本文主要討論的是奇完全數(shù)的存在性問題

1/1本文主要討論的是奇完全數(shù)的存在性問題目錄英文摘要１中文摘要２梅森數(shù)的性質(zhì)３引理１．１３引理１．２３引理１．３４引理１．４５完全數(shù)與Ｅｕｌｅｒ定理５定理２．１５奇完全數(shù)不是完全數(shù)的命題５命題３．１６命題３．２７命題３．３８推論３．４８命題３．５９命題３．６９命題３．７１０奇完全數(shù)的兩個充分必要條件１０定理４．１１０定理４．２１２參考文獻(xiàn)１３1AbstractInthispaper.Wemainlydiscusstheexistenceoftheoddperfectnumbers.Asamatteroffact,Itisaverydifficultproblemtofindanoddperfectnumber.Itisaninternationalpuzzle.Nevertheless,Wefind5criterionsofanoddperfectnumberbeingnotaanperfectnumber.Meanwhilewealsofind2necessaryandsufficientconditionsoftheoddperfectnumbers.Atthesametime,WecitedtheconclusionsaboutthecorrespondencebetweentheoddperfectnumberandtheMersennesprime,andwealsoprovetheEulerTheoremofperfectnumberinourcontext.Keywords:perfectnumberMensennesprimeoddperfectnumberNumbertheory2摘要本文主要討論的是奇完全數(shù)的存在性問題，但是直截回答奇完全數(shù)存在與否是非常困難的，它是一個世界性的難題。

所以我們研究了一個奇數(shù)不是完全數(shù)的條件，找到了5個這樣的否定性條件。

同時還給出了奇完全數(shù)的兩個充分必要條件。

另一方面我們還得出偶完全數(shù)與梅森素數(shù)一一對應(yīng)的結(jié)論，對完全數(shù)的產(chǎn)生做了簡要的說明，再證明了偶完全數(shù)的Euler定理。

關(guān)鍵詞：

完全數(shù)、梅森素數(shù)、互素3關(guān)于奇完全數(shù)的存在性問題1、問題的由來在數(shù)論的發(fā)展史上充滿了著名猜想和未解難題。

我們將先介紹前人的一些成果，特別是和梅森（MersenneMarin15881648）素數(shù)密切相關(guān)的偶完全數(shù)的相關(guān)問題。

梅森，法國數(shù)學(xué)家，自然哲學(xué)家，宗教家。

他在1644年提出了梅森素數(shù)，梅森素數(shù)的提出是探索表素數(shù)公式的開始，在數(shù)論史上具有開拓性的意義。

定義形如12nnM(n1)的數(shù)叫梅森數(shù)，其中是素數(shù)的叫做梅森素數(shù)。

例如31222M71233M151244M311255M梅森提出的問題具有啟發(fā)性，但他當(dāng)時的判斷有誤，他說，對P=2,3,5,7,13,17,31,67,127,257,pM是素數(shù)。

而P257的其他素數(shù)對應(yīng)的pM都是合數(shù)。

他是如何得到這一結(jié)論的呢？無人知曉。

到了1947年有了臺式計算機(jī)后，人們才能檢查他的結(jié)論。

發(fā)現(xiàn)他犯了5個錯誤。

67M和257M不是素數(shù)，而61M，89M，107M是素數(shù)。

1867年以來，人們已經(jīng)知道67M是合數(shù)，但對它的因子一無所知。

1903年10月在美國數(shù)學(xué)會舉行的一次會上，數(shù)學(xué)家科爾（FredrickNelsonCole）提交一篇論文《大數(shù)的因子分解》。

輪到科爾報告時，他走到黑板前，一言未發(fā)便作起了2的方冪的演算，直到2的67次冪，從所的結(jié)果減去1。

然后默默無言地在黑板的空白處寫下兩個數(shù)相乘：

19370771761838257287兩個結(jié)果完全一樣。

之后，他只字未吐又回到座位上，會場上爆發(fā)了熱烈的掌聲。

梅森數(shù)的性質(zhì)：

引理1.1如果n1，且1an是素數(shù)，那么a=2且n是素數(shù)。

證：

(1)先證a必須是2，因為1a，如果a=1，01an顯然不是素數(shù)，有因為aanna1)(1(1+an2)1a，如果a2,則1an有真因子(a-1)1，也就是說a只能等于2。

也就是說1an必須是梅森數(shù)。

4(2)下證n必須為素數(shù)。

反證法，如果n是合數(shù)：

n=km1kn，則必有12121nk，于是1212nk，從而12n不是素數(shù)。

所以，要12n是素數(shù)，必須n是素數(shù)，也就是說12n是素數(shù)它一定是梅森素數(shù)。

證畢注意，n是素數(shù)只是12n是素數(shù)的必要條件，這個條件并不充分。

例如，1123M2347M83167M131263M179359M等等。

那么到底有多少梅森素數(shù)呢？到今天為止，我們只知道34個梅森素數(shù)。

它們是pM，其中p=2,3,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,442396899941,11213,19937,21701,23209,44497,86243,110503，132049,216091,756839,858433，1257787從第13個開始，即從521M開始，都是在1952年以后，借助電子計算機(jī)而陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的。

目前所知道的最大素數(shù)，就是梅森素數(shù)1257787M，它一共有378632位。

這是1996年5月美國威斯康星州克雷研究所發(fā)現(xiàn)的。

梅森素數(shù)是否有無窮個，到現(xiàn)在都還沒有解決。

在給出完全數(shù)的定義之前我們先來熟悉幾個引理：

引理1.2p是一個素數(shù)，L是一個自然數(shù)，則：

11)(1pppll證：

lp的所有正因子為1，p,ppl,2則111)(12pppppplll證畢引理1.3如果smsm2m1pppn21ip其中是互不相同的素數(shù)，im是自然數(shù)。

si2,1則111111)(121211121smsmmppppppns證：

因為)1()1)(1(2s2222121121smssmmppppppppp的展開式中各項包含了n的所有因子，且各因子只出現(xiàn)一次，也就是說：

)1()1)(1()(2s2222121121smssmmpppppppppn5有：

111111)(121211121smsmmppppppns證畢。

引理1.4m,n為自然數(shù)，且(m,n)=1,則：

)()()(nmmn證：

設(shè)sspppm2121ip是互不相同的素數(shù)，1isi2,1rrqqqn2121jq是互不相同的素數(shù)，1jrj2,1又因為（m,n）=1,所以ip，jq是互不相同的素數(shù)。

由引理2得，)()(11111111)()(11111111111111nmqqqqppppqqppmnrrssrsrsrs證畢。

完全數(shù)的概念來自與畢達(dá)哥拉斯，以下我們就給出完全數(shù)的定義：

定義一個數(shù)n稱為完全數(shù)，如果它的全部因子之和等于2n，我們用)(n表示n的全部因子的和，如果)(n=2n，稱n為完全數(shù)。

例如626321)6(所以6是完全數(shù)28228147421)28(所以28也是完全數(shù)82158421)8(所以8不是完全數(shù)定理2.1關(guān)于偶完全數(shù)的Euler定理的證明:如果pM是素數(shù)，那么2是一個偶完全數(shù)，并且除這些以外，再也沒有其他的偶完全數(shù)。

1pM（pM+1）=)12(21pppM是梅森素數(shù)（*）證：

證明分兩步：

（1）（*）是完全數(shù)；（2）任意一個偶完全數(shù)都具有（*）的形式。

（1）因為pM是素數(shù)，所以)12(21pp的所有正因子為1，2，p22212p，)12(22211ppp所以)12(2)221)(12(221))12(2(111ppppppp)12(22)12(211pppp所以)12(21pp是偶完全數(shù)。

6（2）如果n是偶完全數(shù)，則bnm12(b為奇數(shù)，m1)由于n是偶完全數(shù)所以，我們根據(jù)就有)(n=2n，于是，有：

)()12()()2()2()(11bbbnmmm有，122m)(2)(12mmmbbbb由于12,12mm有，cbm2)(cbm)12()1(c下證c=1,反證法，假設(shè)c1，由cbm)12(知b有因子1，c,b,12m所以)(2)1(2)12(1)(bccbcbmmm矛盾因此c=1有12mb)12(2mmn又因為mb2)(，知12m必為素數(shù)，否則若uvbm)12(，1ub知mmvub2121)(，矛盾。

所以n是一個偶完全數(shù)必有（*）的形式。

證畢。

本定理說明n是一個偶完全數(shù)的充分必要條件是n=)12(21pp,其中12p是梅森素數(shù)。

即偶完全數(shù)與梅森素數(shù)是一一對應(yīng)的。

例如，當(dāng)p=2,3,5,7時,12p的值分別是3，7，31，127，它們都是素數(shù)，所以6)12(2228)12(232496)12(254以及8128)12(276都是偶完全數(shù)。

本定理同時說明，是否有無窮多個偶完全數(shù)的問題等價與是否有無窮多個梅森素數(shù)的問題。

由于目前只知道34個梅森素數(shù)，所以就只知道34個偶完全數(shù)，其中最大的是)12(212577871257786。

是否存在奇完全數(shù)呢？這個問題至今還沒有解決。

以下給出5個判斷奇數(shù)不是完全數(shù)的命題：

命題3.1如果n是一個奇素數(shù)的方冪，則n不是完全數(shù)。

證：

mpn其中p是奇素數(shù)，m是自然數(shù)pnpm1)()(+111pppmmppmmppppnn)2111(11)21(2)(（1）7又因為p2,所以0)1(21112111211ppp，因此n不是一個奇素數(shù)。

證畢。

本例也可以用別的方法證明，比如數(shù)學(xué)歸納法，在此就不一一寫出。

命題3.2如果nmqpn,其中p,q為互不相同的奇素數(shù),m,n是自然數(shù),則不是奇完全數(shù)。

證：

反證法，假設(shè)n是完全數(shù)，有nn2)(，)1)(1()()(22nmnmqqqpppqpn2n=nmqp2由nn2)(有)1)(1()()(22nmnmqqqpppqpn=nmqp2有；jinjminmnmqpqpqqpp0011)1)(1(2（1）又因為01ipi收斂，且01ipi=1111ppp，所以miip011pp(2)同理01jjq收斂，01jjq=1111qqq，也有njjq011qq(3)考察函數(shù)1)(xxxf，因為導(dǎo)函數(shù)2’)1(1)(xxf，當(dāng)x1有0)(‘xf，所以函數(shù))(xf是單減的,且p,q是互不相同的素數(shù),有：

imip01njjq01(1pp)(1qq)28154523155133也就是說（1）2即22矛盾。

所以假設(shè)錯誤，命題正確，即n不是奇完全數(shù)。

證畢。

接下來讓我們來看一個例題。

例1如果p,q是素數(shù)，且p2,qp當(dāng)111211rrppq時，則rqp是完全數(shù)。

證：

由引理3，11)1()1)(1()(1ppqppqqprrr8又因為111211rrppq有；1)1(r21122111qrrrpppppq于是，有：

1(rrqpppq211)1即rrqpqp2)(所以rqp是一個完全數(shù)。

證畢。

由本例，是否有人會問，要是p,q是奇素數(shù)且滿足條件111211rrppq，則，不就找到一個奇完全數(shù)了嗎，事實上像這樣的奇完全數(shù)是不存在的，因為由判別條件（2）知不存在形如nmqpn的奇完全數(shù)，當(dāng)然就不會有形如rqp的奇完全數(shù)了。

其實111211rrppq只有唯一的一個解，即2,3rqp。

即（p=3,q=2,r=1）命題3.3如果sspppn2121，其中ip是互不相同的奇素數(shù)，i全是偶數(shù)或者至少有兩個以上奇數(shù)，si2,1，則。

n不是奇完全數(shù)證：

（1）先證，i全是偶數(shù)的情形。

反證法，假設(shè)n是奇完全數(shù)，則nn2)()1()1)(1()(212211sssppppppn因為ip是互不相同的奇素數(shù)，則)(n的每一個因子都是奇數(shù)，所以)(n是奇數(shù)。

而2n是偶數(shù)，由nn2)(知奇數(shù)=偶數(shù)，矛盾。

（3）下證，i至少有兩個以上奇數(shù)的情形。

也用反證法，假設(shè)n是奇完全數(shù)，則nn2)(，不妨設(shè)21,是奇數(shù)，則)(n有兩個因子是偶數(shù)，有2)(n是偶數(shù)，而22n=sspppn2121是奇數(shù)，由nn2)(知2)(n=n，偶數(shù)=奇數(shù)，矛盾。

所以，假設(shè)錯誤，原命題正確。

證畢。

推論3.4一個平方數(shù)一定不是完全數(shù)。

9證：

（1）如果這個數(shù)n是偶數(shù)。

2hn如果n是完全數(shù)，則就存在形如2h的偶完全數(shù)，與只存在形如)12(21pp的偶完全數(shù)矛盾。

因為我們可以斷言)12(21pp一定不是一個平方數(shù)，接下就讓我們來證)12(21pp不是平方數(shù)，假設(shè))12(21pp是一個平方數(shù)，不妨設(shè)：

21)12(2xpp，有xxpppp2121212122，所以，我們、知：

12p是有理數(shù)，但是多項式)12()(2pxxf是不可約的，（由愛森斯坦判別法容易判斷。

知方程0)12(2px無有理數(shù)解，所以與12p是有理數(shù)，矛盾。

因此)12(21pp不是平方數(shù)。

于是偶平方數(shù)不是完全數(shù)。

（2）如果這個數(shù)n是奇數(shù)。

N1,因為n=1顯然不是完全數(shù)。

2hn，有算術(shù)基本定理有rwrw2w1ppph21ip是互不相同的奇素數(shù)，1iw，ri2,1則rwrwwpppn2222121由判別條件（3）知，n不是奇完全數(shù)。

證畢命題3.5如果hmhmmkqqqpn222211421，iqp,是互不相同的奇素數(shù)，1,imk，ki2,1則n一定不是奇完全數(shù)。

證：

反證法，假設(shè)n是奇完全數(shù)，則nn2)(由)1()1)(1()(2k211141kmkmkqqqqppnkmkmkqqpn22114122因為)1)(1(1)1(1)1)(1(111222414kkkkkkkppppppppppp因為p是奇數(shù)，所以1,12kkpp是偶數(shù)，于是2)(n是偶數(shù)，nn22是奇數(shù)，而nn2)(矛盾。

所以原命題成立。

證畢命題3.6如果smsmkqqpn221121，iqp,是互不相同的奇素數(shù)，1,imk，s2，si,2,1，p是4k+3形的素數(shù)，則n一定不是奇完全數(shù)。

證：

反證法，假設(shè)n是完全數(shù)，則nn2)()1()1)(1()(2s211121smsmkqqqqppn10smsmkqqpn221121221)1)(1(111212pppppppkkkk（i）如果k是奇數(shù)，則tkpppp2111是整數(shù)，1kp是4的倍數(shù)。

)(n是4的倍數(shù)。

（ii）如果k是偶數(shù)，則12111rkpppp是偶數(shù)，1kp也是偶數(shù)。

)(n是4的倍數(shù)。

n22)(n是偶數(shù)，n2是奇數(shù)，而nn2)(矛盾。

所以原命題成立。

證畢命題3.7如果n是奇完全數(shù)，則只可能是smsmlqqpn221141，iqp,是互不相同的奇素數(shù)，1,imk，s2，si,2,1，p是4k+1形的素數(shù)。

證明可以由以上五個判別條件聯(lián)合得出，略。

注：

我們對奇完全數(shù)存在性的研究到此為止。

事實上，我們雖然不能直截回答奇完全數(shù)存在與否；但是、通過我們的研究，縮小了奇完全數(shù)可能存在的區(qū)域。

利用我們的結(jié)果，可以給后面研究的人一點啟發(fā)，以及少走一些不必要的彎路。

命題3.7的意思是，要存在奇完全數(shù)，只能是像命題3.7所說的形式。

只要能證明像命題3.7的奇完全數(shù)不存在，我們就可以斷言奇完全數(shù)不存在。

以下介紹有關(guān)專家由計算機(jī)得出的結(jié)論，如果一個奇數(shù)n是完全數(shù)，則該數(shù)必須滿足以下三個條件：

(1)30010n。

（2）n至少有八個因子。

(3)n必有一個大于100110的素因子。

最后給出判斷奇完全數(shù)的兩個充分必要條件：

定理４．１smsmmqqpqn2222121是奇完全數(shù)的充分必要條件是02)2)1()221()(1(2s212s21m1211ssmmmsmqqqqqqqp即1102)2111)(1(2si02i022i01222111ssmismimiqqqp其中iqp,是互不相同的奇素數(shù)si2,1。

證：

（１）必要性，如果ｎ是奇完全數(shù)，則有nn2)(由于smsmmqqpqn2222121，)1()1)(1()(2s2111smsmqqqqpn由nn2)(得；)1()1)(1()(2s2111smsmqqqqpn＝smsmqpq22112有sssmsmmsmmsmqqpqqpnqqpn221221221111)1()1(2)1()(（１）))(1()1()(2s212s2111ssmmmmqqpqqpn（２）其中)1()1(2s2111smsmqqqq由（１），（２）有：

ssmsmmsmqqpqqp22122111)1())(1(有2)1()1)(1(1)1)(1(2s212s2111pqqppqqpssmmmm有02)2)(1(2s211smmqqp即02)2)1()221()(1(2s212s21m1211ssmmmsmqqqqqqqp也即02)2111)(1(2si02i022i01222111ssmismimiqqqp必要性證畢。

12（２）充分性：

以上各步均可逆，所以充分性得證。

所以原命題成立，證畢。

注：

其實我們已經(jīng)討論