人教版中學七年級數(shù)學下冊期末解答題考試題(含答案)

人教版中學七年級數(shù)學下冊期末解答題考試題（含答案）

一、解答題

1.觀察下圖，每個小正方形的邊長均為1,

（1）圖中陰影部分的面積是多少？邊長是多少？

（2）估計邊長的值在哪兩個整數(shù)之間.

2.如圖，用兩個邊長為15夜的小正方形拼成一個大的正方形，

（1）求大正方形的邊長？

（2）若沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為

4：3,且面積為720cm2?

3.工人師傅準備從一塊面積為25平方分米的正方形工料上裁剪出一塊18平方分米的長方

形的工件.

（1）求正方形工料的邊長；

（2）若要求裁下來的長方形的長寬的比為3:2,問這塊正方形工料是否合格？（參考數(shù)

據(jù)：正=1.414,6=1.732,石=2.236）

4.小麗想用一塊面積為36cm2的正方形紙片，如圖所示，沿著邊的方向裁出一塊面積為

20cm2的長方形紙片，使它的長是寬的2倍.她不知能否裁得出來，正在發(fā)愁.小明見了

說："別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片."你同意小明的說法嗎？

你認為小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎?為什么？

5.有一塊正方形鋼板，面積為16平方米.

（1）求正方形鋼板的邊長.

（2）李師傅準備用它裁剪出一塊面積為12平方米的長方形工件，且要求長寬之比為

3:2,問李師傅能辦到嗎？若能，求出長方形的長和寬；若不能，請說明理由.（參考數(shù)

據(jù)：6“1.414,6=1.732）.

二、解答題

6.已知，AE//BD,ZA=ZD.

(1)如圖1,求證：AB//CD；

（2）如圖2,作NS4E的平分線交CD于點尸，點G為A3上一點，連接FG,若NC/G的

平分線交線段AG于點連接AC,若44CE=/S4C+/8GM,過點"作“ML切交

FG的延長線于點用，且3/E-5NAF”=18°,求/￡4歹+/GM"的度數(shù).

明理由）.

（2）如圖②中，AB//CD,又能得出什么結論？請直接寫出結論

（3）如圖③，已知AB〃CD,則N1+N2+...+Nn-l+Nc的度數(shù)為.

8.如圖1,點A在直線MN上，點B在直線S7上，點C在MN,ST之間，且滿足

ZMAC+ZACB+ZSBC=360°.

（1）證明：MN//ST；

（2）如圖2,若NACB=60。，ADHCB,點E在線段8c上，連接AE,且

NDAE=2NCBT,試判斷/C4E與NOW的數(shù)量關系，并說明理由；

1QQO

（3）如圖3,若N4C8=a（"為大于等于2的整數(shù)），點E在線段8c上，連接AE,

n

若NMAE=nZCBT,則ZCAE:NCAN=.

圖1圖2圖3

9.已知A皮/CD,定點E,F分別在直線AB,8上，在平行線A8,8之間有一動點

P.

EBEB

CFD

備用圖1

圖1

[EB

EB

CFD

CFD

備用圖3

備用圖2

(1)如圖1所示時，試問NAEP,NEPF,NPFC滿足怎樣的數(shù)量關系?并說明理由.

(2)除了(1)的結論外，試問加P,AEPF,ZPFC還可能滿足怎樣的數(shù)量關系?請畫

圖并證明

(3)當NEP/滿足0°<NEPF<180°,且QE,。尸分別平分NPEB和NPFO,

①若NEPF=60°,貝ljNEQF=。.

②猜想NE/小"與NEQ尸的數(shù)量關系.(直接寫出結論)

10.汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查

看河水及兩岸河堤的情況.如圖1，燈A射出的光束自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，

燈3射出的光束自BP順時針旋轉至B。便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A射出

的光束轉動的速度是。°/秒，燈B射出的光束轉動的速度是〃/秒，且。、匕滿足

Ia-3b|+(a+6-4)2=0.假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即PQ〃MN,且

NBAN=45°.

(2)如圖2,兩燈同時轉動，在燈A射出的光束到達AN之前，若兩燈射出的光束交于點

C,過C作CDLAC交PQ于點。，若NBCD=20。,求㈤C的度數(shù)；

(3)若燈B射線先轉動30秒，燈A射出的光束才開始轉動，在燈8射出的光束到達BQ

之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

三、解答題

11.已知AM〃CN,點8為平面內一點，ABLBC于8.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點B在兩條平行線外，則4與NC之間的數(shù)量關系為；

(2)點B在兩條平行線之間，過點B作AM于點。.

①如圖2,說明NAB￡>=NC成立的理由：

②如圖3,平分/D3C交DW于點平分交QM于點E.若

ZFCB+NNCF=180°,NBFC=3/DBE,求ZEBC的度數(shù).

12.己知直角ABC的邊與直線。分別相交于。、G兩點，與直線b分別交于E,F

點，且ZAC8=90°.

(1)將直角..ABC如圖1位置擺放，如果440G=56。，貝ljNCEF=；

(2)將直角“A8C如圖2位置擺放，N為4c上一點，ZNEF+NCEF=180。,請寫出

NNEF與NAOG之間的等量關系，并說明理由；

(3)將直角,ABC如圖3位置擺放，若NGOC=135。，延長AC交直線b于點Q,點P是射

線G尸上一動點，探究NPOQ，NOPQ與/PQF的數(shù)量關系，請直接寫出結論.

13.為更好地理清平行線相關角的關系，小明爸爸為他準備了四根細直木條A3、BC、

(1)如圖2,小明將折線調節(jié)成ZB=5()。，ZC=85°,ZD=35°,判斷AB是否平行于

ED,并說明理由；

(2)如圖3,若NC=N￡)=35。，調整線段45、3c使得45〃C￡)求出此時D8的度數(shù),

要求畫出圖形，并寫出計算過程.

(3)若NC=85。，NO=35。，ABUDE,請直接寫出此時DB的度數(shù).

14.如圖1所示：點E為BC上一點，ZZl=ZD,ABWCD

(1)直接寫出NACB與NBED的數(shù)量關系；

(2)如圖2,ABWCD,BG平分NABE,8G的反向延長線與NEDF的平分線交于“點，若

ZDEB比NGHD大60。，求NDEB的度數(shù)；

(3)保持(2)中所求的N?！?的度數(shù)不變，如圖3,BM平分NEBK,ON平分NCDE,作

BPWDN,則NP8M的度數(shù)是否改變？若不發(fā)生變化，請求它的度數(shù)，若發(fā)生改變，請說明

理由.(本題中的角均為大于0°且小于180。的角).

15.已知：直線《II4,A為直線人上的一個定點，過點A的直線交6于點氏點C在線段

BA的延長線上.D,E為直線上的兩個動點，點。在點E的左側，連接AD,AE,滿足

4AED=ZDAE.點M在4上，且在點8的左側.

(1)如圖1,若N8A￡>=25。，NAEO=50。，直接寫出NA8M的度數(shù):

(2)射線AF為N6。的角平分線.

①如圖2,當點D在點B右側時，用等式表示NEAF與NABD之間的數(shù)量關系，并證明；

②當點D與點8不重合，且NABM+NEAF=150。時，直接寫出NEAF的度數(shù)」

圖1圖2

四、解答題

16.在AA8c中，射線AG平分NBAC交BC于點G,點。在BC邊上運動(不與點G重

合)，過點。作DEIIAC交A8于點E.

E

Z4

圖1r\備用圖

（1）如圖1,點D在線段CG上運動時，DF平分NEDB

①若NBAC=100。，ZC=30°,則NAFD=;若NB=40。，則NAFD=；

②試探究NAFD與NB之間的數(shù)量關系？請說明理由；

（2）點D在線段BG上運動時，ZBDE的角平分線所在直線與射線AG交于點F試探究

NAFD與NB之間的數(shù)量關系，并說明理由

17.在一ABC中，射線AG平分NBAC交8c于點G,點。在8c邊上運動（不與點G重

合），過點。作OE//AC交AB于點E.

（1）如圖1,點。在線段CG上運動時，DF平分NEDB.

①若NBAC=100",ZC=30",則ZA/?=；若N8=40°,則ZAfD=；

②試探究NAED與￡>8之間的數(shù)量關系？請說明理由；

（2）點O在線段3G上運動時，N8DE的角平分線所在直線與射線AG交于點F.試探究

NAFD與DB之間的數(shù)量關系，并說明理由.

18.RtAABC中，NC=90。，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點.令

ZPDA=Z1,ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且Na=50。，則Nl+N2=。；

（2）若點P在邊AB上運動，如圖（2）所示，則Na、Nl、N2之間的關系為：；

（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則Na、Z1>N2之間有何關系？

猜想并說明理由.

圖3圖4

(4)若點P運動到△ABC形外，如圖(4)所示，則Na、N1、N2之間的關系為：.

19.閱讀下列材料并解答問題：在一個三角形中，如果一個內角的度數(shù)是另一個內角度數(shù)

的3倍，那么這樣的三角形我們稱為"夢想三角形"例如：一個三角形三個內角的度數(shù)分別

是120。，40。，20。，這個三角形就是一個“夢想三角形J反之，若一個三角形是“夢想三角

形"，那么這個三角形的三個內角中一定有一個內角的度數(shù)是另一個內角度數(shù)的3倍.

(1)如果一個"夢想三角形”有一個角為108。，那么這個"夢想三角形"的最小內角的度數(shù)為

(2)如圖1,已知N/WON=60。，在射線OM上取一點4,過點A作交。N于點

B,以A為端點作射線AD,交線段OB于點C(點C不與。、B重合)，若NACB=80。.判

定AAOB、△AOC是否是“夢想三角形"，為什么？

(3)如圖2,點。在AABC的邊上，連接DC,作NADC的平分線交AC于點E,在。C上

取一點F,使得NEFC+N8DC=180。，ZDEF=NB.若△BC。是“夢想三角形”，求NB的度

圖1圖2

20.如圖，已知直線allb,NABC=100。，BD平分NABC交直線a于點D,線段EF在線段

AB的左側，線段EF沿射線AD的方向平移，在平移的過程中BD所在的直線與EF所在的

直線交于點P.問N1的度數(shù)與NEPB的度數(shù)又怎樣的關系？

(特殊化)

(1)當N1=40。，交點P在直線a、直線b之間，求NEPB的度數(shù);

D

a

（一般化）

（3）當Nl=n。，求NEPB的度數(shù)（直接用含n的代數(shù)式表示）.

【參考答案】

一、解答題

1.（1）圖中陰影部分的面積17,邊長是；（2）邊長的值在4與5之間

【分析】

（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來大正方形的面積減去周圍四個直角三角形

的面積，由正方形的面積等于邊長乘以邊長，可

解析：（1）圖中陰影部分的面積17,邊長是舊；（2）邊長的值在4與5之間

【分析】

（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來大正方形的面積減去周圍四個直角三角形

的面積，由正方形的面積等于邊長乘以邊長，可以得到陰影正方形的邊長；

（2）根據(jù)而<炳<后，可以估算出邊長的值在哪兩個整數(shù)之間.

【詳解】

1'4

（1）由圖可知，圖中陰影正方形的面積是：5x5二’4=17

則陰影正方形的邊長為：717

答：圖中陰影部分的面積17,邊長是如

（2）1/716<717<725

所以4cJ萬V5

邊長的值在4與5之間；

【點睛】

本題主要考查了無理數(shù)的估算及算術平方根的定義，解題主要利用了勾股定理和正方形的

面積求解，有一定的綜合性，解題關健是無理數(shù)的估算.

2.（1）30；（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的面積，即可求出邊長；

（2）先求出長方形的邊長，再判斷即可.

【詳解】

解：（1）??,大正方形的面積是：

大正

解析：（1）30：（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的面積，即可求出邊長；

（2）先求出長方形的邊長，再判斷即可.

【詳解】

解：（1）?.?大正方形的面積是：2x（15&y

???大正方形的邊長是：,2x（15@2=4900=30；

（2）設長方形紙片的長為4xcm,寬為3xcm,

則4x?3x=720,

解得：x=>/60，

4x=,4x4x60=7960>30,

所以沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，不能使剪出的長方形紙片的長寬之比為4：

3,且面積為720cm2.

故答案為（1）30；（2）不能.

【點睛】

本題考查算術平方根，解題的關鍵是能根據(jù)題意列出算式.

3.（1）正方形工料的邊長是5分米；

（2）這塊正方形工料不合格，理由見解析.

【詳解】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的面積公式求出的值即可；

（2）設長方形的長寬分別為3x分米、2x分米，得出方程3

解析：（1）正方形工料的邊長是5分米；

（2）這塊正方形工料不合格，理由見解析.

【詳解】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的面積公式求出后的值即可；

（2）設長方形的長寬分別為3x分米、2x分米，得出方程3x?2x=18,求出x=6,再求出

長方形的長和寬和5比較即可得出答案.

試題解析：（1）???正方形的面積是25平方分米，

???正方形工料的邊長是5分米；

（2）設長方形的長寬分別為3x分米、2x分米，

則3x?2x=18,

x2=3,

xi=V3，X2=-6（舍去），

3x=36>5,2x=2百<5,

即這塊正方形工料不合格.

4.不同意，理由見解析

【分析】

先求得正方形的邊長，然后設設長方形寬為，長為，然后依據(jù)矩形的面積為20

列方程求得的值，從而得到矩形的邊長，從而可作出判斷.

【詳解】

解：不同意，

因為正方形的面積為，

解析：不同意，理由見解析

【分析】

先求得正方形的邊長，然后設設長方形寬為x,長為2x,然后依據(jù)矩形的面積為20列方

程求得x的值，從而得到矩形的邊長，從而可作出判斷.

【詳解】

解：不同意，

因為正方形的面積為36cm"故邊長為6cm

設長方形寬為x,則長為2x

長方形面積=x-2x=2x2=20

x2=10,

解得x=&6（負值舍去）

長為2>/10cm>6cm

即長方形的長大于正方形的邊長，

所以不能裁出符合要求的長方形紙片

【點睛】

本題主要考查的是算術平方根的性質，熟練掌握算術平方根的性質是解題的關鍵.

5.（1）4米（2）見解析

【分析】

（1）根據(jù)正方形邊長與面積間的關系求解即可；

（2）設長方形的長寬分別為米、米，由其面積可得x值，比較長方形的長和寬

與正方形邊長的大小可得結論.

【詳解】

解

解析：（1）4米（2）見解析

【分析】

（1）根據(jù)正方形邊長與面積間的關系求解即可；

（2）設長方形的長寬分別為3x米、2x米，由其面積可得x值，比較長方形的長和寬與正

方形邊長的大小可得結論.

【詳解】

解：（1）正方形的面積是16平方米，

???正方形鋼板的邊長是=4米；

（2）設長方形的長寬分別為3x米、2x米，

則3x?2x=12,

x2=2.

X=\[l,

3x=3>/2>4>2x=2V2<4>

，長方形長是36米，而正方形的邊長為4米，所以李師傅不能辦到.

【點睛】

本題考查了算術平方根的實際應用，靈活的利用算術平方根表示正方形和長方形的邊長是

解題的關鍵.

二、解答題

6.（1）見解析；（2）

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即

可得證；

（2）過點E作，延長DC至Q,過點M作，根據(jù)平行線的性質及等量代換可得

出，再根據(jù)平角的

解析：（1）見解析；（2）72°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質得出4+4=180。，再根據(jù)等量代換可得N3+ND=180。，最后根

據(jù)平行線的判定即可得證；

（2）過點E作E尸〃C￡）,延長DC至Q,過點M作MN//AB,根據(jù)平行線的性質及等量

代換可得出4ECQ=2BGM=NDFG,再根據(jù)平角的含義得出NECF=NCFG,然后根據(jù)

平行線的性質及角平分線的定義可推出NBHF=NCFH,ZCFA=ZFAB；設

匕FAB=a,ZCFH=。,根據(jù)角的和差可得出=,結合已知條件

3ZA￡C-5ZAF”=180?？汕蟮肗AfH=18。，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質，即可

得出答案.

【詳解】

（1）證明：AE//BD

.?.NA+NB=180°

ZA=ZD

.?.ZB+Z￡>=180°

ABIICD,

（2）過點E作EP//C。，延長。C至Q,過點M作MN//AB

ABI/CD

ZQCA=ZCABfNBGM=ZDFG,/CFH=/BHF,ZCFA=FAG

ZACE=/BAC+NBGM

ZECQ+ZQCA=ZBAC+NBGM

ZECQ=NBGM=ZDFG

,ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

NECF=/CFG

AB//CD

:.AB//EP

NPEA=NEAB,APEC=Z-ECF

ZAEC=ZPEC-ZPEA

.?.ZAEC=ZECF-ZEAB

ZECF=ZAEC+ZEAB

AF平分ABAE

NEAF=/FAB=-ZEAB

2

FH平分/CFG

??.ZCFH=ZHFG=-々CFG

2

QCD//AB

NBHF=/CFH,ZCFA=/FAB

設ZFAB=a/CFH=0

ZAFH=ZCFH-ZCFA=ZCFH-ZFAB

:.乙AFH=0—a,4BHF=4CFH=(3

ZECF+2ZAFH=ZAEC+ZEAB+2ZAFH=ZAEC+2J3

NECF+2ZAFH=ZE+2NBHF

:.ZAEC=2ZAFH

3ZA￡C—5ZAfH=180°

.-.ZA/7/=18°

FHLHM

:"FHM=90°

NGHM=毀。_0

NCFM+ZMM尸=180°

ZHMB=2HMN=90°-0

Z.EAF=ZFAB

ZEAF=4CFA=NCFH-ZAFH=/7-18°

ZEAF+NGMH=#-18。+90。-4=72。

:.ZEAF+ZGMH=12°.

【點睛】

本題考查了平行線的判定及性質，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質和判定進行

推理是解此題的關鍵.

7.（1）AB//CD,證明見解析；（2）

ZEl+ZE2+...ZEn=ZB+ZFl+ZF2+...ZFn-l+ZD；（3）（n-l）*180°

【分析】

（1）過點E作EF//AB,利用平行線的性質則可得出

解析：（1）AB//CD,證明見解析；（2）NEi+NE2+...NE〃=NB+ZFi+ZF2+...ZFn-i+ZD；

（3）（n-l）?180°

【分析】

（1）過點E作EF〃人8,利用平行線的性質則可得出NB=NBEF,再由已知及平行線的判定

即可得出AB〃CD；

（2）如圖，過點E作E/W〃A8,過點F作FN〃AB,過點G作GH//AB,根據(jù)探究（1）的

證明過程及方法，可推出NE+NG=N8+NF+ND,則可由此得出規(guī)律，并得出

NEi+N&+...NE”=NB+NFi+NF2+...NF〃-i+ND；

（3）如圖，過點M作EF〃人B,過點N作GH//A8,則可由平行線的性質得出

Z1+Z2+ZMNG=180°x2,依此即可得出此題結論.

【詳解】

解：（1）過點E作EF〃AB,

ZB=ZBEF.

■：ZBEF+NFED=NBED,

ZB+ZFED=4BED.

ZB+ZD=ZE(已知)，

/.ZFED=2D.

.?.CD〃EF(內錯角相等，兩直線平行).

/.AB//CD.

(2)過點￡作EM〃八B,過點、F作FN//AB,過點G作GH〃八B,

,/ABHCD,

：.ABHEMUFNHGHHCD,

：.ZB=ZBEM,ZMEF=tEFN,ZNFG=4FGH,ZHGD=AD,

???ZBEFMFGD=NBEM+NMEF+NFGH+NHGD=Z8+NEFN+NNFG+ND=ZB+ZEFG+ZD,

即NE+NG=ZB+ZF+ND.

由此可得：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等，

ZEi+NE2+...ZEn=Z8+NFi+ZF2+...ZFn-i+ZD.

故答案為：ZEi+Z&+.../En=NB+NFi+NF2+...ZFn-i+ZD.

(3)如圖，過點M作EFIIAB,過點N作GH//4B,

ZAPM+APME=180°,

,:EFIIAB,GHI/AB,

：.EFHGH,

ZEMN+NM/VG=180°,

/.Z1+Z2+ZM/VG=180°x2,

依次類推：Z1+Z2+...+Zn-l+Zn=（n-l）＞180°.

故答案為：

【點睛】

本題考查了平行線的性質與判定，屬于基礎題，關鍵是過E點作AB（或CD）的平行線,

把復雜的圖形化歸為基本圖形.

8.（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1

【分析】

（1）連接AB,根據(jù)已知證明NMAB+NSBA=180°,即可得證；

(2)作CFIIST,設NCBT=a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根據(jù)

解析：(1)見解析；(2)見解析；(3)n-1

【分析】

(1)連接A8,根據(jù)已知證明N/VM8+NS8A=180。，即可得證；

(2)作CFIIST,設NCBT=a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根據(jù)ADIIBC,得到

ZDAC=120°,求出NCAE即可得到結論；

(3)作CFIIS7,設NCBT=6,得到ZCB7=NBCF=6,分別表示出NCAN和NCAE,即可得到

比值.

【詳解】

解：(1)如圖，連接A3,

ZMAC+ZACB+ZSBC=360°,

ZACB+ZABC+ABAC=180°,

.1ZM4B+Z58A=180°,

MN//ST

(2)^CAE=2ZCAN,

理由：作6//門，則MN//CF//S7,如圖,

設NCBT=a,則NZME=2a.

ZBCF=^CBT=a,NOW=ZACF=60°-a,

AD//BC,ZDAC=1800-ZACB=120°,

ZC4E=120°-NDAE=120°-2a=2(60°-a)=2NCAN.

即NC4￡=2NGW.

(3)作CF〃與T,則MN〃C/〃ST,如圖，設NCBT=/3,則NM4￡=〃Q.

M乂N

\F-->C

E

BT

.CF//ST,

/CBT=/BCF=0,

”AZ180。A180?！?

ZACF=/CAN=--------p=------------—,

nn

1QAO〃_1

ZCAE=180°-ZMAE-ZCAN=180°-n/7----+0=——(180°-??/?),

nn

n—11

ZCAE:ZCAN=——：一=〃-l,

nn

故答案為〃-1.

【點睛】

本題主要考查平行線的性質和判定，解題關鍵是角度的靈活轉換，構建數(shù)量關系式.

9.(1)ZAEP+ZPFC=ZEPF；(2)ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；(3)①150°

或30；②NEPF+2ZEQF=360°或NEPF=2ZEQF

【分析】

(1)由于點是平行線，之間

解析：(1)ZAEP+ZPFC=ZEPF；(2)ZAEP+ZEPF+APfC=360°；⑶①150°或30；

②NEPF+2NEQF=360°或NEPF=2ZEQF

【分析】

(1)由于點尸是平行線A3,CQ之間有一動點，因此需要對點尸的位置進行分類討論：

如圖1,當尸點在EF的左側時，ZAEP,NEPF,/PFC滿足數(shù)量關系為：

ZEPF=ZAEP+ZPFC；

(2)當P點在￡尸的右側時，ZAEP,aEPF,/PFC滿足數(shù)量關系為：

ZAEP+ZEPF+NPFC=360°；

(3)①若當尸點在EF的左側時，NEQF=ZBEQ+NQFD=150°；當尸點在所的右側時，

可求得NBEQ+ZQFD=30°；

②結合①可得NEPF=180O-2/BEQ+18(r-2N?RQ=360O-2(NBEQ+NPFD),由

ZEQF=ZBEQ+ZDFQ,得出NEPF+2NEQF=360。；可得EPF=4EP+"FD,由

ZBEQ+Z.DFQ=NEQF,得出NEPF=2NEQF.

【詳解】

解：(1)如圖1,過點尸作PG/MB,

PG//AB,

:.ZEPG=ZAEP,

AB//CD,

PGIICD,

:.ZFPG=4PFC,

ZAEP+ZPFC=/EPF；

(2)如圖2,當P點在族的右側時，ZAEP,/EPF,NPFC滿足數(shù)量關系為:

ZAEP+ZEPF+/PFC=360°；

圖2

過點P作PG//45,

PG//AB,

ZEPG+ZAEP=180°,

AB//CD,

:.PGI/CD,

ZFPG+ZPFC=18(Tf

/.ZAEP+ZEPF+APFC=360°；

(3)①如圖3,若當P點在E尸的左側時,

圖3

ZEPF=60°,

.?.ZP￡B+ZP/D=360o-60°=300o,

EQ,A2分另I」平分NPEB和NPED,

Z.BEQ=1/PEB,ZQFD=gZPFD,

/.EQF=Z.BEQ+ZQFD=-(/PEB+ZPFD)=^x300°=150°；

如圖4,當尸點在族的右側時，

ZEPF=60°,

:.NPEB+ZPFD=60。，

ZBEQ+NQFD=；(NPEB+NPFD)=-x600=30°；

故答案為：150?；?0；

②由①可知：NEQF=NBEQ+NQFD=g(NPEB+NPFD)=g(360。一NEPF),

NEPF+2NEQF=360°；

ZEQF=ZBEQ+AQFD=g(NPEB+NPFD)=；ZEPF,

:.NEPF=2NEQF.

綜合以上可得NEPF與NEQF的數(shù)量關系為：NEPF+2NEQF=360°或NEPF=2NEQF.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質，平行公理和及推論等知識點，作輔助線后能求出各個角的

度數(shù)，是解此題的關鍵.

10.(1),；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子即可；

(2)根據(jù)，用含t的式子表示出，根據(jù)(2)中給出的條件得出方程式，求出

t的值，進而求出的度數(shù)；

(3)根據(jù)燈B的

解析：(1)a=3,b=l；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子M-3耳+(。+人一4『=0即可；

(2)根據(jù)PQ〃MN,用含t的式子表示出4C4,根據(jù)(2)中給出的條件得出方程式

ABCD=90°-ABCA=90°-[180°-(2r)°]=(2f)°-90°=20°,求出t的值，進而求出NBAC

的度數(shù)；

(3)根據(jù)燈B的要求，t<150,在這個時間段內A可以轉3次，分情況討論.

【詳解】

解：(1).|。一36|+(〃+人一4)2=0.

又■」a-36|W0,(a+i>-4)2>0.

.'.67—3jZ?—15

(2)設A燈轉動時間為f秒，

如圖，作CE//PQ,而PQ//MN,

PQ//CE//MN,

ZACE=/CAN=180°-3產，NBCE=ZCBD=t°,

NBCA=ZCBD+ZCAN=?°+180°-(3f)°=180°-(2z)°,

ZAC￡)=90。，

NBCD=90°-ZBCA=90°-[l80°-(2r)°]=(2f)°-90°=20°,

:.t=55

ZCUV=180°-(3r)°,

ZBAC=450-[180°-(3/)°]=(3r)°-135°=165°-135°=30°

(3)設A燈轉動r秒，兩燈的光束互相平行.

依題意得0<f<150

①當0<f<60時，

兩河岸平行，所以N2=Z3=（3t）。

兩光線平行，所以N2=Nl=30+f°

所以，Z1=Z3

即：3f=30+r,

解得f=15；

②當60vf<120時，

兩光束平行，所以N2=N3=（30+f）。

兩河岸平行，所以/1+/2=180。

4=3180°

所以，3/-180+30+?=180,

解得1=82.5；

③當120</<150時，圖大概如①所示

3f-360=1+30,

解得f=195>150（不合題意）

綜上所述，當t=15秒或82.5秒時，兩燈的光束互相平行.

【點睛】

這道題考察的是平行線的性質和一元一次方程的應用.根據(jù)平行線的性質找到對應角列出

方程是解題的關鍵.

三、解答題

11.（1）ZA+ZC=90°；（2）①見解析；（2）105°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質以及直角三角形的性質進行證明即可；

（2）①過點B作BGIIDM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點B作

BGII

解析：（1）NA+NC=90。；（2）①見解析；②105。

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質以及直角三角形的性質進行證明即可；

（2）①過點B作BGIIDM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點B作8GliDM,

根據(jù)角平分線的定義，得出NABF=NGBF,再設NDBE=a,ZABF=6,根據(jù)

NCBF+NBFC+NBCF=180°,可得2a+6+3/3a+6=180°,根據(jù)八8_L8C,可得6+6+2a=90°,最

o

后解方程組即可得到NABE=15°f進而得出NEBC=NABE+NABC=15+90°=105°.

【詳解】

解：（1）如圖1,與BC的交點記作點O,

,/AMWC/V,

ZC=Z408,

AB.LBC,

/.ZA+N408=90°,

/.Z4+Z090°；

BDLAM,

DB±BGf

Z08G=90°,

「?ZA80+N48G=90°,

,/AB±BC,

ZC8G+N4BG=90°,

/.ZABD=Z.CBG,

---AMWCN,BGWDM,

BGHCN,

「?ZC=ZCBG,

ZABD=NC；

②如圖3,過點8作BGIIDM,

,：BF平分NDBC,BE平分NABD,

???ZDBFSCBF,ZDBE=AABE,

由(2)知NABD=NCBG,

ZABF"GBF,

設ND8E=a,ZABF=6f

則NABE=a,ZABD=2a=Z.CBG,

ZGBF=NAFB=6,

Z8FC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6f

'：ZAFC+AA/CF=180°,ZFCB+ZA/CF=180°,

ZFCB=ZAFC=3a+69

△8CF中，由NCBF+NBFC+NBCF=180°W：

2a+6+3a+3a+6=180°,

,/AB±BC,

：.6+6+2a=90°,

a=15°,

ZABE=15°f

...ZEBC=/ABE+Z.^BC=15°+90°=105°.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質的運用，解決問題的關鍵是作平行線構造內錯角，運用等角

的余角(補角)相等進行推導.余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相

關聯(lián).解題時注意方程思想的運用.

12.(1)146°；(2)ZAOG+ZNEF=90°；(3)見解析

【分析】

（1）作CP//a,則CP〃a〃b,根據(jù)平行線的性質求解.

（2）作CP//a,由平行線的性質及等量代換得NAOG+NN

解析：（1）146°；（2）NAOG+NNEF=90°；（3）見解析

【分析】

（1）作CP〃a,則CP〃a〃b,根據(jù)平行線的性質求解.

（2）作CP//a,由平行線的性質及等量代換得NAOG+NNEF=NACP+NPCB=90".

（3）分類討論點P在線段GF上或線段GF延長線上兩種情況，過點P作a,b的平行線求

解.

【詳解】

解：（1）如圖，作CP〃a,

a//b,CP//a,

CPIlailb,

：.ZAOG=NACP=56°,ZSCP+ZCEF=180°,

ZBCP=180°-NCEF,

ZACP+N8cp=90°,

ZAOG+180°-NCEF=90°,

：.ZCEF=180--90°+Z406=146°.

(2)Z40G+ZNEF=90°.理由如下：

如圖，作CP〃a,則CP〃a//b,

ZAOG=NACP,ZBCP+ZCEF=180°,

???ZNEF+4CEF=180",

ZBCP=ZNEF,

■：ZACP+NBCP=90°,

：.ZAOG+NNEF=90°.

(3)如圖，當點P在GF上時，作PN〃a,連接PQ,OP,則PN//a〃b,

ZGOP=NOPN,ZPQF=NNPQ,

：.ZOPQ=NOPA/+ZNPQ=NGOP+ZPQF,

■■■ZGOC=NGOP+ZPOQ=135°,

ZGOP=1350-ZPOQ,

：.ZOPQ=1350-ZPOQ+ZPQF.

如圖，當點P在GF延長線上時，作P/V〃a,連接PQ,OP刪PN〃a〃b,

：.ZGOP=NOPN,ZPQF=NNPQ,

■：ZOPW=ZOPQ+ZQPN,

：.ZGOP=NOPQ+ZPQF,

1350-ZPOQ=NOPQ+ZPQF.

【點睛】

本題考查平行線的性質的應用，解題關鍵是熟練掌握平行線的性質，通過添加輔助線及分

類討論的方法求解.

13.（1）平行，理由見解析；（2）35?；?45。，畫圖、過程見解析；（3）50°

或130?；?0。或120°

【分析】

（1）過點C作CFIIAB,根據(jù)NB=50。，ZC=85°,ZD=35°,即可得C

解析：（1）平行，理由見解析；（2）35?；?45。，畫圖、過程見解析；（3）50。或130?；?/p>

60°或120°

【分析】

（1）過點C作CFIIAB,根據(jù)N8=50°,ZC=85°,N。=35°,即可得CFHED,進而可以判斷

AB平行于ED；

（2）根據(jù)題意作ABUCD,即可N8=NC=35。；

（3）分別畫圖，根據(jù)平行線的性質計算出NB的度數(shù).

【詳解】

解：（1）AB平行于ED,理由如下：

如圖2,過點C作CFIIAB,

ZBCF=N8=50°,

???Z88=85°,

/.ZFCD=85°-50o=35°,

???ZD=35°,

ZFCD=ZD,

/.CFIIED,

???CFIIAB,

（2）如圖，即為所求作的圖形.

圖3

,/ABWCD,

/.ZABC=^C=35°,

??.N8的度數(shù)為：35°；

??,ABIICD,

ZABC+Z.C=180°,

的度數(shù)為：145°；

???N8的度數(shù)為:35?；?45。；

(3)如圖2,過點C作CFIMB,

圖2

,/4811DE,

：.CFWDE,

ZFCD=Z0=35°,

,/ZBCD=85°,

??.ZBCF=85°-35°=50°,

ZB=ZBCF=50°.

答：NB的度數(shù)為50。.

如圖5,過C作CFII48,則ABIICFIICD,

ZFCD=Z0=35°,

,/ZBCD=85°,

ZBCF=85o-35°=50°,

?「4BIICF,

ZB+NBCF=180°,

/.Z8=130°；

如圖6,/ZC=85°,ZD=35°,

C

圖6

ZCFD=180o-85o-35o=60°,

,/4811DE,

：.ZB=ZCFD=60°,

如圖7,同理得：Z8=35°+85°=120°,

c

綜上所述，N8的度數(shù)為50?；?30?；?0。或120。.

【點睛】

本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是區(qū)分平行線的判定與性質，并熟練運

用.

14.(1)；(2)；(3)不發(fā)生變化，理由見解析

【分析】

⑴如圖1,延長DE交AB于點F,根據(jù)平行線的性質推出；

(2)如圖2,過點E作ESIIAB,過點H作HTIIAB,根據(jù)ABIICD,ABIIE

解析：⑴NACB+NB￡D=180。；⑵100。；⑶不發(fā)生變化，理由見解析

【分析】

⑴如圖1,延長DE交AB于點F,根據(jù)平行線的性質推出NAC3+N5EZ)=180。；

⑵如圖2,過點E作ESIIAB,過點“作HTIIAB,根據(jù)A8IICD,A8IIES推出

ABED=ZABE+ZCDE,再根據(jù)A8II7H,ABIICD推出NG/7D=N7WD-N7W3,最后根

據(jù)ABED比ZBHD大60°得出Z5E。的度數(shù)；

(3)如圖3,過點E作EQIIDN,根據(jù)=得出6-a的度數(shù)，根據(jù)條件

再逐步求出NPBM的度數(shù).

【詳解】

⑴如答圖1所示，延長DE交A8于點F.

ABWCD,所以”=NEF3,

又因為NA=N￡>,所以NA=NEEB,所以ACIIDF,所以NAC3=NCED.

因為2CED+NBED=180°,所以ZACB+ZBED=180°.

(2)如答圖2所示，過點E作ESHAB,過點“作HTIIAB.

設ZABG=NEBG=a,2FDH=4EDH=。,

因為ABIICD,4811ES,所以ZABE=N8ES,ZSED=NCED,

所以NBED=ABES+NSED=ZABE+ZCDE=勿+180。-2￡,

因為ABIITH,ABWCD,所以ZABG=NTHB,NFDH=NDHT,所以

ZGHD=ZTHD-Z.THB=p-a,

因為N3ED比大60。，所以加+180。一2月一(￡-a)=60。，所以￡-a=40。，所以

ZBHD=40°,所以N3E￡>=100°

(3)不發(fā)生變化

如答圖3所示，過點E作EQIIDN.

設NCDN=/EDN=a,NEBM=NKBM=0,

由(2)易知NOEB=NCDE+ZA5E,所以21+180。-2￡=100。，所以/-a=40。，

所以NDEB=NCDE+ZEDN+180°-(ZEBM+NPBM)=a+180。一尸一NPBM,

所以NPBM=80°-(/?-?)=40°.

【點睛】

本題考查了平行線的性質，求角的度數(shù)，正確作出相關的輔助線，根據(jù)條件逐步求出角度

的度數(shù)是解題的關鍵.

15.(1)；(2)①，見解析；②或

【分析】

(1)由平行線的性質可得到：，，再利用角的等量代換換算即可；

(2)①設，，利用角平分線的定義和角的等量代換表示出對比即可；②分類

討論點在的左右兩側的情況，

解析：(1)125°；(2)@ZABD^2ZEAF,見解析；②30°或110。

【分析】

(1)由平行線的性質可得到：ZDEA=ZEAN,NMBA=/BAN,再利用角的等量代換

換算即可；

(2)①設NE4F=a,ZAED=NDAE=0,利用角平分線的定義和角的等量代換表示出

乙針。對比即可；②分類討論點。在8的左右兩側的情況，運用角的等量代換換算即可.

【詳解】

解：(1)設在上有一點/V在點4的右側，如圖所示:

/.ZDEA=ZEAN,ZMBA=ZBAN

??.ZAED=ZDAE=ZEAN=50°

??.ZBAN=ZBAD+ZDAE+ZEAN=25°+50°+50°=125°

NB4M=125。

(2)(1)ZABD=2ZEAF.

證明：設NE4F=a,ZAED=ZDAE=J3.

.ZFAD=ZEAF-i-ZDAE=a+/3.

-A/為/CAD的角平分線，

.ZCAD=2ZFAD=2a+2/3.

???4EAN=AAED=B.

??./CAN=/CAD-/DAE-/EAN=2a+2/3-0-0=2a.

ZABD=ZCAN=2a=2ZEAF.

②當點。在點B右側時，如圖：

??.ZABM+2ZE4F=180°

???ZABM+ZEAF=15Q0

/.ZE4F=180°-150o=30°

當點D在點B左側，E在B右側時，如圖:

A廠為NCAD的角平分線

ZDAF=-ZCAD

2

1.,A/2

NAED=NNAE,NCAN=NABE

■：NDAE=NAED=NNAE

：.NDAE=g(NDAE+NNAE)=；NDAN

ZEAF=ZDAF+ZDAE=-(ZCAD+ZDAN)=-(3600-ZCAN)

22

=180°--ZABE

2

???ZABE+ZABM=\80°

：.ZEAF=180°--(l80°-ZABM)=90°+-ZABM

22

又ZEAF+ZABM=]50°

ZEAF=90°+.1x(150°-NEAF)=165°-1ZEAF

ZEAF=H0°

當點。和廠在點8左側時，設在4上有一點G在點8的右側如圖：

此時仍有ND4E=，ND4N,ZDAF=-ZCAD

2