2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-數(shù)列的遞推關(guān)系與通項(xiàng)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

INCLUDEPICTURE"高分訓(xùn)練.tif"INCLUDEPICTURE"E:\\數(shù)學(xué)課件\\高分訓(xùn)練.tif"INETINCLUDEPICTURE"F:\\陳麗2022年\\2022\\課件\\二輪\\2023版創(chuàng)新設(shè)計(jì)二輪專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材通用版（魯津京……）\\教師word文檔\\板塊二數(shù)列\(zhòng)\高分訓(xùn)練.tif"INET2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-數(shù)列的遞推關(guān)系與通項(xiàng)-專項(xiàng)訓(xùn)練一、基本技能練1.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，其前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋1＝2Sn＋1，則a7＝________.2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.3.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\r(an)，則an＝________.4.數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)，令bn＝log3(an＋1)，則bn＝________.5.在數(shù)列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝eq\f(bn,3bn＋2)，n∈N*，則通項(xiàng)公式bn＝________.6.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋ln3(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝________.7.已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋2an.某同學(xué)已經(jīng)證明了數(shù)列{an＋1－2an}和數(shù)列{an＋1＋an}都是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝________.8.已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋bn＝1，bn＋1＝eq\f(bn,1－aeq\o\al(2,n))，則b2023＝________.9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn－nan＝3n(n∈N*)，且S3＝15，則S10＝________.10.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.11.數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2n＋1，a1＝－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.12.已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋3an－1，則{an}的通項(xiàng)公式為________.二、創(chuàng)新拓展練13.(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2＋3an)(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))為等比數(shù)列B.{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2n＋1－3)C.{an}為遞增數(shù)列D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和Tn＝2n＋2－3n－414.(多選)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則()A.a4＝12 B.an＋1＝an＋n＋1C.a100＝5050 D.2an＋1＝an·an＋215.(多選)已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依次類推，第n項(xiàng)記為an，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則()A.a60＝16 B.S18＝128C.aeq\s\do9(\f(k2＋k,2))＝2k－1 D.Seq\s\do9(\f(k2＋k,2))＝2k－k－116.已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝eq\f(7an－2,an＋4)，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.參考答案與解析一、基本技能練1.答案96解析因?yàn)镾n＋1＝2Sn＋1，所以Sn＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減得an＋1＝2an(n≥2)，又因?yàn)閍1＝2，S2＝a1＋a2＝2a1＋1，得a2＝3，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始成等比數(shù)列，因此其通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,3·2n－2，n≥2，))所以a7＝3×25＝96.2.答案an＝eq\f(2,n（n＋1）)(n∈N*)解析由Sn＝n2an可得，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)2an－1，則an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即(n2－1)an＝(n－1)2an－1，故eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)，所以an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an－2,an－3)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n－1,n＋1)·eq\f(n－2,n)·eq\f(n－3,n－1)·…·eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×1＝eq\f(2,n（n＋1）).當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1滿足an＝eq\f(2,n（n＋1）).故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,n（n＋1）)，n∈N*.3.答案221－n(n∈N*)解析將an＋1＝eq\r(an)兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得log2an＋1＝eq\f(1,2)log2an，∴數(shù)列{log2an}是以1為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，故log2an＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝21－n，即an＝221－n(n∈N*).4.答案n(n∈N*)解析由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝2，知an＋1≠0，所以數(shù)列{an＋1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，因此an＋1＝3·3n－1＝3n，故bn＝log3(an＋1)＝n.5.答案eq\f(1,2n－3)(n∈N*)解析由bn＋1＝eq\f(bn,3bn＋2)，且b1＝－1.易知bn≠0，得eq\f(1,bn＋1)＝eq\f(2,bn)＋3.因此eq\f(1,bn＋1)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)＋3))，eq\f(1,b1)＋3＝2，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)＋3))是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，于是eq\f(1,bn)＋3＝2·2n－1，可得bn＝eq\f(1,2n－3)，n∈N*.6.答案(1＋ln3)·2n－1－ln3(n∈N*)解析由an＝2an－1＋ln3得an＋ln3＝2(an－1＋ln3)，則{an＋ln3}是以1＋ln3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋ln3＝(1＋ln3)·2n－1，因此an＝(1＋ln3)·2n－1－ln3(n∈N*).7.答案eq\f(2n＋1－（－1）n－1,3)(n∈N*)解析因?yàn)閍n＋2＝an＋1＋2an，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a3＝a2＋2a1＝5.令bn＝an＋1－2an，則{bn}為等比數(shù)列.又b1＝a2－2a1＝1，b2＝a3－2a2＝－1，所以等比數(shù)列{bn}的公比q＝eq\f(b2,b1)＝－1，所以bn＝(－1)n－1，即an＋1－2an＝(－1)n－1.①令cn＝an＋1＋an，則{cn}為等比數(shù)列，c1＝a2＋a1＝4，c2＝a3＋a2＝8，所以等比數(shù)列{cn}的公比q1＝eq\f(c2,c1)＝2，所以cn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＋1＋an＝2n＋1.②聯(lián)立①②，解得an＝eq\f(2n＋1－（－1）n－1,3).8.答案eq\f(2023,2024)解析因?yàn)閍n＋bn＝1，bn＋1＝eq\f(bn,1－aeq\o\al(2,n))，所以1－an＋1＝eq\f(1－an,（1－an）（1＋an）)，an＋1＝1－eq\f(1,1＋an)＝eq\f(an,1＋an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為eq\f(1,a1)＝2，所以eq\f(1,an)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以an＝eq\f(1,n＋1)，所以bn＝eq\f(n,n＋1)，所以b2023＝eq\f(2023,2024).9.答案120解析當(dāng)n＝1時(shí)，2S1－a1＝3，解得a1＝3.又2Sn－nan＝3n，①當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1－(n－1)an－1＝3(n－1)，②所以①－②得(n－1)an－1－(n－2)an＝3，③當(dāng)n≥3時(shí)，(n－2)an－2－(n－3)an－1＝3，④所以④－③得(n－1)·an－1－(n－2)an＝(n－2)an－2－(n－3)an－1，可得2an－1＝an＋an－2，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.因?yàn)閍1＝3，S3＝3a1＋3d＝9＋3d＝15，解得d＝2，故S10＝10×3＋eq\f(10×9,2)×2＝120.10.答案an＝2n＋n(n∈N*)解析∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴eq\f(an＋1－（n＋1）,an－n)＝2，∴數(shù)列{an－n}是以a1－1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n(n∈N*).11.答案eq\f(3n＋1,2)－2n＋2＋eq\f(5,2)(n∈N*)解析∵an＋1＝3an＋2n＋1，∴eq\f(an＋1,2n＋1)＝eq\f(3,2)·eq\f(an,2n)＋1∴eq\f(an＋1,2n＋1)＋2＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)＋2))，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)＋2))是以eq\f(a1,2)＋2＝eq\f(3,2)為首項(xiàng)，eq\f(3,2)為公比的等比數(shù)列，∴eq\f(an,2n)＋2＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n)，∴an＝3n－2n＋1，∴Sn＝(31＋32＋…＋3n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝eq\f(3－3n＋1,1－3)－eq\f(4－2n＋2,1－2)＝eq\f(3n＋1,2)－2n＋2＋eq\f(5,2)(n∈N*).12.答案an＝eq\f(3n－（－1）n,4)(n∈N*)解析∵an＋1＝2an＋3an－1，∴an＋1＋an＝3(an＋an－1)，∴{an＋1＋an}是以a2＋a1＝3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＋an＝3×3n－1＝3n.①又an＋1－3an＝－(an－3an－1)，∴{an＋1－3an}是以a2－3a1＝－1為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－3an＝(－1)×(－1)n－1＝(－1)n，②由①－②得4an＝3n－(－1)n，∴an＝eq\f(3n－（－1）n,4)(n∈N*).二、創(chuàng)新拓展練13.答案ABD解析因?yàn)閑q\f(1,an＋1)＝eq\f(2＋3an,an)＝eq\f(2,an)＋3，所以eq\f(1,an＋1)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))，又eq\f(1,a1)＋3＝4≠0，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以eq\f(1,an)＋3＝4×2n－1，則an＝eq\f(1,2n＋1－3)，所以{an}為遞減數(shù)列，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝22＋23＋…＋2n＋1－3n＝eq\f(4（1－2n）,1－2)－3n＝2n＋2－3n－4，故ABD正確.14.答案BC解析由題意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，an＝an－1＋n，故an＝eq\f(n（n＋1）,2)，∴a4＝eq\f(4×（4＋1）,2)＝10，故A錯(cuò)誤；an＋1＝an＋n＋1，故B正確；a100＝eq\f(100×（100＋1）,2)＝5050，故C正確；2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，an·an＋2＝eq\f(n（n＋1）（n＋2）（n＋3）,4)，顯然2an＋1≠an·an＋2，故D錯(cuò)誤.15.答案AC解析由題意可將數(shù)列分組：第一組為20，第二組為20，21，第三組為20，21，22，……，則前k組一共有1＋2＋…＋k＝eq\f(k（1＋k）,2)個(gè)數(shù).第k組第k個(gè)數(shù)為2k－1，故aeq\s\do9(\f(k2＋k,2))＝2k－1，所以C正確.因?yàn)閑q\f(10×（10＋1）,2)＝55，所以a55＝29，又eq\f(11×（11＋1）,2)＝66，則a60為第11組第5個(gè)數(shù)，第11組為20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210，故a60＝24＝16，所以