高中數(shù)學基礎(chǔ)知識

數(shù)學高考基礎(chǔ)知識歸納

一、集合與簡易邏輯：

一、理解集合中的有關(guān)概念

(1)集合中元素的特征：確定性，互異性，無序性。

集合兀素的互異性:如：A={x,孫,lg(xy)},5{0,|x\,y},求A;

(2)集合與元素的關(guān)系用符號巨，上表示。

(3)常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集；正整數(shù)集、；

整數(shù)集;有理數(shù)集、實數(shù)集o

(4)集合的表示法：列舉法，描述法，韋恩圖。

注意：區(qū)分集合中元素的形式:如：A={x|>-=x2+2x+l}；

B={y\y=x2+2x+\]；C={(x,y)|y=x2+2x+1};D={x\x=x2+2x+\\；

2

E={(x,y)|y=x+2X+1,XGZ,yeZ}；

F-{(x,y)|j=x2+2x4-1};G={z\y=x2+2x+1,z=—}

x

(5)空集是指不含任何元素的集合。({0}、。和{處的區(qū)別；0與三者

間的關(guān)系)

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：條件為AcB,在討論的時候不要遺忘了A=0的情況。

如：A={x|a——2x—l=0},如果AnK=。，求a的取值。

二、集合間的關(guān)系及其運算

（1）符號“三”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體兒何中的體現(xiàn)渡

與直線（面）的關(guān)系；

符號“三”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體兒何中的體現(xiàn)」u

與宜線（面）的關(guān)系。

（2）An§={}；AUB={};

:{}

（3）對于任意集合A,8,則：

①AUB—BUA；AAfi_8nA；_AUB；

②AB=A=;AUB=Ao;

CVAUB=U<=>;研口8=0=;

③5。。*=;="附8）;

（4）①若〃為偶數(shù)，則〃=;若〃為奇數(shù)，則

②若〃被3除余0,則〃=;若〃被3除余1,則

n=;若"被3除余2,則〃=；

三、集合中元素的個數(shù)的計算：

（1）若集合A中有〃個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為

，所有真子集的個數(shù)是，所有非空真子集

的個數(shù)是。

(2)AjjB?中元素的個數(shù)的計算公式為：

Card(4U8)=;

(3)韋恩圖的運用：

四、A={x|x滿足條件p},8={x|x滿足條件q},

若;則0是4的充分非必要條件<=>AB;

若;則p是4的必要非充分條件u>AB;

若;則p是q的充要條件Q4B;

若；則P是4的既非充分又非必要條件

o;

五、原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同

的;

注意："若n—>q，則pnq在解題中的運用，…

如："sinawsin/?”是“a豐°”的條件。

六、反證法：當證明“若〃，貝感到困難時，改證它的等價命題“若

F則f”成立，

步驟：1、假設(shè)結(jié)論反面成立；2、從這個假設(shè)出發(fā)，推理論證，

得出矛盾；3、由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論

正確。

矛盾的來源：1、與原命題的條件矛盾；2、導出與假設(shè)相矛盾的命

題；3、導出一個恒假命題。

適用與待證命題的結(jié)論涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、

“唯一”等字眼時。

至多有

正面詞語等于大于小于是都是

一個

否定

至少有一至多有n

正面詞語任意的所有的任意兩個

個個

否定

二、函數(shù)

一、映射與函數(shù)：

（1）映射的概念：（2）一—映射：（3）函數(shù)的概念：

如：若4={1,2,3,4},B^{a,b,c};問：A至U3的映射有個，B

到A的映射有個；A到8的函數(shù)有個，若人={1,2,3},則A至U

8的----映射有個。

函數(shù)y=夕⑴的圖象與直線x=。交點的個數(shù)為個。

二、函數(shù)的三要素：,,o

相同函數(shù)的判斷方法：①;②（兩點必

須同時具備)

(1)函數(shù)解析式的求法：

①定義法(拼湊義②換元法:③待定系數(shù)法:④賦值法:

(2)函數(shù)定義域的求法：

①y=，貝Ll__________________________;②y=W/(x)wN*)

g(x)

則;

@y=[/(-^)]0?貝U；④如：y=log/(x)^(x),

則;

⑤含參問題的定義域要分類討論；

如：已知函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,1],求夕(x)=/(x+a)+/(x-a)的定義

域。

⑥對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時的

定義域要根據(jù)實際意義來確定。如：已知扇形的周長為20,半徑為?

扇形面積為S,則S=/(「)=；定義域為o

(3)函數(shù)值域的求法：

①配方法:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為

型如：/(x)=ax?+bx+c,xe(私〃)的形式；

②逆求法(反求法):通過反解，用y來表示x,再由x的取值范圍，通

過解不等式，得出y的取值范圍；常用來解，型如：y=*,xe(〃?,〃)；

cx+d

④換元法:通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；

⑤三角有界法:轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性

來求值域；

⑥基本不等式法:轉(zhuǎn)化成型如：y=x+^k>0）,利用平均值不等式公

X

式來求值域；

⑦單調(diào)性法:函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合:根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

求下列函數(shù)的值域:=>Q,b>O,a>b,xe[-1,1]）（2種方法）；

a-bx

②——七2,xe（_8,o）（2種方法）；③y=——（-8,0）（2種方

Xx-l

法）；

三、函數(shù)的性質(zhì)：

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

單調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。

判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）

導數(shù)法（適用于多項式函數(shù)）

復合函數(shù)法和圖像法。

應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。

奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，比較f（x）與f（-x）的關(guān)

系。f（X）—f（-X）=0<=>f（x）=f（-X）of（X）為偶函數(shù)；

f(x)+f(-X)=0<=>f(x)=-f(-X)of(x)為奇函數(shù)。

判別方法：定義法，圖像法，復合函數(shù)法

應(yīng)用：把函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化求解。

周期性：定義：若函數(shù)f(X)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),

則T為函數(shù)f(x)的周期。

其他：若函數(shù)f(他對定義域內(nèi)的任意X滿足:f(x+a)=f(X—a),

則2a為函數(shù)f(函的周期.

應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。

四、圖形變換：函數(shù)圖像變換:(重點)要求掌握常見基本函數(shù)的圖像,

掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。

常見圖像變化規(guī)律：(注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量

平移聯(lián)系起來思考)

平移變換y=f(x)-*y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：(i)有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y=f(2x)經(jīng)過

平移得到函數(shù)y=f(2x+4)的圖象。

(ii)會結(jié)合向量的平移，理解按照向量Z(m,n)平移的意義。

對稱變換y=f(X)-y=f(―x),關(guān)于y軸對稱

y=f(x)fy=—f(x),關(guān)于x軸對稱

y=f(x)-y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對

稱

y=f(x)-y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于

y軸對稱。(注意：它是一個偶函數(shù))

伸縮變換：y=f(X)-y=f(ax),

y=f(x)-*y=Af(3x+6)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。

一個重要結(jié)論：若f(a—x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線

x=a對稱；

如：y=的圖象如圖,作出下列函數(shù)圖

象：v［卜f(x)

⑴y=/(r)；⑵y=-/(x)；________-

⑶y=/(|x|)；(4)),=|/(x)|；*

(5)y=f(2x);(6)y=/(x+1)；

(7)y=/(x)+l；(8)y=-/(-x)；

(9)y=f~'(x)0

五、反函數(shù)：

(1)定義：

(2)函數(shù)存在反函數(shù)的條

件:;

(3)互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)

系：;

(4)求反函數(shù)的步驟:①將y=/(x)看成關(guān)于x的方程，解出》=廣心)，

若有兩解，要注意解的選擇；②將互換，得)一廣1(幻；③寫出反函

數(shù)的定義域(即y=/(x)的值域)。

(5)互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)

系：___________________________________

(6)原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性；

(7)原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它

一定不存在反函數(shù)。

如：求下列函數(shù)的反函數(shù)：/(X)=X2-2X+3(X<0);

2,-1

/(x)=log2-^-2(x>0)

七、常用的初等函數(shù)：

(1)一元一次函數(shù)：y=ax+/?(aHO),當a〉0時，是增函數(shù);當a<0時,

是減函數(shù)；

(2)一元二次函數(shù)：

一般式：y=ax~+bx+c(a0);對稱軸方程是;頂點

為;

兩點式：y-a(x-x})(x-x2);對稱軸方程是;與x軸的交點

為;

頂點式：y=a(x-k)2+h；對稱軸方程是;頂點為;

①一元二次函數(shù)的單調(diào)性：

當。＞0時：為增函數(shù)；—為減函數(shù)；當。＜0時：—

為增函數(shù)；為減函數(shù)；

②二次函數(shù)求最值問題:首先要采用配方法，化為y=a(xT)2+//的

形式，

I、若頂點的橫坐標在給定的區(qū)間上，則

”＞0時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端

點處取得；

。＜0時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端

點處取得；

II、若頂點的橫坐標不在給定的區(qū)間上，則

a〉0時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得，最大值在距

離對稱軸較遠的端點處取得；

。＜0時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得，最小值在距

離對稱軸較遠的端點處取得；

有三個類型題型：

⑴頂點固定，區(qū)間也固定。如：y=x2+x+l,xe[-l,l]

(2)頂點含參數(shù)(即頂點變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標

何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。

(3)頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參

數(shù).y=x2+x+l,xe[a,a+l]

③二次方程實數(shù)根的分布問題:設(shè)實系數(shù)一元二次方程

/(》)=。彳2+bx+c=O的兩根為X1,》2；則：

根的情

xx>x2>k<x2<kxx<k<x2

況

等價命在區(qū)間化十°°)上在區(qū)間(-8,%)在區(qū)間化+°°)或

題有兩根上有兩根(-8,k)上有一4艮

充要條

件

注意:若在閉區(qū)間版〃]討論方程/(x)=0有實數(shù)解的情況，可先利用

在開區(qū)間(九〃)上實根分布的情況，得出結(jié)果，在令x=〃和

X=〃2檢查端點的情況。

（3）反比例函數(shù):y--（X0）=>y-a-\—-—

xx-h

(4)指數(shù)函數(shù):y=a'(a>0,aW1)

指數(shù)運算法則：；；o

指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>o,aWl),圖象恒過點(0,1),單調(diào)性與a的

值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>l和0<aG兩種情況進行討論，

要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。

(5)對數(shù)函數(shù):y=log”x(a>0,aH1)

指數(shù)運算法則：;;;

對數(shù)函數(shù)：y=log?x(a>o,aWl)圖象恒過點(1,0),單調(diào)性與a的

值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>l和0〈aG兩種情況進行討論，

要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。

注意：(1)y="與y=log.x的圖象關(guān)系是；

(2)比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)

函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比

較或與0比較。

(3)已知函數(shù)/(x)=log1(》2+H+2)的定義域為R,求上的取值范圍。

2

已知函數(shù)/(x)=log,(x2+kx+2)的值域為R,求k的取值范

2

圍。

六、y=x+&(A>0)的圖象：

x

定義域：;值域：;奇偶性：;

單調(diào)性：是增函數(shù)；是減函數(shù)。

七、補充內(nèi)容：

抽象函數(shù)的性質(zhì)所對應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：

①“再+x2)=f(x{)+f(x2)n正比例函數(shù)/(x)=Ax(AHO)

②/(一+/)=/(再)/(%2)；/(%!-x2)=/(x,)^-/(x2)n;

③/(X1”2)=/a)+/。2)；/(—)=/(^1)-/(^2)=>______；

x2

④/3)+f(x2)=2/(%；無2),/盧丁)n;

三、導數(shù)

1.求導法則：

(c)JO這里c是常數(shù)。即常數(shù)的導數(shù)值為0。

(xy=nx"T特別地：(x)Jl(xpJ(1)/=-x-2(f(x)土g(x))J

X

f(x)±g(x)(k?f(x))=k?f(x)

2.導數(shù)的幾何物理意義：

k=f(xo)表示過曲線y=f(x)上的點P(x(),f(X。))的切線的斜率。

V=s?t)表示即時速度。a=，(t)表示加速度。

3.導數(shù)的應(yīng)用：

①求切線的斜率。

②導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系

(-)/(x)>0與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系。

廣(x)>0能推出/(x)為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)f(x)=能在

(-8,+8)上單調(diào)遞增，但r(x)20,工/(x)>0是/(x)為增函數(shù)的充分不

必要條件。

㈡f\x)。0時，/(x)>0與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系。

若將r(x)=0的根作為分界點，因為規(guī)定r(x)HO,即摳去了分界

點，此時f(x)為增函數(shù)，就一定有了'(x)>0。.,.當/(x)HO時，/'(x)>0是

/(X)為增函數(shù)的充分必要條件。

(三)/(xR0與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系。

/(%)為增函數(shù)，一定可以推出廣(x)>0，但反之不一定，因為<(x)>0,

即為廣(x)>0或/(x)=0。當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0,則/(x)為

常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。.??/'(xRO是"X)為增函數(shù)的必要不充分條

件。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，

我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此

新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，

避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的

討論問題，要謹慎處理。

㈣單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知y=/(x)(1)分析y=/(x)的定義

域；(2)求導數(shù)yf=ff(x)(3)解不等式八x)>0,解集在定義域內(nèi)的

部分為增區(qū)間(4)解不等式/(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)

間。

我們在應(yīng)用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時一定要搞清以下三個關(guān)系，才能

準確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前

提條件都是函數(shù)y=/(%)在某個區(qū)間內(nèi)可導。

③求極值、求最值。

注意：極值#最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值為極大值和

f(a)、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a)、f(b)中最小的

一個。

f(x0)=0不能得到當x=x0時,函數(shù)有極值。

但是，當x=x0時，函數(shù)有極值nf(x())=0

判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明。

4.導數(shù)的常規(guī)問題：

(1)刻畫函數(shù)(比初等方法精確細微)；

(2)同兒何中切線聯(lián)系(導數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線)；

(3)應(yīng)用問題(初等方法往往技巧性要求較高，而導數(shù)方法顯得

簡便)等關(guān)于〃次多項式的導數(shù)問題屬于較難類型。

2.關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數(shù)法

求最值要比初等方法快捷簡便。

3.導數(shù)與解析兒何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是

高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意。

四、不等式

一、不等式的基本性質(zhì)：

注意：（1）特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適

用于不成立的命題。

（2）注意課本上的幾個性質(zhì)，另外需要特別注意：

①若ab>0,則即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數(shù)，不等

ab

號方向要改變。

②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，要注意它的正負號，如果

正負號未定，要注意分類討論。

③圖象法：利用有關(guān)函數(shù)的圖象（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、

三角函數(shù)的圖象），直接比較大小。

④中介值法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比

較它們的大小

二、均值不等式:兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

若a,b>0,則小2而（當且僅當a=6時取等號）

2

基本變形：①a+b?;/；

②若a,beR,貝小之+r？？"，a->（-y-）2

基本應(yīng)用:①放縮,變形;

②求函數(shù)最值:注意:①一正二定三取等;②積定和

小，和定積大。

當ab=p（常數(shù)），當且僅當

時，;

當a+b=S（常數(shù)），當且僅當

時，;

常用的方法為：拆、湊、平方；

如：①函數(shù)y=4x-S^（x>；）的最小值。

②若正數(shù)3,滿足x+2y=l,則，+工的最小

xy

值____________________O

三、絕對值不等式:<<<_

注意:上述等號“=”成立的條件；

四、常用的基本不等式：

（1）設(shè)貝—（當且僅當時取等

號）

（2）|?|>?（當且僅當時取等號）；|昨-〃（當且僅當

時取等號）

（3）a>b,ab>0=>—<—;—<—<=>_______________；

abab

五、證明不等式常用方法：

（1）比較法：作差比較：A-B<O^A<B

作差比較的步驟：

⑴作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式)作差。

⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)(或式)的

完全平方和。

⑶判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的

符號。

注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差

來比較大小。

(2)綜合法：由因?qū)Ч?/p>

(3)分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證……只需證……，只需證……

(4)反證法：正難則反。

(5)放縮法:將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。

放縮法的方法有：

⑴添加或舍去一~些項,如：+1>\a\;個n(n+1)>n

⑵將分子或分母放大(或縮小)

⑶利用基本不等式，如:

Iog31g5<(1^1^)2=lgV15<lgVi6=lg4;

⑷利用常用結(jié)論：

I、Jk+1―yfk—/---<--j=;

Jk+1+\k2\k

11111111ZfQ

1TT1、——<-----=------；——>------=------\TE

k2k(k-l)k-\kk2女伙+1)kk+1

度大)

IIL-4<^-=——--=-(-——-)(程度小)

k2k2-\伙一1)(A+1)2k-\k+Y

(6)換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易,

化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：

已知》2+)>2=〃2,可設(shè)％=acos6,y=asin。；

已知J+ywi,可設(shè)工=rcos。,y=rsin^(0<r<1);

22

已知一+工=1,可設(shè)x=acos。,y=bsin6;

a~b~

2

/v…

已知r-2y=l,可設(shè)x=asec6,y=btan。；

a1b2

(7)構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等

式；

六、不等式的解法：

(1)一元一次不等式：

I、ax>b(aH0):(1)若a>0,貝lj;(2)若a<0,貝(J;

II>ax<b(a0):(1)若a>0,則;(2)若a<0,貝lj;

(2)一元二次不等式：一元二次不等式二次項系數(shù)小于零的，同解

變形為二次項系數(shù)大于零；注：要對A進行討論：

(5)絕對值不等式:若a>0,則|x|<a=;

[x|>a=;

注意：⑴.幾何意義：⑶：;

\x-m\:;

(2)解有關(guān)絕對值的問題,考慮去絕對值，去絕對值的方法

⑴對絕對值內(nèi)的部分按大于、等于、小于零進行討論去

絕對值；①若a>0則|a|=;②若a=o則

Ia|=;③若a<0則|a|=;

(3).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊

為非負值。

(4).含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間

討論”的方法來解。

(6)分式不等式的解法:通解變形為整式不等式；

(1)四>0=___________________________________________________；(2)

g(x)

“X)

<00

g(x)

(3)=(4)

g(x)

四《0。；

g(x)

(7)不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然

后求其交集，即是這個不等式組的解集，在

求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同

一條數(shù)軸上，取它們的公共部分。

(8)解含有參數(shù)的不等式:

解含參數(shù)的不等式時，首先應(yīng)注意考察是否需要進行分類討論.如

果遇到下述情況則一般需要討論：

①不等式兩端乘除一個含參數(shù)的式子時，則需討論這個式子的正、負、

零性.

②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，則需對

它們的底數(shù)進行討論.

③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開

口方向，對應(yīng)的一元二次方程根的狀況(有時要分析△),比較兩個根

的大小,設(shè)根為X1，》,,＜或更多,),,,但含參數(shù)2,一要分M＞》2、的=犬2、Xy＜x2

討論。.

五、數(shù)列

本章是高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實進行全面、深入地復習,

并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個問題：(1)等差、等比數(shù)列的證明

須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前〃項和則其通

項為*=[若%=S|滿足％=S2-s”則通項公式可寫

成明=S“-S,i.(2)數(shù)列計算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等

比數(shù)列的通項公式、前〃項和公式及其性質(zhì)熟練地進行計算，是高考命

題重點考查的內(nèi)容.(3)解答有關(guān)數(shù)列問題時，經(jīng)常要運用各種數(shù)學

思想.善于使用各種數(shù)學思想解答數(shù)列題，是我們復習應(yīng)達到的目標.

①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項公式求和公式都可以看作是〃的函

數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解.

②分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為S“=皿及

1一4

S“=叫(q=l);已知S“求a”時,也要進行分類;

③整體思想：在解數(shù)列問題時，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維

定勢，運用整

體思想求解.

(4)在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽

象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再利用有關(guān)數(shù)列知識和方法來解決.解答此類

應(yīng)用題是數(shù)學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.

特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項不要弄錯.

基本概念:

1、數(shù)列的定義及表示方法：

2、數(shù)列的項與項數(shù)：

3、有窮數(shù)列與無窮數(shù)列：

4、遞增(減)、擺動、循環(huán)數(shù)列：

5、數(shù)列｛aj的通項公式a0：

6、數(shù)列的前n項和公式Sn:

7、等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)：

8、等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)：

二、基本公式：

9、一般數(shù)列的通項a0與前n項和S.的關(guān)系：a,』。

10＞等差數(shù)列的通項公式：an=ai+(n-l)dan=ak+(n-k)d(其

中四為首項、ak為已知的第k項)當dWO時，a。是關(guān)于n的一次式;

當d=0時，a。是一個常數(shù)。

11、等差數(shù)列的前n項和公式：5.=叫+迎心〃S0="(4+%)

22

o-na-----------d

nn'2

當d#0時,Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當d=0時(aiWO),Sn=g

是關(guān)于n的正比例式。

,ril-k

12、等比數(shù)列的通項公式：an=a!q'an=akq

（其中a」為首項、a*為已知的第k項，a,,WO）

13、等比數(shù)列的前n項和公式：當q=l時，S.=na.（是關(guān)于n的正比

例式）；

當qW1時，S=a'~a"q

\-qqn

三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

14、等差數(shù)列｛aj的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列如S2ra-S,?>S3ra-S2ra>

-

S4mS3m>.......仍為等差數(shù)列。

15、等差數(shù)列｛aj中，若m+n=p+q,則6“+%='+%

16>等比數(shù)列｛aj中，若m+n=p+q,貝?露

17、等比數(shù)列｛aj的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列如S2ra-Sm>S3ra-S2m>

S如-S3m>……仍為等比數(shù)列。

18、兩個等差數(shù)列⑸｝與?｝的和差的數(shù)列瓜.bn｝、｛a「bn｝仍為等差數(shù)

列。

19、兩個等比數(shù)列｛a—與｛bj的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

｛an.bn｝>國、［口仍為等比數(shù)列。

bnbn

20、等差數(shù)列｛aj的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)歹上

21、等比數(shù)列｛aj的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

22、三個數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個數(shù)成等差的設(shè)法：

a-3d,a—d,,a+d,a+3d

23、三個數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq；

四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3（為什么？）

24、瓜｝為等差數(shù)列，則卜｝（c>0）是等比數(shù)列。

25、｛bn｝（bn>0）是等比數(shù)列,則｛logh｝（c>0且col）是等差數(shù)列。

26.在等差數(shù)列｛%｝中：

（1）若項數(shù)為2〃，則5儡-5奇=獻&=3!.

S奇an

⑵若數(shù)為2〃+1則，S奇f=a,用?="！，&同=%?（2〃+1）

S偶n

27.在等比數(shù)列［“｝中：

（1）若項數(shù)為2〃，則盤=q

S奇

（2）若數(shù)為2〃+1則，'二a=q

S偶

四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序

相加法等。關(guān)鍵是找數(shù)列的通項結(jié)構(gòu)。

28、分組法求數(shù)列的和：如a,,=2n+3n

29、錯位相減法求和：如a“=（2n-1）2n

30、裂項法求和：如a“=l/n(n+l)

31、倒序相加法求和:如a產(chǎn)〃品。

32、求數(shù)列｛4｝的最大、最小項的方法：

>0

_=-2-

(J)an+ian...?=0如an=2n+29n3

<0

>1“

②—=???=1(an>0)如3=9"(〃+1)

a10"

"n[<1

③a=f(n)研究函數(shù)f(n)的增減性如an=一^—

nn~+156

33、在等差數(shù)列｛4｝中，有關(guān)Sn的最值問題——常用鄰項變號法求

解：

(1)當，]>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得工取最大值.

(2)當與<0,d>0時，滿足IjWO的項數(shù)m使得，取最小值。

在解含絕對值的數(shù)列最值問題時，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

六、平面向量

1.基本概念：

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、

相等向量。

2.加法與減法的代數(shù)運算：

(1)A,A2+A2A3+…=A4?

⑵若a=(X"|),b=(x2,y2)則a±b=(±x2,y｝±y2).

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

以向量布=3、通=3為鄰邊作平行四邊形ABCD,則兩條對角線的向量

AC-a^-b,BD~h—a,DB-a—h

且有%I—13IWIZ士對WIZI+I卻.

向量加法有如下規(guī)律：a+g=g+4(交換律)；a+(3+c)=(a+&)+c

(結(jié)合律)；

a+0=aa+(—a)=0.

3.實數(shù)與向量的積：實數(shù)4與向量［的積是一個向量。

⑴I篇I=［2I?Ia|；

(2)當2>0時，23與"的方向相同；當2V0時，2"與「的方向相

反；當2=0時、2a=0.

(3)若。=(七,必),則2?a=(冽,加).

兩個向量共線的充要條件：

(1)向量b與非零向量［共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)4,使得

b=Aa.

(2)若。二(修,M),b=(x2,y2)則a〃bo七為一看7=0.

平面向量基本定理：

若可、e?是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任

一向量Z有且只有一對實數(shù)4，4，使得1=A2e2.

4.P分有向線段質(zhì)所成的比：

設(shè)Pl、P2是直線/上兩個點，點P是/上不同于P、P2的任意一點，則

存在一個實數(shù)力使鏟=%朋，A叫做點P分有向線段而所成的比。

當點P在線段質(zhì)上時，A>0；當點P在線段而或至的延長線上

時，A<0；

分點坐標公式：若鏟=4電；々,P,尸2的坐標分別為(3,必)，(x,y),

[x/i+編fx/l+」2

J1+4J2

(?2，為)；則1)，=力+辦'2(%W—1),中點坐標公式：121±>1.

I-1+A[-2

5.向量的數(shù)量積：

(1).向量的夾角：

已知兩個非零向量力與b,作3=3,5^=b4ljNA0B=6(0°<^<180°)

叫做向量[與b的夾角。

(2).兩個向量的數(shù)量積：

已知兩個非零向量[與b,它們的夾角為6,貝匹?b=|?|?IbIcose.

其中IbIcos。稱為向量b在[方向上的投影.

(3).向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

若々=(x],y]),b=(x2,y2)則e??e=|a\COS0(e為單位向量)；

a_LbQa,b=0<=>x,x2+yfy2=0(a,b為非零向量)；Ia\

=Ja?a=《x：+y,2；

cose=日二廠也2二必—一.

時咽77^7-7^7

(4).向量的數(shù)量積的運算律：

a*b=b-a;(Aa)*b=A(a?b)-a,(Ab);(a+b),c=a*c+b*c.

6.主要思想與方法：

本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用

代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運

用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向

量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往

會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解兒等結(jié)合起來進行綜合考查，是知

識的交匯點。

七、立體幾何

1.平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面

問題。

能夠席箱二面法柞囪。

2.空間兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面的概念；

會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面

直線一般用反證法。

3.直線與平面

①位置關(guān)系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。

②直線與平面平行的判斷方法及性質(zhì)，判定定理是證明平行問題的依

據(jù)。

③直線與平面垂直的證明方法有哪些？

④直線與平面所成的角：關(guān)鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是

{0°.90°}

⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理.三垂線

定理及其逆定理主要用于證明垂直關(guān)系與空間圖形的度量.如：證明

異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.

4.平面與平面

(1)位置關(guān)系：平行、相交，(垂直是相交的一種特殊情況)

(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。

(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。尤其是已知兩平面

垂直，一般是依據(jù)性質(zhì)定理，可以證明線面垂直。

(4)兩平面間的距離問題一點到面的距離問題一［?￥￥

［體積法

(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角

形；

②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時

要解一個直角三角形。

③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的

交線不容易找到時用此法。

5.棱柱

(1)掌握棱柱的定義、分類，理解直棱柱、正棱柱的性質(zhì)。

(2)掌握長方體的對角線的性質(zhì)。

(3)平行六面體一直平行六面體-＞長方體正四棱柱一正方體這些

幾何體之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及它們的特有性質(zhì)。

(4)S側(cè)=各側(cè)面的面積和。思考：對于特殊的棱柱，又如何計

算？

(5)V=Sh特殊的棱柱的體積如何計算？

6.棱錐

1.棱錐的定義、正棱錐的定義(底面是正多邊形，頂點在底面

上的射影是底面的中心)

2.相關(guān)計算：S網(wǎng)=各側(cè)面的面積和，V=|sh

7.球的相關(guān)概念：S球=4rR2V球球面距離的概念

8.正多面體：掌握定義和正多面體的種數(shù)(是哪幾個？)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________O

掌握歐拉公式：V+F-E=2其中：V頂點數(shù)E棱數(shù)F面數(shù)

9.會用反證法證明簡單的命題。如兩直線異面。

主要思想與方法：

1.計算問題：

(1)空間角的計算步驟：一作、二證、三算

異面直線所成的角范圍：0°<9W90。方法：①平移法；②

補形法.

直線與平面所成的角范圍：0°W9W90°方法：關(guān)鍵是作垂

線，找射影.

二面角方法：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法.

注：二面角的計算也可利用射影面積公式￡=Scos。來計算

(2)空間距離⑴兩點之間的距離.(2)點到直線的距離.(3)點到平面

的距離.

(4)兩條平行線間的距離.(5)兩條異面直線間的距離.(6)平面的

平行直線與平面之間的距離.

(7)兩個平行平面之間的距離.

七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最

小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條

平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離，平行線面間的距離或平

行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點到平面的距離.

在七種距離中，求點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的

距離是難點.

求點到平面的距離：（1）直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的

長.（2）轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的

距離.（3）體積法.

求異面直線的距離：（1）定義法，即求公垂線段的長.（2）轉(zhuǎn)化成求

直線與平面的距離.（3）函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距

離是分別在兩條異面直線上兩點間距離中最小的.

2.平面圖形的翻折，要注意副樂前后的長度、角度、位置的變化,

翻折前后在同一個三角形中的角度、長度不變

3.在解答立體幾何的有關(guān)問題時，應(yīng)注意使用轉(zhuǎn)化的思想：

①利用構(gòu)造矩形、直角三角形、直角梯形將有關(guān)棱柱、棱錐的問

題轉(zhuǎn)化成平面圖形去解決.

②將空間圖形展開是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成為平面圖形問題的一

種常用方法.

③補法把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，把復雜圖形轉(zhuǎn)化成簡單

圖形.

④利用三棱錐體積的自等性，將求點到平面的距離等問題轉(zhuǎn)化成

求三棱錐的高.

⑤平行轉(zhuǎn)化

線產(chǎn)產(chǎn)二線麗行—理F

⑥垂直轉(zhuǎn)化

八、平面解析幾何

(-)直線與圓知識要點

1.直線的傾斜角與斜率k=tga,直線的傾

斜角a一定存在，范圍是[0,r],但斜

率不一定存在。牢記下列圖像。

斜率的求法：依據(jù)直線方程依據(jù)傾

斜角依據(jù)兩點的坐標

2.直線方程的幾種形式，能根據(jù)條件，合理的寫出直線的方程；能

夠根據(jù)方程，說出幾何意義。

3.兩條直線的位置關(guān)系，能夠說出平行和垂直的條件。會判斷兩條

直線的位置關(guān)系。(斜率相等還有可能重合)

4.兩條直線的交角：區(qū)別到角和夾角兩個不同概念。

5.點到直線的距離公式。

6.會用一元不等式表示區(qū)域。能夠解決簡單的線性規(guī)劃問題。

7.曲線與方程的概念，會由幾何條件列出曲線方程。

8.圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

圓的一般方程：x2+y'+Dx+Ey+F=0注意表示圓的條件。

x=。+rcos^

圓的參數(shù)方程:

y=b+rsin0

掌握圓的兒何性質(zhì)，會判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。會求圓

的相交弦、切線問題。

圓錐曲線方程

（二）、圓錐曲線

1.橢圓及其標準方程

'第一定義、第二定義

標準方程（注意焦點在哪個軸上）

■橢圓的簡單兒何性質(zhì)：（。、氏c、e的幾何意義，準線方程，焦半徑）

橢圓的參數(shù)方程x=acos0,y-bsin。，當點尸在橢圓上時、

可用參數(shù)方程設(shè)點的坐標，把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題。

2.雙曲線及其標準方程：

'第一定義、第二定義（注意與橢圓相類比）

，標準方程（注意焦點在哪個軸上）

雙曲線的簡單幾何性質(zhì)M、6c、e的幾何意義，準線方程，焦半徑，漸近線）

3.拋物線及其標準方程：

,定義，以及定義在解題中的靈活應(yīng)用

（拋物線上的點到焦點的距離問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為到準線的距離。）

標準方程（注意焦點在哪個軸匕開口方向，p的兒何意義）四種形式

拋物線的簡單幾何性質(zhì)：（焦點坐標，準線方程，與焦點有關(guān)的結(jié)論）

直線與圓錐曲線:

位置關(guān)系，經(jīng)常抓為方程的解的情況。

弦長。運用韋達定理解決

面積。注意合理分析

注意點：

(1)注意防止由于“零截距”和“無斜率”造成丟解

(2)要學會變形使用兩點間距離公式d=g?f>+(%-％)2,當已知

T

直線/的斜率左時，公式變形為j=7f7fc|x2-x,|或

4=，口昆-月|；當已知直線的傾斜角a時，還可以得到

d=\x2-X]"seed或d=|y2—yj-|csca|

(3)靈活使用定比分點公式，可以簡化運算.

(4)會在任何條件下求出直線方程.

(5)注重運用數(shù)形結(jié)合思想研究平面圖形的性質(zhì)

解析幾何中的一些常用結(jié)論：

1.直線的傾斜角a的范圍是[0,Ji)

2.直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系：當傾斜角是銳角是，斜率k

隨著傾斜角a的增大而增大。當a是鈍角時一，k與a同增減。

3.截距不是距離，截距相等時不要忘了過原點的特殊情形。

4.兩直線：LLAix+Biy+Ci=0L2:A2x+B2y+C2=0L,_L

L20A1A2+B|B2=O

5.兩直線的到角公式：L到Lz的角為。，tan。=殳也

\+kxk2

夾角為0,tan0=|工2I注意夾角和到角的區(qū)別

1+k'k2

6.點到直線的距離公式，兩平行直線間距離的求法。

7.有關(guān)對稱的一些結(jié)論

①點(a,b)關(guān)于x軸、y軸、原點、直線y=x的對稱點分別是

(a,-b),(—a,b),(-a,-b),(b,a)

②如何求點(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點

③直線Ax+By+C=O關(guān)于x軸、y軸、原點、直線y=x的對稱的直線方

程分別是什么，關(guān)于點(a,b)對稱的直線方程有時什么？

④如何處理與光的入射與反射問題？

8.曲線f(x,y)=0關(guān)于下列點和線對稱的曲線方程為：

(1)點(a.b)_____________________________________

(2)x軸_________________________________________________