),當(dāng)坡角不超過(guò)53°時(shí),可確保山體不滑坡．(1)求改造前坡頂與地面的距離BE的長(zhǎng); (2)為了消除安全隱患,學(xué)校計(jì)劃將斜坡AB改造成AF(如圖所示),那么BF至少是多少米?(結(jié)果精確到1米) (參考數(shù)據(jù)：,,,)GABDGABDCEF【答案】(1)24m;(2)8m．【解析】(1)∵,∴設(shè),,解得：,;(2),,,,．【總結(jié)】本題考察坡比的意義,學(xué)生應(yīng)把握住題中不變的量．(2014學(xué)年·普陀區(qū)二模·第22題)本市為了給市容營(yíng)造溫馨和諧的夜間景觀,準(zhǔn)備在一條寬7.4米的道路上空利用輕軌橋墩,安裝呈大中小三個(gè)同心圓的景觀燈帶(如圖1所示)．如圖2,已知EF表示路面寬度,輕軌橋墩的下方為等腰梯形ABCD,且AD//EF,AB=DC,．在輕軌橋墩上設(shè)有兩處限高標(biāo)志,分別表示等腰梯形的下底邊到路面的距離為2.9米和等腰梯形的上底邊到路面的距離為3.8米．大圓直徑等于AD,三圓半徑的比等于1：2：3．試求這三個(gè)圓形燈帶的總長(zhǎng)為多少米?(結(jié)果保留) (參考數(shù)據(jù)：,,)圖1圖1圖2H1H2【難度】★★【答案】10【解析】分別過(guò)A、D作,由題意可知,,,,,．,(米)．【總結(jié)】本題是一道數(shù)學(xué)建模型的題目,主要考察學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,另外還有注意單位問(wèn)題．

隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)(2014學(xué)年·普陀區(qū)二?！さ?2題)某飛機(jī)如果在1200米的上空測(cè)得地面控制點(diǎn)的俯角為30°,那么此時(shí)飛機(jī)離控制點(diǎn)之間的距離是______米．【難度】★【答案】2400．【解析】．【總結(jié)】本題考察俯角的意義,學(xué)生應(yīng)畫(huà)圖來(lái)解題．ABC(2014學(xué)年·松江區(qū)二模·第17題)如圖,當(dāng)小明沿坡度的坡面由A到B行走了100米,那么小明行走的水平距離AC=ABC【難度】★【答案】．【解析】∵,．【總結(jié)】本題考察坡度的意義及在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用．(2015學(xué)年·浦東新區(qū)二模·第19題)計(jì)算：．【難度】★★【答案】．【解析】原式=．【總結(jié)】本題主要考查實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算,注意熟練運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算法則．(2015學(xué)年·閘北區(qū)二?！さ?9題)計(jì)算：．【難度】★★【答案】2+．【解析】原式===2+．【總結(jié)】本題主要考查實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算,注意熟練運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算法則．ABDC(2015學(xué)年·奉賢區(qū)二模·第17題)如圖,在中,,AD是BC邊上的中線,如果AD=BC,那么的值是______．ABDC【難度】★★【答案】．【解析】設(shè),根據(jù)勾股定理,得：,根據(jù)余切的意義,得：．【總結(jié)】本題考察勾股定理及銳角三角比的意義．(2015學(xué)年·長(zhǎng)寧區(qū)、金山區(qū)二?！さ?2題)如圖,在中,,斜邊AB的垂直平分線分別和AB、BC交于點(diǎn)E和點(diǎn)D,已知BD：CD=． (1)求的度數(shù); (2)利用已知條件和第(1)小題的結(jié)論求的值．(結(jié)果保留根號(hào))ABCDABCDE【答案】(1)30°;(2)．【解析】(1)聯(lián)結(jié)AD,即可知AD=BD,;(2),．,,．ABCDNMH(2015學(xué)年·楊浦區(qū)二?！さ?1題)已知在中,,,點(diǎn)M、N分別是邊AC、AB的中點(diǎn),點(diǎn)DABCDNMH (1)求證：; (2)求的余切值．【難度】★★【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)．【解析】(1)證明：在;在,;(2),．,,．設(shè),,,．【總結(jié)】本題考查斜邊上的中線等于斜邊的一半,通過(guò)作垂線將有關(guān)角度放到直角三角形中去．ABCDE(2015學(xué)年·奉賢區(qū)二?！さ?1題)已知：如圖,在中,,AB=4,AD是的角平分線,過(guò)點(diǎn)D作DEAD,垂足為點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,且．ABCDE (1)求線段BD的長(zhǎng); (2)求的正切值．【難度】★★【答案】(1)2;(2)2．【解析】(1),．又,∽,,．,,;(2),又,,∽,,．【總結(jié)】本題考察相似的判定以及銳角三角比的意義．(2014學(xué)年·楊浦區(qū)二?！さ?1題)如圖,在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀察站,A在B的正東方向,A與B相距2千米．有一艘小船在點(diǎn)P處,從A測(cè)得小船在北偏西60°的方向,從B測(cè)得小船在北偏東45°的方向． (1)求點(diǎn)P到海岸線l的距離; (2)小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)C處,此時(shí),從B點(diǎn)測(cè)得小船在北偏西15°的方向．求點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離．FDAFDABCP北l【難度】★★【答案】(1)km;(2)km．【解析】(1)過(guò)點(diǎn)P作,在,．在,．,,;(2),根據(jù)題意得,,,,,,,即．【總結(jié)】本題考察方向角的意義以及一些特殊角的銳角三角比的值的綜合運(yùn)用．

課后作業(yè)課后作業(yè)(2015學(xué)年·奉賢區(qū)二?！さ?4題)小明在高為18米的樓上看到停在地面上的一輛汽車的俯角為60°,那么這輛汽車到樓底的距離是______米．【難度】★【答案】．【解析】．【總結(jié)】本題考察俯角的意義,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)畫(huà)圖來(lái)解題．(2014學(xué)年·奉賢區(qū)二模·第16題)小明乘滑草車沿坡比為1：2.4的斜坡下滑130米,則他下降的高度為_(kāi)_____米．【難度】★【答案】50．【解析】,根據(jù)勾股定理,得斜邊為：．【總結(jié)】本題考察了坡比的意義及在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用．(2015學(xué)年·楊浦區(qū)二?！さ?4題)某大型超市有斜坡式的自動(dòng)扶梯,人站在自動(dòng)扶梯上,沿著斜坡向上方向前進(jìn)13米時(shí),在鉛垂方向上升了5米,如果自動(dòng)扶梯所在的斜坡的坡度,那么m=______．【難度】★【答案】．【解析】設(shè)自動(dòng)扶梯上前進(jìn)13米,在鉛垂方向上升5米,此時(shí)水平距離為x米,,,．【總結(jié)】本題考察坡度的意義及在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用．(2015學(xué)年·長(zhǎng)寧區(qū)、金山區(qū)二?！さ?9題)計(jì)算：．【難度】★★【答案】．【解析】原式=．【總結(jié)】本題主要考查實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算,注意熟練運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算法則．(2015學(xué)年·楊浦區(qū)二?！さ?9題) 計(jì)算：．【難度】★★【答案】．【解析】原式．【總結(jié)】本題主要考查實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算,注意熟練運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算法則．EACBDH(2015學(xué)年·靜安區(qū)二模·第21題)已知：如圖,在梯形ABCDEACBDHCAAB,,BC=5,AD=2．求：(1)AC的長(zhǎng);(2)