2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測評卷-第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用A卷含解析

PAGEPAGE28第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用A卷基礎(chǔ)過關(guān)必刷卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍（）A． B．C． D．2．已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（）A． B．C． D．3．若，則（）A．B．C．D．4．若，可以作為一個三角形的三條邊長，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．定義在上的奇函數(shù)的圖象連綿不斷，其導(dǎo)函數(shù)為，對隨意正實數(shù)恒有，若，則不等式的解集是（）A． B．C． D．7．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題：①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②若，則；③函數(shù)在上有3個極值點；④若，則．其中正確命題的序號是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④8．如圖，函數(shù)的圖象由一條射線和拋物線的一部分構(gòu)成，的零點為，若不等式對恒成立，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．的最小正周期為C．的值域為D．在上單調(diào)遞減10．英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代平法，做法如下：如圖，設(shè)r是的根，選取作為r的初始近似值，過點作曲線的切線，則l與x軸的交點的橫坐標(biāo)，稱是r的一次近似值；過點作曲線的切線，則該切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為x2，稱x2是r的二次近似值；重復(fù)以上過程，得r的近似值序列，其中，稱是r的n+1次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若運用該方法求方程的近似解，則（）A．若取初始近似值為1，則該方程的二次近似值為B．若取初始近似值為2，則該方程的二次近似值為C．D．11．法國數(shù)學(xué)家柯西(A.Cauchy，探討了函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并證明白在處的各階導(dǎo)數(shù)均為對于函數(shù)，有如下推斷，其中正確的有（）A．是偶函數(shù)B．在是上單調(diào)遞減C．D．若恒成立，則的最小值為112．如圖所示，外層是類似于“甜筒冰淇淋”的圖形，上部分是體積為的半球，下面大圓剛好與高度為的圓錐的底面圓重合，在該封閉的幾何體內(nèi)倒放一個小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，則該小圓錐體積可以為（）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知a，b為正實數(shù)，若直線與曲線相切，則的取值范圍是______．14．已知函數(shù)，，若函數(shù)與的圖象上至少存在一對關(guān)于x軸對稱的點，則實數(shù)m的取值范圍是________．15．若對隨意的，且，，則的最小值是_____.16．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)覺：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)，則_____.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若恒成立，證明：；18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，恒有，求實數(shù)a的最小值.19．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）20．已知函數(shù).（1）若，求曲線單調(diào)遞增區(qū)間及在點處的切線方程；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；（3）若有兩個極值點，，且.記，求的取值范圍，使得.21．已知函數(shù)，且曲線在點處的切線與直線平行．（1）求實數(shù)k的值并推斷的單調(diào)性；（2）記，若，且當(dāng)時，不等式恒成立，求的最大值．22．已知．（1）當(dāng)時求的極值點個數(shù)；（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍；（3）求證：，其中一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，，當(dāng)時，，，原函數(shù)單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)時，，此時，，所以，當(dāng)時，，此時，，所以，所以當(dāng)時，，又因為是奇函數(shù)，當(dāng)時，，求，分兩種狀況求解，當(dāng)時，，只需，解得，當(dāng)時，，只需，解得所以的范圍是故選：A2．已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴易知是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故解除B和D，由，解除C，所以A正確.故選：A.3．若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】所以是R的偶函數(shù)，．，又又當(dāng)，所以在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴，故選：C．4．若，可以作為一個三角形的三條邊長，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，，，由“穩(wěn)定函數(shù)”定義可知：，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.5．已知函數(shù)，且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，，所以是奇函數(shù)，，令，則，令，則，當(dāng)時，，所以是增函數(shù)，，即，所以當(dāng)時是增函數(shù)，，所以，在上是增函數(shù)，因為是奇函數(shù)所以在上是增函數(shù)，由，得，所以，解得.故選：B.6．定義在上的奇函數(shù)的圖象連綿不斷，其導(dǎo)函數(shù)為，對隨意正實數(shù)恒有，若，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，有，所以為奇函數(shù)，且對于正實數(shù)，有，即，所以，所以在是增函數(shù)，又因為為奇函數(shù)，所以為上的增函數(shù)，由得，所以，即，解得或，故選：D.7．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題：①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②若，則；③函數(shù)在上有3個極值點；④若，則．其中正確命題的序號是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【答案】B【解析】①中，看圖知，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，故函數(shù)在區(qū)間上先增再減，①錯誤；②中，看圖知，在區(qū)間上，是下凸的，隨意連接兩點，中點為，線段肯定在圖象上方，故中點也在圖象上方，即，故②正確；③中，看圖知，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，所以有一個極大值點和一個微小值點，故③錯誤；④中，看圖知，在區(qū)間上，，且遞減，故單調(diào)遞增，故，故，即④正確.綜上，正確命題的序號是②④.故選：B.8．如圖，函數(shù)的圖象由一條射線和拋物線的一部分構(gòu)成，的零點為，若不等式對恒成立，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，，圖象過點和，即，解得：，，即，當(dāng)時，設(shè)拋物線，代入點得，，即，所以，的圖象是由向左平移個單位長度得到，因為，對恒成立，所以的圖象恒在的上方，當(dāng)兩圖象如圖所示，相切時，拋物線，，與直線相切，即，解得：，，切點代入得，得，所以，解得：或.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．的最小正周期為C．的值域為D．在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】對于A選項，當(dāng)為正奇數(shù)時，，當(dāng)為正偶數(shù)時，.綜上所述，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，A對；對于B選項，因為，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，但最小正周期不是，B錯；對于D選項，，則，當(dāng)時，，因為且，則，故，此時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，D對；對于C選項，由于函數(shù)為周期函數(shù)，且是函數(shù)的一個周期，只需求出函數(shù)在上的值域，即為函數(shù)在上的值域，當(dāng)時，，因為且，則，故，此時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，又因為，則，因此，函數(shù)的值域為，C對.故選：ACD.10．英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代平法，做法如下：如圖，設(shè)r是的根，選取作為r的初始近似值，過點作曲線的切線，則l與x軸的交點的橫坐標(biāo)，稱是r的一次近似值；過點作曲線的切線，則該切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為x2，稱x2是r的二次近似值；重復(fù)以上過程，得r的近似值序列，其中，稱是r的n+1次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若運用該方法求方程的近似解，則（）A．若取初始近似值為1，則該方程的二次近似值為B．若取初始近似值為2，則該方程的二次近似值為C．D．【答案】ABC【解析】令，則，當(dāng)，，，故A正確；當(dāng)，，，故B正確；因為；；；，∴，故C正確，D錯誤.故選：ABC11．法國數(shù)學(xué)家柯西(A.Cauchy，探討了函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并證明白在處的各階導(dǎo)數(shù)均為對于函數(shù)，有如下推斷，其中正確的有（）A．是偶函數(shù)B．在是上單調(diào)遞減C．D．若恒成立，則的最小值為1【答案】ABD【解析】對于A，函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，由，故是偶函數(shù)，A正確；對于B，當(dāng)時，，由，所以在是上單調(diào)遞減，B正確；對于C，由于，在是上單調(diào)遞減，所以，C錯；對于D，因為，所以，故又因為恒成立，所以，則，故D正確．故選：ABD12．如圖所示，外層是類似于“甜筒冰淇淋”的圖形，上部分是體積為的半球，下面大圓剛好與高度為的圓錐的底面圓重合，在該封閉的幾何體內(nèi)倒放一個小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，則該小圓錐體積可以為（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】解：令上部分的半球半徑為，可得，解得，設(shè)小圓錐的底面半徑為，小圓錐底面中心到球心距離為，可知，，和可構(gòu)成直角三角形，即，小圓錐體積．令，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，最大，，即，即ABC三個選項都滿意題意．故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知a，b為正實數(shù)，若直線與曲線相切，則的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)切點為，因為，，所以切線斜率，即，代入可得，所以，解得，所以，等號不成立，所以，故答案為：14．已知函數(shù)，，若函數(shù)與的圖象上至少存在一對關(guān)于x軸對稱的點，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】【解析】函數(shù)與的圖象上至少存在一對關(guān)于x軸對稱的點，等價于在上有零點，令則，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，則，又，，，因，又，則，所以①②解得．故答案為:15．若對隨意的，且，，則的最小值是_____.【答案】【解析】由，得：，令，則在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，，的最小值為.故答案為：.16．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)覺：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)，則_____.【答案】2024【解析】因為，所以，，令，得，又，所以的對稱中心是，所以，所以，，，故答案為：2024四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若恒成立，證明：；【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見解析（2）證明見解析【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類探討確定的正負(fù)得單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）求得，由，得出，求出，引入新函數(shù)，求得最大值即可．（1）的定義域為，且當(dāng)時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）故要使恒成立，只需即可；由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，，所以，，令，由得，由得．所以在上遞減，在上遞增所以，所以．18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，恒有，求實數(shù)a的最小值.【答案】（1）增區(qū)間：，，減區(qū)間：（2）【解析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，求解不等式和可得；（2）易得不符合題意，當(dāng)，令，探討的狀況即可求出.（1）當(dāng)時，，，令或，，的增區(qū)間：，，減區(qū)間：；（2）①當(dāng)時：，時：單調(diào)遞減，不符合題意.②當(dāng)時：令，若，則，令或，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，只需，綜上，a的最小值為.19．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，點斜式寫出切線方程即可；（2）函數(shù)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)恒成馬上可，求導(dǎo)數(shù)對a分類探討，解析成立的條件即可.（1）當(dāng)時，故在處的切線方程為：，即.（2）函數(shù)單調(diào)遞增,則恒成立，其中，構(gòu)造函數(shù)，即需恒成立，而若取則此時，故此時不行能恒成立；若，此時恒成立；若，則當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故的最小值在處取到，即.而明顯當(dāng)時，此時當(dāng)時，此時，故此時綜上所述，20．已知函數(shù).（1）若，求曲線單調(diào)遞增區(qū)間及在點處的切線方程；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；（3）若有兩個極值點，，且.記，求的取值范圍，使得.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為?；.（2）（3）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，和切線方程；（2）利用分別參數(shù)法轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出a的范圍；（3）先由.消元后得到，利用，利用導(dǎo)數(shù)求出，而，即可求出a的范圍.（1）當(dāng)時，定義域為，所